经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)第二章_习题解答
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论第三版第2章答案详解
第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1)()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -. (2)0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是
P ( X k ) p (1 p ) k 1 ，
所以 X 的分布律为 P ( X k ) p (1 p ) k 1 ， k 1,2, ． (2) Y 的所有可能取值为 0，1，2，…， k ，…，于是
Y 的分布律为 P (Y k ) p (1 p ) k 1 ， k 0,1,2, ．
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ， X 的分布律为 X P
1000000 0.16
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
由题知， { X k} A B ， AB ，则
P ( A) p k 1 (1 p ) ， P ( B ) (1 p ) k 1 p ， P ( X k ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ，
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
吴赣昌编 《概率论与数理统计》(经管类三版) 第二章
吴赣昌经管类三版复习提要及课后习题解答习题2-2题型一：求随机变量的分布律、分布律的性质应用、由分布律求概率（题1-7）1. 设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，求λ，(1)P X ≥=2(03)P X <<=.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2、设随机变量的分布律为{}(1,2,3,4,5)15kP X k k ===，求（1）15{}22P X <<；（2）{13}P X ≤≤；（3）{3}P X > 解：由分布律的性质51{}1k P X k ===∑，得（1）15121{}{1}{2}2215155P X P x x <<==+==+=（2）312{13}155k k P X =≤≤==∑（3）3{3}1{3}1{13}5P X P X P X >=-≤=-≤≤=3、已知X 只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为1357,,,24816c c c c，求常数c ，并计算{1|0}P X X <≠。
解：由分布律的性质有1357124816c c c c+++=，所以3716c ={1,0}{1}8{1|0}{0}{1}{1}{2}25P X X P X P X X P X P X P X P X <≠=-<≠===≠=-+=+=4、一袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取5只球，以X 表示取出的3只球中的大号码，求X 的分布律。
解：由题意知，X 所有可能取到的值为3，4，5，由古典概率计算公式可得分布律为3511{3}10P X C===，23353{4}10C P X C ===，24356{5}10C P X C ===5、某加油站替出租公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元。
因为代出租汽车这项业务，每天加油站需多付职工的服务费60元。
概率论与数理统计第三版课后习题答案
概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。
而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。
第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。
第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。
答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。
2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。
经济数学基础 概率统计课后习题答案
目录习题一（1）习题二（16）习题三（44）习题四（73）习题五（97）习题六（113）习题七（133）1 / 81习 题 一写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ).解(1)Ω={正面，反面} △ {正，反}(2)Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3)Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x ；0≤x ≤m }掷一颗骰子的实验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数小于5”，D ＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解{}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω A 与B 为对立事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ⊃D ，C ⊃D.3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，i ＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且用A i (i ＝1，2，3)表示出来. 解B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++=B －C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++=321A A A C B =- 4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=-5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件，C 与D 是互不相容事件.6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B.说明事件A 、C 、D 、F的关系.解由于AB ⊂A ⊂A+B ，A －B ⊂A ⊂A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容， D ⊃A ⊃F ，A ⊃C.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目＃A ＝1315C C .而组成实验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1图1－2P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表示有利于A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P －10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.解设事件A 表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A 表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表示“门锁能被打开”. 则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件A 表示“四张花色各异”；B 表示“四张中只有两种花色”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω== ）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P ===30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P ===13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A 表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全白”， C ＝“全黑”，D ＝“无红”，E ＝“无白”， F ＝“无黑”，G ＝“三次颜色全相同”，H ＝“颜色全不相同”，I ＝“颜色不全相同”.解 ＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1， ＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8， ＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝24271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A 表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解 由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P P P 17. 设事件B ⊃A ，求证P (B )≥P (A ）. 证∵B ⊃A∴P (B -A )＝P (B ) -P (A ) ∵P (B -A )≥0 ∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ). 解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋b P (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表示“取到废品”，则A 表示没有取到废品，有利于事件A 的样本点数目为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA－＝＃＃ ＝0.225520. 