上海市上海中学2020-2021学年上学期高二期末数学试卷【含答案】

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2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)

2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为．与的等比中项．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有，因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。

上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)- 【解析】【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题. 2.若12z i =+，则||z =________. 【解析】【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+，∴||z == 【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==，所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。

故答案为：tan 2arc 。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。

4.双曲线221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =________.【答案】4- 【解析】【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。

【详解】双曲线221x y a +=的标准方程为 221x y a-=-，虚轴的长是，实轴长 2，由题意知，∴4a =-，故答案为：4-．【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的,a b ，属于基础题.5.圆心为(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________. 【答案】22(1)(2)25x y -++= 【解析】【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为(1,2)C -,则圆的半径为5=，所以所求的圆的方程为: 22(1)(2)25x y -++=，故答案为: 22(1)(2)25x y -++=.【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题. 6.倾斜角为4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则||AB =______. 【答案】4 【解析】【分析】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系123x x +=，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴倾斜角为4π的直线过焦点F 的方程为：12y x =-，与抛物线22y x =联立得21304x x -+=，令()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x +=，由抛物线的定义得1211||,||22AF x BF x =+=+， ∴22111141||22AB x x x x =+++++==，故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d =≤即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅的最大值为_______.2+ 【解析】【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc+-=+，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得,33a Ab B ==，()222216sin sin 3b a B A -=-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求得最值.【详解】在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，由正弦定理得2sin AB R C ==, R ∴=, ∴2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc +-=⋅222222242222b ac b a b a -+-+-===+,2sin sin sin a b c R AB C ===， ,a A b B ∴==，()222216sin sin 3b a B A ∴-=-161cos 21cos 2322B A --⎛⎫=- ⎪⎝⎭8(cos 2cos 2)3A B =-82cos 2cos 233A A π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦81cos 2cos 2232A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ sin 233A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()22maxb a ∴-=， 22max222b a ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，所以AB AC⋅最大值为23+， 2+. 【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．9.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【解析】【分析】利用椭圆的定义设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，构造函数()[]11134f x x x x=+∈-，，，利用导数求其范围即可．【详解】取椭圆左焦点F ′，连接AF ，BF ，AF ′，BF ′，易知四边形AFBF ′为平行四边形，即有|AF |+|BF |＝|AF |+|AF ′|＝2a ＝4，设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，故11114AF BF x x+=+-，令()[]11134f x x x x=+∈-，，，则()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---，易知函数f （x ）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====，，即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．10.已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】257【解析】【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()25723x y θϕ+=+(其中3tan ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭, 则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，13,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有3(cos ,sin )(,0)2y y x θθ⎛=+- ⎝⎭,∴3 cos,sin2y yxθθ-==，∴323sin cos,sinx yθθθ=+=，故()25723sin3x yθϕ+=+(其中3tan4ϕ=),23πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而57sin19ϕ=，235757sin33819πϕ⎛⎫+=>⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时，23x y+取最大值257，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y+取最小值2，∴23x y+的取值范围为257[2,]3，故答案为:257[2,].【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、选择题11.若12i是关于x的实系数方程20x bx c++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c== B. 2,1b c==- C. 2,1b c=-=- D.2,3b c=-=【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b 的方程组102220b cb-++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意12+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+22i﹣2+b2+bi+c＝0，即()12220b c b i-++++=∴102220b cb-++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线10x y-+=与圆22()2x a y-+=有公共点，则实数a的取值范围是（）A. [3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a ．圆心到直线的距离为d =，由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-．选C ．14.已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =，则a 的值为( ) A. 1713B. 1913C.2113D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=，∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-，解得1713a =，故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 三、解答题15.设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2，求实数m 的值. 【答案】0m = 【解析】【分析】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，根据根与系数的关系得212m 103x x +⋅=>,12,x x 同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，则212m 103x x +⋅=>,12,x x ∴同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则122(1)2x x m +=-=,解得2m =,此时方程为23650x x -+=,方程无解,所以舍去;若全为负，则122(1)2x x m +=-=-,解得0m =,此时方程为23610x x ++=方程有两个负根,且绝对值的和为2, 综上所述,m 的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上.(1)求双曲线的两条渐近线方程； (2)求点(1,)P a 到两条渐近线距离的乘积.【答案】(1)2y x =±；(2)45. 【解析】【分析】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，求得0a =，再根据点到直线的距离公式可求得点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为：2y x =±，(2)∵点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，∴2114a -=，0a ∴=，∴(1,0)P ， (1,0)P 到2y x =的距离为1d =，(1,0)P 到2y x =-的距离为2d =，1245d d ∴⋅==，所以点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积为45. 【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，11(,)p ax y =，22(,)q ax y =. (1)求椭圆的方程；(2)若p q ⊥，直线l 经过点F ，求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x +=；(2)y =.【解析】【分析】(1) 根据椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，代入可求得 a 得椭圆的方程；(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =()22410k x++-=，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于k的方程，可求得k ，从而得到直线l 的方程.【详解】(1) ∵椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，21314a ∴+=， 24a ∴=， 0,2a a >∴=，∴椭圆的方程为： 2214y x +=；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：0x =，(0,2),(0,2),(0,2),(0,2)A B p q -==-，显然不满足p q ⊥，∴直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =+，由2214y x y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410k x ++-=，∵11(,)A x y 、22(,)B x y，则1212221416160x x x x k k ⎧+=⎪⎪⎪⋅=-⎨+⎪∆=+>⎪⎪⎩，又()()11222,,2,,p x y q x y p q ==⊥，121240p q x x y y ∴⋅=+=，即(121240x x kx kx +=，()()21212430,k x x x x ∴+++=()()224(1)()340k k ∴+⨯-⋅-++=，解得22,k k =∴=，所以直线l的方程为y =.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线2:2y px Γ=（0p >）经过点(1,2)P ，直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)若直线l 过点(0,1)Q ，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若直线l 过点(0,1)Q ，设(0,0)O ，QM QO λ=，QN QO μ=，求11λμ+的值；(3)若直线l 过抛物线Γ的焦点F ，交y 轴于点D ，DA AF λ=，DB BF μ=，求λμ+的值. 【答案】(1)(,1)-∞且3k ≠-且0k ≠；(2)112λμ+=；(3)1-.【解析】【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为0，且直线PA 、PB 斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出>0∆，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据QM QO λ=，QN QO μ=，得出λ、μ与点,M N 坐标之间的关系，再根据,,M A P 在同一直线上，,,N B P 在同一直线上，得出λ,μ与点,A B 坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点,A B 横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得11λμ+的值.(3) 设直线l 的方程为：()10,x my m =+≠联立直线与抛物线的方程得出点,A B 纵坐标之间的关系，再由DA AF λ=，DB BF μ=，得出λ、μ与点,A B 坐标之间的关系，对λμ+化简可求得λμ+的值.【详解】（1）因为抛物线2:2y px Γ=经过点(1,2)P ，所以42p =，所以2p =，所以抛物线Γ的解析式为24y x =。

