二次函数存在性问题2 教师版
理由：①当AC为平行四边形的边时：
MQ∥AC
若M在x轴上方，则MC∥QA，MC=QA
由C（0，2）可知点M的纵坐标为2，
代入抛物线解析式得M1（-2，2）
∴QA=MC=2
由A（-3，0）知Q1（-5，0）
若M在x轴下方，
则四边形MACQ为平行四边形，
则C与M到x轴的距离相等，
由C（0，2）知M的纵坐标为-2，
则MN∥EC，MN=EC
由E（0，6），C（8，6）可知E、C之间的水平距离为8，
∴M、N之间的水平距离也是8
∵点N在抛物线对称轴直线x=4上，
若M在对称轴左侧，则M的横坐标为-4，代入抛物线可得M1（-4，-32）
∴N1（4，-38）
若M在对称轴右侧，则M的横坐标为12，代入抛物线可得M2（12，-32）
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；
当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
1若△BAP∽△AOB，如图1，
可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
代入 ，可知 ，
2若△BAP∽△BOA，如图2，
可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m， ），
2.在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A（-3，0），
B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【1】解：（1）在矩形ABCD中，BC=AO=10，OC=AB=8,
∴N2（4，-26）
②当EC为平行四边形对角线时，MN过EC的中点（4，3）
∵N在直线x=4上，∴直线MN与直线x=4重合，∴M3（4， ）
∴N3（4， ）
综上所述：M、N的坐标为：
M1（-4，-32），N1（4，-38）；
M2（12，-32），N2（4，-26）；
M3（4， ），N3（4， ）
【2】解：（1）将A（-3，0），B（1，0）代入 ，可得：
4.已知抛物线 经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x 3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5.抛物线 与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且 ，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线 经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
①如图1， ， ，令PM=QN，
解得： （舍去）， ；
②如图2， ， ，令PM=QN，
解得： （舍去）， ；
③如图3， ， ，令PM=QN，
解得： ， （舍去）；
④如图4， ， ，令PM=QN，
解得： ， （舍去）；
综上，m的值为 、 、 、 ．
三、随堂检测
1.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点
代入 ，可知 ，
当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
3若△ABP∽△AOB，如图3，
可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），
代入 ，可知 ，
4若△ABP∽△BOA，如图4，
可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m， ），
代入 ，可知 ，
2.解：（1）由抛物线解析式 可得B点坐标（1，3）.
①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．
③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
1画图分析②分类讨论③验证取舍
2、知识梳理+经典例题
二次函数与三角形的相似
1.如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点.若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．
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四、归纳总结
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代入抛物线解析式得M2（ ，-2），M3（ ，-2）
∴Q2（ ，0），Q3（ ，0）
②当AC为平行四边形的对角线时，MQ过AC的中点（ ，1）
∴M在x轴上方，∴MC∥AQ
∴M（-2，2）
由MQ中点（ ，1）可得Q4（-1，0）
综上所述：Q1（-5，0）；Q2（ ，0）；Q3（ ，0）；Q4（-1，0）
由对称性可得此时点P坐标为（1－ , ）
综上所述，P点坐标为（1+ , ），（1－ , ），（1+ , ）或（1－ , ）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8
∴在Rt△OAB中，OA=6
∴A（6，0）
将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，
（2）存在：
如果△AMN与△ACD相似，则 或
3.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
（1）若抛物线 经过A、B两点，则该抛物线的解析式为______________________；
（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.
过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.
则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，
∴矩形DGQF为正方形.
则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.
∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）
可得BQ解析式为y=－x+4.
(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；
∵点A、P纵坐标差为2
∴点M、N纵坐标差为2；
∵点M的纵坐标为0
∴点N的纵坐标为2或-2
①当点N的纵坐标为2时
解：
得
又∵点A、P横坐标差为2
∴点M的坐标为：
、
②当点N的纵坐标为-2时
解：
得
又∵点A、P横坐标差为2
∴点M的坐标为：
、
(2)当AP为平行四边形边对角线时；
则可证△DCM∽△DEN.则 ，
在矩形DMQN中，DN=MQ，
则 .
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.
则在Rt△BCQ中，
∴CQ= BC= ，此时，Q点坐标为（1+ ，0）
则P点横坐标为1+ .代入 可得纵坐标.
