上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
上海市七宝中学2019-2020学年高二第一学期数学期中考试卷(简答)
七宝中学高二期中数学卷2019.11一. 填空题1. 已知向量，，若，则(1,1)m λ=+u r (2,2)n λ=+r ()()m n m n +⊥-u r r u r r λ=2. 把表示成一个三阶行列式是 22111133332223x y x y x y x y x y x y ++3. 已知向量，，则向量在向量上的投影为(1,2)a =r (3,4)b =-a r b r 4. 若，，则过、两点的直线的方程为11342x y -=22342x y -=11(,)A x y 22(,)B x y l 5. 点和在直线的两侧，则的取值范围是(3,1)(4,6)-320x y a -+=a 6. 直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为l (5,3)A --l 7. 点关于直线的对称点坐标为(1,5)A -90x y -+=8. 已知是△内部一点，记△、△、△的面P ABC 230PA PB PC ++=u u r u u r PBC PAC PAB 积分别为、、，则1S 2S 3S 123::S S S =9. 在△中，，，是边的中点，则ABC 5AB =7AC =D BC AD BC ⋅=u u u r u u u r 10. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点、满足，O A B ||||2OA OB OA OB ==⋅=u u r u u u r u u r u u u r 则点集所表示的区域的面积为{|,||||1,,}P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R u u u r u u r u u u r 11. 在平面上，，，，若，则12AB AB ⊥u u u r u u u r 12||||1OB OB ==u u u r u u u r 12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u r 1||2OP <u u u r 的||OA u u r 取值范围是12. 已知集合（），，若{(,)|||||}A x y x y a =+=0a >{(,)|||1||||}B x y xy x y =+=+是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则A B I a =二. 选择题13. 关于、的二元一次方程组的增广矩阵为（ ）x y 341310x y x y +=⎧⎨-=⎩A. B. C. D. 3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310-⎛⎫ ⎪--⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭14. 若、满足约束条件，则的取值范围是（ ）x y 222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩2z x y =+A. B. C. D. [2,6][2,5][3,6][3,5]15. 点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（）(5,0)A (1,B -A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条16. 已知是△所在平面上的一点，若（其中是△O ABC aPA bPB cPC PO a b c++=++u u r u u r u u u r u u u r P 所ABC 在平面内任意一点），则点是△的（ ）O ABC A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心三. 解答题17. 用行列式的方法解关于、的方程组，并对解的情况x y (31)(14)54(1)(12)3k x k y k k x k y k ++-=+⎧⎨++-=⎩进行讨论.18. △的顶点，的中线方程为，的平分线方程为ABC (3,1)A -AB 610590x y +-=B ∠，求：4100x y -+=（1）点的坐标；B （2）边所在的直线方程.BC 19. 已知△的三边长，，.ABC 8AB =7BC =3AC =（1）求；AB AC ⋅u u u r u u u r （2）的半径为3，设是的一条直径，A e PQ A e 求的最大值和最小值.BP CQ ⋅u u ru u u r20. 在△中，，，，点为△所在平面上一点，ABC 2AC =6BC =60ACB ∠=︒O ABC 满足（且）.OC mOA nOB =+u u u r u u r u u u r ,m n ∈R 1m n +≠（1）证明：；11m n CO CA CB m n m n =++-+-u u u r u u r u u r （2）若点为△的重心，求、的值；O ABC m n （3）若点为△的外心，求、的值.O ABC m n 21.（1）已知直线过点，它的一个方向向量为.l 53(,)22P -(3,3)m =u r ① 求直线的方程；l ② 一组直线（）都与直线平行，它们到直线的距离依次为122,,,,,n n l l l l ⋅⋅⋅⋅⋅⋅*n ∈N l l （），且直线恰好经过原点，试用表示的关系式，并,2,,,,2d d nd nd ⋅⋅⋅⋅⋅⋅0d >n l n d 求出直线（）的方程（用、表示）；1l 1,2,,2i n =⋅⋅⋅n i （2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线的直线簇，使它同时12,,,,n L L L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足以下三个条件：① 点；② ，其中是直线的斜率，(1,1)n L ∈1n n n k a b +=-1n k +1n L +和分别为直线在轴和轴上的截距；③ .（）n a n b n l x y 10n n k k +>*n ∈N参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 3-112233213x y x y x y -1-3420x y --=5.6. 或7.8. 724a -<<350x y -=80x y ++=(4,8)-1:2:39. 12 10.11. 12.2二. 选择题13. C14. A 15. C 16. B三. 解答题。
【精准解析】上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
七宝中学高二期中数学试卷一.填空题1.若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是________ 【答案】相交、平行、异面 【解析】 【分析】依据题意画出图形，即可判断．【详解】解：由题意可知：直线//a 平面α，直线//b 平面α，则a 与b 的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线．故答案为：相交、平行、异面【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．2.若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________【答案】177147- 【解析】 【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值，从而得解；【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=，令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为：177147-【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.3.某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______ 【答案】427【解析】 【分析】依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得；【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式可得11141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：427【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.4.在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为________【解析】 【分析】设垂足分别为C ，B ，先计算CB 的长，再利用PCB 外接圆的直径为P 到棱的距离，即可求得结论．【详解】由题意，设垂足分别为C ，B ，则在PCB ∆中，1PC =，3PB =，60CPB ，219213cos 7CB CPB =+-⨯⨯⨯∠= 7CB ∴=设P 到棱的距离为l ，则221sin120CB l ==︒ 故答案为：221【点睛】本题考查点线距离的计算，解题的关键是正确运用余弦定理，正弦定理，属于中档题．5.若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++++=，则n 的值为 ．【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得 1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n ＝3×85+1，再利用二项式定理解方程求得n 的值． 