高中数学 集合与常用逻辑用语集合的概念讲义 新人教A版必修一第一册
1．1 集合的概念最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一 集合的概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合． 3．集合中元素的特征只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧元素：通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示.2．元素与集合的关系状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．[教材解难]1．教材P2思考例(3)到例(6)都能组成集合例(3)中的元素为“每一个正方形”例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”例(6)中的元素为“地球上的四大洋”2．教材P3思考(1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．(2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．3．教材P5思考用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．[基础自测]1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．答案：{1,3}题型一集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )A.高一年级全体较胖的学生B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】 D构成集合的元素具有确定性．方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C.接近于0的数D．不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.C 中元素不确定．题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例2 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0,4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1,3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C a 分类处理：①a＝0，a ＝1，a ＝2； ②a＝3，a ＝4 还讨论吗？ 方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A.0∉NB.2∈QC．π∉R D.4∈Z解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q是有理数集合，2∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z，故本选项正确．故选D.答案：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．题型三集合的表示[教材P4例题2]例3 试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.【解析】(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．教材反思本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为集合{a 2，a ＋b,0}，求a ，b 的值．【错解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.【正解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】方法归纳选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.课时作业 1一、选择题1．已知集合A 中元素x 满足－5≤x ≤5，且x ∈N *，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈A D ．1∈A解析：x ∈N *，且－5≤x ≤5，所以x ＝1,2.所以1∈A . 答案：D2．将集合⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案：B3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0解析：集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ， 所以a ＝2，或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，所以a ＝4， 综上所述，a ＝2或4.故选B. 答案：B4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选项A 中应是xy ＜0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．答案：D 二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的是________．解析：13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．答案：(1)(4)6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________． 解析：(6－x )是12的因数，并且x ∈N ，解得x 为0,2,3,4,5. 答案：{0,2,3,4,5} 三、解答题8．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．[尖子生题库]10．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解析：(1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义人教A版必修第一册
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取 值范围．
点、易混点)
自主预习 探新知
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，… 表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁 字母 A，B，C，… 表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样 的． (4)集合中元素的特性：确定性 、互异性和无序性 ．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
() A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确； ② 2是无理数，所以 2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误； ④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a ＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.]
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点) 1.通过集合概念的学习，逐步
集合的含义【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
必备知识·探新知
1集.1合的第含1课义时【集新合教的材含】义人-教【A新版教高材中】数人学教必A修版 第（一20册19 优）秀高p中p t数课学件必 修第一 册课件 (共33 张PPT)
1.1 第1课时集合的含义-【新教材】人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 (共33 张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
• 【素养目标】 • 1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集
合元素的特性解决简单问题．(数学抽象) • 2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符
号．(逻辑推理) • 3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象) • 4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)
基础知识
•知识点1 集合与元素的含义 • 一 ___般__地__，_叫我做们集把合研(究se对t)(象简统称称为为集_)．____元__素_(element)，把一些元素组成的
• 通常总用体大写拉丁字母A，B，C，…表示________，用小写拉丁字母a，b，
c，…表示集合中的________.
