R语言与核密度估计(非参数统计)-PPT文档资料
非参数估计(完整)PPT演示课件
P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的 效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确； 过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x
kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计 最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正
非参数估计——核密度估计（Parzen窗）
⾮参数估计——核密度估计（Parzen 窗） 核密度估计，或Parzen 窗，是⾮参数估计概率密度的⼀种。
⽐如机器学习中还有K 近邻法也是⾮参估计的⼀种，不过K 近邻通常是⽤来判别样本类别的，就是把样本空间每个点划分为与其最接近的K 个训练抽样中，占⽐最⾼的类别。
直⽅图 ⾸先从直⽅图切⼊。
对于随机变量X 的⼀组抽样，即使X 的值是连续的，我们也可以划分出若⼲宽度相同的区间，统计这组样本在各个区间的频率，并画出直⽅图。
下图是均值为0，⽅差为2.5的正态分布。
从分布中分别抽样了100000和10000个样本： 这⾥的直⽅图离散地取了21个相互⽆交集的区间：[x −0.5,x +0.5),x =−10,−9,...,10，单边间隔h =0.5。
h >0在核函数估计中通常称作带宽，或窗⼝。
每个长条的⾯积就是样本在这个区间内的频率。
如果⽤频率当做概率，则⾯积除以区间宽度后的⾼，就是拟合出的在这个区间内的平均概率密度。
因为这⾥取的区间宽度是1，所以⾼与⾯积在数值上相同，使得长条的顶端正好与密度函数曲线相契合。
如果将区间中的x 取成任意值，就可以拟合出实数域内的概率密度（其中N x 为样本x i ∈[x −h ,x +h ),i =1,...,N 的样本数）：ˆf (x )=N xN ⋅12h 这就已经是核函数估计的⼀种了。
显然，抽样越多，这个平均概率密度能拟合得越好，正如蓝条中上⽅⼏乎都与曲线契合，⽽橙⾊则稂莠不齐。
另外，如果抽样数N →∞，对h 取极限h →0，拟合出的概率密度应该会更接近真实概率密度。
但是，由于抽样的数量总是有限的，⽆限⼩的h 将导致只有在抽样点处，才有频率1/N ，⽽其它地⽅频率全为0，所以h 不能⽆限⼩。
相反，h 太⼤的话⼜不能有效地将抽样量⽤起来。
所以这两者之间应该有⼀个最优的h ，能充分利⽤抽样来拟合概率密度曲线。
容易推理出，h 应该和抽样量N 有关，⽽且应该与N 成反⽐。
r语言核密度估计应用 -回复
r语言核密度估计应用-回复R语言核密度估计应用核密度估计（Kernel Density Estimate，简称KDE）是一种用于估计概率密度函数的非参数方法。
在R语言中，有许多包提供了核密度估计的实现，如density()函数和ksd()函数。
这篇文章将介绍如何使用R语言进行核密度估计，并探索其在数据分析中的应用。
首先，我们需要了解核密度估计的原理。
核密度估计的核心思想是使用核函数来估计概率密度函数。
核函数可以看作是单位面积为1的一个函数，通常是一个钟形曲线。
核密度估计的公式如下：是一个核函数，h是一个平滑参数，n是样本数，xi是样本点。
核密度估计的结果是在每个数据点处的概率密度值。
在R语言中，我们可以使用density()函数进行核密度估计。
density()函数是R中一个常用的用于连续型变量的密度估计函数。
它返回一个包含估计的密度值的向量。
我们可以通过plot()函数将结果可视化。
下面以一个实际的例子来说明如何进行核密度估计。
假设我们有一组表示某个城市人口年龄分布的数据，我们想要估计该城市人口年龄分布的概率密度函数。
首先，我们需要加载数据：R加载数据data <- read.csv("population_age.csv")接下来，我们使用density()函数进行核密度估计，并将结果可视化：R进行核密度估计density_est <- density(dataage)可视化结果plot(density_est, main = "Population Age Distribution",xlab = "Age", ylab = "Density")运行上述代码后，我们将得到类似于城市人口年龄分布的概率密度函数的图像。
非参数估计(完整)ppt课件
中心在原点的 单位超立方体
Parzen窗估计
落入以X为中心的立方体区域的样本数为：
x xi kn i 1 hn X处的密度估计为：
n
n k / n x x 1 1 n i ˆ p x n V n n V i 1 n h n
估计P(x|ω1)即PN(x) x6 0 1 2 x5 x3 x1 x2 3 4
1
x4 5 6
x
( u ) 解：选正态窗函数
12 exp( u ) 2 2
2
| x | | x | 1 1 x x i i ( ) ( u ) ( ) exp[ ] 2 2h h N N
P k 的期望值为： Ek N
对P的估计：
k ˆ P N
当 N 时， 估计是非 常精确的
概率密度估计
假设p(x)是连续的，且R足够小使得p(x)在R内几乎 没有变化。
