合肥工业大学新编第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、椭球面∑：222

216x y z ++=在点

0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．

2、设曲线L 的方程为2

21x

y +=，则

2

[()

]L

x y y ds +-=⎰ ．

3、设

()2

1,

0,1,0,

x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛

于 ．

4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ．

5、设2

3

(,,)2f x y z x y z

=++，则

(1,1,1)grad f =u u u u u r

．

二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设2

2

2z

x y ze ++=,则11

x y dz

===( )

2

、二次积分

2

(,)dx f x y dy ⎰

化为极坐

标下累次积分为（ ）

3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．

（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线

1121

410214

x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）

)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交

5、设曲面∑的方程为2

22,x

y z z ++=，

1∑为∑

在第一卦限的部分，则下列结论不正

．．

确．

的是（ ）．

（A ）

0xdS ∑

=⎰⎰ （B ）

0zdS ∑

=⎰⎰

（C ）

1

224z dS z dS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）2

2

x dS y dS ∑

∑

=⎰⎰⎰⎰

三、（本题满分10分）设

(,)sin x

z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏

导数，求2,z z x x y

∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求

22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：

2

2

14

y x +≤上的最大值和最小值.

五、（本题满分10分）计算二重积分：

2D

I y x d σ=-⎰⎰，其中

:11,02D x y -≤≤≤≤．

六、（本题满分12分）已知积分

22(5())()x x

L

y ye f x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且

6

(0)5

f =

.求()f x ,并计算

(2,3)

22(1,0)

(5())(x x I y ye f x dx e f x

--=-+⎰

.

七、（本题满分12分）计算积分

223222

()(xz dydz x y z dzdx I x y z ∑

+-+=++⎰⎰

，其中∑是上半球

面

z =，取上侧．

八、（本题满分10分）．求幂级数

∑∞

=---1

2112)1(n n

n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞

=---1

1

12)1(n n n 的和．

九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,

且lim

1n n

n

u →∞=,则级数

11

1

11

(1)(

)n n n n u u ∞

+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？