∴P（1+ , ）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
2.如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点D的坐标；
（3）P是y轴左侧抛物线上的动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
教学目标
掌握求二次函数存在性问题的基本思路
重点难点
二次函数的存在性问题2
教学内容
目录Contents
上节课回顾:
作业检查+知识点复习
新课：
一、导入
二、知识梳理+经典例题
三、随堂检测
四、归纳总结
五、课后作业
上节课回顾：
一、作业检查情况完成未完成
二、知识点回顾
知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：
若∠ACP=90°，∵∠CDB=∠OAC，易证Rt△APC∽Rt△DCB，符合题意，
∴Rt△AOC∽Rt△ACP，∴ ，∴OP=9，∴P2（9，0）
2当P在y轴上时，
若∠APC=90°，P与O重合，
若∠PAC=90°，∵∠DBC=∠ACO，易证Rt△DCB∽Rt△PAC，符合题意
易证Rt△POA∽Rt△AOC，∴ ，∴OP= ，∴P3（0， ）
2.抛物线 与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴BD= ，
二次函数存在性问题
二次函数存在性问题一、存在三角形：1、如图，已知抛物线y=－x 2+2x+3交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）求点A 、B 、C 的坐标。
（2）若点M 为抛物线的顶点，连接BC 、CM 、BM ，求△BCM 的面积。
（3）连接AC ，在x 轴上是否存在点P 使△ACP 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，直线AC ：1y x =--与抛物线24y ax bx =+-都经过点(1,0)A -、(3,4)B -．（1）求抛物线的解析式；（2） 动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值； （3） 当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使△PCQ 是以PC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在．请说明理由．3、已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。
（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式。
（4分） （2）如图12，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m >0，n >0），连接DP 交BC 于点E 。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标。
（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没 有，请说明理由。
（3分）图11A B O C 图9 yx P E 图12 图13二、 存在四边形：1、如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中CDA Rt AOB Rt ∆≅∆,且)2,0(),0,1(B A -抛物线22-+=ax ax y 经过点C 。
二次函数中的存在性问题
⼆次函数中的存在性问题⼆次函数中的存在性问题存在性问题是指判断满⾜某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖⾯较⼴，综合性较强，题意构思⾮常精巧，解题⽅法灵活，对学⽣分析问题和解决问题的能⼒要求较⾼，是近⼏年来各地中考的“热点”。
这类题⽬解法的⼀般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出⽭盾，就做出“不存在”的判断。
以下⼏篇内容为⼏种典型的⼆次函数中出现的存在性问题，希望⼤家在以后的学习中如果遇到此类型时能够轻松解决。
⼀、特殊三⾓形的存在性问题（⼀）⼆次函数中的等腰三⾓形存在性问题如果△ABC是等腰三⾓形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（⼆）⼆次函数中的直⾓三⾓形存在性问题如果△ABC是直⾓三⾓形，那么存在①∠A为直⾓，②∠B为直⾓，③∠C为直⾓三种情况．因此，解直⾓三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（三）⼆次函数中的等腰直⾓三⾓形存在性问题在解决等腰直⾓三⾓形存在性问题时，往往要⽤到⼏何和代数相结合的⽅法，设出点的坐标后，利⽤等腰直⾓三⾓形的⼏何性质及函数关系式列⽅程求解，最常⽤到的有：①两直⾓边相等，直⾓边与斜边的⽐为1：√2；②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的⼀半。
③直⾓顶点处构造三垂直，得到全等三⾓形，利⽤对应边的等量关系求解。
自己总结很经典二次函数专题存在性问题提高部分老师版
A BO CDP二次函数专题——存在性问题（提高部分）类型一：线段长度 1，（假定抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ）（1）抛物线322--=x x y 的对称轴上是否存在一点P ，使得PC PA -的值最大？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）抛物线342++=x x y 的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 已知抛物线322--=x x y ，在线段BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大? 若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.（4）抛物线822--=x x y 的对称轴上是否存在一点P ，使得△POC 的周长最小？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由.（5）已知抛物线322--=x x y ，直线b kx y +=过点（0，1），交抛物线于M 、N 两点，若线段MN 被y 轴平分？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.（6）已知抛物线122--=x x y ，直线b kx y +=交抛物线于M 、N 两点，分别交x 轴正半轴、y 轴正半轴于P 、Q 两点，问是否存在这样一条直线，使得P 、Q 恰好三等分线段MN ？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.（7）已知抛物线322+--=x x y ，是否存在这样一条直线，使得它与抛物线的两个交点之间的线段恰好被y 轴﹑对称轴三等分？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.y xA BCP O（8）直线y=kx （k>0）与抛物线342+-=x x y 交于M 、N 两点，与直线BC 交于P 点，问是否存在实数k ，恰好使P 为MN 的中点？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由.(9)是否存在与抛物线322--=x x y 上只有唯一公共点B 的直线？若存在，请你求出符合条件的直线解析式；若不存在，请你说明理由.（10）抛物线5322-+=x x y 上是否存在点D 、E ，使AO 恰为△ADE 的中线？若存在，请求出△ADE 的面积；若不存在，请说明理由. 解：（11）是否存在过点D （0，-1）的直线与抛物线322++-=x x y 的两个交点M 、N 满足41=ND MD ，若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由.2，如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式及直线AC 的解析式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作x 轴的垂线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由 (1) y=x 2-2x-3．直线AC 的函数解析式是y=-x-1．3.（2011东莞）如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.4，（2010四川眉山）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．类型二：面积问题5，（2010重庆江津）如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．6，（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B AC yx A xy BO7，（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．