【详解】解：由题意可得3[∁n 1+3∁n 2+32∁n 3+…+3n ﹣2∁n n ﹣1+3n ﹣1 ]＝3×85， ∴1+3∁n 1+32∁n 2+33∁n 3+…+3n ﹣1∁n n ﹣1+3n ＝3×85+1， 即（1+3）n＝3×85+1＝256，∴n ＝4， 故答案为4．【点睛】本题考查组合数公式，二项式定理，得到即（1+3）n ＝3×85+1，是解题的关键，属于基础题．6.7271除以100的余数是________ 【答案】41 【解析】 【分析】利用二项式定理化简()727271701=+，求出展开式的后2项，即可得到7271除以100的余数；【详解】解：()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈ 2105041m =+即7271除以100的余数为41． 故答案为：41．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的展开式的后2项，属于基础题． 7.甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为________ 【答案】2932【解析】 【分析】依题意，本题实际为甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游，首先求出基本事件总数，至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，求出四位同学的出发时间都不相同的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意可知，甲、乙、丙、丁四位同学在前4天随机选一天出发外出旅游， 则共有4444256⨯⨯⨯=（种），至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，而四位同学的出发时间都不相同有4424A =（种），故至少有两位同学选择时间相同的概率2429125632P =-= 故答案为：2932【点睛】本题考查古典概型的概率计算，对立事件的概率公式的应用，属于基础题. 8.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a b ⊥，a α⊥，则b ∥α②若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥③若a β⊥，αβ⊥，则a ∥α④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题序号是________【答案】④ 【解析】 【分析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能b α⊂；②只有a 与α，β的交线垂直，才能够推出a β⊥；③a 可能在平面α内；根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补，可证出④是真命题．由此即可得到本题答案．【详解】解：对于①，根据a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，不一定得出//b α，由此可得①不正确；对于②，若//a α，αβ⊥，则//a β或a β⊂，或a 与β相交，故②是假命题； 对于③，a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，不一定得出//a α，由此可得③不正确； 对于④，由a α⊥且b β⊥，可得直线a 、b 所成角或其补角等于平面α、β所成角， 又因为a b ⊥，可得直线a 、b 所成角等于90︒，由此可得αβ⊥，所以④是真命题 综上所述，可得正确命题的序号为④ 故答案为：④【点睛】本题给出关于空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题．着重考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质，以及面面平行、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．9.若y =y 的取值范围是________【答案】 【解析】 【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==+3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.10.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答） 【答案】1000 【解析】 【分析】根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两类：第一类：先选1女4男，有142630C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有3020600⨯=； 第二类：先选2女3男，有232620C C =种，再在这5人中选2人作为队长和副队长有2520A =种，所以共有2020400⨯=，根据分类计数原理，共有6004001000+=种不同的选法. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种 【答案】252 【解析】 【分析】按照五位同学的体重增加量数字的个数分五种情况讨论得解.【详解】当五位同学的体重增加量是1个数字时，有166C =种情况；当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有124660C C =种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有14C 种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有26C 种方法，即此时有124660C C =种方法，下面操作方法都相同.）；当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有2346120C C =种情况； 当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有324660C C =种情况；当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有566C =种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法. 故答案为：252【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||AB k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________【答案】2k n k n C -⋅【解析】【分析】 当||AB k =时，共有k nC 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案.【详解】由题意，当||A B k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 二.选择题13.在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A. 100 B. 85 C. 65 D. 55【答案】D 【解析】 【分析】可检验与平均数差最大的数，计算2()x x -，看是否满足题意，即可求得答案.详解】方差()22110.2nii x x s n=-==∑，40n =∴()402110.240408i i x x =-=⨯=∑若存在55x =，则()402221()(8255)729408i i x x x x =-=-=>=-∑导致方差必然大于10.2，不符合题意.∴55不可能是该班数学成绩故选：D.【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算，解题关键是掌握方差的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 ( ) A. 4条 B. 6条C. 8条D. 10条【答案】B 【解析】试题分析：12条对角线中与之平行的1BC ,与之垂直的11,A D B C ，其余的所成角为60 考点：两直线所成角点评：两直线所成角包括相交角和异面角15.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A.1240B.1160C.71440D.1180【答案】B 【解析】 【分析】电子钟一天显示的时间共有1440种,显示的四个数字之和为22的有9种,再结合古典概型概率公式求解即可.【详解】解: 电子钟一天显示的时间共有24601440⨯=种,显示的四个数字之和为22的有08：59，17：59，09：49，18：49，09：58，18：58，19：39，19：48，19：57共9种,即一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为911440160=， 故选:B.【点睛】本题考查了古典概型概率公式，重点考查了阅读能力，属基础题.16.四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线，即可求得点M 的轨迹.【详解】根据题意，可知PD DC =，则点D 符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点”， 且满足MP MC =，设AB 的中点为E ，根据题目条件可知PAE ∆和CBE ∆全等，所以PE CE =，点E 也符合“点M 在正方形ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =”， 故动点M 的轨迹肯定过点D 和点E ，而到点P 到点C 的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面， 线段PC 的垂直平分面与平面AC 的交线是一直线， 所以M 的轨迹为线段DE . 