已知事件B ⊃A ，P (A )＝ln b≠0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ⊃A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,⇒a ≥b ，又因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都大于0，比较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的大小(用不等号把它们连接起来). 解由于对任何事件A ，B ，均有AB ⊂A ⊂A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有 P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解 设事件A 表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A 的样本点数目为＃A ＝364100，而样本空间中样本点总数为 ＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P= 0.239923. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表示“任找的一名职工订阅报纸”，B 表示“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ). 证∵P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P (A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独立，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ). 解P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B )⇒0.7＝0.4＋0.6P (B ) ⇒P (B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都大于0，如果A 与B 独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P (A )，P (B )均大于0，又因A 与B 独立，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件A i 表示“使用1000小时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独立，事件A 表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.89630. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A 表示“任取一个零件为合格品”，依题意A 表示三道工序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件A i 表示“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P (A 2)＝0.58×0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1×0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A i 表示“第i 人拿到自己眼镜”，i ＝1,2,3,4.P (A i )＝41，设事件B 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4) ＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i )=)41(1213141≤≤=⨯j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j )=41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141=⨯⨯⨯ 85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P83)(1)(=-=B P B P33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A 2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3)＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=-34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件A 、B 、C 分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独立.设A i 表示“三人中有i 人投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P == =0.2×0.3×0.4×=0.024 P (A 3)=P (ABC )=P (A )P (B )P (C ) =0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452 (1)P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2)P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3)P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表示“甲在第2n －1次投中”与“乙在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独立.设事件A 表示“甲先投中”.⋯+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P⋯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A 表示“任选一名学生为北京考生”，B 表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝0.45×0.004+ 0.35×0.002+ 0.2×0.005 ＝0.003538. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为0.3，加工零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表示“机床加工零件A ”，则A 表示“机床加工零件B ”，设事件B 表示“机床停工”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 37.0324.0313.0=⨯+⨯=39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件A i 表示“第一次取到i 号球”，B i 表示第二次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成一个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P应用全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A 表示“受检人患有甲种疾病”，B 表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应用贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=01.09965.095.00035.095.00035.0⨯⨯⨯=＋25.0=41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B 表示“废品”，应用贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P7305020＋1030＋06.05.006.05.0=⨯⨯⨯⨯=....74)|(1)|(11=-=B A P B A P42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表示“外出人如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯==0.20943. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39题计算知P (B 1)＝21，应用贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=⨯==B P A B P A P B A P44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表示一箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2.B 表示“抽取的10件中无次品”，先计算P (B )∑++⨯===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P37.0)(31)|(0==B P B A P45. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为λλ-=e !n p n n n =0, 1, 2, …其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p (0＜p ＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k 条虫的概率是多少?解设事件A n ＝“一个虫产下几个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该虫下一代有k 条虫”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P n n n⎩⎨⎧≤≤=-n k qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(＞ 其中q =1－p .