上海市重点期中考试：上海市第二中学高二期中数学试卷及参考答案(2019.11)
2019重点高中期中考试高2数学19.11.7
高二数学试题第 1 页 共 8 页秘密★启用前 试卷类型:A高 二 数 学2019.11本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 . 共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共52分）注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求. 1．不等式2230x x +-<的解集为A ．{|3x x <-或1}x >B ．{|1x x <-或3}x >C ．{|13}x x -<<D ．{|31}x x -<< 2．数列12，34-，56，78-，……的第14项是 A ．2627- B ．2829 C ．2526- D ．2728-3．已知命题p ：R x ∃∈，2230x x +-≥，则命题p 的否定p ⌝为A ．R x ∃∈，0322≤-+x x B ．R x ∀∈，2230x x +-≥C ．R x ∃∈，2230x x +-<D ．R x ∀∈，2230x x +-<4．已知数列{}n a 是等差数列，57918a a a ++=，则其前13项的和是A ．45B ．56C ．65D ．78高二数学试题第 2 页 共 8 页5．关于x 的不等式0<-b ax 的解集是),2(+∞，则关于x 的不等式0)3)((<-+x b ax 的解集是A ．),3()2,(+∞--∞B ．)3,2(-C ．)3,2(D ．),3()2,(+∞-∞6．以线段:20(02)AB x y x+-=＃)为直径的圆的方程为A ．22(1)(1)2x y +++= B ．22(1)(1)2x y -+-= C ．22(1)(1)8x y +++= D ．22(1)(1)8x y -+-= 7．若函数1() (2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于 A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 8．若命题p ：R x ∀∈，210x ax ++≥为真命题，则实数a 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞-C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞9．已知R a ∈，则“1a <”是“11a>”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 10．已知圆的方程是221x y +=, 则在y 轴上截距为2的切线方程为A ．y =x +2B ．y=-x +2C ．y =x +2或y =-x +2D ．x =1或y =x +2二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．如果0<<b a ，那么下列不等式一定成立的是A ．ba 11< B ．22bc ac < C ．11a b b a+<+ D ．22b ab a >>高二数学试题第 3 页 共 8 页12．设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么A ．a ＋b 有最小值2(2＋1)B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值3＋2 2.D ．ab 有最小值3＋2 2.13．若数列{}n a 对任意2(N)n n ≥∈满足11(2)(2)0nn n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是：A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 14．空间两点(2,3,5)A ，(3,1,4)B 间的距离为 .15．已知以)3,4(-C 为圆心的圆与圆221:O x y +=相内切，则圆C 的方程是 ． 16．在等差数列{}n a 中，满足0n a >，且45a =，则26116a a +的最小值为 ． 17．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为： ,20a 的最大值为 .四、解答题：本大题共6个大题，满分82分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.18．（13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，判断数列{}n b 是否为等比数列.如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.19．（13分）已知函数2()(R)f x x ax x =-∈．（1）解不等式()1f x a ≤-；（2）若[1,)x ∈+∞时，恒成立，求a 的取值范围．高二数学试题第 4 页 共 8 页20．（13分）已知数列{}n a 满足0n a ≠，且1133n n n n a a a a ++-=，等比数列{}n b 中，2146,3,9b a b b ===．（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}1n n a a +的前n 项和n S ．21．（13分）自2017年，某城市“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利. 该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
上海市高二第二学期期终考试数学卷（共3套,含答案）
上海市⾼⼆第⼆学期期终考试数学卷（共3套,含答案）上海市位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学卷⼀、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平⽅根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平⾯内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四⾯体ABCD 的棱AD 与⾯ABC 所成⾓的⼤⼩为____________．5、从2、4中选⼀个数字，从1、3、5中选两个数字，组成⽆重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正⽅体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，⽅差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖⾯上漂着⼀个⼩球，湖⽔结冰后将球取出，冰⾯上留下了⼀个直径为12cm ，深2 cm 的空⽳，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能⼤赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球⾯上任意⼀点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意⼀个⾮零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是⽅程10x x+=的⼀个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表⾯积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的⽅程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该⽅程有实数根x 1、x 2且满⾜-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发⽣的概率为____________．⼆、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z zB ．0z z +=?z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥?z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平⾯，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分⾮必要条件B ．必要⾮充分条件C ．充要条件D ．既⾮充分⼜⾮必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本⼤题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1⼩题6分，第2⼩题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ的值．