集合
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客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
2．已知 a∈R，且 a∉Q，则 a 可以为( A )
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】 已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意； 当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意． 综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
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1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高中数学人教A版(2019)必修第一册知识点总结
高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.@简单高中生（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作=.A B6.元素与集合之间的关系∈，读作a属（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A于A.（2）不属于:如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉，读作a 不属于A .7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x =的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x ->的解组成的集合.8.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或N +.（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N .（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z .（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q .（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R .9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.@简单高中生（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0x x -+=的所有实数根”组成的集合表示为{1,2}-.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x ，其中x 是集合中的元素代表，()p x 则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x -<的解集可以表示为{73}{10}x R x x R x ∈-<=∈<.1.2集合间的基本关系1.子集一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记为A B Í或（B A Ê）读作集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ）.集合A 是集合B 的子集可用Venn 图表示如下：或关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：A A ⊆；（2）传递性：如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.2.真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A是集合B 的真子集，记为@简单高中生A B ⊂≠（或B A ⊃≠），读作集合A 真包含于集合B （或集合B 真包含集合A ）.集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.3.集合的相等如果集合A B ⊆，且B A ⊆，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，我们就称集合A 与集合B 相等，记为A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右.4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）A ∅⊆（A 是任意一个集合）；（2）A ⊂∅≠（A ≠∅）.1.3集合的运算1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B ⋃（读作“A 并B ”）.@简单高中生符号语言：{,}A B x x A x B ⋃=∈∈或.图形语言：理解：x A ∈或x B ∈包括三种情况：x A ∈且x B ∉；x B ∈且x A ∉；x A ∈且x B ∈.并集的性质：（1）A B B A ⋃=⋃；（2）A A A ⋃=；（3）A A ⋃∅=；（4）()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃；（5）A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃；（6）A B B A B ⋃=⇔⊆.2.交集自然语言：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ⋂（读作“A 交B ”）.符号语言：{,}A B x x A x B ⋂=∈∈且.图形语言：理解：当A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说A 与B 的交集是∅.@简单高中生交集的性质：（1）A B B A ⋂=⋂；（2）A A A ⋂=；（3）A ⋂∅=∅；（4）()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂；（5）A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆；（6）A B A A B ⋂=⇔⊆.3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .（2）补集的概念自然语言：对于一个集合A ，由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记为U A ð.符号语言：{,}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言：补集的性质（1）()U A A ⋂=∅ð；（2）()U A A U ⋃=ð；（3）()()()U U U A B A B ⋃=⋂痧；（4）()()()U U UA B A B ⋂=⋃痧.1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作@简单高中生p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.在生活中，q 是p 成立的必要条件也可以说成是:q ⌝⇒p ⌝（q ⌝表示q 不成立），其实，这与p q ⇒是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p ，则q ”为假命题，那么由p 推不出q ，记作/p q ⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有p q⇒，又有q p⇒就记作⇔.p q此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q⇔，那么p与q互为充要条件.@简单高中生“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“"”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.p x成立”可用符号简记为全称量词命题“对M中的任意一个x，有()p x，"Î，()x Mp x成立”.读作“对任意x属于M，有()（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“$”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.p x成立”可用符号简记为存在量词命题“存在M中的元素x，使()p x，x M∃∈，()p x成立”.读作“存在M中的元素x，使()2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：x M "Î，()p x ，它的否定：x M ∃∈，()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题.（2）存在量词命题的否定存在量词命题：x M ∃∈，()p x ，它的否定：x M "Î，()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.@简单高中生第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<.2.等式的基本性质性质1如果a b =，那么b a =；性质2如果a b =，b c =，那么a c =；性质3如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4如果a b =，那么ac bc =；性质5如果a b =，0c ≠，那么a b c c=.3.不等式的基本性质性质1如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a>⇔<性质2如果a b >，b c >，那么a c >.即a b >，b c >a c ⇒>.性质3如果a b >，那么a c b c +=+.由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <.性质5如果a b >，c d >，那么a c b d +>+.性质6如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >.性质7如果0a b >>，那么n n a b >（n N ∈，2n ≥）.2.2基本不等式1.重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.2.基本不等式如果0a >，0b >，则2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立.@简单高中生2a b +叫做正数a ，b 的算术平均数叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.（2）当0a >，0b >时，有211a b ≤+当且仅当a b =时，等号成立.（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知0x >，0y >，那么@简单高中生（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(0)a >0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++ac bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数的概念设A ,B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =,x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集.@简单高中生2.区间：设a ,b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)a b ,(,]a b .这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示{}x a x b ≤≤闭区间[,]a b {}x a x b <<开区间(,)a b{}x a x b ≤<半开半闭区间[,)a b{}x a x b <≤半开半闭区间(,]a b （4）实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞(,]b -∞，(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.定义符号数轴表示{}x x -∞<<+∞(,)-∞+∞{}x x a ≥[,)a +∞{}x x a >(,)a +∞{}x x b ≤(,]b -∞{}x x b <(,)b -∞注意：@简单高中生（1）“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.（2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.@简单高中生函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.6.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1）,0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩，（2）22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩.说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.@简单高中生3.2函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆I.如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下：①设值：设12,x x D ∈，且12x x <；②作差：12()()f x f x -；③变形：对12()()f x f x -变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；@简单高中生④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值①最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.②最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =.那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立；③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；@简单高中生②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；③如果奇函数当0x =时有意义，那么(0)0f =.