四川省高中2015届高三“名校联盟”测试理数试题 扫描版无答案
2015年高考四川卷理科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川）理科一、选择题1.设集合{x/(x+1)(2)0},A x =-<集合{x/1<x<3}B =，则AB = A.{X/-1<X<3} B.{X/-1<X<1}C.{X/1<X<2}D.{X/2<X<3}2.设i 是虚数单位，则复数32i i-= A.-i B.-3i C.i. D.3i3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是A.-12D 124.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是A.y cos(2)2.sin(2)2.sin 2cos 2.sin cos x B Y x C Y x xDY x xp p =+=+=+=+ 5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（A（B） （C ）6 （D）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）68.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81210.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，二.填空题11.在8)12(-x 的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）。
2015年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．46．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9D．68．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年高考四川理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． (1）【2015年四川,理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =( ）(A ）{}1|3x x -<< (B){}|11x x -<< （C ）{}|12x x << (D){}|23x x << 【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<,{|13}A B x x ∴=-<<,故选A ． （2）【2015年四川，理2】设i 是虚数单位,则复数32i i-=（ ）（A)i - (B ）3i - (C ）i （D)3i 【答案】C【解析】3222ii i i 2i i i i-=--=-+=,故选C ．（3）【2015年四川,理3】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( ）（A ）3 （3 (C ）12- （D ）12【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的步骤，所以51sin 62S π==，故选D ．(4）【2015年四川,理4】下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ (C)sin 2cos2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+【答案】A 【解析】显然对于A ，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称,且最小正周期是π,符合题意，故选A ．（5）【2015年四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点,则||AB =（ ) （43（B ）23 （C)6 (D ）43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3y x =，且右焦点(2,0),则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A 3),B (2,23)-，∴||43AB =D ．（6）【2015年四川，理6】用数字0,1,2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 (B ）120个 （C)96个 (D ）72个 【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448C A =种, 综上所述：总共有72+48=120种，故选B ．(7）【2015年四川,理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ )（A ）20 （B)15 （C ）9 （D)6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，()3,0M ，()4,2N ,∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ⋅=-+=,故选C ．（8）【2015年四川，理8】设a ,b 都是不等于1的正数，则“331a b >>"是“log 3log 3a b <”的（ ）(A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 (C)必要不充分条件 （D)既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知条件333a b >>可得1a b >>．当1a b >>时，33log log 0a b >>．∴3311log log a b<，即log 3log 3a b <．∴“333a b >>"是“log 3log 3a b <”的充分条件．然而取1133a b =<<=则log 30log 3a b <<,满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>．∴“333a b >>"是“log 3log 3a b <”的不必要条件．综上“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选B ．(9)【2015年四川，理9】如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，则mn的最大值为（ ）（A)16 (B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】()()'28f x m x n =-+-,由于()f x 单调递减得:∴()0f x '≤，∴()280m x n -+-≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．设()()28g x m x n =-+-，则一次函数()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为非正数．∴只须在两个端点处102f ⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭和()20f '≤即可．即()()128022280m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩①②，由②得:()1122m n ≤-．∴()211121218222n n mn n n +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭．mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18．经验证，3,6m n ==满足条件①和②,故选B ．（10）【2015年四川,理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=> 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点． 