故选：A .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及平面的基本性质等知识的应用，同时考查了空间想象能力，以及推理能力. 三.解答题17.若66nx x ⎛+ ⎪⎝⎭ 展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列． (1)求n 的值．(2)此展开式中是否有常数项？为什么？ 【答案】（1）7；（2）无常数项 【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得132=2n n n C C C +，解方程即可求得n 的值；（2）先写出二项展开式的通项，然后令x 的次方为0，求出k 即可判断. 试题解析：(1)26616()()n kkn kk kk nn T C x C x x--+=⋅⋅=⋅.由题意可知132=2n n n C C C +，即29140n n -+=，解得2n =(舍)或7n =.∴7n = (2)由(1)知72617k k k T C x-+=⋅.当7206k -=时，72k =，由于k N *∉，所以此展开式中无常数项． 18.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）45°. 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG 是平行四边形，//AG EF ，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到//EF 平面PAD ； （2）过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则可得GAH ∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角．【详解】（1）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ， 因为EF 分别为AB 、PC 的中点， 所以12AE AB =，//GF DC 且12GF DC =， 又在矩形ABCD 中//AB CD 且AB CD =， 所以//AE GF 且AE GF =， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以//AG EF 且AG EF =又AG ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ． 所以//EF 平面PAD ； （2）解：//AG EF ，AG ∴与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则//GH PAPA ⊥平面ABCD ，GH ∴⊥平面ABCD ，GAH ∴∠为AG 与平面ABCD 所成的角，即为所求角， 45PDA ∠=︒，G 为PD 的中点 45GAH ∴∠=︒即EF 与平面ABCD 所成的角为45︒．【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，考查线面角，熟练掌握判定定理内容、正确找出线面角是关键.19.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a ，3AD a =，且25arcsinADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =.求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）； （2）点A 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）5；（22. 【解析】 【分析】（1）过A 作AE CD ⊥，连接PE ，根据PA ⊥平面ABCD ，得到PA CD ⊥，由线面垂直判定定理得到CD ⊥平面PAE ，从而PEA ∠二面角P CD A --的平面角，然后根据25arcsin5ADC ∠=求得AE ，再利用tan AP PEA AE ∠=求解.（2）过A 作⊥AF PB ，根据90ABC ∠=︒，得到AB CB ⊥，易得PA BC ⊥，从而得到BC ⊥平面PAE ，由面面垂直的判定定理可得PAB ⊥平面PBC ，得到AF ⊥平面PBC ，即AF 为点A 到平面PBC 的距离，然后在Rt PAB 中求解. 【详解】（1）如图所示：过A 作AE CD ⊥，连接PE ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以PA CD ⊥，又PA AE A =所以CD ⊥平面PAE ，所以PEA ∠二面角P CD A --的平面角， 因为25ADC ∠= 所以65sin 5AE AD ADC =⨯∠=， 所以5tan AP PEA AE ∠==所以5arctanPEA ∠=， 即二面角P CD A --的大小5. （2）如图所示：过A 作⊥AF PB ， 因为90ABC ∠=︒， 所以AB CB ⊥因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 所以PA BC ⊥，又PAAB A =所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面PBC ，所以PAB ⊥平面PBC ，又平面PAB ⋂平面PBC PB =， 所以AF ⊥平面PBC ，所以AF 为点A 到平面PBC 的距离， 在Rt PAB 中，222PA AB AF a PB a⨯===. 所以点A 到平面PBC 的距离为22a . 【点睛】本题主要考查二面角的求法以及点到直线的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.是否存在等差数列{}n a ，使012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +++++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，44n a n =-. 【解析】 【分析】假设存在等差数列1(1)n a a n d=+-，满足题意，通过对012112312n n n n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅整理，找出10a =，4d =，即可说明存在数列，求出数列{}n a 的通项公式即可．【详解】证明：假设存在等差数列1(1)n a a n d =+- 满足要求012123121101()(2)n n n n n n n n n n n n n n a C C C d C C n a C a C C a C C a ++++⋅=++⋯++++⋯+⋅⋅+0111111112()22n n n n n n n a nd C C C a nd -----=+++⋯+=+ 依题意111222n n n a nd n -++=，1(2)02da n +⋅-=对*n N ∈恒成立， 10a ∴=，4d =，所求的等差数列存在，其通项公式为44n a n =-．【点睛】本题考查数列的存在性问题，数列求和，数列的应用，以及二项式定理的应用，是难度较大题目．21.规定(1)(1)!mx x x x m C m -⋅⋅⋅-+=，其中x ∈R ，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mnC （n 、m 是正整数，且m n ≤）的一种推广.（1）求412C -的值；（2）设0x >，当x 为何值时，313()xx C C 取得最小值？（3）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=.②11m m m n n n C C C -++=.是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.【答案】（1）4121365C -=；（2）当43x =时，313()x x C C 取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为11m m mx x x C C C -++=（x ∈R ，m 是正整数），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)4!C -----=，运算求得结果．（2）根据13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是11m m mx x x C C C -++=，x ∈R ，m 是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得．【详解】（1）由题意可得241(12)(13)(14)(15)13654!C -----==．（2）13323(1)(2)1131[()]()64163x x C x x x C x x --==--， 0x，故当134x =，即43x =时，313()x x C C 取得最小值。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.若复数z=a+i1−2i(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则|a+2i|等于()A. 2B. 2√2C. 4D. 82.条件p：π4<α<π2，条件q：f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.在三棱锥中，，是等腰直角三角形，，为中点.