即当0x =有意义时，奇函数的图象过坐标原点；④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.3.3幂函数1.幂函数的概念一般地，形如y x α=（R α∈，α为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究1α=，2，3，12，1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y 定义域RRR[0,+)∞(,0)(0,+)-∞⋃∞值域R[0,+)∞R[0,+)∞(,0)(0,+)-∞⋃∞奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在(,0]-∞上递减在[0,+)∞上递增增函数增函数在(,0-∞），0,+)∞（上递减定点(1,1)3.4函数的应用（一）略.第四章指数函数与对数函数4.1指数1.n 次方根与分数指数幂（1）方根如果n xa =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n 方表示.@简单高中生②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >）.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0=.叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.关于根式有下面两个等式：n a =；,,a na n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mna=0a>，m，*n N∈，1n>）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂1mnmnaa-=0a>，m，*n N∈，1n>）.0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质①r s r sa a a+=（0a>，r，s Q∈）；②()r s rsa a=（0a>，r，s Q∈）；③()r r rab a b=（0a>，0b>，r Q∈）.3.无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当x是无理数时，x a是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x的不足近似值m和过剩近似值n逐渐逼近x时，m a和n a都趋向于同一个数，这个数就是x a.所以无理数指数幂x a（0a>，x是无理数）是一个确定的数.@简单高中生（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.①r s r sa a a+=（0a>，r，s R∈）；②()r s rsa a=（0a>，r，s R∈）；③()r r rab a b=（0a>，0b>，r R∈）.4.2指数函数1.指数函数的概念函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域R值域(0,)+∞性质（1）过定点(0,1)，即0x =时，1y =（2）在R 上是减函数（2）在R 上是增函数4.3对数1.对数的概念一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.@简单高中生当0a >，且1a ≠时，log N x a a N x =⇔=.2.两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N .3.关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a =.4.对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N =-；（3）log log n a a M n M =（n R ∈）.5.换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.4.4对数函数1.对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞.@简单高中生2.对数函数的图象和性质01a <<1a >图象定义域(0,)+∞值域R3.反函数指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.4.不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数x y b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数x y b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，x y b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x =（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log x a b kx x >>.4.5函数的应用（二）1.函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以@简单高中生方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点性质（1）过定点(1,0)，即当1x =时，0y =.（2）增函数（2）减函数⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.2.用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.@简单高中生给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <.（2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间：①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点；②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =；③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3.函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章三角函数5.1任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.@简单高中生（4）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.位置表示终边在x 轴非负半轴{360,}k k Z αα=⋅︒∈终边在x 轴非正半轴{180+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在x 轴{180,}k k Z αα=⋅︒∈终边在y 轴非负半轴{90+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在y 轴非正半轴{270+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在y 轴{90180,}k k Z αα=︒+⋅︒∈终边在坐标轴{90,}k k Z αα=⋅︒∈2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.@简单高中生在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，那么l rα=.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α（rad ），半径为R ，弧长为l ，则有①l R α=；②212S R α=；③12S lR =.5.2三角函数的概念1.三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即@简单高中生sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记作tan α，即tan yxα=（0x ≠）.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin y α=，x R ∈；余弦函数cos y α=，x R ∈；正切函数tan y α=，2x k ππ≠+（k Z ∈）.设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(,)x y ，点P 与原点的距离为r =.可以证明：sin y r α=；cos xr α=；tan y xα=.（2）几个特殊角的三角函数值0，2π，π，32π的三角函数值如下表所示：α函数2ππ32πsin α0101-cos α101-0tan α不存在0不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.@简单高中生sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈.2.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系22sin cos 1αα+=.（2）商数关系sin tan cos ααα=.作用：（1）已知α的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；@简单高中生（3）证明三角函数恒等式.5.3诱导公式1.公式二sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=.2.公式三sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-.3.公式四sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-.小结：（1）2k απ+⋅（k Z ∈），πα+，α-，πα-的三角函数，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：4.公式五sin()cos 2παα-=，cos()sin 2παα-=.5.公式六sin()cos 2παα+=，cos()sin 2παα+=-.小结：2πα-，2πα+的正弦（余弦），等于α的余弦（正弦），前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.5.4三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数sin y x =的图象.①画点00(,sin )T x x @简单高中生在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，O 与x 轴正半轴的交点为(1,0)A .在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转0x 弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标00sin y x =.由此，以0x 为横坐标，0y 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点00(,sin )T x x .。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义讲义新人教A版必修第一册
第1课时集合的含义1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常见的数集及表示符号1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．清华大学2019年入学的全体学生D[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D.]2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4C[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]3．用“∈”或“∉”填空：1________N；－3________Z；2________Q；0________N*；5________R.2[答案]∉∈∉∉∈4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.3[由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]集合的基本概念【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是( )①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③ D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．0,1,2[∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2. 即集合A中的元素为0,1,2.] 集合中元素的特性及应用[探究问题]1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？ 提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？ 提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．[思路点拨]A 中含有元素：1和a 2――→a ∈Aa ＝1或a 2＝a――→求a 的值检验集合中元素的互异性[解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分． 提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．( )(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( )[答案](1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B 项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C 项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.] 4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.。
新人教版高中数学必修第一册1.1 集合的概念
点构成了直线
（5）方程x 2 + 9x − 10 = 0的所有解；
= , = −
（6）地球上的七大洲
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。
什么是集合？什么是元素？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ x | = − 1｝，
｛ | = − 1｝， ｛ , | = − 1｝分别是三个不同的集合.