2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件. 故选：A.2．设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【详解】ln p f ==()ln 22a b a bq f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ．【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3．若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（）A ．a b a b -<-B ．a b a b -<+C ．a b a b +>-D ．a b a b +<- 【答案】D【分析】利用特殊值法判断即可. 【详解】令1,2a b =-=，则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题. 4．关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；（2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）()y f x =是偶函数且有最小值．其中正确的命题个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误；（2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确；（3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误；（4）由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确；故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.二、填空题5．设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B =___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B x x =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞，{}134A B =，，.故答案为: {1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 6．幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值. 【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a = 解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.7．不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞.8．已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--9．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =， ∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-， ∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-. 故答案为：2-. 10．若a()2log 21a a +的值是________．【答案】1- 【分析】(1,2)=，即可得a =数运算的性质求值即可. 【详解】(1,2)=，知：1a =-=，即2a =，1212a +==∴()2log 211a a +==-=-. 故答案为：1-.11．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x +=-15，变形为()21212815x x x x +=-，根据方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，得到212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，所以212121+1,14x x k x x k =+⋅=+，因为2212126x x x x +=-15，所以()21212815x x x x +=-，()221181154k k ⎛⎫+=⨯+- ⎪⎝⎭，即()()240k k +-=，解得4k =或2k =-（舍去）故答案为：412．若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________．【答案】[]1,0-【分析】讨论0m =、0m ≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m 取值即可.【详解】当0m =时，()1f x x =--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m ≠时，()221(1)()24m m f x m x m m-+=+-， ∴112m m -≤-，即102mm+≤，可得10m -≤<，综上，有10m -≤≤. 故答案为：[]1,0-.13．若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，[)0,4a ∈. 故答案为：[)0,4.14．已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥ 若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<. 故答案为：[0,1).15．设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________．【答案】(,1)(5,)-∞+∞【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >. 故答案为：(,1)(5,)-∞+∞.16．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =，又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+， ∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.三、解答题17．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【解析】不等式选讲.18．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析：由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. (1)由基本不等式及1ab =,有22a b ab +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 19．已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性. 【详解】（1）因为()07f = 代入可得17a -=,解得6a =- 所以()363xxf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅= 化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330xx--= 解得3log 2x =或1x = （2）()33xxf x a -=-⋅则()33xxf x a --=-⋅当1a =时,()33xxf x -=-,()33xx f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知, 当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时, 函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-．（1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x （元）时总利润为z （元），∴2000200010200702z x x=---（），1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（元，当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 21．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 1=2x 时，max ()=2g x . (3) 1(0,)16【详解】试题分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围. 试题解析：(1) 由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=. 当1x >时，()11=1x f x x x-=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=- ()()1221221211=x x x x x x --- 1212=x x x x -，因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<，所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩，当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ；当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x时，()max =2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x . （3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈. 同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞. 方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=，即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析

