趣味数学158：《九章算术》中分数加减法
《九章算术》内容简介
《九章算术》内容简介《九章算术》是中国最早成型的一部算学著作，一般的认定是成书于东汉。
后世有不少人给这本书做过批注，最重要的是三国时刘徽所做的注。
他不仅注释原文，而且加进了自己的许多见解，阐述了许多数学理论。
一般而言，后代所写的中国传统算学书籍，其体例大致上都不出《九章算术》的范围。
《九章算术》的内容是将汉以前有关日常生活的各种运用归纳成九章，采用问题集的形式，共有246道题。
这九章分别为：方田：土地田亩面积的计算，包括分数算法。
共38题。
粟米：粮食交换的比例问题。
方法是先定出交换率，再应用比例求解，共有46题。
衰分：比例与等差、等比数列的问题。
共20题。
少广：利用田亩面积求边长与由球体积求径长的算法，也就是开平方与开立方问题，这是世界最早提出开平方开立方法则的记载。
共有24题。
商功：各种土木工程中的立体（如筑城、迭堤、挖沟、修渠等）体积计算，包括有方体、台体、圆柱体、契形体、锥体等体积的计算。
共27题。
均输：纳税与运输方面比例计算的问题，为较复杂的比例计算。
共28题。
盈不足：盈亏问题的解法。
共20题。
方程：线性联立方程式的解法，已讨论负数的概念。
共18题。
句股：这是在《周髀算经》中句股定理的基础上，形成应用问题的“句股术”。
它也是中国传统算学的重要内容。
共有24题。
一般而言，自周、秦以来所发展出的中国传统算学，经过汉代进一步的精致化后，已逐渐形成一个完整的体系，《九章算术》正是标志着这一个系统的完成。
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小学数学教材中的《九章算术》
小学数学教材中的《九章算术》转化思想方法是一种重要的数学思想方法，它通过将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，帮助学生更好地理解和解决数学问题。
在小学教材中，转化思想方法也得到了很好的体现和应用。
本文将以小学数学教材为例，探讨转化思想方法在小学教材中的重要性、基本概念、应用情况、优缺点和建议。
转化思想方法是指将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题的一种思想方法。
在小学数学教材中，转化思想方法的应用非常重要，它不仅有助于学生更好地理解和解决数学问题，还可以帮助学生培养灵活的思维方式和独立解决问题的能力。
转化思想方法在小学数学教材中得到了很好的体现。
以下是一些例子：在学习长方形面积计算公式时，学生可以通过将长方形分割成若干个小正方形，然后计算小正方形的面积之和，得出长方形的面积。
这样，学生就可以将一个复杂的问题（计算长方形面积）转化为简单的问题（计算小正方形面积），从而更容易地理解和解决这个问题。
在学习分数加减法时，学生可以通过将分数转化为小数，然后将小数相加，得出分数的和。
这样，学生就可以将一个复杂的问题（分数加减法）转化为简单的问题（小数加减法），从而更容易地理解和解决这个问题。
帮助学生将复杂问题转化为简单问题，提高学生解决问题的能力和自信心。
促进学生思考方式的灵活性，让学生学会从不同角度看待问题。
培养学生的创新意识和创新能力，让学生学会独立思考和解决问题。
不是所有问题都可以转化为简单问题，有些问题的转化可能非常困难甚至不可能。
转化过程中可能会出现新的困难和问题，需要学生具备更高的思维能力和数学知识。
转化思想方法的运用需要学生具备一定的思维能力和经验，不当的转化可能会引起更多的困难和混乱。
建议教师在小学数学教学中，应该注重以下几点：结合具体情境和实例，引导学生学会运用转化思想方法解决问题。
鼓励学生尝试不同的转化方式，培养学生的思维灵活性和创新精神。
针对学生的不同水平和需求，提供不同难度的问题和转化方法，让每个学生都能得到有效的发展。
九章算术分数运算题目
九章算术分数运算题目
《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有许多关于分数运算的题目。
以下是一些具体的题目及解法：
1. 约分：今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。
解析：这道题的意思是求三分之一和五分之二的和是多少，两个分数通分以后相加得十五分之十一。
2. 合分：今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。
解析：意思是求九分之八减去五分之一是多少。
两个分数通分以后相减得四十五分之三十一。
3. 减分：今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
解析：意思是问这两个分数哪个大，大多少。
所以要先把这两个分数通分，然后比较大小并相减。
4. 课分：今有上、中、下三种规格的稻谷，已知上等稻3把、中等稻2把、下等稻1把，能得到稻谷39斗，上等稻2把、中等稻3把、下等稻1把，能得到稻谷34斗，上等稻1把、中等稻2把、下等稻3把，能得到稻谷26斗，求，上等稻一把、中等稻一把、下等稻一把，各有多少稻谷？解析：这是一个典型的三元一次方程应用题。