应用全概率公式有∑∑∞=∞===kn n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=ln k n k nq p k n k n n !)(!!e ! ∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n k n k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有 ,2,1,0e)(e e !)()(===--k kp k p B P pp q k k λλλλλ习 题 二1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X 的概率分布.解X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P mm 依次计算得X 的概率分布如下表所示：3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有{}1694302=⎪⎭⎫⎝⎛==X P{}1664341112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P {}1614122=⎪⎭⎫⎝⎛==X P4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X 的概率分布.解X 可以取1, 2,…可列个值. 且事件{X =n }表示抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n . 因此X 的概率分布为 {}⋯=⎪⎭⎫⎝⎛==-,2,143411n n X P n5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X ；(2)取到的旧球个数Y . 解(1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=⨯====X P X P {}22091091121233=⨯⨯==X P {}2201991011121234=⨯⨯⨯==X P (2)Y 可以取0, 1, 2, 3各值.{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X 的概率分布. 解X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P{}2202713122319===C C C X P{}22010823121329===C C C X P{}22084331239===C C X P7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值. 解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有∑-==∞=111n n ppP 解上面关于p 的方程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ，n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解1122642=-=⋯+++p p p p p 解方程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn ,n =1,2,…, 100, 求c 的值. 解∑=+⋯++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1,2,…, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=,则有∑∞=1n n p =1,且p n ＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X 的概率分布.解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d ,P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31,但是a －d 与a +d 均需大于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满足条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c . 解{}∑∑∞=-∞====11e !1m m m m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm mm m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ 解得--=e 11c13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)二人投篮总次数Z 的概率分布； (2)甲投篮次数X 的概率分布； (3)乙投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表示在第i 次投篮中甲投中，j 表示在第j 次投篮中乙投中，i =1,3,5,…,j =2,4,6,…,且A 1, B 2, A 3,B 4，…相互独立.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P=(0.6×0.5)1-k ·0.4=0.4(0.3)1-k k=1, 2, … {})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---== =0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3k k=1, 2, …(2){}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+ )5.06.04.0()5.06.0(1⨯+⨯=-n ,2,13.07.01=⨯=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P )4.05.05.0(6.0)5.06.0(1⨯+⨯⨯⨯=-n ，2,13.042.01=⨯=-n n14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X 的概率分布(不计其他因素停车). 解X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X ＝4 } ＝0.64＝0.129615. ⎩⎨⎧∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f问f (x )是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1).π23,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠⎰x x,1d sin 2π0=⎰x x 而在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是一个概率密度函数.16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e )(,22x x cx x f cx ，＞ 其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么? 解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又1d e 202=⎰-∞+x cx cx f (x )是一个密度函数 .17. ⎩⎨⎧+=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由. 解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==⎰⨯++a x x a a a a 由于x x f d )(⎰+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )⎪⎩⎪⎨⎧∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解)arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+⎰⎰+∞+∞ 解方程 π2⎪⎭⎫⎝⎛a arctan － 2π=1得a =0{}b x x x f b x P b barctan π2|arctan π2d )(000==⎰=＜＜ 解关于b 的方程：π2arctan b =0.5 得b =1.19. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A 表示“线路正常工作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=⎰∞+x x X P ＝＞278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解A x A x A x x 2d e 2d e 10||=⎰=⎰=∞+-∞+∞-- 解得A ＝21{}⎰⎰---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的二次方程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解4x 2+4xY +Y +2=0. 有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0 设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P =0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f 确定常数c ，计算.21||⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x xc ==-⎰=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰-xx x X P 23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为⎪⎩⎪⎨⎧≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1.