令R是包含样本点x的一个区域，其体积为V，设有 N个训练样本，其中有k落在区域R中，则可对概率 密度作出一个估计： k ˆ P p x d x p x V P N R
可以验证： p ˆn x 0
ˆ x x1 d p
n
窗函数的要求
Parzen窗估计过程是一个内插过程，样本xi
距离x越近，对概率密度估计的贡献越大，越 远贡献越小。 只要满足如下条件，就可以作为窗函数：
u 0
u 1 u d
窗函数的形式
方窗函数
1 1, | u | (u ) 2 0.其他
非参数统计讲义通用课件
通过实际案例展示如何使用Python进行非 参数统计，包括分布拟合、假设检验和模 型选择等步骤。
SPSS实现
SPSS简介
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences） 是一款流行的社会科学统计 软件。
操作界面
SPSS的非参数统计功能通常 在“分析”菜单下的“非参 数检验”选项中，用户可以 通过直观的界面进行操作。
聚类分析方法在数据挖掘、 市场细分等领域有广泛应用， 可以帮助我们发现数据的内 在结构和模式。
异常值检测方法
• 异常值检测方法用于识别和剔除数据中的异常值，提高数据分析的准确性和可靠性。
• 常见的异常值检测方法包括基于统计的方法、基于距离的方法、基于密度的方等。 • 基于统计的方法利用统计学原理，如z分数、IQR等，判断数据是否为异常值；基于距离的方法通过计算对象与其它对象的距离来判断是否为异常值；基于密度的方法则根据对象周围的密度变化来判断是否
解释性较差
相对于参数统计，非参数统计结果通 常较为抽象，难以直接解释其具体含 义。
假设检验能力较弱
非参数统计在假设检验方面的能力相 对较弱，对于确定性的结论和预测不 如参数统计准确。
如何克服非参数统计的局限性
01
02
03
04
利用高效计算方法
采用并行计算、分布式计算等 高效计算方法，提高非参数统
计的计算效率和准确性。
描述性统计方法在数据分析中起到基 础作用，为后续的统计推断提供数据 基础和初步分析结果。
假设检验方法
假设检验方法是一种统计推断 方法，通过提出假设并对其进
行检验，判断假设是否成立。
假设检验方法包括参数检验和 非参数检验，其中非参数检验 不依赖于总体分布的具体形式，
非参数统计概述课件
对于小样本数据，非参数统计 方法可能无法提供稳定和可靠
的结果。
04
非参数统计与其他统计方 法的比较
与参数统计的比较
非参数统计
不依赖于特定的概率分布模型，灵活 性更强，能适应多种数据类型和分布 。
参数统计
基于特定的概率分布模型，需要对模 型假设进行验证，适用范围相对有限 。
与贝叶斯统计的比较
02
大数据为非参数统计提供了丰富 的数据资源和计算能力，有助于 发现更多隐藏在数据中的信息和 规律，推动非参数统计的发展。
非参数统计与其他学科的交叉研究
非参数统计与计算机科学、数学、物 理学、生物学等学科的交叉研究有助 于拓展非参数统计的应用领域和理论 框架。
不同学科的交叉融合可以促进非参数 统计的创新和发展，推动其在各个领 域的实际应用。
在秩次相关性检验中，变量值被转换为秩次，然后使用秩 次计算相关系数（如Spearman或Kendall秩次相关系数 ）。这种方法适用于非正态分布的数据，且不受数据异常 值的影响。
分布拟合检验
分布拟合检验是一种非参数统计方法，用于检验数据是否符合特定的概率分布。
分布拟合检验通过比较数据的实际分布与理论分布的统计量（如Kolmogorov-Smirnov、 Anderson-Darling等），来评估数据是否符合特定的概率分布。这种方法在统计学中广泛应用于模 型的假设检验和数据的探索分析。
特点
灵活性、稳健性、无分布假设、 适用于多样本数据等。
与参数统计的区别
01
02而参数统计 则依赖于特定的分布假设 。
方法
非参数统计通常采用中位 数、四分位数等统计量， 而参数统计则采用平均数 、方差等统计量。
应用范围
核密度图详解
R语言与非参数统计（核密度估计）背景核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。
原理假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X的概率密度有多大。
核密度估计的方法是这样的：其中K为核密度函数,h为设定的窗宽。
核密度估计的原理其实是很简单的。
在我们对某一事物的概率分布的情况下。
如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而那些离这个数远的数的概率密度会比较小。
基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi)去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。
当然其实也可以用其他对称的函数。
针对每一个观察中出现的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。
如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。
但是核密度的估计并不是，也不能够找到真正的分布函数。