通过设未知数x、y、z，代表上、中、下三种稻，然后列方程式：3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26，然后利用消元法求解。
以上题目展示了《九章算术》中分数运算的一些具体应用，包括约分、合分、减分等，这些题目对于理解和掌握分数的运算非常有帮助。
九章算术中的分数问题
九章算术中的分数问题
九章算术中的分数问题是指在解题过程中涉及到分数的计算和应用。
九章算术是古代中国的一种数学方法，主要用于解决实际问题和商业计算。
在这种方法中，分数是常用的数学工具之一。
在九章算术中，分数问题可以涉及到分数的加减乘除运算，以及分数在实际生活中的应用，比如在比例问题、百分比问题和商业问题中的使用。
解决分数问题的关键是掌握分数的运算规律和性质，包括分数的化简、比较大小、相加减、相乘除等。
在计算过程中，可以使用九章算术中的分数计算方法，如同分法、口诀等。
九章算术中的分数问题涵盖了广泛的内容，需要灵活运用各种解题方法和技巧。
掌握九章算术中的分数问题，可以提高数学计算能力和解决实际问题的能力。
九章算术经分解决分数除法
九章算术经分解决分数除法
《九章算术》是中国古代数学的经典之作，其中包括了许多数学问题和算法。
在分数除法方面，《九章算术》中使用了一种称为“经分”的方法。
经分是指将一个分子分成若干等分，每份的大小相等。
然后，将除数乘以分子中每份的大小，并将结果加到除数的末尾。
最后，将除数的末尾向上移动，以便将结果除以分子。
以下是一个用经分解决分数除法的例子:
假设要计算 12 除以 6，可以使用经分的方法如下:
12 ÷ 6 = 2 ÷ 3
首先，将 12 分成 3 份，每份大小相等，分别为 2 和 2。
然后，将 6 乘以 2，得到 12。
12 × 2 = 24
将 24 加上 6，得到 30。
30 ÷ 6 = 5 ÷ 3
将除数的末尾向上移动，得到 5。
5 ÷ 3 = 1 ÷ 1
再次使用经分的方法，将 5 分成 1 份，大小相等，为 1。
将 1 乘以 3，得到 3。
1 ÷ 1 = 1 ÷ 3
使用经分的方法，将 12 分成 3 份，每份大小相等，分别为 2 和2。
将 6 乘以 2，得到 12。
12 ÷ 3 = 4 ÷ 1
将除数的末尾向上移动，得到 4。
4 ÷ 1 = 4 ÷ 1
最终，得到了正确的答案 1。
这种方法的好处是可以迅速地将分数除法转化为乘法，从而减少计算的复杂度。
九章算术——精选推荐
九章算术九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后，《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术。
这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰。
原作有插图，今传本已只剩下正⽂了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶。
由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和⼏何三部分。
⼀、算术部分1．分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等。
其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减。
加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦。
“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留。
其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法则，但算法也很清楚。
2．最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法。
求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也。
浅谈九章算术及其在小学数学教材中的运用
浅谈九章算术及其在小学数学教材中的运用【摘要】文章将围绕九章算术及其在小学数学教材中的运用展开讨论。
在将介绍九章算术的概念和小学数学教材的现状。
在将探讨九章算术的起源和发展，以及它在小学数学教材中的具体应用和重要性。
将列举九章算术在数学教学中的具体案例，并讨论其对小学生数学学习的影响。
在将总结九章算术在小学数学教材中的价值，同时展望它在未来小学数学教育中的发展前景。
通过本文的探讨，读者将更深入了解九章算术在小学数学教育中的重要性和应用前景。
【关键词】九章算术、小学数学教材、起源、发展、应用、重要性、具体案例、影响、价值、发展前景1. 引言1.1 介绍九章算术九章算术，即《九章算术》是中国古代数学经典之一，是中国最早的数学名著之一，也是古代最有影响力的数学著作之一。
《九章算术》是中国古代民间所流传的一部具有相当高度的技术性和科学性的数学专著，据传是由汉代数学家张丘建编著的，至今已有两千多年的历史。
《九章算术》共计九卷，分别为《方田杂术》、《商彝》、《分数》、《方程》、《量程》、《聚分》、《名数》、《方程》和《律算》。