⎪⎩⎪⎨⎧=.,0,10,21)(其他＜＜x xx f {}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解{}t x X P x F t xd e 21)(||-∞-⎰=≤=当t ≤ 0时， x t x t x F e 21d e 21)(=⎰=∞-当t ＞0时，t t t x F t x t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||⎰+⎰=⎰=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(2121 25. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P . 解a x a x x a ==⎰+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12因此a =1x xt t t x F ∞-∞-=⎰+=arctan π1d )1(π1)(2x arctan π121+= {}⎰+=⎰+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-=.2,02,1)(2x x xA x F ，＞ 确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A{}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜=0.7528. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,e e xx A-+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解⎰+=⎰+=∞∞-∞∞--x A x A xxx x d e1e d e e 12 A A x 2πe arctan ==∞∞- 因此A ＝π2，xtxt t t x F ∞-∞--=+=⎰e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，⎪⎩⎪⎨⎧=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解2202202ππd π21a x x x a a==⎰=因此，a = π 当0＜x ＜π时，⎰=x x t tx F 0222πd π2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜ 30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax⎪⎩⎪⎨⎧++-≤=-求X 的概率密度并计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax其他)0()1(1010F a F a x P a x P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0} ＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布. 解Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a ,b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞ 0时，Y 的取值为［a 2+b ,ab +b ］,ax y h b y a y h x y 1)(,)(1)(='='-== ],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，无论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布. 34. 随机变量X 服从［0 , 2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ).解y =cos x 在［0,2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π. 因此⎪⎩⎪⎨⎧-=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y 1, f X ( x ) =10 ＜ x ＜ 1 , 因此有⎪⎩⎪⎨⎧.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y yy f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有⎩⎨⎧∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ， ⎩⎨⎧≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) . 解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞ 当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z21⎪⎩⎪⎨⎧≤=-.0,00e 21)(z ，z zz f zz ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X ,Z =X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在⎪⎭⎫⎝⎛-2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时， π2)tan 1(π2sec )(22=+=y y y f Y即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z =x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时，)1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞ 即Z =X1与X 同分布. 38. 一个质点在半径为R ，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是一个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l Rl f L M 点的横坐标X 也是一个随机变量，它是弧长L 的函数，且X ＝ R cos θ ＝ R cos RL函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函数为l ＝ R arccos Rx22xR R l x --='当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R Rx f X -=⋅--=当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望. 解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从超几何分布，直接计算2120521=⨯==N N n EX在第3题中21161216611690=⨯+⨯+⨯=EX亦可从X 服从二项分布(2，41)，直接用期望公式计算：21412=⨯==np EX在第5题中(1)3.122014220934492431=⨯+⨯+⨯+⨯=EX(2)3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EY在第6题中，25.2220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX在第11题中，⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d 313312d 311EX31｜＜d ＜｜0 d 22+=40. P { X = n } =nc, n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX .解160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n 13760=C 137300551==∑⋅==C n c n EX n图2-141. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 } ＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=⨯+⨯+⨯-=EX42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数.解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞⎰收敛，因此0d e 5.0||=⎰=-∞+∞-x x EX x n n当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-⎰=⎰=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=⎰=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101⎰-+⎰=⎰=+∞+∞- 1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均大于0，问EX 可否等于1，为什么?解11d d )(10=+=⎰=⎰∞+∞-b c x cx x x f b而2d 101+=⎰=+b c x cx EX b 由于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1211b c b c无解，因此EX 不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X 的方差DX . 解在第6题中，从第39题计算知EX ＝49， 22012152208492201084220272=⨯+⨯+=EX DX ＝EX 2－( EX )2≈0.46其他 其他在第40题中，已计算出EX ＝137300, c cn n c n EX n n 15515122=∑=⨯∑=== =137900DX =EX 2-(EX )2≈1.