若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ）（A ）()1,3 (B ）()1,4 （C ）()2,3 (D ）()2,4 【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()5cos ,sin M r r θθ+，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,()()()1212124y y y y x x +-=-，当直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时,可得：()()1212121222sin 4sin AB y y r y y x x k x x r θθ--=-⇒==-， 又∵sin 0sin 5cos 5cos MC r k r θθθθ-==+-，∴1cos sin AB MC k k θθ=-=-, ∴2cos 22sin sin cos r r θθθθ=-⇒=-> 由于M 在抛物线的内部，∴()()()2sin 45cos 204cos 204212r r r θθθ<+=+=+⨯-=，∴sin r θ<2sin 164r r r r θ==<<⇒<，因此，24r <<，故选D ．第II 卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分(11）【2015年四川，理11】在()521x -的展开式中,含2x 的项的系数是 ． 【答案】—40【解析】由题意可知2x 的系数为：22352(1)40C ⨯⨯-=-．（12）【2015年四川,理12】°°sin15sin 75+的值是 ．【解析】()sin15sin 75sin15cos15154560︒+︒=︒+︒=︒+︒︒==． （13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间y (单位：小时）与储藏温度x (单位:°C ）满足函数关系kx b y e +=( 2.718e =为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在°23C 的保鲜时间是48小时,则该食品在°33C 的保鲜时间是________小时． 【答案】24【解析】0+192k b e ⨯= ①，2248k b e ⨯+= ②，∴221142k k e e ==⇒=②①，∴当33x =时，33k b e x += ③，∴()3331248192k k xe e x ====⇒=③①．(14）【2015年四川，理14】如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．【答案】25【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴,AQ 为z 轴建立空间直角坐标系,并设正方形边长为2，则()0,0,0A ，()2,1,0F ，()1,0,0E ，()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-∴cos 5AF EM AF EMθ⋅==⋅令[]()0,2)f m m =∈()f m '=[]0,2m ∈,()0f m '∴<max 2()(0)5f m f ∴==，从而max2cos 5θ=． (15）【2015年四川，理15】已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+（其中a R ∈)．对于不相等的实数1x ，2x ,设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题:（1） 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >； （2） 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ,都有0n >； （3） 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-．其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】(1) （4）【解析】(1）设1x ，2x ，∵函数2xy =是增函数，∴1222x x >，120x x ->,则1212()()f x f x m x x -=-=12x 1222x x x -->0,所以正确;（2）设12x x >,则120x x ->,∴()()22121122121212g x gx x ax x ax n x x a x x x x -+--===++-- 不妨我们设121,2,3x x a =-=-=-，则60n =-<，矛盾,所以(2)错．A（3)∵m n =，由(1)（2）可得：()()()()12121212f x f xg x g x m n x x x x --===--，化简得到,()()()()1212f x f x g x g x -=-,也即()()()()1122f x g x f x g x -=-,令()()()22x h x f x g x x ax =-=--，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ．则()2'2ln 2x h x x a =--,2()2ln 2x h x x a '=--，显然当a →-∞时，()'0h x >恒成立,即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点,不满足题意，所以错误．（4）同理可得()()()()1122f x g x g x f x +=+，设()()()22x h x f x g x x ax =+=++，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ,从而()h x 不是恒为单调函数．()'2ln 22x h x x a =++，()()2''2ln 220x h x =+>恒成立,∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>．所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【2015年四川，理16】(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．解：（Ⅰ)当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---，则12n n a a -=(2)n ≥,12n n aa 2n ,∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴⋅+=+，∴12a =，∴2n n a =*()n N ∈(Ⅱ）由题意得112n n a =，∴111[1()]11221()12212n nn n i i T =-===--∑,则2111-=()22n nT -=（），又1091111,210242512==,即11110241000512<<111000n T ∴-<成立时,n 的最小值为10n =． （17）【2015年四川,理17】（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐3名男生，2名女生,B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．解：(Ⅰ)设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”,可以采用反面求解：33343366199()11100100C C P A C C =-⋅=-=（Ⅱ)由题意，知1,2,3X =,3133461(1)5C C P X C ===；2233463(2)5C C P X C ===；1333461(3)5C C P X C === 因此期望为：131()1232555E X =⋅+⋅+⋅=．（18）【2015年四川,理18】(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中,设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ．（Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(Ⅱ）证明:直线//MN 平面BDH ;（Ⅲ)求二面角A EG M --的余弦值． 