《九章算术》主要介绍了算术、几何、代数等方面的基本概念和方法，对于古代的土地测量、财政税收、商业活动等领域都有着重要的应用价值。
这部著作对中国古代数学的发展和推广起到了至关重要的作用，是中国数学史上的瑰宝。
在现代小学数学教育中，《九章算术》的思想仍然具有重要的参考价值，通过学习和理解《九章算术》，可以帮助学生建立正确的数学思维和方法，提高他们的计算能力和解决问题的能力，为将来的数学学习打下坚实的基础。
1.2 介绍小学数学教材小学数学教材是小学生学习数学知识的重要工具。
在小学数学教材中，以适合小学生认知水平和学习特点的方式呈现数学知识，帮助小学生建立数学思维和解决问题的能力。
小学数学教材通常包括基础知识、题目练习、实际应用等内容，旨在帮助小学生打好数学基础，培养他们对数学的兴趣和探究精神。
九章算术分数的通分计算例题讲解
九章算术分数的通分计算例题讲解1. 了解九章算术分数的基本概念九章算术分数是我国古代数学著作《九章算术》中所涉及的一种分数运算。
在九章算术中，分数的概念被广泛地运用于实际问题的求解中，其中包括了通分、异分、化简等运算。
而通分作为分数运算中的一种重要技巧，对于解决实际问题和深入理解分数的运算规律具有重要意义。
2. 通分的概念和意义通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的操作。
在实际运用中，通分可以使得分数之间的比较变得更加方便，同时也便于分数的加减乘除运算。
通分是分数运算中一个基础且重要的技巧，对于深入理解分数运算规律具有不可或缺的作用。
3. 通分的计算方法通分的计算方法主要包括以下几种情况：a. 确定需要通分的分数，并列出各个分数的分母；b. 将各个分数的分母之间进行比较，并找到它们的最小公倍数；c. 根据最小公倍数，分别将每个分数的分子进行等比例的乘法变换，使得分数的分母一致；d. 对于通分后的分数，即可便于进行进一步的运算和比较。
4. 九章算术分数的通分计算例题讲解接下来，我们通过具体的例题来进行九章算术分数的通分计算讲解，以帮助大家更好地理解和掌握通分的技巧和方法。
例题1：计算分数1/2、2/3、3/4的通分分数。
解题思路：a. 确定需要通分的分数：1/2、2/3、3/4；b. 分别列出各个分数的分母：2、3、4；c. 找到它们的最小公倍数：最小公倍数为12；d. 对于1/2分数，分子乘以6得到通分后的分数6/12；e. 对于2/3分数，分子乘以4得到通分后的分数8/12；f. 对于3/4分数，分子乘以3得到通分后的分数9/12。
分数1/2、2/3、3/4的通分分数为6/12、8/12、9/12。
5. 总结及个人观点通过以上例题的讲解，我们不仅了解了九章算术分数的通分计算方法，同时也对分数运算中的通分技巧有了更深入的理解。
通分作为分数运算中的一个基础技巧，对于解决实际问题和提高数学运算能力具有重要作用。
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《九章算术》中分数加减法运算法则
《九章算术》是我国流传至今最古老的数学专著之一，成书于西汉时期。
书中，卷一第九题的原文是：“又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。
问：合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。
合分术曰：母互乘子，并以为实；母相乘为法。
”
下面用现代的语言和符号，对原文做一些译述：
古代把被除数或分子称为“实”，除数或分母称为“法”。
“又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。
问：合之得几何？”——21＋32＋43＋5
4＝？ “答曰：得二、六十分之四十三。
”——答案是：260
43。
“合分术曰：”——分数加法的运算法则是：
“母互乘子，并以为实；”——两个分数分子、分母交叉相乘的积合并起来，作为和的分子；
“母相乘为法。
”——两个分数分母相乘的积，作为和的分母。
按所述法则计算：
21＋32＋43＋54＝322231⨯⨯+⨯＋544453⨯⨯+⨯＝67＋2031＝206316207⨯⨯+⨯＝120326＝260
43。
与我们今天的分数加法运算法则基本相同。
书中，卷一第十一题的原文是：“又有四分之三，减其三分之一。
问：余几何？答曰：十二分之五。
减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实。
母相乘为法。
”
下面用现代的语言和符号，对原文做一些译述： “又有四分之三，减其三分之一。
问：余几何？”——
43－31＝？ “答曰：十二分之五。
”——答案是：12
5。
“减分术曰：” ——分数减法的运算法则是：
“母互乘子，以少减多，余为实。
”——两个分数分子、分母交叉相乘的积，从多的里面减去少的，把余数作为差的分子。
“母相乘为法”——两个分数分母相乘的积，作为差的分母。
按所述法则计算：
43－31＝341433⨯⨯-⨯＝12
5。
也与我们今天的分数减法运算法则基本相同。
由此可见，早在两千多年以前，我国分数四则运算法则已经如此先进，身为炎黄子孙由衷感到无比骄傲和自豪。