8，（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.9，（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出x CO yA B D1 1 图2 CEDG Axy OB F点G 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三：特殊三角形 10，（2010四川乐山）如图所示，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？11，（2009甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图1，抛物线y ＝x 2－2x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k ＝_____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________； （2）设抛物线y ＝x 2－2x ＋k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y ＝x 2－2x ＋k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．y y y12，（2009辽宁省）如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C （0，4），其中x 1，x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型四：相似三角形13，（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．BAy O PE C x14，（2009辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－x ＋3（a ≠0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线x ＝－2． （1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△P AD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．15，（山东省德州市（德城））如图，已知抛物线y ＝x 2－1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．y xO C BAD 图1y xOC B AD图2类型五：线段求和16，（2009山东省菏泽市）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)、C (5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．17，（2011广东深圳）如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线M N ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.O yxAB C A B OP C x y18，（2011福州） 已知,如图11,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l :333y x =+对称.(1)求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; (2)求二次函数解析式;(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.类型六：内心19、已知抛物线：223y x x =--，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点CA B K H x y O l 图11 A B K Hxy O l 备用图11 y xF C BA O E D（1）在抛物线上是否存在点P ，使得△PAC 的内心在y 轴上？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.（2)在抛物线上是否存在点P ，使得△PAC 的内心在y 轴左侧？若存在，求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PAC 的内心在第三象限？若存在，求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.20、在抛物线223y x x =--上是否存在点M ，使得△PAC 的内心在x 轴的下方？若存在，请求出M 点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.另附：2007年样卷最后一题21，如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =3.（1）在AB 边上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求点D 、E 的坐标；（2）若过点D 、E 的抛物线与x 轴相交于点F （-5，0），求抛物线的解析式和对称轴的方程；（3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，在抛物线上是否存在点P ，使△PFH 的内心在坐标轴上？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，点Q 在线段OD 上移动，作直线HQ .当点Q 移动到什么位置时，O 、D 两点到直线HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点Q 的坐标及直线HQ 的解析式.。
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】(人教版)(原卷版)
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 (1)【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 (3)【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 (5)【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 (7)【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】 (9)【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 (11)【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】 (13)【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】 (15)【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−√36x2+2√33x+2√3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-2】（2022秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠P AB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B （4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2022秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正x2+3x+k交y 半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=−34轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△P AB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C （0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y 轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接P A，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是；（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y＝﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为6；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q的坐标为；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N 为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，x﹣4．且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒√2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC 于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、x2+bx+c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．C的抛物线C：y=12（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．（1）求二次函数的表达式．