解:（Ⅰ)如下图所示：(Ⅱ)如答图所示，连接BD ,AC 相交于点O ,连接MO∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且1122MO CD GH NH ===∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ,又∵OH ⊂平面BDH ，∴//MN 平面BDH (Ⅲ）连接EG ,过点M 作MP AC ⊥于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ,由三垂线定理可得EG MQ ⊥,∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==， ∴2MC a =,∵45MCP ∠=︒，MP =,所以tan MP PQM PQ ∠===，所以cos PQM ∠=，所以cos cos A EG M MLK <-->=∠=（19）【2015年四川，理19】（本小题满分12分)如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(Ⅰ）证明:1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ)若180o A C +=,6AB =,3BC =，4CD =，5AD =,求tan tan tan tan 2222A B C D+++．解：（Ⅰ)证明:2sin 2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A-===⋅． （Ⅱ)∵180o A C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =︒-=-=︒-=，∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tantan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A---++=+=+=，∵180o A C +=,∴180o B D += 同理可得2tan tan 22sin B D B +=，∴11tan tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭连接BD ，设BD x =,在ABD ∆和CBD ∆中分别利用余弦定理及180o A C +=可得:cos cos A C =-， 即22222265342234x x +-+-=-⋅⋅,解得22477x =，从而得3cos 7A =，sin A =同理可得，1cos 19B =， sin B =∴11tan tan tan tan 2()2222sin sin A B C D A B +++=+==． （20）【2015年四川，理20】（本小题满分13分)如图，椭圆2222:1x y E a b+=，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点．当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为 (Ⅰ）球椭圆E 的方程;（Ⅱ)在平面直角坐标系xoy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立?若存在，求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．CAECA EEACE解：(Ⅰ）由题知椭圆过点()2,1．因此可得：2222222211c e a a b a b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得：2a =，2b c ==．∴椭圆E 的方程为：22142x y +=．(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ．当直线l 平行于x 轴时，则1QA PA QBPB==，,A B 两点关于y 轴对称，∴Q 点在y 轴上．不妨设()0,Q a ，当直线l 垂直于x 轴时，()()0,2,0,2A B -， 212212QA PA a QBPBa --===++，解得2a =或1a =(舍去，否则Q 点就是P 点），∴P 点的坐标为()0,2．下面我们证明对于一般的直线:1l y kx =+，()0,2Q 也满足题意． ∵QA PA QBPB=，∴由角平分线定理可知，y 轴为AQB ∠的角平分线．所以QA QB k k =-．设()11,A x y ，()22,B x y ,则111y kx =+,221y kx =+，联立：22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 可得，()2212420k x kx ++-=, 由韦达定理可得,122412k x x k +=-+，122212x x k -=+， ∴11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x --===-，两式相加得,121212112+2220QA QB x xk k k k k k x x x x ⎛⎫++=-=-=-= ⎪⎝⎭，即QA QB k k =-,从而,假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ,使得QA PAQB PB=恒成立． （21)【2015年四川，理21】(本题满分14分)已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；(Ⅱ）证明:存在()0,1a ∈，使得()0f x ≥在区间()1,+∞内恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解．解：（Ⅰ)∵()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,∴求导可得，()2'2ln 222af x x x a x=---+-，即()()22ln 2220,0ag x x x a a x x==---+->>∴()()()222222'20,0x x a a g x a x x x x -+-=++=>>, 对于多项式2x x a -+，(1）当140a ∆=-≤,即14a ≥时,20x x a -+≥恒成立．此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增．(2）当104a <<时,一元二次方程20x x a -+=有两个实数根,设为12,x x ． 那么求根可得：111410,22a x --⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，21141,122a x +-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭①令()'0g x >,即()200x x a x -+<>,解得:10x x <<，2x x >．所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞，时单调递增．②令()'0g x <,即()200x x a x -+<>，解得：12x x x <<,所以()g x 在()12,x x ，时单调递减． 综上所述:当14a ≥时，()g x 在()0,+∞上单调递增． 当104a <<时，()g x在)+∞上单调递减．(Ⅱ)∵()0,1a ∈,∴由（Ⅰ）可知()()'f x g x =在()1,+∞内单调递增．又1x +→时，()()1lim ''1222240x f x f a a a +→==--+-=-<， 当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞=+∞>．而()'f x 在()1,+∞是单调递增的，因此在()1,+∞内必定存在唯一的0x 使得()00002'2ln 2220af x x x a x =---+-= ……………．． ① ∴当01x x <<时，()'0f x <,当0x x >时，()'0f x >，∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增,∴()()0min f x f x =． 由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解,∴必有()()0min 0f x f x ==． 