20、（本题满分14分，第1⼩题6分，第2⼩题8分）(1) 两个相交平⾯M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平⾯M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平⾯？(2) 某校以单循环制⽅法进⾏篮球⽐赛，其中有两个班级各⽐赛了3场后，不再参加⽐赛，这样⼀共进⾏了84场⽐赛，问：开始有多少班级参加⽐赛？21、（本题满分14分，第1⼩题5分，第2⼩题5分，第3⼩题4分）某校从参加⾼⼆年级期末考试的学⽣中抽出60名学⽣，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直⽅图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学⽣⼈数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学⽣中选两⼈，求他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1⼩题5分，第2⼩题6分，第3⼩题5分）如图，在棱长为a的正⽅体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为⾯EB1F内的⼀点，且∠EBN=45?，∠FBN=60?，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正⽅体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到⼀点M，使BM⊥平⾯EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1⼩题8分，第2⼩题5分，第3⼩题5分）(1) 已知⼆项式(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为252，求展开式中系数最⼤的项；(2) 记(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不⼩于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学答案⼀、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625．⼆、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ==??，∴1sin 2tan θθ?=，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余⽆三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平⾯．6分(2) 设开始有n 个班参加⽐赛，1? 若这两个班级之间⽐赛过1场，则22584n C -+=，⽆解，8分2? 若这两个班级之间没有过⽐赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加⽐赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-?+++?=3分所以低于50分的⼈数为600.16?=（⼈）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第⼀组），频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++?= 8分所以，抽样学⽣成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的⼈数分别是6,9，所以从成绩不及格的学⽣中选两⼈，他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分）解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=?∠=?111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=?==?=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平⾯BB 1D 1D ，于是⾯B 1EF ⊥⾯BB 1D 1D ，在⾯BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平⾯B 1EF ．在平⾯BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，⼜B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2．这说明点M 在正⽅体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最⼤的项是101102r rr r T C x -+=?(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++?≥??≥??，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+≥??--?-??≥-+?-?， 5分得223193r r ?≤≥??，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最⼤的项是7373810215360T C x x =?=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离⾸末两端等距离的项相等，且距离越远值越⼤． 15分证明如下：1C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+?--?-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1．若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<22C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第⼆学期⾼⼆年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考⽣注意：1.答卷前,考⽣务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案⽆效;在草稿纸、试题卷上答题⽆效.3. 本试卷共有21道试题,可以使⽤规定型号计算器.⼀、填空题(本⼤题满分54分)本⼤题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则⼀律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是【答案】4-2. 平⾯直⾓坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是【答案】604. 已知正六棱柱的底⾯边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球⾯上两点，若B A 、之间的球⾯距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长⽅体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建⽴空间直⾓坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最⼩值时，直线l 的倾斜⾓等于【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上⼀动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最⼩值为【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的⼀个焦点到⼀条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线⽅程是【答案】x y 33±= 10. 平⾯上两组平⾏线互相垂直，⼀组由6条平⾏线组成，⼀组由5条平⾏线组成，则它们能围成的矩形个数是【答案】150 11. 设α和β是关于x 的⽅程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平⾯对应的点构成直⾓三⾓形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的⽅程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成⽴，则称曲线C 为∑曲线.下列⽅程所表⽰的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③⼆. 