高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套．故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。

上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编

2021-2022上海市学校——高中数学填选难题专题练习汇编一、第一部分集合1．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）设集合S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：()i {}(),T y y f x x S ==∈， ()ii 对任意1x ，2x S ∈，当12xx <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（） ①A N *=，B N =②{}{}13,8010A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 ③{}05,A x x B R =<<= ④,A N B Q == A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A2．（2022·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”．其中正确的命题有（） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①②④【答案】D3．（2021·上海交大附中高一期中）已知x ∈R ，则“()()230x x --≤成立”是“3|21|x x +-=-成立”的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】C4．（2022·上海黄浦·模拟预测）若集合10.,A n ab n n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N *，其中a 和b 是不同的数字，则A 中所有元素的和为（）. A ．44 B ．110C ．132D ．143【答案】D5．（2022·上海·高三专题练习）已知命题P ：“存在正整数N ，使得当正整数n N >时，有111112020234n+++++>成立”，命题Q ：“对任意的R λ∈，关于x 的不等式10011.0010x x λ->都有解”，则下列命题中不正确．．．的是（） A ．P Q ∧为真命题 B ．()P Q ⌝∨为真命题 C ．()P Q ∨⌝为真命题 D ．()()P Q ⌝∨⌝为真命题【答案】D6．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在R 上的函数()f x 的值域为A ，若集合A 为有限集，且对任意12x x R ∈、，存在3x R ∈使得()()()123f x f x f x =，则满足条件的集合A 的个数为（） A ．3 B ．5C ．7D ．无穷个【答案】B7．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D9．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.10．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设整数集{}1234,,,A a a a a =，{}222124,,B a a a =，且1234a a a a <<<，若{}23,A B a a ⋂=，满足130a a +=，A B 的所有元素之和为90，求34a a +=________；【答案】1011．（2021·上海交大附中高一期中）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±12．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是_________． 51+或3. 13．（2021·上海交大附中高二期末）对任意集合M ，定义1,()0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++=（其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）【答案】（1）（2）（3）（4）14．（2022·上海交大附中高一期末）设函数3()22,||1x x f x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（） A ．12p p ､中仅1p 是q 的充分条件 B ．12p p ､中仅2p 是q 的充分条件 C ．12p p ､都不是q 的充分条件 D ．12p p ､都是q 的充分条件15．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知平面上两个点集(){},112,,M x y x y x y x R y R =++++->∈∈，(){},11,,N x y x a y x R y R =-+-≤∈∈，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合是___________．【答案】{}1-16．（2022·上海市松江二中高三开学考试）设集合,,,,,S T S N T N S T ⊆⊆中，至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.若S 有4个元素，则S T 有___________个元素.【答案】717．（2020·上海中学高一期中）若集合{}2(2)20,x x a x a x N -++-<∈中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围是________ 【答案】12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦18．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集{}(,)1D P d P C =≤所表示的图形的面积为________________．【答案】5433π+-19．（2020·上海·高一专题练习）{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q +=_____．【答案】-1或520．（2021·上海·复旦附中高二期中）设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】10521．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是集合{0s t e e t s -<<，且},s t N ∈(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若2lg 10m a <，则m 的最大值为___________.二、函数22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____. 【答案】152- 23．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A24．（2021·上海市建平中学高三期中）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.现定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=.下列说法正确的是（）①函数3y x =是圆O 的一个“太极函数”； ②函数1sin 2y x π=是圆O 的一个“太极函数”；③函数()f x 的图像关于原点中心对称是()f x 为圆O 的“太极函数”的充要条件； ④圆O 的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数. A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②④【答案】A25．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设04,0b a b m <<<>，若三个数22,2a ba b ab m ab ++-m 的取值范围为（） A ．135,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．(1,3)C ．135,224⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．(3,2)【答案】C26．（2022·上海·高三专题练习）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A27．（2021·上海市向明中学高三阶段练习）已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论： ①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>．其中正确的是（） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A28．（2021·上海金山·二模）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为（）A ．12B ．32C ．212-D ．2 【答案】D29．（2022·上海·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++存在实数0x ，且有0||3x ≥，使得0()0f x =，则224a b +的最小值是________.【答案】3243730．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）已知22,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，方程22()21|()21240f x x f x x ax +-+----=有三个实根123x x x <<，若32212()x x x x -=-，则实数=aA ．173a +=B ．173a -=C ．1a =-D ．1a =【答案】B31．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．【答案】()6,1032．（2021·上海南汇中学高三期中）对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()21f x x x =++；②()f x x =③()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C33．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数()2f x x ax b =++在[]2,2-上存在零点，且 022b a ≤-≤，则 b 的取值范围是_____.【答案】(,426-∞-34．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=； ③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C35．（2022·上海静安·二模）已知函数()2log ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若对任意1a ≤-，当1b m -<≤时，总有()()1a f b b -≥成立，则实数m 的最大值为__________. 【答案】136．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）函数f （x ）=3|x +4|﹣2|x +2|，数列a 1，a 2，…，an …，满足an +1=f （an ），n ∈N *，若要使a 1，a 2，…an ，…成等差数列．则a 1的取值范围______．【答案】{8}[2,)--+∞37．（2022·上海虹口·二模）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1x =对称，当[]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，对于闭区间I ，用I M 表示()y f x =在I 上的最大值.若正数k 满足[][]0,,22k k k M M =，则k 的值可以是_________.（写出一个即可）. 22+102-38．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 39．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数()()2,log xa f x g x x ==，若对于()f x 图像上的任意一点P ，在()g x 的图像上总存在一点Q ，满足OP OQ ⊥，且OP OQ =，则实数=a ___________.【答案】12##0.540．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆2212x y +=，过左焦点F 任作一条斜率为k 的直线交椭圆于不同的两点M ，N ，点M '为点M 关于x 轴的对称点，若1[,1]3k ∈，则FM N '△面积的取值范围是_____．【答案】3[112 41．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知0x >，0y >，a x y =+，22b x xy y ++c m xy =若a ，b ，c 构成三角形的三边，则m 的取值范围是_______.【答案】(233，42．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a cbc ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t ++的最小值是_______.【答案】2243．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数()()10,0f x mx m n nx=+>>的定义域为()0,+∞，若1x =时，()f x 取得最小值，则22221122m n n m +++++的取值范围是___________．