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛ = 2｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z；
注意写法
【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】 全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
N*
N
Z
Q
R
集合的3种表示方法之列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；
对于C，当 = 3, = 4时，3 = 3，则 = 9；
4
对于D，当 = 4, = 3时，3 = 4，则 = 12；
= 4，则 = 16，不满足题意
4
= 3，则 = 12，满足题意
【②已知元素与集合的关系求参数】
（1）若集合A中含有三个元素 − 3,2 − 1, 2 − 4，且-3∈A，求
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义
最新课程标准：（１）在具体情境中，了解空集的含义．（２）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B（或B⊇A），读作A包含于B或B包含A错误!“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈Ｂ．知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.错误!１．若A ⊆B，又B ⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A ⊆B，且B ⊆Ａ．２．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三真子集文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset）．符号语言：A B（或B A）．错误!在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉Ａ．知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点五子集的性质１．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.２．对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.[教材解难]教材P8思考{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．[基础自测]１．下列四句话中：１∅＝{0}；２空集没有子集；３任何一个集合必有两个或两个以上的子集；４空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：由空集的性质可知，只有４正确，１２３均不正确．答案：B２．集合{0,１}的子集有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：集合{0,１}的子集为∅，{0}，{１}，{0,１}．答案：D３．已知集合A＝{x|—１—x<0}，则下列各式正确的是（）Ａ．0⊆AＢ．{0}∈AＣ．∅∈AＤ．{0}⊆A解析：集合A＝{x|—１—x<0}＝{x|x>—１}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D４．已知集合A＝{—１,３,２m—１}，集合B＝{３，m２}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴２m—１＝m２，∴m＝１．答案：１题型一集合间关系的判断[经典例题]例１（１）下列各式中，正确的个数是（）１{0}∈{0,１,２}；２{0,１,２}⊆{２,１,0}；３∅⊆{0,１,２}；４∅＝{0}；５{0,１}＝{（0,１）}；⑥0＝{0}．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）指出下列各组集合之间的关系：１A＝{—１,１}，B＝{（—１，—１），（—１,１），（１，—１），（１,１）}；２A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；３M＝{x|x＝２n—１，n∈N*}，N＝{x|x＝２n＋１，n∈N*}．【解析】（１）对于１，是集合与集合的关系，应为{0}{0,１,２}；对于２，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于３，空集是任何集合的子集；对于４，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于５，{0,１}是含有两个元素0与１的集合，而{（0,１）}是以有序数组（0,１）为元素的单元素集合，所以{0,１}与{（0,１）}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故２３是正确的，应选Ｂ．（２）１集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．２等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.３方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“１”，而集合N不含元素“１”，故N M.方法二由列举法知M＝{１,３,５,7，…}，N＝{３,５,7,9，…}，所以N M.【答案】（１）B （２）见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断１２３４⑥，对于５应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法（１）用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.（２）数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练１（１）若集合M＝{x|x２—１＝0}，T＝{—１，0,１}，则M与T的关系是（）Ａ．M TＢ．M TＣ．M＝TＤ．M T（２）用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：（１）因为M＝{x|x２—１＝0}＝{—１,１}，又T＝{—１,0,１}，所以M T.（２）根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：（１）A （２）见解析错误!（２）学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆Ｃ．题型二子集、真子集及个数问题[教材P8例１、２]例２（１）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．