EF，求此时点P的坐标．（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接F A，FB．（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为；（3）求四边形F AOB面积的最大值及此时点F的坐标．（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．B(1，−94（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【变式7-2】（2022秋•南宁期中）如图，抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），点P是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上第一象限除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；（3）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【变式7-3】（2022•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】【例8】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．，0），B（3，【变式8-1】（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−127）两点，与y轴交于点C．2（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）【变式8-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=−13两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)
中考压轴题解析二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题例1】已知抛物线y ax2 bx 3与 x轴分别交于A( 3,0)，B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．2)点 F 是线段 AD 上一个动点．1AD .2ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．变式1-1】如图，抛物线y ax2 2x c经过A( 1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3) ，抛物线与直线y x 1交于A，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)P点在x轴上且位于点B 的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐AF①如图 1，设k ，当 k 为何值时，CFAD1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；标．1【变式1-2】如图，已知抛物线y m（x 2）（x m）（m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 .（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .考点 2】二次函数与直角三角形问题BC交于点D，连接AC 、AD ，求VACD的面积；3 点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E使VDEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．例2】如图，抛物线y ax2bx c a 0的顶点坐标为2, 1 ，图象与y 轴交于点C 0,3 ，与x轴2 设抛物线对称轴与直线【变式2-1】如图，经过x 轴上A（ 1，0）， B（3，0）两点的抛物线y m（x 1）2 4m （m 0）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙ G 经过点C ，求解下列问题：1）用含m的代数式表示出C，D 的坐标；2）求抛物线的解析式；3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ 为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。
中考专题4二次函数存在性问题教师版
特殊三角形、四边形存在性： A
1. 等腰三角形：
① 表示出点的坐标；
② 表示出线段平方；
B
③ 分类讨论：按照腰分类；
2. 直角三角形：
① 表示出点的坐标；
② 表示出线段平方；
③ 分类讨论：按照斜边分类，利用勾股定理列方程；
3. 平行四边形：
A
按照边或者对角形分类 B
C
D C
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本专题的例题分为 A、B 两组．A 组中，我们重点讲解一下铅垂法的相关练习；B 组中， 我们分析了“直角三角形、等腰三角形、平行四边形”存在性问题的解题思路，依次展开，需 要同学们自己加以练习．将计算过程，踏实算一遍，再核对．
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3．如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，﹣3），B（5，12），已知抛物线的顶点 D 的横 坐标是 1． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出 这个最大值．
4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+2 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴 于点 D，直线 BC 经过 B，C 两点，已知 A（﹣1，0），B（4，0） （1）求抛物线和直线 BC 的函数解析式； （2）点 F 是线段 BC 上方抛物线上一个动点，过点 F 作 x 轴的垂线与直线 BC 相交于点 E，交 x 轴于点 M． ①当点 F 运动到什么位置时，线段 FE 有最大值，请求出线段 FE 的最大值及 F 点坐标； ②当点 F 运动到什么位置时，四边形 CDBF 有最大面积？求出四边形 CDBF 的最大面积 及此时 E 点的坐标；
yF
=
yP
=3． 4
专题02 二次函数中的直角三角形存在性问题(老师版)
专题02 二次函数中的直角三角形存在性问题【模型解读】【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：【构造三垂直】求法相同，以为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．12C C 、2C 故C 2坐标为（132，0）代入得：BN =32AMBN=MB NC 2由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3△易证AMB ∽△BNC 234C C 、3C 故a =1或3设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C 3NB ，由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AMC 3N =MC 3N B代入得：1b =a3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）【代数法】表示线段构勾股还剩下待求，不妨来求下：（1）表示点：设坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：，，；（3）分类讨论：当为直角时，；（4）代入得方程：，解得：．还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线与AB 互相垂直，，可得：，又直线过点A （1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x 轴交点坐标为，即坐标为．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A 、B 、C 坐标；（2）表示线段AB 、AC 、BC ；（3）分类讨论①AB²+AC²=BC ²、②AB²+BC²=AC ²、③AC²+BC²=AB ²；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．1C 1C1C AB =1AC =1BC =1BAC ∠22211AB AC BC +=()()2222201153m m +-+=-+32m =1AC 11AC AB k k ⋅=-12AC k =-1AC 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1C 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【模型实例】1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．2．