即()()22000002ln 220f x x a x x ax a a =-++--+= ………………………． ② 由①式得到000ln 2a x x a x =+-+带入②式化简得:()()2232000025220a x x a x x +---=，即()()200220xx a x a -+-=,注意这里的a 比较容易解出,因此我们可以用0x 表示a ，解得：2x a =,2002a x x =- (1）当01(,1)22x a =∈时，带入①式可得,22ln 230a a --=…………………．． ③即讨③是否有解．令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a a a-=-=< ∴()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．又∵()11302h a h ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭,∴③式无解．（2）当2002a x x =-时，∵01a <<,∴012x <<,把2002a x x =-带入①式可得, 20022ln 60x x --= ………………．．④即讨论④是否有解．又设2000()22ln 6h x x x =--，()()2000002212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈, ∴()0'0h x >恒成立,∴0()h x 在()1,2上单调递增．∴()(1)4h x h >=-,()()222ln 20h x h <=->． ∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60x x --=在()1,2上有解． 从而命题得证！。
2015年高考理科数学四川卷及答案
数学试卷 第1页（共24页）数学试卷 第2页（共24页）数学试卷 第3页（共24页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．32- B ．32 C ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．433B ．23C ．6D ．436．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN=2NC ，则AM NM = （ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）. 2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共24页）数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （Ⅰ）证明：1cos tan2sin A AA-=； （Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足3BM MC=，2DN NC=，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD=+=+，2233AN AD DC AD AB=+=+，∴NM AM AN=-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN=-=-，22239216AM AB AB AD AD=++，22233342AM AN AB AD AB AD=++，||6AB=，||4AD=，∴22131239316AM NM AB AD=-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD=+=+，2233AN AD DC AD AB=+=+，2()AM NM AM AM AN AM AM AN=-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．数学试卷第7页（共24页）数学试卷第8页（共24页）数学试卷第9页（共24页）。
四川省高中名校联盟2015届高三理综试卷及
绝密★启用前四川省高中2015 届“名校缔盟”测试理科综合·生物理科综合共300分，考试用时150 分钟。
1. 生物试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷 2至4页，共90 分。
2.答卷前，考生务必然自己的姓名、考籍号填写在答题卡上；并在规定地址粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必然答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，只将答题卡交回。
第 I卷（选择题共42分）注意事项：1.每题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共 7 题，每题 6 分，共 42 分。
每题给出的四个选项中，每题只有一个选项吻合题意。
1．以下列图为某激素蛋白的合成、加工、分泌过程表示图e 表示细胞结构) 。
以下相关表达中正确的选项是（）( 其中物质X代表氨基酸；a、 b、 c 、 d、A. 分泌蛋白经过主动运输由d分泌出细胞需要e 供应能量B. 分泌蛋白在 a 、 b、 c、 d 之间都是经过囊泡运输在生物膜系统的囊泡运输中起重视要的枢纽作用D.X 在 a中合成分泌蛋白并在b和c中进行加工和修饰2．以下相关生物学实验的表达中，正确的选项是（）A.用黑藻叶片进行植物细胞质壁分别实验时，叶绿体的存在会搅乱实验现象的观察B.在用高倍显微镜观察线粒体实验中，盐酸办理细胞不利于健那绿对线粒体染色C.在低温引诱染色体加倍实验中，盐酸酒精混杂液和卡诺氏液都能够使洋葱根尖解离D.在光镜的高倍镜下观察新鲜菠菜叶装片，可见叶绿体的形态和结构3． PCNA 是一类只存在于正常增殖细胞和肿瘤细胞中的蛋白质，其浓度变化以以下列图所示。
下列推断错误的选项是（）A. 检测 PCNA 的浓度变化，可作为议论增殖状态的指标B. 解析 PCNA 基因的表达水平，可反响细胞的癌变程度C.PCNA 浓度与 DNA 含量之间的变化关系，推断PCNA 与 DNA 复制相关D. 依照 PCNA 的功能与特点解析，PCNA 基因是正常增殖细胞和肿瘤细胞特有的基因生物试题（第1页共4页）4．右图是胰岛素的作用表示图，胰岛素可使骨骼肌细胞和脂肪细胞膜上葡萄糖转运载体的数量增加。
2015年高考理科数学四川卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-= （ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A． BC ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 （ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A．3B． C ．6D．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN =2NC ，则AM NM =（ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）.2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b=>>，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a ＞. （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】∵集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合B={x|1＜x ＜3}，∴集合{|12}A x x =-<<， ∵A ∪B={x|﹣1＜x ＜3}，故选：A【提示】求解不等式得出集合{|12}A x x =-<<，根据集合的并集可求解答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵i 是虚数单位，则复数32i i -，∴4i 2121i i i i--==-=，故选：C【提示】通分得出4i 2i-，利用i 的性质运算即可【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得1k =，2k = 不满足条件4k >，3k = 不满足条件4k >，4k = 不满足条件4k >，5k =满足条件4k >，5π1sin62S ==，输出S 的值为12． 