第七章 静电场习题课一

−8
C −5 ∴WAB = 9.0×10 J + qc
A
q0
D qD
B
5. 均匀带电体半径 R，带电 求球内外一点的电势 解：课堂上已用下述方法 求得 qr E= (r < R)， 3 4πε0R q E= (r > R) 2 4πε0r
q
q R
球外
V外 = ∫ =∫
球内
∞ r
∞
r
v v E • dl dr = 2 q 4πε0r
r'
p r′
dr
∴ 2 = ∫ dV = ∫ V
r
ρ = r′dr′ ε0 R
R
r
ρ ρ 2 2 ′dr′ = r (R − r ) ε0 2ε0
3q 2 2 = (R − r ) 3 πε 8 0R
V ∴ 内 = V +V2 1 = (3R − r ) 3 8 0R πε
2 2
q
讨论：其它球壳形带电体电势计算 讨论：
（3）电势定义 ）
Vp = ∫
（4）电势差 ）
零 势 电
p
v v E • dl
零电势选择；电势值的相对性； 零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
VA −VB = ∫
B
A
v v E • dl； AB = q(VA −VB ) W
4. 电势的计算
（1）点电荷的电势 ）
Vr = ∫
∞
r
v v E • dl =
λ1λ2dx λ1λ2 d + l = ln 2πε0 x 2πε0 l
−9
v 解：取 dq → dE → ∫ dE = L 今用补偿（叠加）法 （1）圆在 o产生的 E = 0 （2）一小段 d在 o 点的电场强度可近似 q′ 的电场 (d = 2.0×10−2 m) 为点电荷
+ + + +
R
+ + 补偿法 + + o
v （2）如果高斯面上 E处处为 ）
v v ∑Qi ∫∫ E • ds =
2 电场强度通量
讨论1 讨论 将 q 2 从 A 移到 B 电场强度是否变化？ 点 P 电场强度是否变化（变） q2 ？ 穿过高斯面 讨论2 讨论
A
q2
s 的 Φ 有否变化？ 有否变化？
e
P *
（不变） 不变）
s
B
q1
的静电场中， 在点电荷 + q 和 − q的静电场中，做如下的三 个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量 .
带 电 细 园 环
q
R
p
x
均匀带电球壳
q R
V= V=
q 4πε0R q 4πε0r
(r < R)
(r > R)
三. 讨论 v v ∑Qi 1. 关于高斯定理 ∫∫ E • ds = ε 的讨论 v v 0 （1）若 ∫∫ E • ds = 0 ，则高斯面上各点 ） v 的 E 一定处处为零 （不一定！） 不一定！） 例
WAB = q0 ∫
B A
−8
−8
v v E • dl
解：电场力做功 v B v WAB = q0 ∫ E • dl A ⇒WAB = q0 (VA −VB ) qC qD VA = + =0 4πε0 AC 4πε0 AD qC qD VB = + 4πε0 CB 4πε0 D B
Qq0 = 2.0×10 c
r
r
积分计算高斯面内的电荷
dr
2
∑Qi
ε0
k 2πkr = ∫ ρdV = ∫ (4πr dr) ⋅ = ε0 0 ε0 0 ε0 r 1
r
1
r
2
等式
4πr E =
2
2πr
2
ε0
k k ∴E = 选项 (b) 2ε0
2. 长为 l 的均匀带电细棒， 的均匀带电细棒， 无限长”带电直线， 电荷线密度 λ，一“无限长”带电直线， 1 其电荷线密度为 λ2，今将 l 与无限长带 电直线置于同一平面内（图示）， ），求细 电直线置于同一平面内（图示），求细 棒受力大小 解：取图示 ox 坐标 λ x λ 2 1 x 轴，在棒上取一电荷 o dq d 元 dq = λ dx ，则 1 l 该处的电场强度为
p
（3）带电体的电场强度 ）
v E=∫
dq v er 2 4πε0r
dq = λdl λ— 荷 密 ） （ 电 线 度 dq = σ ds σ — 荷 密 ） dq v （ 电 面 度 dq = ρdv ρ— 荷 密 ） （ 电 体 度
“电荷元” 电场的叠加 电荷元” 电荷元 dq
er
p
r
（4）“基本形状元”的 ） 基本形状元” 叠加（矢量叠加） 叠加（矢量叠加）
R
q 4πε0r
V =∫ 内 =
∞
r
