合肥工业大学试卷参考答案A卷

∫ Rxx
(τ
)
=
lim
T →∞
1 T
T x(t)x(t + τ )dt
0
∫ [ ] = lim 1 T →∞ T
T /2 −T / 2
A2
sin(ωt
+ ϕ0 ) sin
ω(t
+τ) +ϕ0
dt
令ωt + ϕ0 = α
则dt
=
1 ω
dα，
且ωT
=
2π
∫ ( ) 故Rxx
(τ
)
=
lim
T →∞
A2 2π
字低通滤波器时，发现主过渡带太宽的情况，应采取哪些措施？
答：在用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时，常用的窗函数有矩形窗、三角形窗、汉宁窗、
哈明窗等。
若用窗函数法设计 FIR 数字低通滤波器时，发现主过渡带太宽的情况，应采取的措施
有：○1 加大窗口长度；○2 换其它形状的窗。
三. 证明题（共 10 分，10 分/题） 1. 已知长度为 N 的有限长序列，其离散傅里叶变换为 X(k)，证明：
答：描述线性时不变离散系统的表达式有：差分方程、单位抽样响应和系统函数。
3. 如何从含有噪声的信号中提取出周期信号？并说明其道理。
答：通过做信号的自相关分析，便可以从含有噪声的信号中提取出周期信号。
因为周期信号的自相关函数仍为周期信号，而随机信号的自相关函数为零。
4. 采用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时，常用的窗函数有哪些？若用窗函数法设计 FIR 数
解：（1）由序列的傅里叶正变换公式可知ω=0，则
∞
∞
∑ ∑ X (e j0 ) = x(n)e− j0⋅n = x(n) = 6
n=−∞
n = −∞
（2）由于 ej0=1，则由序列的傅里叶反变换公式可知 n=0，故
∫ ∫ ⋅ π X (e jω )dω =
−π
π −π
X (e jω )e j0dω
=
T / 2 sin 2 α cosωτ + sin α cosα sin ωτ dα
−T / 2
= A2 cosωτ 2
5. 设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为 2 的整数幂，假定没有采用任何特
殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的采样时间间隔为 0.1ms，试确定：
（1） 最小记录长度；
jΩ)
=
⎧1
⎪ ⎨
2
，
Ω
< 3π
⎪⎩0 ， Ω ≥ 3π
现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号 y1(t)，y2(t)有无失真？为什么？
解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得
因为 x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率 Ωh1
= 2π
<
6π 2
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∑ ∑ N−1 x(n) 2
=
1
N −1
X (k) 2
n=0
N k=0
证：由 DFT 的定义，可知
N −1
N −1
∑ x(n) 2 = ∑ x(n)x* (n)
n=0
n=0
∑ ∑ =
N −1
⎡1
n=0 x(n)⎢⎣ N
N −1 k =0
X
(k
)WN−kn
⎤ ⎥⎦
*
∑ ∑ =
1 N
N −1
○2 利用 FFT 算法分别计算序列 x(n)、h(n)的 N 点离散傅里叶变换 X(k)、H(k)； ○3 计算频谱 X(k)、H(k)的乘积，即
Y (k) = X (k)H (k)
○4 计算 Y(k)的 IFFT 变换，则求得序列 x(n)、h(n)的 N 点线性卷积 x(n)*h(n)，即
x(n) ∗ h(n) = y(n) = IFFT[ X (k)H (k)]
合肥工业大学试卷参考答案（A 卷）
2003~2004 学年第 二 学期 学生学号
课程名称 数字信号处理 学生姓名
考试班级 自动化 01-1~7 班 成绩
一. 计算题（共 50 分，10 分/题） 1. 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器 Ha(jΩ)还原， 其中
H
a
(
N −1
X * (k ) x(n)WNkn
k =0
n=0
∑ =
1
N −1
X *(k)X (k)
N k=0
∑ =
1
N −1
X (k) 2
N k=0
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2π x(n) n=0
=
2π
2 = 4π
3. 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
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解：由循环卷积的定义，可知
y(n) = x1 (n) ○6 x2 (n) = [x1 ((n))6 ○* x2 ((n))6 ]R6 (n)
= [x1 ((n))6 ○* 3δ ((n − 3))6 ]R6 (n)
= 3x1 ((n − 3))6 R6 (n)
注意： RN (n) 也就是教材中的 d (n) 。
则根据循环移位的概念，将序列 x1(n)循环右移 3 个单位后乘以 3 并取其主值序列（n=0~5） 即可，其结果如图所示。
4. 随机相位正弦波
x(t) = Asin(ωt + ϕ0 )
式中，A,ω均为常数，φ0 在 0~2π内随机取值并服从均匀分布，试求其自相关函数。 解：由自相关函数的定义式，得
（3） N ≥ T0 = 0.1 ×103 = 1000 T 0.1
又因 N 必须为 2 的整数幂 所以一个记录中的最少点数为 N=210=1024。
二. 简答题（共 40 分，10 分/题） 1. 采用 FFT 算法，可用快速卷积实现线性卷积。现欲计算两个长度分别为 N1 和 N2 的有限 长序列 x(n)、h(n)的线性卷积 x(n)*h(n)，试写出该快速卷积算法的计算步骤（注意说明点数）。 答：○1 将序列 x(n)、h(n) 补零至长度 N，其中：N≥N1+N2−1 且 N=2M（M 为整数）；
= 3π
，所以 y1(t)无失真；
因为 x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率 Ωh2
= 5π
<
6π 2
= 3π ，所以 y2(t)失真。
2. 设 X(ejω)是如图所示的信号 x(n)的傅里叶变换，不必求出 X(ejω)，试完成下列计算：
（1） X (e j0 )
∫ （2） π X (e jω )dω −π
此快速卷积过程如图所示，图中，N≥N1+N2-1，且 N=2M（M 为整数）。
x(n) N1 点
x(n) 补零扩展
N点
X(k) N 点 FFT
相乘
X(k)H(k)
x(n)*h(n) N 点 IFFT
h(n) N2 点
h(n) 补零扩展
N点
N 点 FFT H(k)
2. 我们可以用哪三种表达式来描述一个线性时不变离散系统？
（2） 所允许处理信号的最高频率；
Байду номын сангаас
（3） 在一个记录中的最小点数。
解：（1）因为 T0=1/ F0，而 F0≤10Hz，所以
T0
≥
1 10
s
即最小记录长度为 0.1s。
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（2）因为
fs
=
1 T
=
1 ×103 0.1
= 10kHz ，而
fs>2fh
所以
fh
<
1 2
fs
= 5kHz
即允许处理信号的最高频率为 5kHz。