故选：D ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当5k =时满足条件4k >，计算并输出S 的值为12【考点】程序框图 4.【答案】A【解析】解：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 πsin 2cos22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；πsin 2cos224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法 5.【答案】D【解析】解：双曲线2213yx -=的右焦点（2，0），渐近线方程为y =，过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，2x =，可得A y =，B y =-，∴||AB =故选：D ．【提示】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解||AB ． 【考点】双曲线的简单性质 6.【答案】B【解析】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有32472⨯=个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有22448⨯=个，共有7248120+=个．故选：B【提示】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 【考点】排列、组合及简单计数问题 7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++， 22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴22131239316AM NM AB AD =-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+， 2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】B【解析】解：A 、B 都是不等于1的正数，∵333a b >>，∴1a b >>，∵l og 3l og 3a b <，∴3311log log a b <，即lg lg 0lg lg b a a b -<，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩ 求解得出：1a b >>,10a b >>>或1b >，01a <<根据充分必要条件定义得出：“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选：B ．【提示】求解333a b >>，得出1a b >>，log 3log 3a b <，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 9.【答案】B【解析】解：∵函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴①2m =，8n <对称轴82n x m -=--， ②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩即22120m m n >⎧⎨+-≤⎩ ③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩即22180m n m <⎧⎨+-≤⎩ 设22120x x y >⎧⎨+-≤⎩,22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩设k y x =，2ky x '=-，当切点为00()x y ,，k 取最大值． ①202k x -=-，202k x =，00212y x +=-，2000022x y x x ==，可得03x =，06y =，∵32x =>∴k 的最大值为3618⨯=②2012k x =，10200012x y x x ==，002180y x -+=，解得：09x =，092y =∵02x < ∴不符合题意．③2m =，8n =，16k mn ==综合得出：3m =，6n =时k 最大值18k mn ==，故选；B【提示】根据二次函数的单调性得出①2m =，8n <对称轴82n x m -=--，②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩构造函数22120x x y >⎧⎨+-≤⎩或22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩运用导数，结合线性规划求解最大值．【考点】二次函数的性质10.【答案】D【解析】解：设11()A x y ,，22()B x y ,，00()M x y ,，则斜率存在时，设斜率为k ，则2114y x =，2224y x =，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±所以交点与圆心(50),的距离为4，所以24r <<时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条，24r <<，故选：D ．【提示】先确定M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±(50),的距离为4，即可得出结论．【考点】抛物线的简单性质，直线与圆的位置关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】40-【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，515(2)(1)rrr r T C x -+=-；要求2x 的项的系数，∴52r -=，∴3r =，∴2x 的项的系数是2335()2140C =--． 故答案为：40-．【提示】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果 【考点】二项式定理的应用 12.【解析】解：sin15sin 75sin15cos15cos45cos15sin 45)60︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．． 【提示】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 13.【答案】24【解析】解：由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =． 代入函数e kx by +=，可得e 192b =，22e 48k b +=，即有111e 2k =，e 192b =，则当33x =时，331e 192248k b y +==⨯=． 故答案为：24．【提示】由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =．代入函数e kx by +=，解方程，可得k ，b ，再由33x =，代入即可得到结论． 【考点】函数与方程的综合运用 14.【答案】25【解析】解：根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设2AB =，则：(000)A ,,，(100)E ,,，(210)F ,,；M 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ，02y ≤≤；∴(1,,2)EM y =-，(2,1,0)AF =；∴cos |cos ,55EMAF θ==；数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）∴22244cos =5(y 5)y y θ-++，设22445(y 5)y y t -+=+，整理得：2(51)42540t y y t -++-=①，将该式看成关于y 的方程；（1）若15t =，则14y =-，不符合02y ≤≤，即这种情况不存在；（2）若15t ≠，①便是关于y 的一元二次方程，该方程有解；∴164(51)(254)0t t =---≥△；解得4025t ≤≤；∴t 的最大值为425；∴2cos θ的最大值为425，cos θ最大值为25．故答案为：25．