（２）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：１A＝{１,２,３}，B＝{x|x是8的约数}；２A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】（１）集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．（２）１因为３不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．２因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．错误!（１）题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．（２）题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思１．求集合子集、真子集个数的三个步骤２．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为２n，真子集的个数为２n—１，非空真子集的个数为２n—２．跟踪训练２（１）已知集合A＝{x∈R|x２—３x＋２＝0}，B＝{x∈N|0<x<５}，则满足条件A C B的集合C的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）已知集合A＝{x∈R|x２＝a}，使集合A的子集个数为２个的a的值为（）Ａ．—２Ｂ．４Ｃ．0 Ｄ．以上答案都不是解析：（１）由x２—３x＋２＝0，得x＝１或x＝２，所以A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４}，所以满足条件的C可为{１,２,３}，{１,２，４}．（２）由题意知，集合A中只有１个元素，必有x２＝a只有一个解；若方程x２＝a只有一个解，必有a＝0．答案：（１）B （２）C错误!（１）先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合Ｃ．（２）先确定关于x的方程x２＝a解的个数，然后求a的值．题型三根据集合的包含关系求参数[经典例题]例３已知集合A＝{x|１<ax<２}，B＝{x|—１<x<１}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．【解析】（１）当a＝0时，１A＝∅，满足A⊆B.（２）当a>0时，A＝错误!.又∵B＝{x|—１<x<１}，且A⊆B，∴错误!２∴a≥２．（３）当a<0时，A＝错误!.３∵A⊆B，∴错误!∴a≤—２．综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥２，或a≤—２}．错误!１欲解不等式１<ax<２，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a>0，a<0进行讨论．２A ⊆B用数轴表示如图所示：（a＞0时）由图易知，错误!和错误!需在—１与１之间．当错误!＝—１，或错误!＝１时，说明A 与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如错误!＝１时，A＝错误!，x 取不到１．３a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．方法归纳（１）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．（２）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．（３）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练３设集合A＝{x|x２—8x＋１５＝0}，B＝{x|ax—１＝0}．（１）若a＝错误!，试判定集合A与B的关系．（２）若B⊆A，求实数a的取值集合．解析：（１）由x２—8x＋１５＝0得x＝３或x＝５，故A＝{３,５}，当a＝错误!时，由ax—１＝0得x＝５．所以B＝{５}，所以B A.（２）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝错误!，由B ⊆A得错误!＝３或错误!＝５，所以a＝错误!或a＝错误!.综上所述，实数a的取值集合为错误!错误!（１）解方程x２—8x＋１５＝0，求出A，当a＝错误!时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．（２）分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．１B＝∅，此时a＝0；２B≠∅，此时a≠0．易错点忽略空集的特殊性致误例设M＝{x|x２—２x—３＝0}，N＝{x|ax—１＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a 的取值集合．【错解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝{—１}或{３}．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【正解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝∅或N＝{—１}或N＝{３}．当N＝∅时，ax—１＝0无解，即a＝0．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业２一、选择题１．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤１}和集合N＝{x∈R|x２＝x}关系的Venn图是（）解析：N＝{x∈R|x２＝x}＝{0,１}，M＝{x|x∈R且0≤x≤１}，∴N M.答案：B２．已知集合A＝{１,２,３}，B＝{３，x２,２}，若A＝B，则x的值是（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．±１Ｄ．0解析：由A＝B得x２＝１，所以x＝±１，故选Ｃ．答案：C３．已知集合A＝{—１,0,１}，则含有元素0的A的子集的个数为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,１}，{0，—１}，{—１,0,１}，共４个．答案：B４．设A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）Ａ．m>３Ｂ．m≥３Ｃ．m<３Ｄ．m≤３解析：因为A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥３．答案：B二、填空题５．已知集合：（１）{0}；（２）{∅}；（３）{x|３m<x<m}；（４）{x|a＋２<x<a}；（５）{x|x２＋２x＋５＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．解析：集合（１）中有元素0，集合（２）中有元素∅，它们不是空集；对于集合（３），当m<0时，m>３m，不是空集；在集合（４）中，不论a取何值，a＋２总是大于a，故集合（４）是空集；对于集合（５），x２＋２x＋５＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：（４）（５）6．