【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭44．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(4]7,-∞45．（2022·上海·高三专题练习）对于定义域为D 的函数f (x )，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得()()()2212122f x f x f x x ==+，则称函数f (x )具有性质M ，若函数()2log 1g x x =-，(]0,x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为__．22+246．（2022·上海·高三专题练习）设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.【答案】54π47．（2022·上海市进才中学高三期中）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________ 【答案】15548．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 、Q 分别为函数2()1f x x =+(x ≥0)和()1g x x =-图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为____________． 3249．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C50．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B51．（2021·上海交大附中高三期末）已知函数22()6131029f x x x x x =-+-+，给出下列四个判断：①函数()f x 的值域是[0,2]；②函数()f x 的图像时轴对称图形；③函数()f x 的图像时中心对称图形；④方程3[()]2f f x =有实数解.其中正确的判断有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B52．（2021·上海市延安中学高三期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D53．（2021·上海黄浦·一模）已知R k ∈，函数22()|4|f x x x kx =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是（） A ．72k -<<- B ．7k <-或2k >- C ．70k -<< D ．20k -<<【答案】A54．（2021·上海普陀·模拟预测）已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数，若函数[]()x f x a x=-(x ≠0)有且仅有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．45(,56] B ． 4554(,,)564][3⋃C ．34(,45] D ． 3443(,,)453][2⋃【答案】B55．（2022·上海·高三阶段练习）已知定义域为[5,5]-的函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x ．若(]12,0,5,x x ∀∈当12x x <时，总有2112()()f x f x x x >，则满足(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为（） A ．[]1,1- B ．[]1,5- C ．[]2,3- D ．[]2,1-【答案】A56．（2021·上海普陀·一模）设函数()()2,10.5log 2,1a x x a x f x x x ⎧-+<-⎪=⎨++≥-⎪⎩（0a >且1a ≠）在区间(),-∞+∞上是单调函数，若函数()()12g x f x ax =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,84⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D57．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）1a 、2a 与1b 、2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程1212x a x a x b x b -+-=-+-的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为（） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}2 D ．{}1,2【答案】B58．（2022·上海徐汇·三模）已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+，对于不相等的实数1x 、2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =； ②对于任意的实数a ，存在不相等的实数1x 、2x ，使得m n =-，下列判断正确的是（） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题【答案】D59．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，若前2022项和小于零，则122022()()()+++f a f a f a 的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负【答案】B60．（2021·上海普陀·模拟预测）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足44sin(1)250a a -+-=，88sin(1)210a a -++=，则下列结论正确的是( )A ．1111S =，48a a <B ．1122S =，48a a <C ．1122S =，48a a >D ．1111S =，48a a > 【答案】D三、三角函数61．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值为_____________．【答案】262．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A ．27πB ．25π C ．2π D ．23π 【答案】A63．（2021·上海奉贤·一模）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C64．（2022·上海·高三开学考试）ABC 中，()sin sin sin A B A B ++的最大值为（）A 323+ B 43+C 15+ D ．32【答案】C65．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy（）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D66．（2021·上海·位育中学高三开学考试）在ABC 中，若2sin A =则cos 2B C 的取值范围是（） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对【答案】B67．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ； ③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D68．（2021·上海·模拟预测）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得3cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 【答案】25π 69．（2021·上海青浦·一模）若数列：cos cos2,cos4,,cos2n αααα､､中的每一项都为负数，则实数α的所有取值组成的集合为__________.【答案】22,3k k Z πααπ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭70．（2021·上海·高三专题练习）已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a x -=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a x -=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a x -=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210f x a x -=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C71．（2021·上海虹口·一模）已知函数()cos f x x =，若对任意实数1x ，2x ，方程()()()()()12f x f x f x f x m m R -+-=∈有解，方程()()()()()12f x f x f x f x n n R ---=∈也有解，则m n +的值的集合为______.【答案】{}272．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 73．（2021·上海市进才中学高三期中）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭74．（2021·上海市七宝中学高三阶段练习）已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________．【答案】11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 75．（2021·上海奉贤·二模）函数()2cos()xf x nπ=(x ∈Z )的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是_________. 【答案】10±，11±76．（2021·上海闵行·二模）已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x x πππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 【答案】47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭77．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭78．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．【答案】1312π 79．（2021·上海市建平中学模拟预测）设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．【答案】(1)2n n π- 80．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]81．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>中a 、b 、c 成等比数列，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+________．5282．（2021·上海市青浦高级中学模拟预测）设0≤α≤π，不等式8x 2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 _________ ．【答案】[0，6π]∪[56π，π] 83．（2021·上海市高桥中学高三期中）已知函数sin 1,0()2log ,0ax x f x x x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对,则实数a 的取值范围_________.【答案】2117⎝⎭， 84．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________【答案】14-##0.25-85．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________. 【答案】9π 86．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或87．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n k παϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________．【答案】1939π##1939π 88．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________. 【答案】{}189．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3490．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】211⎡⎤⎣⎦，. 91．（2022·上海·高三专题练习）设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________【答案】4π 92．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C93．（2021·上海·复旦附中模拟预测）已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF →→⋅的取值范围为（）A．3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．4323⎛⎝⎭C．43⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．8,03⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D。

