中考数学复习课件：圆中的证明与计算 (共34张PPT)
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2024年云南省人教版九年级中考数学二轮复习课件专题四 圆的证明与计算(35张PPT)
∴∠ODF=30°.∴∠DOF=60°.
∵AB⊥DC,∴DF=FC.
∵BF=OF,AB⊥DC,
∴S△CFB=S△CFO=S△DFO.
×
∴S 阴影部分=S 扇形 BOD=
= π.
[典型例题2] (2023北京)如图所示,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD
交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
∵CP与☉O相切,∴OC⊥PC.∴∠PCB+∠OCB=90°.
∵AB⊥DC,∴∠PAD+∠ADF=90°.∴∠PCB=∠PAD.
(2)若☉O的直径为4,弦DC平分半径OB,求图中阴影部分的面积.
(2)解:如图②所示,连接 OD,
∵弦 DC 平分半径 OB,∴BF=OF.
在 Rt△ODF 中,OF= OD.
∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBE=45°.
∴∠DOC=2∠DBE=90°.
∵AC∥DE,∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线
(2)探究线段BE,CE,DE之间有何数量关系?写出你的结论,并证明.
2
(2)解:DE =CE·BE.证明如下:
2
又∵
2
=
,∴ =
.解得 CE=
2
.
2
2.如图所示,☉O的半径为1,A,P,B,C是☉O上的四个点,
∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)△ABC是等边三角形.理由如下:
∵∠APC=∠CPB=60°,
中考数学---圆的证明与计算题型PPT课件
∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt△OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2.
解得r＝10. ∴AB＝2r＝20. ∵AB是直径， ∴∠AMB＝90°. 在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20， ∴BM＝16.
解图1 ∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°. 在△ACO和△ECO中，
∴△ACO≌ △ECO ( SSS )． ∴∠OEC＝∠OAC＝90°. ∴OE⊥，AE，过点F作FG⊥BD于 点G.
解图2 ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°. ∴FG∥AB. ∴∠ABF＝∠BFG. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠FGB＝90°. ∴△ABE∽△BFG. ∴AB/ BF ＝BE/ FG .
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1 ∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径． 又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE， ∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°. ∴DF⊥BD. 又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1 ∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 . 解得PC＝9. OP＝PC＋OC＝13.
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，
解图2
∵AC＝BC，OA＝OE， ∴OC为△ABE的中位线． ∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
最新2020年中考数学一轮复习课件：圆的综合计算与证明
(2)证明：∵PD∥BC， ∴∠ACB＝∠P， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠P， ∵∠ABD＋∠ACD＝180°，ACD＋ ∠DCP＝180°， ∴∠DCP＝∠ABD， ∴△ABD∽△DCP，
(3)解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝ AB2 AC2 13 (cm)，
(2)解：连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4 ∵ »AC C»D ，∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA，∴ AC CB
CE AC ∴AC2＝CB·CE＝4×1 ∴AC＝2， ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°
∴ AB AC2 BC2 2 5
∴⊙O的半径为 5
(2)解：连接AB交PC于D
∴AD⊥PC
∵OA＝1，∠AOP＝60°
∴AD＝ 3
2
∴PD＝3 ，∴PC＝3，AB＝
2
3
∴菱形ACBP的面积为：1 AB·PC＝ 3 3 .
2
2
考点2 圆与其它知识的综合 4．(2019·成都)如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，
OC∥BD，弦AD，BC相交于点E. (1)求证：»AC C»D ； (2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径 (1)证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD ∴∠OBC＝∠CBD ∴ »AC C»D
(2)在点D的运动过程中，弦AD的延长线
交BC延长线于点E，问AD·AE的值是否
变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，
求证：BH＝CD＋DH.