代码作图示例我们可以举一个极端的例子：在R中输入：●[plain]view plaincopyprint?1.plot(density(rep(0, 1000)))可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退化的单点分布。
但是这并不意味着核密度估计是不可取的，至少他可以解决许多模拟中存在的异方差问题。
比如说我们要估计一下下面的一组数据：●[plain]view plaincopyprint?1.set.seed(10)2.dat<-c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgamma(100,shape=10,scale=2))可以看出它是由300个服从gamma（2,2）与100个gamma（10,2）的随机数构成的，他用参数统计的办法是没有办法得到一个好的估计的。
那么我们尝试使用核密度估计：[plain]view plaincopyprint?1.plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))将利用正态核密度与标准密度函数作对比[plain]view plaincopyprint?1.dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){2.a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}3.pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){4.a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}5.curve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")得到下图：（红色的曲线为真实密度曲线）可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计是不成问题的。
R语言与核密度估计
R语言与核密度估计R语言是一种基于S语言开发的开源统计计算和图形分析软件。
它提供了丰富的统计计算函数和图形绘制函数，使得数据分析和可视化非常便捷。
核密度估计是一种非参数统计方法，用于估计概率分布的密度函数。
在R语言中，核密度估计可以使用density(函数实现。
该函数的输入是一个向量，表示需要估计的数据集。
它会返回一个核密度估计结果，包括估计的密度函数值和对应的横轴坐标。
下面我们将通过一个简单的例子来演示如何使用R语言进行核密度估计。
首先，我们生成一个服从正态分布的随机数集合，并将其保存为一个向量。
```data <- rnorm(1000)```然后，我们可以使用density(函数对这个随机数进行核密度估计。
```dens <- density(data)```接下来，我们可以使用plot(函数将估计的密度函数图形化。
```plot(dens, main="Kernel Density Estimation")```运行这段代码后，会弹出一个窗口显示核密度估计的结果图。
在这个例子中，我们使用了默认的核函数和带宽参数。
核函数用于衡量每个数据点对于估计的贡献程度，而带宽参数决定了估计的平滑程度。
如果带宽较小，估计的密度函数会比较尖锐；如果带宽较大，估计的密度函数会比较平滑。
除了默认参数外，density(函数还提供了其他参数，如kernel和bw，可以用于指定核函数和带宽参数的选择。
通过调整这些参数，可以对估计的结果进行进一步的调优。
除了使用单变量数据进行核密度估计外，R语言还支持使用多变量数据进行核密度估计。
在多变量情况下，可以使用kde2d(函数进行估计。
该函数的输入是两个向量，表示需要估计的二维数据集。
它会返回一个二维密度矩阵，表示在不同横纵坐标上的密度估计值。
```x <- rnorm(1000)y <- rnorm(1000)dens2d <- kde2d(x, y)```类似地，我们可以使用persp(函数将二维密度函数图形化。
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我们先来看看窗宽的选择对核密度估计的影响： dfn1<-function(x){ 0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)} par(mfrow=c(2,2)) curve(dfn1(x),from=-6,to=6) data<-c(rnorm(200,3,1),rnorm(200,-3,1)) plot(density(data,bw=8)) plot(density(data,bw=0.8)) plot(density(data,bw=0.08))
其中K为核密度函数, h为设定的窗 宽。
核密度估计的原理其实是很简单的。在我们对某一事物的