如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+10中，令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5，∴A（5，0），B（0，10），∵点C是OB中点，∴C（0，5），将A和C代入抛物线y＝x2+bx+c中，，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5；（2）抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5，∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，设点P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，当点A为直角顶点时，BP2＝AB2+AP2，解得：n＝或5（舍），当点B为直角顶点时，AP2＝AB2+BP2，解得：n＝或，而抛物线对称轴为直线x＝3，则3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或．3．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0），∴解得：，∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，设点P坐标为（0，p），∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2，①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2，∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，解得：p＝﹣，∴P（0，﹣）．②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2，∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，解得：p1＝1，p2＝3，∴P（0，1）或（0，3）．③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2，∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，解得：p＝，∴P（0，）．综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．4．已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴AM＝3﹣t，AN＝t．∵△AMN为直角三角形，∠MAN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．当∠ANM＝90°时，有AM＝AN，即3﹣t＝2t，解得：t＝1；当∠AMN＝90°时，有t﹣3＝﹣t，解得：t＝．综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．5．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y＝，∵过点B的直线y＝kx+，∴代入（1，0），得：k＝﹣，∴BD解析式为y＝﹣；（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴＝，即＝，解得t＝，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得＝，即＝，解得：t＝；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴＝，即＝，解得：t＝，∴t的值为、、．6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为 （1，0） ，点D的坐标为 （2，﹣1） ，抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3 ；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，∴9﹣12+c＝0，∴c＝3，∴y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0，∴x＝3或x＝1，∴A（1，0），∵D是抛物线的顶点，∴D（2，﹣1），故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）当m+2＜2时，即m＜0，此时当x＝m+2时，y有最小值，则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，解得m＝，∴m＝﹣；当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，则m2﹣4m+3＝，解得m＝或m＝，∴m＝；当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；综上所述：m的值为或﹣；（3）存在，理由如下：A（1，0），C（0，3），∴AC＝，AC的中点为E（，），设P（2，t），∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，∴PE＝AC，∴＝，∴t＝2或t＝1，∴P（2，2）或P（2，1），∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．7．抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF 的面积；【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，解得m＝﹣3（舍去）或2，则△DEF的面积＝m2＝4；8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q（﹣t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，∴t2﹣3t＝±t，解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，∴M1（，﹣），Q1（﹣，﹣）；M2（，），Q2（﹣，）；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，），∴Q（，），∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M1（，），Q1（﹣，）；M2（，﹣），Q2（﹣，﹣）；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），则，解得：；（2）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，又OE＝3﹣t，∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，解得：t＝或（舍），∴M点的坐标为（，）．10．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F1：y＝a（x﹣）2+中得：0＝a（﹣﹣）2+，解得：a＝﹣，∴抛物线F1：y＝﹣（x﹣）2+；（2）①由平移得：抛物线F2：y＝﹣（x﹣+1）2+﹣3，∴y＝﹣（x+）2+，∴﹣（x+）2+＝﹣（x﹣）2+，﹣x＝，解得：x＝﹣1，∴D（﹣1，1）；②当x＝0时，y＝﹣＝4，∴C（0，4），当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，解得：x＝﹣或2，∴B（2，0），∵D（﹣1，1），∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，BC2＝22+42＝20，∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，∴△BDC是等腰直角三角形；（3）存在，设P（m，﹣），∵B（2，0），D（﹣1，1），∴BD2＝（2+1）2+12＝10，，，分三种情况：①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，即10+（m﹣2）2+[﹣]2＝（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2，解得：m＝﹣4或1，当m＝﹣4时，BD＝，PB＝＝6，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，当m＝1时，BD＝，PB＝＝，∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，∴P（1，﹣3）；②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，即10+（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2＝（m﹣2）2+[﹣]2，解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，当m＝﹣2时，BD＝，PD＝＝，∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，∴P（﹣2，﹣2）；③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；综上，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．。
(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