上海市市北中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题答案和解析

上海市市北中学【最新】高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算．
2．已知向量与，则在方向上的投影为_______
3．过点 ,且以为法向量的直线的点法向式方程为_______
4．直线被圆所截得的弦长等于，则 ________
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点 ,的定点 ,使得以为直径的圆恒过直线 , 的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．
参考答案
1．
【详解】
2．3
【分析】
（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量在方向上的投影为，代入坐标计算即可.
【详解】
,
设向量与的夹角为，
则向量在方向上的投影为
4．
【分析】
根据弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可求解.
【详解】
设圆心到直线的距离为d,
则，
由平面几何知识知，弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形，
所以，
解得，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了圆的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题.
5．3
【分析】
根据直线平行的条件可知，，注意排除直线重合的情况，即可求解.
考点：轨迹方程的求解
点评：主要是考查了轨迹方程的秋季，属于基础题．
9．②③
【分析】
由直线倾斜角的范围判断①错误；求出直线恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断②正确；由的几何意义可知是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断③正确；由直线恒过的定点在椭圆内部求解m的取值范围，结合圆的条件判断④错误.

上海青浦区第一中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析

上海青浦区第一中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列语句中：①②③④⑤⑥其中是赋值语句的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C2. 如图所示的程序框图中，当x=1时，输出的y的值是A. 2 B． 1 C．-2 D．参考答案：A3. 某成品的组装工序图如右，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（）A．11 B．13 C．15 D．17参考答案：B4. 如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（）．A．B．C．D．参考答案：A由三视图知几何体是一个三棱柱，．故选．5. 不等式的解集为（）A. B. C.D.参考答案：解析：原不等式等价于设解得。