已知集合A＝{１,３,５}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，{１}，{３}，{５}，{１,３}，{１,５}，{３,５}，{１,３,５}．注意到A中的每个元素出现在A的４个子集，即在其和中出现４次．故所求之和为（１＋３＋５）×４＝３6．答案：３67．若集合A{１,２,３}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{１}，{３}，{１,２}，{３,２}；若A中含有两个奇数，则A＝{１,３}．答案：５三、解答题8．已知{１,２}⊆A{１,２,３,４}，写出所有满足条件的集合A.解析：∵{１,２}⊆A，∴１∈A,２∈A.又∵A{１,２,３,４}，∴集合A中还可以有３,４中的一个，即集合A可以是{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}．9．已知M＝{２，a，b}，N＝{２a,２，b２}，且M＝N，试求a与b的值．解析：方法一根据集合中元素的互异性，有错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!再根据集合中元素的互异性，得错误!或错误!方法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴错误!即错误!∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时，由２得a＝0或b＝错误!.当a＝0时，由１得b＝１或b＝0（舍去）．当b＝错误!时，由１得a＝错误!.当b＝0时，a＝0（舍去）．∴错误!或错误![尖子生题库]１0．已知集合A＝{x|—３≤x≤４}，B＝{x|２m—１<x<m＋１}，且B⊆A.求实数m的取值范围．解析：∵B⊆A，（１）当B＝∅时，m＋１≤２m—１，解得m≥２．（２）当B≠∅时，有错误!解得—１≤m<２．综上得m≥—１．即实数m的取值范围为[—１，＋∞）．。
第一章-1.1-集合的概念高中数学必修第一册人教A版
A
1到20内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，是确定的.
√
B
如何才算著名？标准不明确.
×
C
我国古代四大发明为造纸术、指南针、火药、印刷术，是确定的.
√
D
集合中元素明确，能构成集合.
√
例1-2 ［教材改编P5习题1.1 T1］用符号“∈ ”和“∉ ”填空：
∉
∉
（1）设集合是正整数的集合，则0___，
设另一元素为,由集合中元素的互异性可得 ≠ 1且 ≠ 2，假设 ≠ 3，此时 = {1，
2，}， + 1 ∉ ， − 1 ∉ ，是B的一个“孤立元”，不合题意，故 = 3．
据此分析满足条件的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，
6，7}，{6，7，8}，共有6个．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
必备知识解读
知识点1 集合与元素的含义
例1-1 ［教材改编P2引例］［多选题］下列各对象可以组成集合的是( ACD
A.1到20内的所有质数
B.中国著名的数学家
C.我国古代四大发明
D.某学校2023～2024学年度第一学期全体高一学生
)
【解析】
选项
分析
结果
∈ ,对任意 ∈ ,都有 ⊕ = ⊕ = ,则称关于运算⊕ 为“融洽集”.现给出下
列集合和运算：
① = {|是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
② = {|是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③ = {|是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】① = {|是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意, ∈ ,都有
人教高中数学必修一A版《集合的概念》集合与常用逻辑用语教学说课(第二课时集合的表示)
已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2
＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝{2}时，集合 B＝( )
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
解析：选 D.由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且 Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出，p＝－3，q＝4.
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第一章 集合与常用逻辑用语
[注意] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数 集 R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R} 都是不确切的． (2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．
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第一章 集合与常用逻辑用语
用列举法表示下列给定的集合： (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A； (2)方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B； (3)小于 8 的素数组成的集合 C； (4)一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的图象的交点组成的集合 D. 解：(1)大于 1 且小于 6 的整数包括 2，3，4，5， 所以 A＝{2，3，4，5}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．描述法 一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为_{_x_∈__A__|P_(_x_)_}_，这种表示集 合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成 {_x_∈__A__：__P_(_x_) _ }或{_x_∈__A__；__P_(_x_) _ }．
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第一章 集合与常用逻辑用语
用描述法表示集合 用描述法表示下列集合： (1)函数 y＝－2x2＋x 图象上的所有点组成 的集合； (2)不等式 2x－3<5 的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合．