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f ( x ) ＝x21（0＜x ＜1）,因此31d 210=⎰=x xx EX51d 2212=⎰=x xx EX DX = EX 2－ ( EX )2 =454 在第29题中，由于f ( x ) ＝2π2x( 0＜x ＜π ) , 因此π32d π2π022=⎰=x xEX2πd π22π0232=⎰=x x EX DX ＝EX 2－ ( EX )2=18π248. 计算第34题中随机变量Y 的期望和方差.解EY =π2d 1π2d )(12=⎰-=⎰∞+∞-y y y y y yf Y EY 2=21d 1π2122=⎰-y y y DY =222π28ππ421-=-49. 已知随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤-++-.1,11022101,2211,022x x ，x x x x x x ，＜－，＜，＜计算EX 与DX .解依题意，X 的密度函数f ( x ) 为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+=.010,101,1)(其他，＜，＜，x x x x x f解EX ＝0d )1(d )1(0101=-⎰++⎰--x x x x x x EX 2=61d )1(d )1(102012=-⎰++⎰-x x x x x xDX =61 50. 已知随机变量X 的期望E X ＝μ，方差DX ＝σ2，随机变量Y = σμ-X ,求EY 和DY .解EY =σ1( EX －μ ) ＝0DY =2σDX=151. 随机变量Y n ～B ( n , 41) ,分别就n =1, 2, 4, 8, 列出Y n 的概率分布表，并画出概率函数图 .其中a = 1/65536 . 图略 .52. 设每次实验的成功率为0.8，重复实验4次，失败次数记为X ，求X 的概率分布 . 解X 可以取值0, 1,2, 3, 4.相应概率为P ( X ＝m ) ＝m m mC 2.08.0444⨯⨯--( m=0,1,2,3, 4 ) 计算结果列于下表53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 . 解 记X 为10次投篮中命中的次数，则X ～B ( 10 , 0.7 ) .{}009.03.07.0373310≈==C X P{}{}{}{}21013=-=-=-=≥X P X P X P X P =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解 掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X ，则X ～B （4，61）.EX = np =32由于np + p =65，其X 的最可能值为［ np + p ］=0 {}1296625)65(04===X P 若计算{}12965001==X P ，显然{}{},3,2==x P x P{}4=x P 概率更小.55．已知随机变量X ～B （n , p ），并且EX =3，DX =2，写出X 的全部可能取值，并计算{}8≤X P . 解根据二项分布的期望与方差公式，有⎩⎨⎧==23npq np 解方程，得q =32，p =31，n =9 . X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9. {}{}918=-=≤X P X P= 1－9)31(≈ 0.999956．随机变量X ～B （n ，p ），EX =0.8，EX 2=1.28，问X 取什么值的概率最大，其概率值为何? 解由于DX = EX 2－(EX)2=0.64, EX =0.8, 即⎩⎨⎧==8.064.0np npq 解得q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np +p =1，因此X 取0与取1的概率最大，其概率值为 {}{}4096.08.0104=====X P X P57．随机变量X ～B （n , p ），Y =e aX ，计算随机变量Y 的期望EY 和方差DY .解随机变量Y 是X 的函数，由于X 是离散型随机变量，因此Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 ｝｛ ｝｛∑+==∑==∑+==∑∑====-==-==-ni n a i n i a i n ni ai ni na i n i a i n ni ni in i i n ai ai q p q p C i X P EY q p q p C qp C i X P EY 022022000)e ()e ()e ()e ()e (e en ap n ap q q DY 22)e ()e (+-+=58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X ，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X ，Y 的概率分布以及期望和方差.解X 服从超几何分布，Y 服从二项分布B （4，21）.)4,3,2,1,0(45242626===-m C C C m X P m m ｝｛)4,3,2,1,0()21()21(44===-m C m Y P mm m ｝｛ 具体计算结果列于下面两个表中.1 2214171651485226522641252264211===⨯===⨯⨯⨯=--⋅⋅==⨯==npq DY np EY N n N N N N N n DX N N nEX 59. 随机变量X 服从参数为2的泊松分布，查表写出概率4,3,2,1,0,==m m X P ｝｛并与上题中的概率分布进行比较.60．从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X ，它是一个随机变量且X 服从N=100000，1N =100，n =500的超几何分布.由于n 相对于N 较小，因此它可以用二项分布B （500，0.001）近似.又因在二项分布B （500，0.001）中，n =500比较大，而p =0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np =0.5.}∑=≈≤=≤⎩⎨⎧=-505.0999986.0e !5.05X 001.0500m m m P X P ｝｛ 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值解 设X 为一件产品表面上的疵点数目，（1）｝｛｝＞｛314≤-=X P X P∑==-==300014.01m m X P ｝｛（2）设一件产品的产值为Y 元，它可以取值为0，8，10.)(61.98088.0101898.08 110418 10108800元｝｛｝＜｛｝｛｝｛｝｛≈⨯+⨯=≤+≤==⨯+=⨯+=⨯=X P X P Y P Y P Y P EY 62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4页中没有印刷错误的页数为Y ，依题意，｝｛｝｛21===X P X P 即λλλλ--=e !2e2解得λ=2，即X 服从λ=2的泊松分布.2e 0-===｝｛X P p显然Y ～B )e ,4(2-84e 4-===p Y P ｝｛63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解设X 为粮仓内老鼠数目，依题意λλλλ--⨯====e!22e 2212｝｛｝｛X P X P解得λ=1.1e 0-==｝｛X P64．上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y ，则Y ～B （10，p ），其中,e 10101--==-==｝｛｝＞｛X P X P 1e -=q)45e 80e 36(e 2102128+-==+=+==≤---｝｛｝｛｝｛｝｛Y P Y P Y P Y P65．设随机变量X 服从][3,2上的均匀分布，计算E (2X )，D （2X ），2)2(X D .解EX =2.5，DX =1276)(,12122=+=EX DX EXE (2X )=5，D (2X )=4DX =31，][⎰==-===3 2 442242225211d )(1616)4()2(x x EX EX EX DX X D X D 45150416)2(720150414457765211)(222242===-=-=DX X D EX EX DX66．随机变量X 服从标准正态分布，求概率P ｝｛｝｛｝｛｝｛7,1,535.2,3-≤≤≤≤≤X P X P X P X . 解3(3)0.9987P X Φ≤==｛｝ 2.355(5)(2.35)0.0094P X ΦΦ≤≤=-=｛｝1(1)0.8413P X Φ≤==｛｝ 71(7)0P X Φ≤-=-=｛｝67．随机变量X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a 的数值：（1）;9.0=≤｝｛a X P ；（2）{};9.0 =≤a X P （3）{};97725.0=≤a X P （4）};1.0 =≤a X P 解（1）{}()0.9P X a a Φ≤==，查表得a =1.28（2）{} 2()10.9P X a a Φ≤=-=，得Φ（a ）=0.95， 查表得a =1.64（3）{}()0.97725P X a a Φ≤==，查表得a =2（4）{}1.01)(2 =-Φ=≤a a X P ，得Φ(a )=0.55， 查表得a =0.1368. 随机变量X 服从正态分布)2,5(2N ，求概率{}85＜＜X P ,{}0≤X P ,{}25 ＜-X P .解{}⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2552588X 5ΦΦ＜＜P (1.5)(0)0.4332ΦΦ=-=P {}()()00620521520...X =-=-=≤ΦΦ{}1)1(212525 -Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=-X P X P ＜=0.682669．随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，若{}975.09=＜X P ,{}062.02=＜X P ，计算μ和σ的值，求{}6＞X P .。
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)第二章习题解答
f
(
x)
c ,
1 x2
x 1
0,
其它
确
定c值
；
计
算P
x
1 2
.