二次函数中的存在性问题姓名1 .已知抛物线y=-jx2等X-3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得4ACD 的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知y=ax2+bx+c (a加)图象与直线y=kx+4相交于A (1, m) , B (4, 8)两点，与x轴交于原点及点C. (1)求直线和抛物线解析式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S AOCD=2S AOAB?如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由.3 .已知直线y==x-3与x轴交于点A ,与y轴交于点C,抛物线y= --^x2+mx+n经过点A和点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得4ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在,4 .在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，过点A的直线y=kx+1交抛物线于点 C (2, 3).(1)求直线AC及抛物线的解析式；(2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E,以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90彳导到直线1,设直线1与y轴的交点为P,求△ APE的面积；(3)若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F,使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.5 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线广2交x轴于A, B两点(A 在B的左侧)，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线的顶点及对称轴；(3)若点Q是抛物线对称轴上的一动点，说明理由；(4)若点P是直线BC上方的一个动点, 的面积；若不存在，说明理由.线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在,△ PBC的面积是否存在最大值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,求出点P的坐标及此时4PBC1 .已知抛物线y=—:\2+匪x ― 3与x轴交于A , B两点，2 .与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在3 . 一点D,使得4ACD的面积最大？若存在，求出点D4 .的坐标；若不存在，请说明理由.牛目, 解：对于抛物线y= - -x2+—x - 3,4 4令y=0 ,得到--x2+i^x- 3=0, [4 4解得：x=1或x=4 ,B (1, 0), A (4, 0),令x=0,得至ij y= - 3,即 C (0, - 3), 设直线AC解析式为y=kx+b ,将A与C坐标代入得：]业上0 , 1b=-3解得：k=工，b= - 3,4・•・直线AC解析式为y=Wx-3,4设平行于直线AC,且与抛物线只有一个交点的直线方程为y/x+m,4此时直线与抛物线交于点D,使得4ACD的面积最大，与二次函数解析式联立消去y得：-总x2+"x - 3=^x+m ,4 4 4整理得：3x2- 12x+4m+12=0 ,A=144 - 12 (4m+12) =0,解得：m=0,，此时直线万程为y=^x,点D坐标为(2,―).4 42. (2008?宁波校级自主招生)已知y=ax2+bx+c (a沟)图象与直线y=kx+4相交于A (1, m), B (4, 8)两点, 与x轴交于原点及点 C.(1)求直线和抛物线解析式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S AOCD=2S AOAB?如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由.解答：解：(1) 丁直线y=kx+4 过 A (1, m), B (4, 8)两点,金-Iy= - x2+6x；(2)存在.设D点纵坐标为h (h>0),由O (0, 0), A (1, 5), B (4, 8),可知S AOAB=6,把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得c=0S A OCD =2S AOAB =12, —>6><h=12,解得 h=4, 2由-x 2+6x=4 ,得 x=3 父 5,•••D (3+、闻 4)或(3-V5, 4).3. (2014春？昌平区期末)已知直线 y=Cx-3与x 轴交于点A,与y 轴交于点4点A 和点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线CA 上方的抛物线上是否存在点 D,使得4ACD 的面积 最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由.—3得y= - 3,则C 点坐标为(0, — 3), -3=0,解得x=4 ,则A 点坐标为(4, 0),把 A (4, 0), C (0, - 3)代入 y=--？x 2+mx+n 得4k=-7,即 y=—x+b ,4 412x+4b+12=0 ,.・・△=122-4MX (4b+12) =0,解得 b=0, 3x 2 - 12x+12=0 ,解得 x 1=x 2=2, 把 x=2 , b=0 代入 y=—x+b 得 y=—,4 2D 点坐标为(2, -1).4. (2010?孝感模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y= - x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，过点A 的直线y=kx+1交抛物线于点 C (2, 3).(1)求直线AC 及抛物线的解析式； (2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点 E,以点E 为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90彳导到直线1,设直线l 与y 轴的交点为P,求△ APE 的面积；解答:解得15n= - 3所以二次函数解析式为 y=- ±x 2+¥x - 3;4 4(2)存在.过D 点作直线AC 的平行线y=kx+b ,当直线y=kx+b 与抛物线只有一个公共点时，点 大，此时4ACD 的面积最大， D 到AC 的距离最直线AC 的解析式为y3 「x — 3,4由直线y=—x+b 和抛物线y=-x - 3组成方程组得y=-/+b厂「¥苧一3,消去y 得至iJ 3x 2-解：(1)把x=0代入把 y=0 代入 y=-^x —3 4经过(3)若G 为抛物线上一点，是否存在 x 轴上的点F,使以B 、E 、F 、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在, 直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 解答： 解：(1) 丁点C (2, 3)在直线y=kx+1上,，2k+1=3 .解得k=1.直线AC 的解析式为y=x+1 . •・•点A 在x 轴上，A (T, 0).,「抛物线 y= -x 2+bx+c 过点 A 、C,I - 4f2b+c=3解得抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . (2)由 y= - x 2+2x+3= - (x-1)2+4, 可得抛物线的对称轴为 x=1, B (3, 0). • . E (1, 2).根据题意，知点 A 旋转到点B 处，直线l 过点B 、E. 设直线l 的解析式为y=mx+n . 将B 、E 的坐标代入y=mx+n 中， 联立可得m= - 1, n=3. 直线l 的解析式为y= - x+3. P (0, 3).过点E 作ED^x 轴于点D.••• S APA E=S APAB - S AEAB =±AB ?PO -4AB?ED=± MX (3-2) =2.2 2 2(3)存在，点F 的坐标分别为(3-死，0), (3+,万，0), (- 1-右，0) (- 1+/6, 0).在B 的左侧)，交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式； (2)求抛物线的顶点及对称轴；5. (2013秋?红安县校级月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=+4工十2交x 轴于A , B 两点(A考点：二次函数综合题. 专题：压轴题.分析：(1)令y=0,解关于x 的一元二次方程求出点 B 的坐标，令x=0求出点C 的坐标，设直线 BC 的解析式 为y=kx+b ,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；(3)根据轴对称确定最短路线问题，直线 BC 与对称轴的交点即为使线段 AQ+CQ 最小的点Q,然后利 用直线解析式求解即可；(4)过点P 作PD// y 轴与BC 相交于点D,根据抛物线解析式与直线BC 的解析式表示出 PD,再根据S APBC =S APCD +S APBD 列式整理，然后利用二次函数最值问题解答. 解答： 解：(1)令 y=0,贝u― -^x 2+4x+2=0 ,3 3整理得，x 2 - 2x - 3=0 , 解得 x i = - 1, x 2=3,所以，点B 的坐标为(3, 0), 令 x=0 ,则 y=2,所以，点C 的坐标为(0, 2),设直线BC 的解析式为y=kx+b ,则｛:"仁。
