2015-2016年广东省惠州一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2015-2016学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x ∈R，x2+1≥12．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④3．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（）A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题5．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知•=0，则△F1PF2的面积为（）A．9 B．12 C．10 D．86．（5分）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C 表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件7．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1，F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？10．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个12．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x 1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．14．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）设函数f （x ）=sin （2x +B ），求的值．18．（12分）已知集合A={y |y=x 2﹣x +1，x ∈[，2]}，B={x |x +m 2≥1）；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．（12分）（1）已知关于x 的二次函数f （x ）=ax 2﹣4bx +1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y=f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．21．（12分）如图，已知F（c，0）是椭圆的右焦点；⊙F：（x﹣c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．（1）求椭圆C的离心率；（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；（3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为，求椭圆C的标准方程．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．2015-2016学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x ∈R，x2+1≥1【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选：C．2．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时温度的方差为：=[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6乙地该月14时温度的方差为：=[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2，故＞，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．故选：B．3．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）如果命题“￢（p∧q）”是真命题，则（）A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题【解答】解：由题意可知：“￢（p∧q）”是真命题，∴p∧q是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，即命题p，q中至多有一个是真命题，故选：D．5．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知•=0，则△F1PF2的面积为（）A．9 B．12 C．10 D．8【解答】解：由+=1，可得a=5，b=3，c==4．∵•=0，∴⊥，设=m，=n，则，解得mn=18，∴△F1PF2的面积S=mn=9．故选：A．6．（5分）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C 表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【解答】解：∵事件B与C不同时发生且一定有一个发生，∴B与C是对立事件．故C不正确D正确；而A与B都包含向上的一面出现的点数是3，故A与B不互斥，也不对立．故选：D．7．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选：A．8．（5分）已知F1，F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线方程x2﹣=1，则a=1，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=1，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2===．故选：A．9．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．10．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P=故选：A．11．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个 B．至多有一个C．1个 D．2个【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．12．（5分）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为x1，x2，则P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2外C．必在圆x2+y2=1外D．必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间【解答】解：椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0）（c＞0），方程ax2+bx﹣c=0的两实根分别为：x1和x2则：，=所以：0＜e＜1即：0＜e2＜11＜e2+1＜2所以：即点P在圆x2+y2=1与x2+y2=2形成的圆环之间．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．14．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可）．【解答】解：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，即存在x∈[1，2]，使得x2≥a，所以a≤4，即p：a≤4．指数函数是R上的增函数，则log⁡2a＞1，解得a＞2，即q：a＞2．因为“p且q”是真命题，所以2＜a≤4．故答案为：（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可．15．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为2+1．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m﹣1，b），=（a﹣m﹣1，b），∵∠APB=90°，∴•=0，∴•=（a+m﹣1）（a﹣m﹣1）+b2=0，∴m2=（a﹣1）2+b2，∴m 的最大值即为+1=2+1．故答案为：2+1．三、解答题（共6题，共70分）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且，B=C．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+B），求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵B=C，∴c=b，又∵a=b，∴cosB===；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB==，∴f （）=sin （+B）=sin cosB+cos sinB=×+×=．18．（12分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[，2]}，B={x|x+m2≥1）；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：，B={x|x≥1﹣m2}p是q的充分条件∴A⊆B，∴或19．（12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（1分）第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18，…（2分）第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9，…（3分）第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9…（4分）第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．…（5分）（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分）其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（12分）故所求概率为．…（13分）20．（12分）（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为直线x=，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a．…（2分）若a=1，则b=﹣1；若a=2，则b=﹣1或1；若a=3，则b=﹣1或1．∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．…（4分）而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个∴所求事件的概率为=．…（6分）（2）方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故…（8分）化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，…（10分）阴影部分的面积为，故所求的概率P=．…（12分）21．（12分）如图，已知F（c，0）是椭圆的右焦点；⊙F：（x﹣c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．（1）求椭圆C的离心率；（2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；（3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为，求椭圆C的标准方程．【解答】解：（1）∵圆F：（x﹣c）2+y2=a2过椭圆C的左焦点，∴将（﹣c，0）代入圆F的方程，得4c2=a2，可得a=2c．因此，椭圆C的离心率；（2）在方程（x﹣c）2+y2=a2中令x=0，得y2=a2﹣c2=b2，∴⊙F与y轴的正半轴的交点为B（0，b），可知点B为椭圆的上顶点，又∵a=2c，∴b==，故B，在圆F的方程中令y=0，可得点D坐标为（3c，0），∴D关于y轴的对称点是A（﹣3c，0），由此可得直线AB的斜率，而直线FB的斜率，∵k AB•k FB=﹣1，直线AB与半径BF相垂直，∴直线AB与⊙F相切．（3）∵DF是△BDG的中线，∴S=2S△BFD=，△BDG解之得c2=2，从而得出a2=4c2=8，b2=3c2=6，∴所求椭圆的标准方程为．22．（12分）已知⊙O：x2+y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设N（x，y），P（x0，y0），则M（x0，0），，由，得，∴…（3分）由于点P在圆O：x2+y2=6上，则有，即．∴点N的轨迹C的方程为．…（6分）（Ⅱ）设D（x1，y1），E（x2，y2），过点B的直线DE的方程为y=k（x﹣3），由消去y得：（2k2+1）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0，其中△＞0∴；…（8分）∴=…（10分）==∴k AD+k AE是定值﹣2．…（13分）。