笔记(高一数学下提高-函数的单调性)
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质
高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。
高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵偶次方根的被开方数不小于0。
⑶对数式的真数必须大于0。
⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸指数为0时，底数不得为0。
⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。
⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵伸缩变换：在x前加上系数。
⑶对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
高一数学复习知识点讲解专题训练21---函数的单调性
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋a)<f(a)
D．f(a2＋1)<f(a2)
答案 D
解析 因为 f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数， 且 a2＋1>a2， 所以 f(a2＋1)<f(a2)．故选 D.
b 5．已知函数 y＝ax 和 y＝－x在(0，＋∞)上都是减函数，则函数 f(x)＝bx＋a 在 R 上是
数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用
“和”来表示；在单调区间 D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
1 跟踪训练 2 (1)函数 y＝x－1的单调递减区间是________．
答案 (－∞，1)，(1，＋∞)
1
1
解析 方法一 y＝x－1的图象可由 y＝x的图象向右平移一个单位得到，如图，
ax1(x2－1)－ax2(x1－1) ＝ (x1－1)(x2－1)
a(x2－x1) ＝(x1－1)(x2－1) 因为 x1，x2∈(－1,1)且 x1<x2， 所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
2 / 15
所以(x1－x21－)(xx21－1)>0， 当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以 f(x)在(－1,1)上单调递减， 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－1,1)上单调递增． 综上，当 a＝0 时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性； 当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上单调递增． 反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
高一数学人必修件时函数的单调性
对于函数$f(x)$，在区间$I$内，若对任意$x_1, x_2 in I$，当$x_1 < x_2$时， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
判定方法及性质
01
02
判定方法：通过求导或 差分来判断函数的单调 性。若函数在某区间内 导数（或差分）大于0， 则函数在该区间内单调 递增；若导数（或差分 ）小于0，则函数在该区 间内单调递减。
拓展延伸：其他类型函数单调性探讨
分段函数的单调性
复合函数的单调性
分段函数在不同区间内的单调性可能不同 ，需要分别讨论。
复合函数的单调性取决于内外函数的单调 性，遵循“同增异减”的原则。
抽象函数的单调性
高次函数和三角函数的单调性
对于抽象函数，可以通过给定的性质或条 件来判断其单调性。
典型例题分析与解答
例题2
求函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间。
分析
由于余弦函数在$[0, pi]$内单调递减，因此我们需要找到满足$0 leqslant x^2 - 2x leqslant pi$的$x$的取值范围。
解答
解不等式得$x^2 - 2x geqslant 0$和$x^2 - 2x leqslant pi$，解得$x leqslant 0$或$x geqslant 2$， 且$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 leqslant 1 + pi$，所以函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间为$[ sqrt{1 + pi}, 0] cup [2, 1 + sqrt{1 + pi}]$。
02
余切函数$y = cot x$在区间 $[kpi, kpi + pi]$（$k in mathbf{Z}$）内单调递减。
函数的单调性
练习： 练习：
1.判断函数f ( x) = x −1在(0， ∞)上是增函 +
2
数还是减函数？ 2.已知函数f ( x) = 2( x −1)2 + 3，求该函数的 单调增区间？ 3.求证：函数f ( x) = −2x + 1是定义域上的单 调减函数
画出下面的函数图象， 例1.画出下面的函数图象，并写出单调区间
1 （1） y = x （2） y = − x2 + 2
例2.