中考数学二次函数角度的存在性问题(教师版)
第2 讲：角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系两点，与y 轴交于点C（0, 2）；1）求抛物线的表达式；2）求证：CAO BCO ；3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ，求直线CP的表达式．1 2 5 4参考答案】（1）y x2x 2 ；（ 2）证明略；（ 3）y x 2或y 2 ．2 2 3思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（ 2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（ 3）题先把 3个角的关系，转化为∠ PCB＝∠ 2，再按点 P与 CB的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与 x轴交于 A（1, 0）、 B（4, 0）两点，所以 y＝a（x－1）（x－4）．代入点 C（0, 2），得a 1．2所以抛物线的表达式为y 1（x 1）（x 4）＝1 x2 5x 2．2 2 22）如图 2，tan∠CAO＝OC＝2．如图 3，tan∠BCO＝OB＝4＝2，所以∠ CAO ＝∠ BCO ．xOy 中，抛物线y ax2bx c与x 轴交于A(1,0) 、B(4,0)（3）如图 2，图 3，由于∠ CAO ＝∠ BCO ，根据等角的余角相等，得∠ 1＝∠2． 因为∠ PCB ＋∠ ACB ＝∠ BCO ，所以∠ PCB ＝∠ BCO －∠ ACB ＝∠ 1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况：7 10P （73,190） ． 例 2】已知在直角坐标系中，抛物线 y ax交 x 轴于点 B ，点 P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧； 1）当 AB BD 时（如图），求抛物线的表达式；2）在第（ 1）小题的条件下，当 DP ∥ AB 时，求点 P 的坐标；13）点 G 在对称轴 BD 上，且 AGB ABD ，求△ ABG 的面积．2①如图 4，当点 P 在CB 的右侧时，由∠ PCB ＝＝∠ 2，得 CP//x 轴． 此时直线 CP 的解析式为 y ＝ 2．②如图 5，当点 P 在 CB 的左侧时，设 CP 与x 轴交于点 D ． 由∠ PCB ＝∠ 2，得 DC ＝DB ．33x 3．所以 D (3,0) ．22考点伸展如果第（ 3）题的条件不变，求点 P 的坐标．第一种情形，如图 4，当 CP//x 轴时，点 C 关于抛物线的对称轴 5x 5对称，所以 P(5,2) ．第二种情形，如图 6，设 P （x,1x 2 5x 2）．22 3 2作 PE⊥y 轴于 E ，那么ODCO CO ．所以CE21 25 2 (2 x 22x 2)解得 x ＝ 0，或 x 7．所以228ax 3 （a 0） 与 y 轴交于点 A ，顶点为 D ，其参考答案】 1) y1x 2 x 3 ；(2) (10, 1) ；(3)82设 D （x, 0），根据 DC 2＝DB 2，列方程 x 2＋22＝ （4－ x ）2．解得思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B）和点 A 的坐标，根据 AB＝ BD 求出点 D 的坐标，再代入解析式求待定系数 a ．2．看着 1∠ ABD ，结合 BA ＝ BD ，不由得让人联想起“三线合一” ．23．以∠ ABD 为外角，构造等腰三角形 BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ ABD ＝2∠ AGB ． 4．根据对称性，∠ AGB 的顶点 G 存在两种情况．满分解答由 y ＝ax 2－8ax ＋3，可得 A(0, 3)，抛物线的对称轴为直线 x ＝4． B(4, 0)， AB ＝ 5．当 BD ＝ AB ＝ 5时， D(4, 5)．考点伸展(1) 所以 将点 D (4, 5)代入 y ＝ax 2－8ax ＋3，得1a 1 ．所以8y 1 x 2x 3 ． 82) 如图 2，作 PE ⊥ BD 于 E ． 设点 P 的坐标为 (x, 1x 28OA OB当 DP //AB 时， ED EP 所以 ED3EP ．x 3) ．解方程 5 ( 1x 2x 3) 3(x 4)， 84整理，得 x 2－14x ＋ 40＝0． 所以 x ＝10，或 x ＝4(与点 D 重合，舍去) ．所以 P (10,1) ．2(3)如图 3，在 DB 的延长线上截取 BG ＝BA ＝ 5，那么∠ AGB＝∠1 又因为∠ABD ＝∠ AGB ＋∠ BAG ，所以此时∠ AGB ＝ ∠ABD ．2BAG ． 此时 如S △ABG ＝ 10．4，作 AH⊥BD 于H ，点 G 关于直线 AH 的对称点为G′， BG′＝BH＋ G′H＝11．此时 S △那么 G ′H ＝GH ＝8． 图5图3图4第( 3)题也可以从∠ ABD 的平分线开始思考： 如图 5，作∠ ABD 的平分线与 y 轴交于点 C ．因为∠ 1＝∠ 2，∠ 1＝∠ C ，所以∠ 2＝∠ C ．所以 AC ＝ AB ＝ 5．过点 A 作 BC 的平行线交抛物线的对称轴于点 G ，那么四边形 CAGB 是平行四边形．1所以∠ 1＝∠ G ，BG ＝ AC ＝ 5．所以∠ AGB ＝ ∠ ABD ．此时 S △ABG ＝10．2求点 G ′的过程同上．【例 3】在平面直角坐标系中，抛物线 y 3x 2bx c 与y 轴角于点 A(0,3) ，与 x 轴的正半轴交于点5B(5,0) ，点 D 在线段 OB 上，且 OD 1，联结 AD 、将线段 AD 绕着点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE过点 E 作直线 l x 轴，垂足为 H ，交抛物线于点 F ． ( 1)求这条抛物线的解析式； ( 2)联结 DF ，求 cot EDF 的值；( 3)点 G 在直线 l 上，且 EDG 45 ，求点 G 的坐标．满分解答由 D(1, 0)、 F(4, 3)、E(4, 1)，可得∠ DFE ＝45°，DF ＝3 2 ，EF ＝2．参考答案： 1)32 x 5 12x32) cot EDF3) E (4,6)或(4, 3)．3x 轴交于点 B(5, 0)，设 y (x 5)(x m) ，53 3 2 121．所以 y (x 5)(x 1) x 2 x 3 ．5 5 5(2)如图 2，由△ AOD ≌△ DHE ，得 DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以 E(4,1)．1) 因为抛物线与代入点 A(0, 3)， 得－ 3m ＝ 3 ．所以 m ＝－如图 3，作 EM⊥DF 于 M，那么 EM＝FM＝2 ．在 Rt△DEM 中，EM＝2，DM＝DF－FM＝2 2 ，所以 DE＝10．所以cos∠EDF ＝DM＝ 2 2＝ 2 5DE 10 52图(3)符合条件的点 G 有两个：①如图 4，当点 G在 DE 上方时，所以 ED2＝EF·EG．所以 10＝2EG．②如图 5，当 G′在DE下方时，△ GDG ′是直角三角形．此时 DH2＝HG·HG′．所以9＝ 6HG ′．所以 HG′＝3．此时G′(4, 3)．由∠EDG＝∠ EFD ＝ 45°，∠ DEG是公共角，可得△ EDG ∽△EFG ．所以 EG＝5．此时 G(4, 6)．x例4】已知顶点为A（2, 1）的抛物线经过点B（0,3），与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）； 1）求这条抛物线的表达式；2）联结AB 、BD 、DA ，求△ ABD 的面积；3）点P在x轴正半轴上，如果A PB 45 ，求点P的坐标．参考答案：（ 1）y x24x 3 ；（2）3；（3）（3 6,0）．满分解答（1）设抛物线的顶点式为 y＝a（x－2）2－1，代入点 B（0, 3），得 a＝1．所以这条抛物线的解析式为 y＝（x－2）2－1＝ x2－ 4x＋3．（2）由 y＝ x2－ 4x＋ 3＝（x－ 1）（x－ 3），得 C（1, 0）， D（3, 0）．如图 2，由 A（2,－1）、B（0, 3）、D（3, 0），可得∠ BDO ＝ 45°，∠ ADO＝45°， BD＝3 2，AD＝2．所以 S△ABD ＝1AD BD ＝12 3 2 ＝ 3．22（3）如图 3，以 AB 为斜边构造等腰直角三角形 GAB，以 G 为圆心、 GB 为半径画圆，与 x 轴交于点 P（圆与 x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB＝ 45°．如图 4，由△ BMG≌△ GNA，得 BM＝GN，MG＝NA．设 G（m, n），那么 m＝n＋1，3－n＝m－2．解得 m＝3，n＝2．所以 G（3, 2）．设 P（x, 0）．根据 GB2＝GP2，列方程 32＋12＝（x－3）2＋ 22．解得（3 6,0），或（3 6,0）（这是圆与 x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠ APB＝135°）．所以点P 的坐标为（3 6,0）．【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】 因为∠ BDO ＝ 45°＝∠ 1＋∠ 3，∠ APB ＝45°＝∠ 2＋∠ 3，∠ ADO ＝45°＝∠ 2＋∠4， 所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠ 4．所以△ PBD ∽△ APD ．所以 DP DA．于是DP 2＝DA ·DB ＝ 2 3 2 ＝6．DB DP所以DP ＝ 6，OP ＝3 6 ．所以P （36,0） ．