则与平面所成的角等于()A. B. C. D.4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=CD=1，DD1=2，则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为()A. √3010B. √1010C. √7010D. 3√1010二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z1=3+4i，z2=t+i，，且z1⋅z2是实数，则实数t等于______．6.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则|z2z1|=______ ．7.设复数z1=1+i，z2=−2+xi(x∈R)，若z1⋅z2∈R，则x的值等于______．8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆锥”的体积为______ ．9.若z∈C，且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为____________．10.在复数集中分解因式：a4−b4=．11.在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若z B−z Az C−z A =1+43i，则△ABC的三边长之比为______．12.若2cos2x=1，则x=______13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点A1.如图，设∠PAB=α，∠QBC=β，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则α+β=______ ．14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=3，AD=AA1=2，E点在棱D1C1上，且D1E=13D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为______．15.给出下列命题：①如果，是两条直线，且//，那么平行于经过的任何平面；②如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；③若直线，是异面直线，直线，是异面直线，则直线，也是异面直线；④已知平面⊥平面，且∩=，若⊥，则⊥平面；⑤已知直线⊥平面，直线在平面内，//，则⊥．其中正确命题的序号是．16.如图，一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此立方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.计算下列问题：18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；=λ(λ∈(0,1)，点N在线段A1B上，(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C的值(用含λ的代数式表示)．若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求直线PC与底面ABCD所成角的余弦值．20.已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，M为CD的中点．(1)求证：AM//平面BCE；(2)求证：AM⊥平面CDE；(3)求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．21.在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”.已x．知函数f(x)=1−1+x(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；|x1−x2|；(2)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2，证明：|f(x2)−f(x1)|<12≤1−bx恒成立，求实数a，b的取值范围．(3)当x∈[0,1]时，不等式1−ax≤√1+x【答案与解析】1.答案：B解析：先用复数的乘除运算将z计算化简，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．解：z=a+i1−2i =(a+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=a−2+(2a+1)i5.根据纯虚数的概念得出{2a+1≠0a−2=0∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|=√22+22=2√2故选B．2.答案：B解析：解：∵π4<α<π2，∴1<tanα，∴f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，∴p是q的充分条件；而f(x)=log tanαx在(0,+∞)是增函数，必有tanα>1，解得α∈(kπ+π4,kπ+π2)(k∈Z)，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．由π4<α<π2，可得1<tanα；而反之不成立．当a>1时，函数y=log a x在(0,+∞)是增函数．据此即可判断出答案．充分函数y=tanα、y=log a x的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．3.答案：B解析：试题分析：先作PO⊥平面ABC，垂足为O，根据条件可证得点O为三角形ABC的外心，从而确定点O为AC的中点，然后证明BO是面PAC的垂线，从而得到∠BEO为BE与平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可。
上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题(解析版)
七宝中学2019学年第二学期高二4月考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 【答案】分层抽样. 【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样 故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题． 2.若事件E 与F 相互独立，且1()()4P E P F ==，则()P E F I 的值为_______（用最简分数表示）. 【答案】116【解析】 【分析】直接利用公式()=()()P E F P E P F I 计算即可.【详解】因为事件E 与F 相互独立，所以111()=()()4416P E F P E P F =⨯=I . 故答案为：116【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.12x⎛+ ⎝的二项式展开式中的常数项为________（用数值作答）.【答案】495 【解析】 【分析】由二项式定理可得12x⎛+ ⎝展开式的通项为3122112rr r T C x -+=，再令31202r -=得8r =，再代入通项计算即可.【详解】由已知，12x ⎛+ ⎝展开式的通项为31212211212r r r r r r T C x C x --+==，令31202r -=， 得8r =，所以常数项为812495C =.故答案为：495【点睛】本题考查求二项展开式中的特定项，考查学生的运算能力，是一道容易题.4.计算：103237n nn n C C -+++=________（用数值作答）【答案】46 【解析】 【分析】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解不等式组可得3n =，再代入原式计算即可.【详解】由已知，1001023037n n n n n -≥⎧⎪-≤+⎨⎪≤≤+⎩，解得7732n ≤≤，又n N ∈，所以3n =，所以10379237910361046nnn n C C C C -+++=+=+=. 故答案为：46【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5.从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________. 【答案】133【解析】 【分析】先算出6个样本数据的平均数，然后再利用方差公式计算即可. 【详解】6个样本的平均数456107466x +++++==，所以方差22222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s =-+-+-+-+-+-261363==. 故答案为：133【点睛】本题主要考查方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.从正方体的6个面中取3个，其中有2个面不相邻的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】35【解析】 【分析】利用间接法，先找到所取3个面都相邻的种数，并求出其概率，利用对立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】从正方体的6个面中取3个共有36C 种不同结果，从8个顶点出发，3个面都相邻 共有8种不同结果，而其中有2个面不相邻的对立面是3个面都相邻， 故2个面不相邻的概率为3681231205C -==. 故答案为：35【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，正面情况较多可以考虑其对立事件，是一道容易题.7.直线1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）与曲线2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）的公共点的坐标为________. 