v ∞v v v v R v E • dl = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r 3
q 8πε0R
(3R − r )
2 2
今用叠加方法（ 今用叠加方法（基本形 状元叠加） 状元叠加）求出 球外： 球外：是有许多半径不同的 球壳产生的电势的叠加， 球壳产生的电势的叠加，设 每一球壳带电为 dq 其对球 ， 壳外 r 处的电势为
q 1
s
Q 2
零，能否认为高斯面内一定 ε0 无电荷 。（不一定 ∑Qi = 0 ） v 处处不为零， （3）如果高斯面上 E 处处不为零，能否 ） 说明高斯面内一定有电荷 不一定！电荷在高斯面外！） （不一定！电荷在高斯面外！） （4）高斯定理只是适用于具有对称性的 ） 静电场 （对静电场都适用！但是 L ） 对静电场都适用！ L （5）只有高斯面内的电荷对高斯面的通 ） 量有贡献。 量有贡献。高斯面外的电荷和对场的分 布具有某种对称性时，才有可能应用定 理求出电场强度
v （７）E = −gradV
几种典型带电体电场强度： 几种典型带电体电场强度： v λ r 无限长带电直线 E = er 2πε0r v σ r 无限大平板 E = en
v E = 0(r < R) 球壳内外电场 v r q E= e 2 r 4 0r πε
dV =
dq
整个球的电势为
4πε0r dq 4πε0r = q 4πε0r
r p
V = ∫ dV = ∫
球内： 球内：也将球体分为许多半径不 同的球壳组成， 同的球壳组成，但对球内一点 p 而言，一部分球壳在其内， 而言，一部分球壳在其内，另一 部分球壳在其外，对 r内的各个 部分球壳在其外，
球壳在
v v q Φe1 = ∫ E ⋅ d S =
S1
ε0
+q
−q
Φe 2 = 0
Φe 3 =
−q
ε0
S1
S2
S3
v v 讨论3 讨论 电场强度为 E 的均匀电场， 的方向与ox轴正 的均匀电场， 的方向与ox ox轴正 E 向平行，穿过半径为R的半球面的电场强度通量为： 向平行，穿过半径为R的半球面的电场强度通量为：
v （4）已知某一点 E ，就可 ） 以确定该点的 V 错 （5）已知某一点 V ，就可 ） v 以确定该点的 E 错
解：分析电场：具有球对称 性。作图示高斯球面，由高 v v ∑Qi ，式中 斯定理得 E • ds =
v ∫∫v 2 ε0 左边 ∫∫ E • ds = 4πr E Qi ρV 1 k 4 3 4πr2 ∑ = = ⋅ ⋅ πr = k 右边 ε0 ε0 ε0 r 3 3ε0 2 4πr k 2 等式 4πr E = k得 = E 3ε0 3ε0
静电场习题课一
一. 基本要求 1. 掌握电场强度的概念和电场 叠加原理， 叠加原理，掌握已知电荷的分 计算电场强度的方法。 布，计算电场强度的方法。 2. 理解静电场的两个基本定理，掌握用 理解静电场的两个基本定理， 高斯定理计算电场强度的方法。 高斯定理计算电场强度的方法。 3. 掌握电场力做功特点，掌握电势的概 掌握电场力做功特点， 念和电势叠加原理， 念和电势叠加原理，掌握已知电荷分布 计算电势的方法
y
y
o
z
x
z
o
x
（5）补偿（叠加）法 ）补偿（叠加） 矢量叠加） （矢量叠加）
y
o
z
+σ
p
+σ
x
+ −σ
+ρ
p
+ρ
+ −ρ
（6）高斯定理求解 ）
v v ∑Qi Φe = ∫∫ E • ds =
方法： v 方法：分析电场 →选适当形状高斯面 → v 和 ∑Qi →由定理解出 计算 E • ds
ε0
二. 基本内容 v 1. 电场强度 E和电场强度叠 加原理 v v F 矢量：大小和方向） 定义 E = （矢量：大小和方向） q v v v 电场强度的叠加原理 E = E1 + E2 +L 2. 电场强度的计算 v 1 Qv e （1）点电荷的电场强度 E = ） 2 r 4πε0 r （2）点电荷系的 ） v n 1 Qi v 电场强度 E =∑ e 2 i πε0 ri i=1 4
p点的电势
,
R
V = 1
q内 4πε0r
qr
∴V = 1
2 3
4πε0R
4 3 q = ( πr )ρ 内 3 q 4 3 = πr ⋅ 4 3 3 πR 3 3 qr = R3
rp
q内
对 r外的各球壳在 p 点的电势
V2 = ∫ dV
设半径为 厚度为 dr'的球壳在 r处电 势 ′)2 dr′ dq ρ4π (r dV = = 4πε0r′ 4πε0r′