(1)解：作AM⊥BC， ∵AB＝AC，AM⊥BC，
中考复习(圆与证明)课件
总结词
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
利用四边形的性质，通过证明四边形是正方形或矩形来 证明线段垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个正方形或矩形 ，利用四边形的性质和判定定理来证明线段垂直。
总结词
利用圆的性质，通过证明圆周角等于90度来证明线段 垂直。
详细描述
当要证明线段垂直时，可以通过构造一个圆，利用圆的 性质和判定定理来证明圆周角等于90度，从而证明线 段垂直。
提高解题能力。
归纳总结
对每个知识点进行归纳总结， 形成知识体系，有助于加深理
解和记忆。
举一反三
在复习过程中，应注重举一反 三，对典型例题进行深入剖析
，掌握解题方法和思路。
模拟测试
定期进行模拟测试，模拟真实 考试环境和压力，提高应试能
力。
05
模拟试题与解析
中考模拟试题一
总结词：基础题目
详细描述：此题考察了圆的性质和基本定理，适合作为第一题来热身，帮助考生 进入考试状态。
总结词
利用勾股定理，通过证明直角三角形的三边关系来证明 线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个直角三角 形，利用勾股定理和三角形的性质来证明两条线段相等 。
总结词
利用平行四边形的性质，通过证明平行四边形的对角线 相等来证明线段相等。
详细描述
当要证明两条线段相等时，可以通过构造一个平行四边 形，利用平行四边形的性质和判定定理来证明两条线段 相等。
中考模拟试题二
总结词：中等难度
详细描述：此题涉及到了圆的证明和与圆相关的其他几何图形的性质，需要考生灵活运用所学知识进 行解答。
中考模拟试题三
总结词：高难度
详细描述：此题综合考察了圆的性质、定理以及与其他几何图形的关联，需要考生具备较高的逻辑思维和推理能力。
2020年九年级中考数学总复习课件：圆 %28共34张PPT%29
第 5页
二 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑪__弧____相等、所对的 ⑫__弦____相等、所对的⑬___弦__心__距___相等．如图，在⊙O 中，若∠
︵︵
AOB＝∠COD，则AB ＝CD ，AB＝CD，OM＝ON. 2．圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一
第 4页
(1)对称性：圆既是中心对称图形(圆心是对称中心)，也 是轴对称图形(任何一条直径所在的直线都是它的对称 轴)．
(2)旋转对称性：圆是旋转对称图形(绕圆心旋转任何一 个角度都与原图形重合)．
(3)同圆或等圆的半径相等． (4)圆的直径等于同圆或等圆半径的2倍． (5)弧的度数等于它所对圆心角的度数．
(D)
A．4
B．2 2
C． 3
D．2 3
第 17 页
7．(2019·江苏连云港中考)如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝ 6，∠BAC＝30°6，则⊙O的半径为_____.
第 18 页
8．(2019·湖南娄底中考)如图，C、D两点在以AB为直径的圆 上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝__1___.
第 2页
(1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个 定点叫做①__圆__心____，这个定长叫做②__半_径_____.圆心确 定圆的③_位_置______，半径确定圆的④___大_小____.
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；圆上任意一条 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半 圆．小于半圆的弧叫做⑤___劣_弧____，大于半圆的弧叫 做⑥__优__弧____.
推 周角是 ○23 __9_0_°____； ___9_0_°___；
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
中考数学总复习 题型突破(六)与圆有关的证明与计算数学课件
(2)见切点连半径,考虑连接 OA,DM,根据切线的性质可得∠PAO=90°,由∠P=30°,可求出半径 r 的值,然后根据
M 点是半圆 CD 的中点,可得 CM=DM,在 Rt△ CMD 中,由勾股定理可得出结果.
第十三页，共四十七页。
类型(lèixíng)2 弦切型问题
例2
[2018·遂宁] 如图 Z6-6,过☉O 外一点 P 作☉O 的切线 PA 切☉O 于点 A,连接 PO 并延长,与☉O 交于 C,D
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
2
(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长.
图 Z6-7
3
解:(1)证明:连接 OD.∵CD 是☉O 的切线,∴∠ODC=90°,即∠CDB+∠BDO=90°.
∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°.∴在 Rt△ ABD 中,∠A+∠ABD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠A=∠CDB.即∠CAD=∠BDC.
5
解:(2)在 Rt△ ABC 中,AB=2 5,BC= 5,∴AC= 2 + 2 =5,∴OD= .
2
5
过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G,则四边形 ODGC 为正方形,∴DG=CG=OD= .
2
∵DE∥AC,∴∠CEG=∠ACB,
2.5 2 5
∵∠ABC=∠CGE=90°,∴△ ABC∽△CGE,∴ = ,即 =
5
15
4
4
5
,
解得:GE= ,∴DE=DG+GE= .
第十二页，共四十七页。
图 Z6-5
类型(lèixíng)2
弦切型问题
中考数学精英复习课件：专题五 圆中的证明与计算
∴AB＝CA－BC＝3，ABDD＝362＝ 22， 设 BD＝ 2k，AD＝2k， 在 Rt△ADB 中，2k2＋4k2＝9，
∴k＝ 26， ∴AD＝ 6.
5.(导学号 78324084)(2017·广安)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F，点 E 在⊙O 外，做直线 AE，且∠EAC＝∠D. (1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线． (2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝34，CF＝130，求 BF 的长．
∴∠DOM＝2∠FAO＝60°.
在 Rt△DOM 中，sin∠DOM＝DOMD，
即 DM＝3 3.