即。

故选C。

6. 下列命题中，假命题的是（）A．如果平面内有两条相交线与平面内的两条相交线对应平行，则//；B．空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，对空间任一定点有；C．如果平面内有无数条直线都与平面平行，则//；D．若点是线段的中点，则满足向量表示式；参考答案：C7. 不等式|2x﹣1|＞3的解集是（）C8. 设a，b是实数，则的充要条件是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先证明必要性，再证明充分性.【详解】，所以是的必要条件；，所以是的充分条件. 故选：C【点睛】本题主要考查充要条件的判断证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9. 设R，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 已知三次函数的图象如图所示，则（）A. -1B. 2C. -5D. -3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则．参考答案：612. 从区间内任取两个数，则这两个数的和小于的概率为________________.参考答案：13. 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物只．参考答案：12000略14. 卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）是平面内两个定点，|PF1|?|PF2|=a2（a是定长），得出卡西尼卵形线的相关结论：①当a=0，c=1时，次轨迹为两个点F1（﹣1，0），F2（1，0）；②若a=c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，则曲线不存在；④既是轴对称也是中心对称图形．其中正确命题的序号是．参考答案：①②③④【考点】类比推理．【分析】由题意设P（x，y），则=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，对4个选项加以验证，即可得出结论．【解答】解：由题意设P（x，y），则=a2，即[（x+c）2+y2]?[（x﹣c）2+y2]=a4，①当a=0，c=1时，轨迹为两个点F1（﹣1，0），F2（1，0），正确；②a=c，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，即故②正确；③∵（|PF1|+|PF2|）min=2c，（当且仅当，|PF1|=|PF2|=c时取等号），∴（|PF1||PF2|）min=c2，∴若0＜a＜c，则曲线不存在，故③正确；④把方程中的x被﹣x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称；把方程中的y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称；把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称；故④正确；故答案为：①②③④．15. 袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．参考答案：【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】方法一：第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球，由此可求概率，方法二：事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率．根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率【解答】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．16. 已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是：参考答案：正四面体内任意一点到各面的距离之和等于此正四面体的高。

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题 1. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为3. 已知方程223212x y λλ+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是4. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12||||PF PF ⋅=11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A.B. 12C. D.2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于（）A. 3B. 4C. 32D. 423. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变化时P 的轨迹是（）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩（t 为参数）；（2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈；A. （1）（3）（4）B.（1）（2）（3）（4）C. （2）（3）D.（1）（2）（3）三. 解答题1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程；（2）求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值.6. 已知椭圆22:142x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 6-2. {1}3. 21λ-<<-4. 221927x y -=5. 26. 222x y +=7.548. 49. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10二. 选择题1. D2. C3. B4. D三. 解答题1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.2. min ||z =3. k =k =4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.5.（1）28y x =，4；（2）1.6.（1）11[,]1612-；（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。

上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与圆()2253x y ++=相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是( )A ．2B ．4C ．6D ．以上说法都不对 2．直线1l ：2310x y -+=与直线2l ：3x =的夹角为( )A ．π-B ．C ．D ．以上说法都不对3．下列说法正确的是（）A ．平面中两个定点A ，B ，k 为非零常数，若PA PB k -=，则动点P 的轨迹是双曲线B ．定圆C 上有一定点A 和一动点(B 不与A 重合)，O 为坐标原点，若()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是椭圆C ．斜率为定值的动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，()12OP OA OB =+，则动点P 的轨迹是直线 D ．以上说法都不对4．点A 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与A 重合)，若0PO PA ⋅=(O 是坐标原点)，则c a （c 为半焦距）的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．以上说法都不对二、填空题5．抛物线24y x =的准线方程为______.6．直线的倾斜角范围是______．7．直线1l ：210x y --=，直线2l ：20ax y ++=，若12l l ⊥，则a =______． 8．直线50x y -+=被圆222440x y x y +---=所截得的弦长等于______．9．P 是双曲线221916x y -=上的一点，1F ，2F 为焦点，若17PF =，则2PF =______． 10．过点()2,3且与原点距离为2的直线方程是______．11．已知p ：曲线C 上的点的坐标都是方程(),0F x y =的解，q ：曲线C 是方程(),0F x y =的曲线，则p 成立是q 成立的______条件．12．已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 为焦点，若120PF PF ⋅=，121tan 2PF F ∠=，则椭圆的焦距与长轴的比值为______． 13．直线2y kx =-与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k =______．14．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是______．15．已知曲线Γ的参数方程为32221{1t x t t y t =-+=+（t 为参数），则以下曲线Γ的说法中： ①关于原点对称；②在直线1y =下方；③关于y 轴对称；④是封闭图形，正确的有______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为______．三、解答题17．已知两点()1,2A ，()5,1B -．（1）求直线AB 的方程；（2）若A ，B 到直线l 的距离都是2，求直线l 的方程．18．双曲线M ：22221x y a b -=过点P ⎛ ⎝⎭，且它的渐近线方程是20x y ±=．（1）求双曲线M 的方程；（2）设椭圆N 的中心在原点，它的短轴是双曲线M 的实轴，且椭圆N 中斜率为3-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在椭圆N 内的部分，试求椭圆N 的方程．19．已知椭圆的两个焦点为()11,0F -，21,0F ，且椭圆过点1,.2⎛ ⎝⎭（1）求椭圆的方程．（2）已知斜率为()0k k ≠的直线1l 过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线1l 垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ． 20．在平面直坐标系xOy 中有曲线Γ：221(0)x y y +=>．（1）如图1，点B 为曲线Γ上的动点，点()2,0A ，求线段AB 的中点的轨迹方程；（2）如图2，点B 为曲线Γ上的动点，点()2,0A ，将OAB 绕点A 顺时针旋转90得到DAC △，求线段OC 长度的最大值．（3）如图3，点C 为曲线Γ上的动点，点()1,0A -，()1,0B ，延长AC 到P ，使CP CB =，求动点P 的轨迹长度．参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，①直线过原点，设直线的方程为y kx =，②直线不过原点，设其方程为x y a +=，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案。