【答案】()1,0 【解析】 【分析】直接利用参数方程与普通方程互化的方法分别得到直线与曲线的普通方程，解方程组即可.【详解】由15x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t ，得210x y --=①，2sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=-⎩消去参数θ，得21,(11)y x x =--≤≤②，由①②解得10x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩（舍），所以公共点的坐标为()1,0. 故答案为：()1,0【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及到解方程组，考查学生的计算能力，是一道容易题.8.在5(231)x y -+在展开式中，不含y 的所有项的系数和为________（用数值作答）. 【答案】243 【解析】 【分析】先将问题转化为5(21)x +各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.【详解】5(231)x y -+=5(213)x y +-，其展开式的通项为515(21)(3)rrr r T C x y -+=+-，不含y 的项的系数和等于5(21)x +各项的系数之和，令1x =，得53243=. 故答案为：243【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，考查学生的数学运算能力，本题可以直接令1,0x y ==得到答案，是一道中档题.9.从集合{}23|1,nM z z i i i i n N ==+++++∈L ________（用最简分数表示）. 【答案】13【解析】 【分析】先化简集合M ，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】由已知，123111n ni z i i i i i+-=+++++=-L ，当4,n k k N =∈时，41411()111n n i i iz i i+--⋅===--；当41,n k k N =+∈时，424211()21111n n i i i z i i i i +--⋅====+---；当42,n k k N =+∈时，434311()1111n n i i i iz i i i i +--⋅+====---；当43,n k k N =+∈时，444111()011n n i i z i i++--===--；所以{}0,1,,1M i i =+，故从M 中任取2个元素相加有246C =种不同结果，{1,1}i +，{,1}i i +共2种不同结果，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率为2163=. 故答案为：13【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到复数的运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.10.已知袋中有()*82,n n n N+≥∈个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为________（用最简分数表示）. 【答案】815【解析】 【分析】先求出11828165615n nn C C C n n P +⋅==++，只需求出56n n+的最小值即可，结合对勾函数的性质即可得到答案. 【详解】由已知，11822816161656(8)(7)155615n n n C C n n C n n n n n nP +⋅====++++++，又易知函数56y x x =+在上单调递减，在)+∞上单调递增，因为78<<， 所以56n n +的最小值应在7n =或8n =处取得，又5656781578+=+=， 所以min 56()15n n +=，118281616856301515n n n C C C n nP +⋅==≤=++. 故答案为：815【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，涉及到利用对勾函数的性质求函数的最值问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知关于x 的实系数方程2220x x +=-和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面内对应的点共圆．则m 取值的集合是______. 【答案】3112m m m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭或【解析】【详解】易知方程2220x x -+=的两根为11x i =+，21x i =-.当2440m ∆=-<，即11m -<<时，方程2210x mx ++=有两个共轭的虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠，此时，12x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为()()2340x x x x y --+=，即()2234340x y x x x x x +-++=.将342x x m +=-，341x x =及12x x 、对应点的坐标()1,1±代入方程，得32m =-. 故m 的取值范围是3112m m m 或⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩⎭.12.假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)n n >次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n 的代数式示）.【答案】85419n n nn+-- 【解析】 【分析】由题意n 个数中，至少有一次选择了5，至少有一次选择了偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1()P A B -U ，再利用加法公式()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂计算即可.【详解】为使选出的n 个数的乘积能被10整除，其中至少有一次选择了5，并且至少有一次选择了 偶数2、4、6、8之一，设事件A 表示没有一次选择了5，事件B 表示没有一次选择了偶数， 则所求概率是1()P A B -U ，从而1()1()()()P A B P A P B P A B -=--+U I8541()()()999n n n =--+=85419n n nn+--. 故答案为：85419n n nn+-- 【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13.若虚数1z ，2z 满足12=z z ，则“1z 与2z 互为共轭复数”是“12z z R ⋅∈”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用定义法判断即可.【详解】当1z 与2z 互为共轭复数，则12z z =，所以1221||z z z R =⋅∈， 令121,1z z ==-，满足12z z R ⋅∈，但1z 与2z 不互为共轭复数， 所以1z 与2z 互为共轭复数是12z z R ⋅∈的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到共轭复数的相关知识，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.14.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 140D. 120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．15.某个比赛安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 7200种 B. 4800种 C. 2640种 D. 1560种【答案】D 【解析】 【分析】分两类，第一类，4人完成的工作数是3，1，1，1，第二类，4人完成的工作数是2，2，1，1，再将工作分组，进行分配即可. 【详解】由题意，分两类：第一类，当4人完成的工作数是3，1，1，1时，首先将6项工作分成4组，一组3项，另外三组各1项，共有3111632133C C C C A 种不同方式，再分配给4个人共311146321433480C C C C A A = 种不同方式；第二类，当4人完成的工作数是2，2，1，1时，首先将6项工作分成4组，两组2项，另外两组各1项，共有221164212222C C C C A A 种不同方式，再分配给4个人共221146421422221080C C C C A A A = 种不同方式；综上，共有1560种不同安排方式. 故选：D【点睛】本题考查排列与组合的综合应用问题，涉及到部分均匀分组问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.16.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l 与这三条直线所成角皆为θ，则tan θ=（ ）A.B.C. 1D. 直线l 不存在【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，可得a b c ==，从而tan tan BC BAC AB aθ=∠==，代入a b c ==即可得到答案. 