2009哈工大级研究生《数值分析》试卷

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。

332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。

六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。

七．（10建立不超过三次的Newton 插值项式。

八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此 公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。

九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。

10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）2003年研究生“数值分析”试题一，（8分）设0>a 为实数，试建立求a1的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算，并证明：当初值0x 满足ax 200<<时，此格式时收敛的。

二，（6分）用Doolittle 分解法解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201814513252321321x x x三，（8分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示方程组d Ax =的Jacobi 迭代法及Gauss －Seidel 迭代法收敛的充分必要条件。

四，（8分）设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120122101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3/23/12/1b 。

已知它有解T x )0,31,21(-=，如果右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试估计由此引起的解的相对误差。

五，（10分）求出一个次数不高于4次的Hermite 插值多项式)(x P ，使它满足0)0(')0(==P P ，1)1(')1(==P P ，1)2(=P ，并写出余项表达式。

六，（6分）用Romberg 方法计算积分⎰-10dx e x ，计算到0.3T 。

求有理插值函数)(x R 。

八，（6分）设（1）⎩⎨⎧≤≤≤≤-+++=211012)(2323x x cx bx x x x x f 是以0，1，2为节点的三次样条函数，求出c b ,。

（2）00112)(3≥<⎩⎨⎧++++=x x bx x x ae x f x是以0节点的三次样条函数，求出b a ,。

九，（10分）求出二点Gauss 求积公式)()()(110011x f H x f H dx x f +≈⎰-中系数0H ，1H 及节点0x ，1x 。

并用此公式计算积分⎰=20cos πxdx I （结果保留5位小数）。

十，（6分）用逆Broyden 秩1方法求方程组0439)(3222132121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=x x x x x x x F 的解，取初值T T x x x )6.1,2.1(),(210==，来计算迭代二次的值。

十一，（6分）使用乘幂法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20101350144A 的最大特征值和对应的特征向量（只需计算前两次迭代的值）十二，（20分）考虑线性多步方法)''()3(21)(1211---+++++--=n n n n n n y y h y y y y αα （1） 证明存在α的一个值使方法是4阶的； （2） 写出局部截断误差的首项；（3） 当使用用4阶方法时，需要几个初始启动值（表头），通常情况用什么方法计算表头；举出一个实例并写出公式表达式；（4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？ （5） 讨论绝对稳定性。

（其中在局部截断误差中]})1()([1{!1110i pi q p i i qq b q a i q C ∑∑-=-=-+--=,3,2=q三次方程023=+++c bt at t 根1t ，2t ，3t 满足关系⎪⎩⎪⎨⎧-==++-=++c t t t b t t t t t t at t t 321133221321 ）2001/2002年研究生“数值分析”试题一，试解答下列问题1，已知143)(345+-+=x x x x f ，求：],,,,,[543210e e e e e e f 和],,,,,,[6543210e e e e e e e f 2，若n n y 2=求n y 4∆和n y 4∇3，判断下列函数是否是三次样条函数 i211001)1(0)(233<≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f －ii⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f4，已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4231A 求p A ，F p ,,2,1∞= 5，试用Euler （尤拉）公式求解初值问题（1.0=h ）⎪⎩⎪⎨⎧<<=-=3.00,1)0(2'x y y x y y 二， 设0>a 为实数，试建立求a 1的Newton （牛顿）迭代公式，要求在迭代中不含除法运算，证明当初值0x 满足a x 200<<时，此算法是收敛的，并用此算法计算991的近似值（保留4位小数）。

三， 应用Doolittle （杜利特尔）方法解线性方程组2333220221321321=--=++=++x x x x x x x x 四，设给出x cos 的函数表))1('1,900(︒==︒≤≤︒h x （拉格朗日）插值计算︒03.15的近似值。

五，已知Legedre （勒让德）多项式)(1x P 的零点为31±，试用Gauss －Legedre 求积公式计算⎰-+44211dx x 的近似值。

（保留4位小数）六，应用Romberg （龙贝格）积分法计算定积分⎰311dx x的近似值（精确到小数点后4位，其真值为1.098612289）。

七， 试讨论求解常微分方程初值问题的Simpson （辛卜生）方法)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y hy y的稳定性八， 分别用Jocobi （雅可比）和Gauss －Seidel （高斯－塞德尔）迭代求解下面的方程组（初值取T x )0,0,0(0=计算1x 和4x ）246424) ()1()3()2()1()3()2(=-=-+-=+x x x x x x x九， 试回答，在Lagrange （拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数越高，插值精度也越高？为什么？2000年研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。