2020-2021学年上海市黄浦区高二上学期期末考试数学试题 word版

上海市黄浦区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题2021.01.13考生注意：1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3.本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1.直线1x =-倾斜角的大小为2.椭圆22195x y +=的焦距为 3.计算：121lim 21n n n +→∞+-4.已知向量(1,2),(1,),a m b m =+=若a b ⊥, 则实数m 的值为5.若2与a 的等差中项与等比中项相等，则实数a 的值为6.平行直线210x y +-=与210x y ++=之间的距离为7.若ΔABC 的三个顶点坐标分别为(2,1),(3,4),(1,1)---,则ΔABC 的重心坐标为 8.两条直线的夹角的取值范围为9.若圆C 与x 轴和y 轴均相切．且过点(1,2), 则圆C 的半径长为 10.若向量,a b 的夹角为,2,3,3a b m π==为非零实数，则1ma b m+的最小值为 11. 若将直线*10,0,0(,2)x y nx y n x ny n n N n +-=+-=+-=∈≥围成的三角形面积记为S ，则 lim n n S →∞=12. 过直线;2()l y x b b R =+∈上一点P 作圆221x y +=的切线，,A B 为两切点，若直线l 上不存在满足0PA PB <的点P ，则的b 取值范围为二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13.已知,a b 为两个非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==,则“1122x y x y =”是“//a b ”的（） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14. 用数学归纳法证明：*(1)(2)()2123(21)()n n n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈.从*(N ）k k ∈到+1k 若设()(1)(2)()f k k k k k =++⋅⋅⋅+.则(1)f k +等于（ ).A. ()[2(2+1)]f k k+ B. ()[2(2+1)]f k k⋅ C.2+1()1kf kk++D.2+1()1kf kk⋅+15.方程2210y x x-+=的图形是下图中的（）A. B. C. D.16.已知111(,)P a b与222(,)P a b是直线y kx=(k为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x和y的方程组112211a xb ya xb y+=⎧⎨+=⎩的解的情况是（).A无论12,,k P P如何，总是无解； B.无论12,,k P P如何，总有唯一解；C.存在12,,k P P,使之恰有两解； D.存在12,,k P P，使之有无穷多解；三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域，写出必要的步骤.17.(本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分已知平行四边形ABCD的对角线相交于点,O设向量,,OA a OB b==（1)用向量,,a b分别表示向,DC BC(2) 若P为直线AB上一点，k是实数，且AP k AB=,用向量,a b表示OP.18.(本题满分8分）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.求该热气球在前*()n n N∈分钟里上升的总高度nS，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m,请说明理由．19.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分设a R ∈.圆22:(1)()4C x y a -+-=.（1)若0,a =,点P 的坐标为(3,2),P Q -为圆C 上的动点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; （2)若圆C 上有且仅有一个点到直线0x y -=的距离等于1,求a 的值.20.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分在数列{}*()n a n N ∈中，34,2m m a a +==-,其中m 为给定的正整数．（1)若{}n a 为等比数列，1m =,求10a :（2)若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S , 是否存在正整数m .使得0m S =?若存在，求出m 的值, 若不存在，请说明理由.21.(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分已知椭圆22:162x y Γ+=,F 为左焦点,P 为直线3x =上一动点,Q 为线段PF 与Γ的交点,定义：()FP d P FQ=（1) 若点P 的纵坐标为55, 求:()d P （2) 证明：存在常数,m n ,使得()md P PF n =+黄浦区2020-2021学年度第一学期高二年级期终调研测试数学试卷（参考答案）2021.01.13 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1.直线1x =-倾斜角的大小为【答案】2π 2.椭圆22195x y +=的焦距为【答案】4 3.计算：121lim 21n n n +→∞+-【答案】124.已知向量(1,2),(1,),a m b m =+=若a b ⊥, 则实数m 的值为【答案】1-35.若2与a 的等差中项与等比中项相等，则实数a 的值为【答案】26.平行直线210x y +-=与210x y ++=之间的距离为7.若ΔABC 的三个顶点坐标分别为(2,1),(3,4),(1,1)---,则ΔABC 的重心坐标为【答案】24-33（，）8.两条直线的夹角的取值范围为【答案】]2[0，π9.若圆C 与x 轴和y 轴均相切．且过点(1,2), 则圆C 的半径长为【答案】15或 10.若向量,a b 的夹角为,2,3,3a b m π==为非零实数，则1ma b m+的最小值为【答案】11. 若将直线*10,0,0(,2)x y nx y n x ny n n N n +-=+-=+-=∈≥围成的三角形面积记为S ，则 lim n n S →∞=【答案】1212.过直线;2()l y x b b R=+∈上一点P作圆221x y+=的切线，,A B为两切点，若直线l上不存在满足0PA PB <的点P，则的b取值范围为【答案】--10][10,)（，∞+∞二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.已知,a b为两个非零向量，若1122(,),(,)a x yb x y==,则“1122x yx y=”是“//a b”的（）A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A14. 用数学归纳法证明：*(1)(2)()2123(21)()nn n n n n n N++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈.从*(N）k k∈到+1k若设()(1)(2)()f k k k k k=++⋅⋅⋅+.则(1)f k+等于（).A. ()[2(2+1)]f k k+ B. ()[2(2+1)]f k k⋅ C.2+1()1kf kk++D.2+1()1kf kk⋅+【答案】B15.方程2210y x x-+=的图形是下图中的（）A. B. C. D.【答案】D16.已知111(,)P a b与222(,)P a b是直线y kx=(k为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x和y的方程组112211a xb ya xb y+=⎧⎨+=⎩的解的情况是（).【答案】AA无论12,,k P P如何，总是无解； B.无论12,,k P P如何，总有唯一解；C.存在12,,k P P,使之恰有两解； D.存在12,,k P P，使之有无穷多解；三、解答题（本大题满分48分）17.(本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分已知平行四边形ABCD的对角线相交于点,O设向量,,OA a OB b==（1)用向量,,a b分别表示向,DC BC(2) 若P为直线AB上一点，k是实数，且AP k AB=,用向量,a b表示OP.【答案】(1) ,DC b a BC b a =-=-- ; (2)(1)OP k a kb =-+18.(本题满分8分）一个热气球在第一分钟上升了25m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.求该热气球在前*()n n N ∈分钟里上升的总高度n S ，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m ,请说明理由．【答案】(1)145n n a a += ; (2)4125[1()]125,1255所以不会超过米n n S =-<19.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分设a R ∈.圆22:(1)()4C x y a -+-=.（1)若0,a =,点P 的坐标为(3,2),P Q -为圆C 上的动点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; （2)若圆C 上有且仅有一个点到直线0x y -=的距离等于1,求a 的值.【答案】(1) 22:(2)(1)1M x y -++= ; (2)11a =+-20.(本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分在数列{}*()n a n N ∈中，34,2m m a a +==-,其中m 为给定的正整数．（1)若{}n a 为等比数列，1m =,求10a :（2)若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S , 是否存在正整数m .使得0m S =?若存在，求出m 的值, 若不存在，请说明理由.【答案】(1)1012a =- ; (2)不存在21.(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分已知椭圆22:162x y Γ+=,F 为左焦点,P 为直线3x =上一动点,Q 为线段PF 与Γ的交点,定义：()FP d P FQ=(1) 点P 的纵坐标为求:()d P(2)证明：存在常数,m n ,使得()md P PF n =+【答案】(1)()10d P = ; (2)m n ==。