【详解】由题意，可将问题放入长方体中研究，设,,AB a AD b AE c ===，直线l 为AC ，由已知，BAC EAC CAD θ∠=∠=∠=，易得AB ⊥平面BCF ,所以222cos AB BAC AC a b c∠==++，同理可得 222cos AE EAC AC a b c ∠==++，222cos AD CAD AC a b c∠==++， 所以222a b c =++222a b c ++222a b c =++，即a b c ==，所以22tan tan 2BC c b BAC AB aθ+=∠===.故选：B【点睛】本题考查求空间中直线所成的角，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.从A ，B ，C 等8人中选出5人排成一排. （1）A 必须在内，有多少种排法？ （2）A ，B ，C 三人不全内，有多少种排法？（3）A ，B ，C 都在内，且A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，都多少种排法？ （4）A 不允许站排头和排尾，B 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有25C 种不同结果，由于A ，B 必须相邻，C 与A ，B 都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A 、B ，有A 、无B ，无A 、有B ，有A 、B 四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有47C 种不同结果，再将这4人与A 进行全排 列有55A 种不同的排法，故由乘法原理可知共有45754200C A =种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有58A 种不同排法，A ，B ，C 三人全在内有2555C A 种不同排 法，由间接法可得A ，B ，C 三人不全在内共有58A -25555520C A =种不同排法； （3）因A ，B ，C 都在内，所以只需从余下5人中选2人有25C 种不同结果，A ，B 必须 相邻，有22A 种不同排法，由于C 与A ，B 都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A 种不同排法，再将A 、B 这个整体与C 插入到选出的2人所产生的3各空位中有23A 种不同 排法，由乘法原理可得共有22225223240C A A A =种不同排法； （4）分四类：第一类：所选的5人无A 、B ，共有56720A =种排法；第二类：所选的5人有A 、无B ，共有4146341080C C A =种排法； 第三类：所选的5人无A 、有B ，共有4146441440C C A =种排法； 第四类：所选5人有A 、B ，若A 排中间时，有3464C A 种排法，若A 不排中间时，有31136233C C C A 种排法，共有3411364233()1200C A C C A +=种排法； 综上，共有4440种不同排法.【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.18.某工厂生产A ，B ，C 三种纪念品，每种纪念品均有普通型和精品型两种，某一天产量如下表（单位：个）：现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取100个，其中有A 种纪念品40个.（1）若再用分层抽样的方法在所有B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率（用最简分数表示）；（2）从C 种精品型纪念品中抽取6个，其某种指标的数据分别如下：4，7，x ，y ，8，5.把这6个数据看作一个总体，其均值为7、方差为6，求x y -的值. 【答案】（1）1126；（2）【解析】 【分析】（1）先由抽样比算出n ，进一步得到13个样本中精品型的个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）利用平均数、方差可得18x y +=，22176x y +=，进一步得到2148xy =，代入x y -.【详解】（1）由已知，10040(800200)800200150500350n =+⨯+++++，解得500n =，B 种纪念品中抽取一个容量为13的样本中，精品型有131503150500⨯=+个， 从13个纪念品中任取2个有213C 中不同结果，无精品型有210C 种不同结果，所以至少有1个精品型纪念品的概率为210213151126C C -=-=1126. （2）由题意，1(4785)76x y +++++=，所以18x y +=， 又2222221[(47)(77)(7)(7)(87)(57)]66x y -+-+-+-+-+-=， 所以22(7)(7)22x y -+-=，即2214()9822176x y x y +=+-+=， 所以2222()()148xy x y x y =+-+=，故x y -=.【点睛】本题考查统计与概率的简单应用，涉及到分层抽样、平均数、方差的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.19.如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】 （1）以点A坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的首项为1.记()12*12()knn n k n n n f n a C a C a C a C n N=++⋅⋅⋅+⋅⋅+∈+⋅.（1）若{}n a 为常数列，求(3)f 的值：（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式：（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式：若不存在，请说明理由.【答案】（1）(3)7f =（2）31()2n f n -=（3）存在等差数列{}n a 满足题意，21n a n =-【解析】 【分析】(1)根据常数列代入其值得解；(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论. 【详解】解：（1）∵{}n a 为常数列，∴()1n a n N +=∈.∴123333(3)7f C C C =++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，()12n n a n N -+=∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=+++L∴1223312()12222n nn n n n f n C C C C +=++++L(12)3n n +=故31()2n f n -=. （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*n N ∈都成立，设公差为d ，则()12*12()k nn n k n n n f n a C a C a C a C n N=+++++∈L L1111()n n k n n n n k n n f n a C a C a C a C --=+++++L L相加得()()121112()2k n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++++L L∴()11()222nn n a a f n a -+=+-()11(1)[2(2)]21n n d n d -=+-++--. ∴1()1(2)[2(2)]2(1)2n n f n d n d n --=-++-=-恒成立， 即1(2)(2)(2)20n d d n --+--=n ∈+N 恒成立，∴2d =故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n ∈+N 都成立，它的通项公式为21n a n =- 【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.21.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u v u u u v的值； （3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM = 【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=u u u r u u u r ；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o,22||MF b =,所以21||2MF b =， 由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y , 设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=， 故21cos 22cos 13θθ=-=-， 所以12,PP PP u u u v u u u v的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.。
上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷+解析版)
点评：两直线所成角包括相交角和异面角
15.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（）
当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有 种情况；
当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有 种情况；
当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有 种情况.