1
解：1 f ( x)dx
1
1
c
x2
dx
1
c
1
1 dx 1 x2
c arcsin x 1 c , c 1
1
1
P
X
1
2
2
1
2
1
1
2
21
dx arcsin x
1 x2
03
23.设连续型随机变量X 的分布函数F ( x)为
0, x 0
F
(
x)
A
x,
0 x1
1, 1 x
确定系数A；求 P{0 X 0.25}；求概率密度f ( x).
解： 连续型随机变量X的分布函数是连续函数， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F(0.25) F(0) 0.5
f
(
x)
F
(
x)
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。
解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
y2,
x
y
2 y,
f
Y
(
y)
2 ye 0,
y2
,
y0 y 0.
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)
解设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n－1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件A表示“甲先投中”.
计算得知P(A)＞0.5，P( )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.
3.事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 及B－C的含义，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出来.
解 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.
B－C表示三个车间都完成生产任务
27.设A与B独立，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，求概率P(B).
解P(A＋B)＝P(A)＋P( B)＝P(A)＋P( )P(B)
0.7＝0.4＋0.6P(B)
P(B)＝0.5
28.设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?
解因P(A)，P(B)均大于0，又因A与B独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＞0，故A与B不可能互不相容.
P(A )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058
25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B).
解P(A｜B)＝
P(B｜A)＝
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52
P(A2)＝0.58×0.42＝0.2436
P(Am)＝0.58m－1×0.42
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2
c 40. PX n , n 1,2,3,4,5, 确定C 的值并计算EX . n
PX 3
PX 4
3 2 9 9 12 11 10 220
3 2 1 9 1 12 11 10 9 220
44
PY 2
PY 3
44 PX 3 9 220 1 P X 4 220
6、上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取得新球数目 X的概率分布。
解
c c c c c 137c c 1 2 3 4 5 i 1 n 60
5
60 因此c 137 c 300 EX n 5c n i 1 137
5
41.随机变量X 只取 1， 1三个值，且相应概率的 0， 比为 1： 3，计算EX . 2：
解
n 9
3 n 3 3 12
（n=0，1，2，3）
7、已知PX n p n，n=1，2，3，……，求p的值
解：根据 pX n 1
n 1
p(1 p n ) lim p i lim 1 ，有 n i 1 n 1 p
n
p 1 有 1 p
34.随机变量 服从0, 上的均匀分布 cos X , 求Y 的 X Y 2 概率密度 fY ( y ).
解
y cos x 在 0, 上单调，在（ 1 0， ）上， 2 1 h( y ) x arccos y 有 h( y ) 1 y2 2 有 f X [h( y )]
P X k 0.6 k 0.4, ( k 0,1,2,3) 公式 法： 4 P X 4 0.6
2 x, a x a 2 17. f ( x) 其它 0, 问f ( x )是否为 密度函数，若是 定a值；若不是 说明理由 确 .
解：X可取0， 2， 4，X 0表示第一个路口就遇红 1， 3， 、黄灯， X 4表示一路绿灯 .
PX 0 0.4， PX 1 0.6 0.4 0.24, PX 2 0.6 0.6 0.4 0.144, PX 3 0.6 0.6 0.6 0.4 0.0864, PX 4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.1296,
因此 2 , 0 y1 f Y ( y) 1 y 2 其他. 0,
36.随机变量 X ~ f ( x ), e x , f ( x) 0, Y x0 x 0.