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上海中学高二期末数学试卷
2021.01
一. 填空题 1. 若复数
3i
12i
a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为
3. 已知方程22
3212x y λλ
+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是
4. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点
在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为
5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =
6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ
θθ=-⎧⎨=+⎩
（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是
7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是
8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为
9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12||||PF PF ⋅=
11. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条
渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为
12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积
为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为
二. 选择题
1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22
221x y a b
-=有相同的焦点，则椭圆的离
心率为（）
A.
B. 1
2
C. D.
2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于（）
A. 3
B. 4
C. 32
D. 42
3. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于
A 、
B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线A
C 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变
化时P 的轨迹是（）
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分
D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为
4
a
的圆在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为2
223
3
3
x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（）
（1）星形线的参数方程为：33
cos sin x a t
y a t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）；（2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线1
12
2
1x y +=在星形线223
3
1x y +=的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4
S a a π
∈；
A. （1）（3）（4）
B.（1）（2）（3）（4）
C. （2）（3）
D.（1）（2）（3）
三. 解答题
1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.
2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.
3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程；（2）求方程的实根的取值范围.
5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；
（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||
||
PB BQ 的值.
6. 已知椭圆22
:142
x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.
参考答案
一. 填空题
1. 6-
2. {1}
3. 21λ-<<-
4. 22
1927
x y -=
5. 2
6. 222x y +=
7.
5
4
8. 4
9. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10
二. 选择题
1. D
2. C
3. B
4. D
三. 解答题
1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.
2. min ||z =
3. k =k =
4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.
5.（1）28y x =，4；（2）1.
6.（1）11
[,]1612
-；
（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。