又∵∠C＝∠AOF＝90°，AC＝AO＝6，AF＝AF，
∴Rt△AFC≌Rt△AFO(HL)，
∴S△CAF＝SOAF，
∴S
阴
影
部
分＝
S
△
ACF
＋
S
△
FOD
＝
S
△
AOF＋
S△
FOD
＝
S△
AOD
＝
1 2
AO·DM
解：(1)在 Rt△FBO 中， ∵∠ABC＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3， ∴FB＝4 3，OB＝6， ∴AB＝2BO＝12. 又∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC＝12AB＝6.
(2)连接 BD，过点 D 作 DM⊥AB 于 M.
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2254.
满分技法：(1)证明切线的常用方法：①有“点”，连半径，证垂 直，②无“点”，作垂直证半径；(2)利用切线的性质求线段长度 的策略：一般连接过切点的半径构造直角三角形，利用三角函数、 勾股定理解决问题，有时会利用图中的角得相似三角形，由相似 求线段的长度.
∴k＝ 26， ∴AD＝ 6.
5.(导学号 78324084)(2017·广安)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F，点 E 在⊙O 外，做直线 AE，且∠EAC＝∠D. (1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线． (2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝34，CF＝130，求 BF 的长．
∴∠DOM＝2∠FAO＝60°.
在 Rt△DOM 中，sin∠DOM＝DOMD，
即 DM＝3 3.
又∵∠C＝∠AOF＝90°，AC＝AO＝6，AF＝AF，
∴Rt△AFC≌Rt△AFO(HL)，
∴S△CAF＝SOAF，
∴S
阴
影
部
分＝
S
△
ACF
＋
S
△
FOD
＝
S
△
AOF＋
S△
FOD
＝
S△
AOD
＝
1 2
AO·DM
解：(1)在 Rt△FBO 中， ∵∠ABC＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3， ∴FB＝4 3，OB＝6， ∴AB＝2BO＝12. 又∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC＝12AB＝6.
(2)连接 BD，过点 D 作 DM⊥AB 于 M.
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2254.
满分技法：(1)证明切线的常用方法：①有“点”，连半径，证垂 直，②无“点”，作垂直证半径；(2)利用切线的性质求线段长度 的策略：一般连接过切点的半径构造直角三角形，利用三角函数、 勾股定理解决问题，有时会利用图中的角得相似三角形，由相似 求线段的长度.
中考数学复习第二部分空间与图形第二十六课时圆的有关计算和证明课件精品
2019
最新中小学课件
3
-4-
3.切线:判定:经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆 的切线. 性质:圆的切线垂直于过 切点 的半径. 切线长:(1)经过圆外一点作圆的切线,这 点和切点 之间的线段 的长,叫做点到圆的切线长. (2)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 切线长相等 ,这一 点和圆心的连线 平分 两切线的夹角.
第26课时 圆的有关计算和证明
2019
最新中小学课件
1
-2-
考纲要求 1.探索并了解点与圆的位置关系. 2.了解直线和圆的位置关系,会用三角 尺过圆上一点画圆的切线. 3.掌握切线的概念,探索切线与过切点 的半径的关系.
4.会计算圆的弧长、扇形的面积.
中考动向 1.题型:选择题、填空题和 解答题 2.难度:中、低档题 3.分值:3~ 9 分 4.热点和趋势: (1)点与圆、直线与圆的位 置关系; (2)利用弧长、扇形面积公 式进行运算; (3)切线的证明和与圆的有 关证明.
2019
最新中小学课件
12
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4.(2017· 白银)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,以点A为圆 π 心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则弧CD的长等于 .3(结果 保留π)
2019
最新中小学课件
13
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考点3 圆的有关证明 【例3】(2017· 益阳)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB 的延长线上,且∠BCD=∠A.
2019
最新中小学课件
4
-5-
4.计算公式:扇形:(1)弧长公式:l=
���������� 180
(2)扇形的面积公式:①s=
[九年级数学课件]九年级数学圆与证明共34页
六、直线与圆的位置关系
1.相交、相切、相离.
●O
●O
●O
相交
相切
相离
2.直线和圆有惟一公共点(即直线
和圆相切)时,这条直线叫做圆的切
线,这个惟一的公共点叫做切点.
3.直线与圆的位置关系量化揭密.
圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
四、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角
所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦
心距相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
┏
A′ D′ B′
A′ D′ B′
2.推论 在同圆或等圆中,如果①两个圆心
角,②两条弧,③两条弦,④两条弦的弦心距
中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各
阳泉市义井中学 高铁牛
课程标准及学习目标
2005年
(6)圆 ①理解围及其有关概念，了解弧、弦、圆
心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆 以及圆与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的 关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。 ④了解切线的概念，探索切线与过切点的
半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥 的侧面积和全面积。
4．图形与证明
(1)了解证明的含义 ①理解证明的必要性。 ②通过具体的例子，了解定义、命题、定理
的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。 ③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识