概率分布的情况下。 如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率 密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而 那些离这个数远的数的概率密度会比较小。 基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi) 去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。 当然其实也可以用其他对称的函数。针对每一个观察中出现 的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。 如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。
但是核密度的估计并不是，也不能够找到真 正的分布函数。我们可以举一个极端的例子： 在R中输入： plot(density(rep(0, 1000))) 可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际 上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退 化的单点分布。
但是这并不意味着核密度估计是不可取的，
得到下图：
（红色的曲线为真实密度曲线）
可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计 是不成问题的。至少趋势是得到了的。如果换用 gamma分布的核效果无疑会更好，但是遗憾的是r 中并没有提供那么多的核供我们挑选（其实我们知 道核的选择远没有窗宽的选择来得重要），所以也 无需介怀。 R中提供的核：kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular", "triangular", "biweight","cosine", "optcosine")。
我们用上面的两种办法得到的窗宽是多少，他的核 密度估计效果好吗？ 我们还是以上面的混合正态数据为例来看看效果。 使用大拇指法则，将数据n=400,sigma=3.030658, 带入公式，h=0.9685291 使用极大光滑原则，假设K为正态核， R(K)=1/(sqrt(2*pi))，h=1.121023 可以看出他们都比我们认为的h=0.8要大一些，作图 如下：
至少他可以解决许多模拟中存在的异方差问 题。比如说我们要估计一下下面的一组数据： set.seed(10) dat<c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgam ma(100,shape=10,scale=2))
可以看出它是由300个服从gamma（2,2） 与100个gamma（10,2）的随机数构成的， 他用参数统计的办法是没有办法得到一个好 的估计的。那么我们尝试使用核密度估计： plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))
将利用正态核密度与标准密度函数作对比 dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){ a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)} pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){ a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)} curve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")
plot(density(data,bw=0.9685)) plot(density(data,bw=1.1210))
由我们给出的
以Gauss核为例做核密度估计
用Gauss核做核密度估计的R程序如下（还是
使用我们的混合正态密度的例子）：
得到下图，我们可以清楚的看到带宽为0.8恰
好合适，其余的不是拟合不足便是过拟合。
窗宽究竟该如何选择呢？
我们这里不加证明的给出最佳窗宽选择公式：
(这个基于积分均方误差最小的角度得到的) 这里介绍两个可操作的窗宽估计办法：(这两种方法都比较 容易导致过分光滑) 1、 Silverman大拇指法则 这里使用R(phi’’)/sigma^5估计R（f’’），phi代表标准正态密 度函数，得到h的表达式： h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma 2、 极大光滑原则 h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma当然也有比较麻烦的窗宽估计 办法，比如缺一交叉验证，插入法等，可以参阅 《computational statistics》一书
ker.density=function(x,h){ x=sort(x) n=length(x);s=0;t=0;y=0 for(i in 2:n) s[i]=0 for(i in 1:n){ for(j in 1:n) s[i]=s[i]+exp(-((x[i]-x[j])^2)/(2*h*h)) t[i]=s[i] } for(i in 1:n) y[i]=t[i]/(n*h*sqrt(2*pi)) z=complex(re=x,im=y) hist(x,freq=FALSE) lines(z) } ker.density(data,0.8)