X , Z X 2 , 分别计算随机变量 与Z的概率密度 Y . 解 当x 0时，y x 单调，其反函数为 y 2 , x 2 y , x y
PX 2
1 2 1 ( ) 16 4
4、第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止， 求抽取次数X的概率分布
解：X可以取1，2，……可列个值。
1 3 n 1 PX n ( ) 4 4
n=1，2……
5、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不 放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的 概率分布。 （1）抽取次数X； （2）取到的旧球个数Y。 解（1）X可以取1，2，3，4各值。 （2）Y可以取0,1，2，3各值。 3 3 PX 1 PX 1 PY 0 4 4 3 9 X 2 12 11 9 P PY 1 PX 2 9
x
2
arctan e x
29.随 机 变 量 X ~ f ( x ), 2x 2 , 0 xa f ( x) 0, 其 他. 试 定 a的 值 并 求 分 布 函 数 ( x ). F
解 由 1 0
a
2x
当 0 x
x
dx 2
x
2 a 2 0
解
X 2仍服从0 1分布，且 X 2 0 PX 0 0.3 P P X 2 1 PX 1 0.7
X 22 X 的取值为 1与0，
P X 2 2 X 0 PX 0 0.3 P X 2 2 X 1 1 PX 0 0.7
100 n 1
解： cn c(1 2 ... 100) 5050c 1
1 c 5050
14.一条公共汽车线路的两 站之间，有四个路口设 有信号灯，假定汽车经 过每个路口时，遇到绿 灯可通过，概率为.6，遇到红、黄灯则停， 0 概率 为0.4，求汽车开出后，在第 一次停车之前已通过的 路口数X的概率分布 .
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
m 2 C 5 C15 m PX m ( m 0,1,2)
2 C 20
3、上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品 中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布。 解：X的取值仍是0，1，2 3 2 9 3 1 1 ( ) P X 0 P X 1 C 2 ( )( ) 6 16 4 4 4 16
时
a2
2
因此 a
F ( x ) 0
2t
2
dt
x2
2
0, x 0, 2 x F ( x) 2 , 0 x , 1, x .
31.随机变量 服从参数为0.7 的0 1分布，求 2, X 22 X X X 的概率分布 .
1
dx c
1
1
1 1 x2
dx
1
c arcsin x 1 c ,
1 2
c
1 2
1
1 1 2 1 P X dx arcsin x 2 1 1 x 2 3 0
2
23.设连续型随机变量 的分布函数 ( x )为 X F 0, x 0 F ( x) A x , 0 x 1 1, 1 x 确定系数 A；求 P{0 X 0.25}；求概率密度 ( x ). f
8、已知 P
X n p
1 p 2
n
，n=2，4，6，……，求p得值。
2 p2 （舍去） 2
p2 2 解：p 2 p 4 p 6 ...... 1 p1 1 p2 2
9、已知 PX n cn, n 1,2,...,100，求c的值。
解：串联电路正常工作 的充要条件是， 3个元件都正常工作， 3个元件的寿命是相互独 立，同分布的随机变量 ， 故串联电路正常工作， 3个元件都正常工作的概 即 率为：
[ PX 150]3
100 100 2 而PX 150 2 dx x 150 3 150 x
解： F () 0 1, 不能是分布函数 .
确 定a值 ； 求 分布 函数 ( x ); 计 算P x 1. F
a 26. 随 机变 量 ~ f ( x ) X , 2 (1 x )
a a 解 ： f ( x )dx 1 dx arctan x a 2 (1 x )
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。 解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
解：若 ( x )是密度函数，则 ( x ) 0, 即a 0, 此时 f f
a2 a
f ( x )dx 2 xdx x
a
a2
2 a2 a
4a 4 1
与 f ( x )dx 1矛盾，故f ( x )不是密度函数 .
19. 某 种电 子 元件 寿 命 是 随机 变 量， 概 率密 度 X 为 100 , x 100 f ( x) x 2 0, x 100 3个 这种 元 件串 联 在一 个 路 线 中 ， 计 算这 个 元件 使 用了 小 3 150 时 后仍 能 使线 路 正常 工 的概 率 作 .
解： 连续型随机变量 的分布函数是连续函数 X ， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F (0.25) F (0) 0.5
1 ,0 x 1 ( x ) 2 x f ( x) F 0, 其它
25.函数(1 x 2 ) 1 可否为连续型随机变量 的分布函数，为什么？
1 arctan x 2 0
2
1
27.设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 ( x )为 F A 1 2 , x 2 F ( x) x 0, x 2. 试 确 定 常 数 A, 并 求 P {0 X 4}.
解 由 F (2 0) F (2)
得 A4
A 有 1 0, 4
P{0 X 4} P{0 X 4} F (4) F (0) 0.75.
A 28.设随机变量X ~ f ( x ), f ( x ) x , 确定A的值； x e e 求分布函数 ( x ). F
A ex 解 由 1 x dx A dx x 2x 1 e e e x Aarctan e A 2 2 因此 A 2 2 x F ( x ) dt arctan e t t t (e e )