【例 5】已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 2 mx n 的图像经过点 A（3,0） ， 且与 y 轴相交于点 C ；（ 1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点 D 的坐标； （ 2）求 CAD 的正弦值；（3）设点 P 在线段 DC 的延长线上，且 PAO CAD ，求点 P 的坐标．图2 图3 图4B(m,m 1) ，图2图3Ox2 9 3m n 0 1）将 A （3,0）、B （m, m ＋1）两点分别代入 y ＝－ x 2＋ mx ＋ n ，得n m 1.解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－ x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4．所以C （0, 3），顶点 D （1, 4）． （2）如图 2，作 DE ⊥y 轴于 E ．由A(3, 0)、C(0, 3)、 D(1, 4)，可得∠ ACO ＝∠DCE ＝45°，AC ＝ 3 2，DC＝ 2．所以∠ ACD ＝ 90°．所以 AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以 AD ＝2 5． 所以tan ∠CAD ＝ DC＝ 2＝1，sin ∠CAD ＝ DC＝ 2＝ 10．AC 3 2 3 AD 2 5 10（3）直线 CD 的解析式为 y ＝ x ＋ 3，于是可设 P （x, x ＋ 3）． 作PH ⊥x 轴于H ，当∠ PAO ＝∠ CAD 时，由 tan ∠PAO ＝tan ∠CAD ，得 PH 1．AH 3①当P 在x 轴上方时，x 3 1．解得 x 3．此时 P （ 3,3）（如图 2所示）．3 x 3 2 2 2 ②当P 在x 轴下方时， （x 3） 1．解得x ＝－ 6．此时 P （－6,－3）（如图3所示）．参考答案：（1） y x 22x 3，顶点 （1,4） ；满分解答2) 10 ；10333)( 23,32)，( 6, 3)．图2图3【例 6】 如图，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴相交于点 A （-1,0） 和点 B ，与 y 轴相交于点 C （0,3），抛物线的顶点为点 D ，联结 AC 、BC 、DB 、DC ． （ 1）求这条抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （ 2）求证： △ACO ∽△DBC ；（ 3）如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠ BCE= ∠ ACO，求点 E 的坐标 ．满分解答（1）由抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与 x 轴相交于点 A （－1, 0），设 y ＝－（x ＋1）（x －m ）． 代入点 C （0, 3） ，得 m ＝ 3．所以 y ＝－ （x ＋1）（x －3）＝－（x 2－2x －3）＝－x 2＋2x ＋3＝－ （x －1）2＋4． 所以点 B 的坐标为 （3, 0），顶点 D 的坐标为 （1, 4） ．（2）如图 2，由 B （3, 0）、C （0, 3）、D （1, 4），可知 B 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D两点间的水平距离、竖直距离都是 1．因此 BC 、DC 与 y 轴的夹角都是 45°．tan ∠DBC ＝ DC＝ 2＝ 1． BC 3 2 3由 A(－1, 0)、 C(0, 3)，得 OA ＝1， OC ＝ 3，所以 tan ∠ACO ＝ OC 所以∠ ACO ＝∠ DBC ．所以△ ACO ∽△ DBC ．（3）设 CE 与 BD 交于点 G ．由∠ BCE ＝∠ ACO ＝∠ DBC ，得 GB ＝ GC ． 于是可得 CG 是 Rt △DBC 斜边上的中线，点 G 是 BD 的中点．所以 G （2, 2）．所以∠ BCD ＝ 90°，2）略；x3)E(6,0) ．2达标检测【 1】如图，抛物线y ax2bx 5( a 0)经过点A(4, 5) ，与x轴的负半轴交于点B，与y 轴交于点C ，且OC 5OB ，抛物线的顶点为D ．( 1)求这条抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、CD、DA ，求四边形ABCD的面积；( 3)如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO A BC ，求点E 的坐标．参考答案】解： ( 1)∵抛物线y ax2bx 5与y 轴交于点C，∴C(0, 5)，∴ OC5．∵OC 5OB，∴OB 1．又点B在x轴的负半轴上，∴B( 1,0)．∵抛物线经过点A(4, 5)和点B( 1,0) ，16a 4b 5 5 a 1 2∴ ，解得．∴这条抛物线的表达式为y x24x 5 ．a b 5 0 b 4(2)由y x24x 5，得顶点D 的坐标是(2, 9)．联结AC ．∵点A的坐标是(4, 5) ，点C的坐标是(0, 5)，11又S ABC 2 4 5 10，S ACD 2 4 4 8，∴ S四边形ABCD S ABC S ACD 18．3)过点C作CH AB ，垂足为点H ．15216∵S ABC 1AB CH 10， AB 5 2， ∴CH 2 2．2在 Rt BCH 中， BHC 90 ， BC 26 ， BH BC 2 CH 2 3 2 ；∴ tan CBHC B H H23．在 Rt BOE 中， BOE 90 ， tan BEOBO，EO，∵ BEO ABC ，BO EO 2，得 EO 3∴点 E 的坐标为 (0, 3)．2】如图，抛物线 y=x 2+bx+5与x 轴交于点 A 与 B （5,0） 点，与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为点 P ． 1）求抛物线的表达式并写出顶点 P 的坐标；2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D ，若 ?ABD ? ABP ，试求点 D 的坐标； 3）设在直线 BC 下方的抛物线上有一点 Q ，若S DBCQ = 15 ，试写出点 Q 坐标．满分解答（1）将点 B （5, 0）代入 y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得 b ＝－ 6． 所以 y ＝x 2－6x ＋5＝－（x －3）2－4，顶点 P 的坐标为 （3,－4）．2）如图 2，作 DN ⊥x 轴于 N ．设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ． 由 tan ∠ABD ＝ tan∠ ABP，得DN PMBN BM2x 26x 5 4参考答案： （ 1） y x 26x 5 ， P （3, 4） ； 2) D( 1,12) ； (3) Q(2, 3)或(3, 4)．2．5 x 23）由 B （5, 0）、C （0, 5），可知 BC ＝5 2，直线 BC 与 x 轴负半轴的夹角为 45°设点 D 的坐标为 （x, x 2－ 6x ＋ 5），那么图3设BC 边上的高为 h ，那么 S △BCQ＝ 15 2h ＝15．解得 h 3 2 ．2如图3，设y 轴上点 C 下方的点 G 到直线BC 的距离GH ＝ 3 2，那么 CG ＝6，G （0,－1）．练习 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax 2 bx 1经过点 A （2, 1） ，它的对称轴与 x 轴 相交于点 B ；（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）如果直线 y x 1与此抛物线的 对称轴交于点 C 、与抛物 线在对称轴右 侧交于点 D ，且 BDC ACB ，求此抛物线的表达式．过点 G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点 Q ，这条直线为 y ＝－ x － 1．解方程组y2x 1, 得x 2,或x 3,y x 26x 5, y3, y4.所以 Q （2,－3）或（3,－4）．5 10参考答案】(1)B(1,0)；(2) y 53x2 130x 1．满分解答1)将点 A(2,－1)代入 y＝ax2＋bx－1，得 1－＝ 4a＋ 2b－1．所以 b＝－ 2a．抛物线的对称轴 x＝b＝2a＝1．所以点 B 的坐标为 (1, 0)．2a 2a(2)如图 2，由 y＝x＋ 1，得 C(1, 2)．所以 BC＝2．由A(2,－1)、B(1, 0)，得BA 2 ，∠ 2＝45°因为直线 y＝x＋1 与坐标轴的夹角为 45°，由此可知∠ 1＝ 45°．所以∠ 1＝∠ 2．根据等角的邻补角相等，可知∠ DCB＝∠ CBA．当∠ BDC＝∠ ACB时，△ DCB ∽△ CBA．所以DC CB，即CB BA 所以DC 2 2 ．因此 D、C 两点间的水平距离、竖直距离都是将点 D(3, 4)代入 y＝ax2－2ax－1，得 4＝9a－6a－1．解得所以抛物线的表达式是y 5x2 10 x 1．33DC 2．2 2．2．所以 D(3, 4)．。
二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)
中考压轴题解析 二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：，的坐标；（1）用含m的代数式表示出C D（2）求抛物线的解析式；△为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理（3）能否在抛物线上找到一点Q，使BDQ由。