【提示】首先以AB ，AD ，AQ 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，(02)M y ,,，从而可求出向量EM ，AF 的坐标，由cos cos ,EM AF θ=得到22244cos 5(5)y y y θ-+=+，可设22445(5)y y t y -+=+，可整理成关于y 的方程，根据方程有解即可求出t 的最大值，从而求出cos θ的最大值． 【考点】异面直线及其所成的角 15.【答案】①④【解析】解：对于①，由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得()g x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,递减，则0n >不恒成立，则②错误；对于③，由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()22ln 2xh x x a '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则③错误；对于④，由m n =-，可得1212[()()()(])f x f x g x g x -=--，考查函数2()2xh x x ax =++，()22ln 2x h x x a '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【提示】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数2()2xh x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数2()2xh x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断④．【考点】命题的真假判断与应用 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2n na = （Ⅱ）10【解析】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a -=，有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥-==﹣﹣﹣，即12(2)n n a a n ≥=﹣， 从而212a a =，32124a a a ==，又∵1a ，21a +，3a 成等差数列，∴11142(21)a a a ++=，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n na =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =，∴1122212[1()]1111122212nn n n T -=+++==--． 由1|1|1000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．∵9102512100010242=<<=，∴10n ≥． 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 【提示】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n ≥=﹣，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值． 【考点】数列的求和． 17.【答案】（Ⅰ）99100（Ⅱ）2【解析】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为：333433661100C C C C =，因此A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数，则X 的可能取值为：1，2，3，2333461(1)5C C P X C ===，2333463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===．则数学期望11232555EX =⨯+⨯+⨯=．【提示】（Ⅰ）求出A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（Ⅱ）求出X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（Ⅰ）如图 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）3【解析】解：（Ⅰ）F 、G 、H 的位置如图；证明：（Ⅱ）连接BD ，设O 是BD 的中点，∵BC 的中点为M 、GH 的中点为N ，∴数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）OM CD ∥，12OM CD =，HN CD ∥，12HN CD =，∴OM HN ∥，OM HN =，即四边形MNHO 是平行四边形，∴MN OH ∥，∵MN BDH ⊄平面；OH BDH ⊂面，∴MN BDH 直线∥平面；（Ⅲ）方法一：连接AC ，过M 作MH AC ⊥于P ，则正方体ABCD EFGH -中，AC EG ∥，∴MP EG ⊥，过P 作PK EG ⊥于K ，连接KM ，∴KM PKM ⊥平面则KM EG ⊥，则PKM ∠是二面角A EG M --的平面角，设2AD =，则1CM =，2PK =，在Rt CMP △中，sin 45PM CM =︒=，在R t P K M △中，KM ，∴cos 3PK PKM KM ∠==，即二面角A EG M --的余弦值为3． 方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图：设2AD =，则(120)M ,,，(0,2,2)G ，(2,0,2)E ，(1,1,0)O ，则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-，设平面EGM 的法向量为(x,y,z)n =，则00n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2x =，得(2,2,1)n =，在正方体中，DO AEGC ⊥平面，则(1,1,0)n DO ==是平面AEG 的一个法向量，则cos ,3||||9m n m n m n ====⨯．二面角A EG M --．【提示】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN BDH ∥平面； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 【解析】证明：（Ⅰ）222222sin 2sin 1cos tan cos2sin cos sin A AA A AAA A -===．等式成立．（Ⅱ）由180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，由（Ⅰ）可知：tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ---︒--︒-=+++︒-︒-22sin sin A B =+连结BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A -=+，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C -=+，所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD C +=-+-，则：2222222265343cos 2(AB AD BCCD)2(6534)7AB AD BC CD A +--+--===+⨯+÷． 于是sin A ==AC ， 同理可得：2222222263542(AB CD)2(63541)1cos 9AB BCAD CD BC ADF B +--+--==+⨯+÷=， 于是sin B=所以tan tantan tan2222A B C D +++22sin sin A B =+=【提示】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，利用（Ⅰ）化简22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，连结BD ，在ABD △中，利用余弦定理求出sin A ，连结AC ，求出sin B ，然后求解即可【考点】三角函数恒等式的证明20.