近独立粒子的最概然分布习题选解
第6-8章作业
第6-9章作业第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m h V2123322解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证明：对于一维自由粒子，有n L hn L p ==ηπ2dnL hdp =∴ 由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→p d h Ld 2n =再由 εεm m p 2p 22==得所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L hp n L h p ==,y y x x dn L h dp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为yx y x dp dp dn dn 22h L ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp h L pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用m p 22=ε则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
第六章_近独立粒子的最概然分布
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
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第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。
近独立粒子的最概然分布
空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量
1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2
21I（p2
1 sin2
p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0
p2 L2
1 2m
px2
p
2 y
pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子 质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0
1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布
为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述
热力学与统计物理答案(汪志诚)
第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV = VnRT P P nRT V ==; 所以, TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=α T PVRn T P P V /1)(1==∂∂=β P PnRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1T α= 1T pκ= ,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp p V dT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pV V T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以, dp dT V dV dp V dT V dV T T κακα-=-=,所以, ⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdp T dT V =-=⎰:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
第六章近独立粒子的最概然分布
S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。
§6.1 粒子运动状态的经典描述
1.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。
例如：气体中的分子； 金属中的离子和电子； 辐射场中的光子。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
pz2 )
等能面：px2 py2 pz2 2m
等能面是动量空间半径为 2m 的球面。
相空间体积（能量小于或等于ε）：
dxdydz dpxdpydpz
4 V (2m )3/2
3
③线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = -kx 作用下，将在原点附近作圆频率 ω= ������/������ 的简谐振动，称为线性谐振子。
玻
在麦氏速度分布律的基础上，第一次考虑
尔 兹
了重力对分子运动的影响，建立了更全面的玻
曼
尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。
dN
n0
(
m
2kT
3
)2
e
(
K
P
)
/
kT dv
x
dv
y dv
z
dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，
玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在
气体中双原子分子的振动，晶体中的原子或离子在平衡位置附 近的振动均可看作是简谐运动。
自由度：1 μ空间维数：2
广义坐标 : q x,
广义动量: p px mx
能量： p2 1 m2x2
第3章 近独立粒子的量子统计习题解答
第3章近独立粒子的量子统计（最该然统计理论Ⅱ）习题解答3-1 一系统由两个独立粒子组成,每个粒子可处于能量为EE2,,0的任一状态中,系统与大热源相平衡.试分别写出下列条件下系统的配分函数:(1)粒子是可分辨的;(2)粒子是不可分辨的Bose子;(3) 粒子是不可分辨的Fermi子.【解】：(1)、粒子可分辨，系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：用系统配分函数∑-=sE seβZ可得;()()()()()()()()()EEEEEEEEEEEEEEEEeeeeeeeeeeeeeβββββββββββββ4322222222321Z----+-+-+-+-+-+-+-+-+-++++=++++++++=(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子态上对粒子数没有限制。
系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：用系统配分函数∑-=sE seβZ可得;EEEE eeeeββββ43221Z----++++=（3）、粒子是不可分辨的Fermi子，每个量子态上最多容纳一个粒子。
系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：2EE系统 0 E E 2E 4E 2E 2E 3E 3E能级2EE系统 0 2E 4E E 2E 3E能级系统 E 2E 3E能级2EE用系统配分函数∑-=sE s e βZ 可得;E E E e e e βββ32Z ---++=3-2 试证明:对于理想Bose 气体和理想Fermi 气体有下列关系:U PV 32=,而对于光子气体有下列关系: U PV 31=,并分析两式不同的原因, 其中,P 、V 、U 分别为气体的压强、体积和内能. 【解】：（1）处在边长为L 的立方体中的理想Bose 气体和理想Fermi 气体，粒子的能量本征值为)()2(21222222z y x n n n n n n Lm m p zy x ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，… 可记为)(2)2(,,2222332z y x l n n n ma L V aV ++===- πε所以U V a V V a P l l l ll l3232==∂∂-=∑∑εε，即：U PV 32= （2）处在边长为L 的立方体中的光子气体，光子的能量本征值为21222)(2z y x nn n n n n Lc cp zy x ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…可记为21222331)(2,,z y x l n n n c h a L V aV ++===-πε所以U V a V V a P l l l ll l3131==∂∂-=∑∑εε，即：U PV 31= 两式不同的原因是：理想Bose 气体和理想Fermi 气体的粒子速度较低，属于非相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。
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习题5.1 （教材,Ｐ.228,6.1题）
试根据式（6.2.1）证明,在体积V 试根据式（6.2.1）证明,在体积V内,在ε到 ε+dε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为 +dε的能量范围内,
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
/2m代入上式可得 在体积V 代入上式可得， +dε 将ε=p2/2m代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范 围内, 围内,三维自由粒子的量子态数为
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
习题5.2 （教材,Ｐ.228,6.2题）
试证明,对于一维自由粒子，在长度L 试证明,对于一维自由粒子，在长度L内,在ε 到ε+dε的能量范围内,量子态数为 +dε的能量范围内,
（2）在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。每 在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。 种包含的微观态数如下： 种包含的微观态数如下：
Ω B−E =
∏
l
(ω l − 1 + a l )! a l ! (ω l − 1)!
