近独立粒子的最概然分布
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
第六章近独立粒子的最概然分布
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
热力学与统计物理--第四章-近独立粒子的最概然分布
19、20世纪交替时，牛顿力学在解释黑体辐射与固 体低温比热时，遇到不可跨越的困难，需建立新的力学 框架——量子力学，其基本原理如下：
Duality of wave—particle for a micro-particle
1924年提出了de Broglie Relation；
h
p
k
Uncertainty relation： q p h
宏观体系是由大量原子和分子组成的。例如，在标准状 况下的气体，每立方厘米有 2.69 1019 个分子。物体的宏 观性质（压强、比热、相变等）是大量分子运动的平均 结果。
如果想根据牛顿力学来确定气体的宏观性质，就要 求解 1019个相互碰撞的分子的牛顿方程。显然，这在
实际上是不能办到的，而且也没有必要，因为大量 粒子组成的体系出现了新的规律性——统计规律性。 根据这种新的规律性，就能确定宏观物体的性质。
1
h3
dpx dp y
L 0
dxdy
A h2
dpx dp y
在A内 p p dp 范围内可能的微观状态数为:
A
h2
2
pdp
0
d
2 A
h2
pdp
2 Am
h2
d
D( )d
p2 / 2m
md pdp
D( ) 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对
上面各式乘2。
4 Am
h2
d
D( )d
动量与坐标不可同时确定，h 为planck常数。
在量子力学中粒子的微观状态——量子态：由一组量子数描 述，量子数之数目等于粒子的自由度数.
1．线性谐振子：双原子分子的相对振动，晶格振动
一维： 由一个量子数 n 描述状态，能量可能值
第六章_近独立粒子的最概然分布
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。
第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m
V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
第章--近独立粒子的最概然分布PPT课件
.
3
二. 几个例子 1. 自由粒子 自由度：r=3
μ空间维数：6
广义坐标：q1 x, q2 y, q3 z
广义动量： p1 px mx, p2 py my, p3 pz mz,
动能：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
相迹：以一维为例
px
(6.1.3)
.
x
4
Lx
2. 一维线性谐振子 one dimension linear harmonic oscillator
(6.2.4)
能级非简并
What about 3D?
3. 转子
Degenerate !
量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的
M 2 l(l 1)2 ,
l 0,1,2
M z m,
m l,l 1,,l 1,l
自由度为2，等于量子数个数：l, m
转子能量：
E M 2 l(l 1)2
2I
质量: m
电荷： e
自旋角动量量子数：1/2
自旋磁矩：
自旋角动量：S
e
Sm
沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量
Sz ms
自旋磁矩和势能为
z
e m
ms
e 2m
B
ms
1 2
E
eB m
ms
e 2m
B
描述自旋状态只要一个量子数 ms .
12
2. 线性谐振子
n
(n
1 ), 2
n 0,1,2
代表点的轨道是如下椭圆：
p2 2m
x2 2
1
.
m2
5
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
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空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量
1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2
21I（p2
1 sin2
p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0
p2 L2
1 2m
px2
p
2 y
pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子 质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0
1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）
（二）转子
L2
电子自旋量子数= 1 2
自旋角动量的状态：自旋角动量的大小（自旋量子数S)
自旋角动量在其本征方向的投
如谐振子：
n
(n 1)
2
转子的能级是非均匀分部的
n 0,1,2……
l
l 1
l
（l
1）(l 2I
2)
2 （l l 1） 2I
2 （l 1） I
2
MUSIC
（三）自旋角动量:
基本粒子自旋具有角动量的性质
自旋角动量 S
S 2 S(S 1) 2
S 自旋量子数 整数或半整数
l
（l l 1） 2I
2
转子的能级 l 只和 l 有关,
但量子态却与m和l有关
l的量子态有2l 1个 l是简并的，简并度为2l 1
MUSIC
2.简并和简并度
简并：处于同一能级的量子态不止一个，称该能级为简并， 该能级的量子态数称为简并度.
非简并：如果某一能级只有一个量子态，该能级称为非 简并.
粒子运动
遵从经典力学 遵从量子力学
经典描述 量子描述
MUSIC
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典描述（经典力学）
粒子
微观运动描述
量子描述（量子力学）
经典描述（经典力学）
系统
量子描述（量子力学）
MUSIC
§1 粒子运动状态的经典描
q1……qr，
近独立粒子的最概然分布
1 粒子运动状态的经典描述 2 粒子运动状态的量子描述 3 系统微观运动状态的描述 4 等概率原理 5 分布和微观状态 6 玻耳兹曼分布 7 玻色分布和费米分布 8 三种分布关系
MUSIC
统计物理学
宏观物质系统由大量微观粒子组成 物质的宏观特性是由大量微观粒子行为的集体表现
宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值
2I
MUSIC
L2 （l l 1） 2 l 0，1，2……（转动量子数）
LZ m
m l， l 1，…，l，或表明m 0，1， 2，…， l
m l,对每一个l的值，m则有2l 1个值
此时r 2 l、m两个量子数，l：转动量子数，m：磁量子数
1.空间量子化：
量子数在空间的取向，不是任意的，而是量子化的，取分立值.
2I 2I
MUSIC
两粒子组成的刚性转子:
两粒子 m1 和m2
m m
绕质心转动:
m
m1m2 m1 m2
21I（p2
1
sin2
p2）
转动动能:
p2 L2
2I 2I
MUSIC
§2 粒子运动状态的量子描述
一、量子力学简介（波函数、薛定谔方程略）
1.德布罗意波假设
px2 1 Ax2 px2 1 m2x2
2m 2
2m 2
px2
2m
x2
2
1
m 2
MUSIC
令b
2 m 2
a 2m
面积：S ab
2m
2 m 2
2
三、转子
1 m（x2 y2 z2）
2
球极坐标r，，
MUSIC
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
1 m（r2 r2 2 r2 sin2 2）
2
r0 1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
若r=2，即为
四维空间，有
，
p，p
MUSIC
p mr2 p mr2 sin2
p1……pr，
2r个变量
粒子的能量： （ q1…qr，p1…pr）
1.以2r个变量为直角坐标系，构造的2r维空间，称为空间.
2.空间中的一点 代表粒子的一个运动状态. 3.点在空间中移动，能描出一条轨道，称相轨道.
MUSIC
二、举例
（一）自由粒子
1.一维自由粒子
r 1 x px mx
qp h
q 0 p 0
p q
q是坐标不确定范围，p是动量不确定范围
说明粒子的运动不是轨道运动
MUSIC
在量子力学中微观粒子的运动状态——量子态：由一组量 子数描述，量子数之数目等于粒子的自由度数
3.量子态与量子数
遵循量子力学规律的粒子，其运动状态称为量子态. 表征量子态的一组参数称为量子数.
，p ，k
微观粒子具有粒子和波动的二象性
，p ，k
（粒子性） （波动性）
p k k 2
（ h 6.626 1034 1.0551034）
2
2
MUSIC
2.测不准关系
在量子理论里，无法确定粒子的确切位置，
既然我们无法判断某一粒子某一时刻的准确位置，只能断 定某一时刻，粒子在某一相格出现的几率。但是具体是哪 个粒子在此相格中我们也是无法确定的。