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得QA PA QBPB=恒成立【解析】解：（Ⅰ）∵直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 ∴点在椭圆E ， ∴22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a =，b =，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，数学试卷 第19页（共21页）数学试卷 第20页（共21页）数学试卷 第21页（共21页）则有||||||||QA PA QB PB =，即||||QC QD =． ∴Q 点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则M 、N的坐标分别为、(0,，又∵||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为11)(,A x y 、22)(,B x y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=，∵22(4)8(12)0k k =++>△， ∴122412k x x k +=-+，122212x x k-=+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为22(,)x y -， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111OB y kx k k K x x x x --===-+=---， ∴AO QB k k =，即Q 、A 、B '三点共线，∴12QAQA x PA QB QB x PB==='． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得QA PA QBPB=恒成立．【提示】（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E截得的线段长为，2，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(02),．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有QA PAQB PB=即可． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()2()2ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，∴21124222()2()22()2x a a g x x x x -+-'=-+=． 当104a <<时，()g x在10,2⎛ ⎝⎭，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()g x 在(0,)+∞上单调递增． （Ⅱ）由()2()2ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+，令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则(1)10ϕ=>，211(2)2()2011e e e e e e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭． 故存在0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在(1,)+∞上单调递增．∴0011100()(1)()20111111u x u u e e a x e x ----=<=<=<++++． 即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==．由（Ⅰ）知，()f x '在(1,)+∞上单调递增，故当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，从而0()()0f x f x >=． ∴当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥．综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【提示】（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域，把函数()f x 求导得到()g x 再对()g x 求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数()g x 的单调期间； （Ⅱ）由()f x 的导函数等于0把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在定理得到0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，利用导数求得0(0,1)a ∈，然后进一步利用导数说明当0a a =时，若(1,)x ∈+∞，有()0f x ≥，即可得到存在(01)a ∈,，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。
【VIP专享】15年高考真题——理科数学(四川卷)
（C）x |1 x 2
（D） 3i
）
（C）96 个
（B）18
（B）
（D） 4 3
（C）25
（D） 2, 4
束束
） （A）144 个（来自）120 个7．设四边形ABCD为平行四边形，|AB | 6 ，| AD | 4 。若点 M , N 满足
BM 3MC ， DN 2NC ，则 AM NM （ ） （A）20 （B）15
（D）6
8．设 a, b 都是不等于 1 的正数，则“ 3a 3b 3 ”是“ loga 3 logb 3 ”的（ ）
点 M ，且 M 为线段 AB 的中点。若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）
（A） 1,3
（B） 1, 4
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
-1-/6
（C） 2,3
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2015年高考数学理科考试试题(四川卷-解析版)
绝密 ★ 启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分l50 分。
考试时间l20分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，选A.2.设i 是虚数单位，则复数32i i-(A) i - (B)3i - (C) i (D) 3i 【答案】C【解析】32222ii i i i i i i-=--=-+=，选C. 3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 (A) 32- (B) 32(C)-12 (D) 12【答案】D【解析】易得当k =1,2,3,4时执行的是否，当k =5时就执行是的步骤， 所以51sin62S π==，选D. 4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(A)cos(2)2y x π=+(B)sin(2)2y x π=+ (C)sin 2cos 2y x x =+ (D) sin cos y x x =+ 【答案】A【解析】显然对于A 选项，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题意,选A.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB = （A ）433（B ）23 （C ）6 （D ）43 【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3y x =±，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A (2,23)，B (2,23)-，∴||43AB =,选D.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种。