Ω
'
B−E
3! 4! = ⋅ = 18 2!1! 2!2!
Ω
"
B−E
4 ! 3! = ⋅ = 12 3!1! 1!2 !
证明：在体积V内,动量大小在p到p+dp，动量方向在θ 证明：在体积V 动量大小在p p+dp，动量方向在θ 到θ+dθ，ϕ到ϕ+dϕ的范围内，自由粒子可能的状态数为 +dθ +dϕ的范围内，
π 2π V 2 4πV 2 D ( p ) dp = 3 p dp ∫0 sin θ ∫0 dϕ = 3 p dp h h
解：（1）在经典粒子情形中，粒子按能级分布有 ：（1 在经典粒子情形中， 两种。每种包含的微观态数如下： 两种。每种包含的微观态数如下：
Ω = N ! ⋅ ∏ a l!
l
∏
ω
a l
l
4! Ω1 = ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 216 2!2!
Ω2
4! = ⋅ 2 3 ⋅ 3 1 = 96 3!1!
2 L m 1/ 2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
习题5.3 （教材,Ｐ.228,6.4题）
在极端相对论情形下, 在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系 为ε=cp，c为光速。试求在体积V内,在ε到ε+dε的 =cp， 为光速。试求在体积V 在体积 +dε 能量范围内三维自由粒子的量子态数。 能量范围内三维自由粒子的量子态数。
4π V 2 D (ε ) d ε = ε dε 3 ( ch )
习题5.4
解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计, 解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计,并回答 在什么情况下, 在什么情况下,上述三种类型的统计之间的差别变得不 重要? 重要?
解:(1)玻耳兹曼统计:对定域系，粒子是可分辨 :(1)玻耳兹曼统计 对定域系， 玻耳兹曼统计: 的，每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 能级ε 能级εl上的平均粒子数为
al = ω le
其中ω 为能级ε 的简并度。 其中ωl为能级εl的于费米子组成的体系，粒子不可分 费米统计：对于费米子组成的体系， 辨，满足泡利不相容原理，能级εl上的平均粒子数为 满足泡利不相容原理，能级ε
al =
ω
e
α + βε
l
l
+ 1
玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制，能 级ει上的平均粒子数为
2L m 1/2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
证明：在长度L内,动量大小在p到p+dp的范围内， 动量大小在p p+dp的范围内， 证明：在长度L 的范围内 自由粒子可能的状态数为
2L D( p )dp = dp h
/2m代入上式可得 代入上式可得， 将ε=p2/2m代入上式可得，一维自由粒子的量子态数为
al =
ω
e
α + βε
l
l
− 1
时，玻耳兹曼统计,费 玻耳兹曼统计,
（2）由（1）可知，当 可知，
e − α 〉〉 1
米统计和玻色统计之间的差别消失。 米统计和玻色统计之间的差别消失。
习题5.5
设某种粒子可能的能量值为ε =0， 设某种粒子可能的能量值为ε1=0，ε2=ε0， ε3=2ε0 ， =2ε ε4=3ε0 ，…， ε1=能级的简并度为2，其余各能级均为 =3ε 能级的简并度为2 3。设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统，系统 设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统， 的总能量E=2 。（1 假设粒子是经典粒子， 的总能量E=2ε0。（1）假设粒子是经典粒子，粒子按 E=2ε 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（2）假设粒子 ？（2 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（ 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种，又各含多少微 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种， 观态？ 观态？
解：在体积V内,动量在p到p+dp的范围内，自由粒子 在体积V 动量在p p+dp的范围内， 的范围内 可能的状态数为
4π V D ( p ) dp = p 2 dp h3
将p=ε/c代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范围 p=ε/c代入上式可得，在体积V 代入上式可得 +dε 内,三维自由粒子的量子态数为