所以共有 种不同的方法.
故答案为：252
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.设 为一个非空有限集合，记 为集合 中元素的个数，若集合 的两个子集 、 满足： 并且 ，则称子集 为集合 的一个“ —覆盖”（其中 ），若 ，则 的“ —覆盖”个数为________
①若 ， ，则 ∥ ②若 ∥ ， ，则
③若 ， ，则 ∥ ④若 ， ， ，则
其中正确的命题序号是________
【答案】④
【解析】
【分析】
根据题意，结合线面垂直、面面垂直的有关性质、判定定理可得①可能 ；②只有 与 ， 的交线垂直，才能够推出 ；③ 可能在平面 内；根据两个平面的法线所成角与两平面所成角相等或互补，可证出④是真命题．由此即可得到本题答案．
4.在120°的二面角内有一点 ， 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则 到该二面角棱的距离为________
5.若 ，则 的值为．
6. 除以100的余数是________
7.甲、乙、丙、丁四位同学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同 概率为________
6. 除以100的余数是________
【答案】41
上海市七宝中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(1)
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
（2）若 是线段 上（不含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．
20．如图，在底面是菱形的四棱锥 中， ， ， ，点 在 上_______.
4．一条直线 上的3个点 到平面 的距离为1，这条直线和平面的关系是____________．
5．正四面体中，则其侧面与底面的二面角的余弦值等于
6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为_______________．
7．如图是三角形 的直观图， 平面图形是_______________．
故答案为：直角三角形
【点睛】
本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系，属于基本概念和画法的简单应用.
（3）过底面点 作垂直且于母线 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为 的椭圆，求椭圆的面积（椭圆号 的面积 ）
参考答案
1．
【分析】
由题意可得， 平面 ，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】
解：在正方体 中，
∵ 平面 ， 平面
∴
∴异面直线 与 所成的角的大小为
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.
10．由曲线 ， ， ， 围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ，满足 的点组成得图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ，试写出 与 的一个关系式______________．
11．如图，空间四边形 中， 分别是对边 的中点，点 在线段 上，分 所成的定比为2， ，则 的值分别为_____．
8．把地球看作是半径为 的球， 点位于北纬30°，东经20°， 点位于北纬30°，东经80°，求 两点间的球面距离______________．
上海市七宝中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(简答)
七宝中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数的虚部为(12i)(3i)-+2. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点、对应的复数分别是、，则 A B 1z 2z 221||z z =3. 复数352019i i i i +++⋅⋅⋅+=4. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是5. 如果复数满足，那么的最小值是z |i ||i |2z z ++-=|i 1|z ++6. 在复数范围内分解因式：42625x x -+=7. 设是复数，表示满足是最小正整数，则 z ()a z 1n z =n 1i (1ia +=-8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则α22(21)10x m x m --++=||2α≤实数的取值范围是m 9. 圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直111ABC A B C -120ABC ∠=︒2AB =11BC CC ==线与所成角的余弦值为1AB 1BC 11. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，对于以下命题：m n αβ（1）若∥，∥，那么与所成的角和与所成的角相等；m n αβm αn β（2）若，，，则；m n ⊥m α⊥n β⊥αβ⊥（3）若，，则∥；m β⊥αβ⊥m α（4）若∥，，则.m ααβ⊥m β⊥其中正确命题的序号是12. 在四面体中，面与面成60°的二面角，顶点在面上的射影ABCD ABC BCD A BCD 为△的垂心，为△的重心，若，，则H BCD G ABC 4AH =AB AC =GH =二. 选择题13. 设、是复数，则下列命题中假命题是（）1z 2z A. 若，则 B. 若，则12||0z z -=12z z =12z z =12z z =C. 若，则D. 若，则12||||z z =1122z z z z ⋅=⋅12||||z z =2212z z =14. 设、是两个不同的两个平面，是直线且，则“∥”是“∥”αβm m α⊆m βαβ的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是30°，αA AB AC AO AB α，，则线段长的取值范围是（ ）6AO =AC BC ⊥BCA. B. C. D. (0,6)(6,)+∞)+∞16. 如图，已知正四面体中，、、分别为、D ABC -P Q R AB 、上的点，，，分别记二面角BC CA AP PB =2BQ CR QC RA==、、的平面角为、、D PR Q --D PQ R --D QR P --αβ，则、、的大小关系为（ ）γαβγ A. B. C. D. αβγ<<αγβ<<βαγ<<γαβ<<三. 解答题17. 已知复数是一元二次方程的一个根.21(2z =-210mx nx ++=(,)m n ∈R （1）求和的值；m n （2）若，，为纯虚数，求的值.1(2i)z a z =-a ∈R 1z |2i |a +18. 如图，已知正方体的棱长为1.1111ABCD A B C D -（1）正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线；1111ABCD A B C D -1A B （2）若、分别是、的中点，求异面直线与所成角的大小.M N 1A B 1BC MN BC19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进门博览会是某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马中，底面.P ABCD -PD ⊥ABCD （1）若，斜梁与底面所成角为15°，求立柱的长；4AD CD m ==PB ABCD PD （精确到0.01）m（2）请证明四面体为鳖臑；若，PDBC 2PD =，，点为线段上一个动点，2CD =1BC =E PB 求△面积的最小值.ECD 20. 如图，四棱柱中，侧棱底面，∥，1111ABCD A B C D -1AA ⊥ABCD AB CD ，，，为棱的中点.AB AD ⊥1AD DC ==12AA AB ==E 1AA （1）证明：；11B C CE ⊥（2）求二面角的正弦值；11B CE C --（3）设点为线段上，且直线与平面M 1C E AM，求线段的长.11ADD A AM 21. 设，且.z C ∈(Re 0)()(Re 0)z z f z z z ≥⎧=⎨-<⎩（1）已知（），求的值；2()()429i f z f z z +-=-+z C ∈z （2）若，设集合，Re 0z ≥1{|()()2i ()2i ()120,}P z f z f z f z f z z C =⋅-⋅+⋅-=∈，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；21{|i ,}P z z P ωω==∈2P（3）若，，是否存在，使得数列满1()z u u C =∈21(1)()n n n z f z z n *+=++∈N u 12,,z z ⋅⋅⋅足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，n m n z z +=m m *∈N n u 若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 2. 5 3. 0 4.5. 15-π6. 7. 48. (2i)(2i)(2i)(2i)x x x x ++--+--+3(4-9. 11. （1）（2）（4）二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）；（2）4.1m n ==18.（1），，，，，；（2）.AD DC 1CC 1DD 11C D 11B C 4π19.（1）1.52；（220.（1）略；（2；（321.（1）；（2）；（3）.23i z =-2x =i u =±。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