1 求证：函数f ( x) = − − 1在区间（-∞， 0）上 x 是单调函数。证明：对于区间（-∞， 0）内 的任意两个值x1 , x 2 , 且x1 < x2 , 则x1 − x2 < 0, x1 x2 > 0
2.1.3
函数的简单性质
函数的单调性
1.艾宾浩斯遗忘曲线 1.艾宾浩斯遗忘曲线
保持量（百分数） 保持量（百分数）
100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6
天数
从上面的图象，我们能看出这条曲线的变化趋势吗？ 从上面的图象，我们能看出这条曲线的变化趋势吗？
2.某市一天内的气温变化
8 6 4 2
时，都有f(x1 ) > f ( x2 ). 那么就说y=f(x)在区间I上的单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间。
分析： 分析：
1.在某一区间，当x的值增大时，函数 也 在某一区间， 的值增大时， 在某一区间 的值增大时 函数y也 随着增大，这样的区间叫增区间。 随着增大，这样的区间叫增区间。 2. 在某一区间，若x的值增大，y的值反 在某一区间， 的值增大， 的值反 的值增大 而减小，这样的区间叫做减区间。 而减小，这样的区间叫做减区间。
高一函数的单调性知识点
高一函数的单调性知识点函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
了解函数的单调性有助于我们更好地理解和运用函数，下面就是关于高一函数的单调性知识点的详细介绍。
一、函数的递增和递减区间在讨论函数的单调性时，首先需要了解函数的递增和递减区间。
我们将函数在定义域上递增（或递减）的部分称为函数的递增（或递减）区间。
1. 函数的递增区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1)< f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递增。
我们可以通过求函数的导数来确定函数的递增区间。
2. 函数的递减区间对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递减。
同样地，我们可以通过求函数的导数来确定函数的递减区间。
二、函数单调性的判定在大部分情况下，我们可以通过函数的导数来判定函数的单调性。
具体而言，可以根据函数导数的正负性来确定函数的单调性。
1. 函数导数的正负性如果函数 f(x) 的导数在某个区间内恒大于 0，则 f(x) 在该区间上递增；如果导数恒小于 0，则 f(x) 在该区间上递减。
通过求导数，我们可以得到函数的递增区间和递减区间。
2. 临界点和极值点函数的单调性与其临界点和极值点也有密切关系。
在函数的临界点和极值点处，其单调性会发生改变。
- 临界点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果 f'(c)=0 或者f'(c) 不存在，那么点 c 称为函数的临界点。
在临界点之间，函数的单调性可能会改变。
- 极值点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果存在一个邻域，使得对于临界点 x 不等于 c，在该邻域内 f(c) 是 f(x) 的最大值或最小值，那么点 c 称为函数的极值点。
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立身以立学为先，立学以读书为本
高一数学下提高-函数的单调性 1. 下列函数中,在区间
上为增函数的是( ). A ．
B ．
C ．
D ． 2．函数
的增区间是（ ）。
A B ． C ． D ． 3． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ． B ． C ． D ． 4．当
时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）
（A ）必是增函数 （B ）必是减函数（C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性
6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f π B )3()2()(->->f f f π
C )2()3()(-<-<f f f π
D )3()2()(-<-<f f f π
7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,
则a 的取值范围是( )A.(22，3) B.(3，10)C.(22，4) D.(－2，3)
8.若(31)41()log 1a a x a x f x x
x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.1(0,)3 C.11[,)73
D.1[,1)7 9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0，14] D ．(－∞，3) 10．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2
＋1C ．y =2/x D ．y =2x 2＋x ＋1 11．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，
则f (1)等于A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25
12．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）
A ．(3，8)
B ．(－7，－2)
C ．(－2，3)
D ．(0，5)
立身以立学为先，立学以读书为本 13．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(0，1/2)
B ．( 1/2，＋∞)
C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
14．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
1.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？
2. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．
3.在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
4．求函数
的单调递减区间. 5.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
6.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求
f(x)是R 上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. 7. 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.
8．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (x/y) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．
（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x/y) ＜2 ．
9．函数f (x )=－x 3
＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明
10．讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．
11．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．
12．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．
13．已知函数f (x )=x
a x x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =1/2时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值
14．设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式
的x 的取值范围.
15.已知f (x )的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1，试解不等式f （x ）－f （x －2）＞3.
16.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2
-m-2)＜3.
17.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围。