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七宝中学高二期中数学试卷
2020.05
一. 填空题
1. 若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是
2. 若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=
3. 某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
13
，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为
4. 在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为
5. 若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++=，则n =
6. 7271除以100的余数是
7. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为
8. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
① 若a b ⊥，a α⊥，则b ∥α ② 若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥
③ 若a β⊥，αβ⊥，则a ∥α ④ 若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题序号是
9. 若y =y 的取值范围是
10. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队， 要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法（用数字作答）
11. 在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤， 则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 种
12. 设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =I 并且A B S =U ，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为
二. 选择题
13. 在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A. 100
B. 85
C. 65
D. 55
14. 在正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 成60°角的面对角线的条数是（ ）
A. 4条
B. 6条
C. 8条
D. 10条
15. 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任 一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A. 1240 B. 1160 C. 71440 D. 1180
16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角
形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD
内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨
迹一定是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17. 若66()n x x
+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. （1）求n 的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
18. 已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ；
（2）若45PDA ∠=︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.
19. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB a =，3AD a =，且 25arcsin ADC ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，AP a =. 求：（1）二面角P CD A --的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A 到平面PBC 的距离.
20. 是否存在等差数列{}n a ，使012112312n n n
n n n n a C a C a C a C n +-+++⋅⋅⋅+=⋅对任意n *∈N 都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.
21. 规定(1)(1)!
m x x x x m C m -⋅⋅⋅-+=，其中x ∈R ，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m n ≤）的一种推广.
（1）求412C -的值；
（2）设0x >，当x 为何值时，313()
x x C C 取得最小值？ （3）组合数的两个性质：
①m n m n n C C -=. ②11m m m n n n C C C -++= .
是否都能推广到m x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出
证明；若不能，则说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 相交、平行、异面
2. 177147-
3.
427
4. 5. 4 6. 41 7. 2932
8. ④
9. 10. 1000 11. 252 12. 2k n k n
C -⋅
二. 选择题
13. D 14. C 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1）7n =；（2）不存在.
18.（1）证明略；（2）45°.
19.（1
）arctan 6；（2
）2
. 20. 存在，44n a n =-.
21.（1）4
121365C -=；（2）当43x =时，313()x x C C 取得最小值，最小值为148
-；（3）性质①不能推广，例如412C -有意义，1612C --无意义；
性质②能推广，它的推广形式为11m m m x x x C C C -++=（x ∈R ，m 是正整数），证明如下：
当1m =时，1
0111x x x C C x C ++=+=；
当2m ≥时，1(1)(2)(1)(1)(2)(2)!(1)!
m m x x x x x x m x x x x m C C m m ---⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-++=+- 1(1)(2)(2)1(1)(2)(2)(1)[1](1)!!
m x x x x x m x m x x x x m x C m m m +--⋅⋅⋅-+-+--⋅⋅⋅-++=
+==-.。