选择题(本⼤题满分20分)本⼤题共有4题,每题有且只有⼀个正确答案,考⽣应在答题纸的相应编号上,将代表答案的⼩⽅格涂⿊,选对得5分,否则⼀律得零分. 13. “直线l 垂直于平⾯α内的⽆数条直线”是“α⊥l ”的⼀个（）【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C 】充要条件【D 】既⾮充分也不必要条件【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（）【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =?-不成⽴【C 】0,,2121=?∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正⽅体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成⾓的⼤⼩不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平⾯1ACD 所成⾓的⼤⼩不变；③点P 在直线1BC 上运动时，⼆⾯⾓C AD P --1的⼤⼩不变；④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（）【A 】①③【B 】③④【C 】①②④【D 】①③④【答案】D三、解答题(本⼤题满分76分)本⼤题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的⽅程)(0102R n nx x ∈=+-的⼀个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分6分，第（2）⼩题满分8分.如图所⽰圆锥中，CD AB 、为底⾯圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表⾯积；（2）异⾯直线SA 与PD 所成的⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平⾯ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满⾜→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平⾯ABCD 所成的⾓的⼤⼩；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】（1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意⼀点P 作x PQ ⊥轴，垂⾜为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的⽅程；（2）求动点C 的轨迹E 的⽅程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的⽅向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意⼀点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的⽅向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的⽅向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成⽴？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的⽅向距离分别为21λλ、满⾜221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的⼤⼩.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学⾼⼆第⼆学期期末数学试卷⼀. 填空题 1. 将参数⽅程122x ty t =+??=-?（t R ∈，t 为参数）化为普通⽅程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是 4. 如右图为某⼏何体的三视图，则其侧⾯积为 2cm5. 甲、⼄、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区⾄少有⼀名同学，则甲、⼄两⼈被分在同⼀个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ?∠=∠=∠=，若过点A 的截⾯AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截⾯AEF 周长的最⼩值是7. 长⽅体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球⾯距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个⽩球，1个⿊球）的⼝袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：⼀类是取出的m 个球全部为⽩球，另⼀类是取出1个⿊球和(1)m -个⽩球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等式11m m mn n n C C C -++=成⽴，试根据上述思想，化简下列式⼦：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---++++= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平⾏六⾯体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ?∠=，60BAA DAA ?''∠=∠=，则AC '的长为10. 某⼏何体的⼀条棱长为7，在该⼏何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该⼏何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最⼤值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =，满⾜这种条件不同的数列个数为12. 如图，在底⾯半径和⾼均为1的圆锥中，AB 、CD 是底⾯圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平⾯与圆锥侧⾯的交线是以E 为顶点的抛物线的⼀部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为⼆. 选择题13. 若x 、y 满⾜约束条件2,22x y x y ≤≤??+≥?，则2z x y =+的取值范围是（）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学⾼⼆年级的⼀个研究性学习⼩组拟完成下列两项调查：①从某社区430户⾼收⼊家庭，980户中等收⼊家庭，290户低收⼊家庭中任意选出170户调查社会购买⼒的某项指标；②从本年级12名体育特长⽣中随机选出5⼈调查其学习负担情况；则该研究性学习⼩组宜采⽤的抽样⽅法分别是（）A. ①⽤系统抽样，②⽤随机抽样B. ①⽤系统抽样，②⽤分层抽样C. ①⽤分层抽样，②⽤系统抽样D. ①⽤分层抽样，②⽤随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4⼈后排8⼈，现摄影师要从后排8⼈中抽2⼈调整到前排，若其他⼈的相对顺序不变，则不同调整⽅法的总数是（）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正⽅体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为⾯对⾓线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四⾯体E FGH -的体积正确的是（）A. 该四⾯体体积有最⼤值，也有最⼩值B. 该四⾯体体积为定值C. 该四⾯体体积只有最⼩值D. 该四⾯体体积只有最⼤值三. 简答题17. 有8名学⽣排成⼀排，求分别满⾜下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端；（2）甲、⼄相邻；（3）甲、⼄、丙三⼈两两不得相邻；（4）甲不在排头，⼄不在排尾. 18. 在⼆项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该⼆项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该⼆项展开式中含4x 项的系数；（3）求该⼆项展开式中系数最⼤的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ?∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异⾯直线PQ 与1B C 所成⾓的⼤⼩；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截⾯为等腰Rt △SAB ，Q 为底⾯圆周上⼀点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平⾯SBQ ；（2）如果60AOQ ?∠=，QB =（3）若⼆⾯⾓A SB Q --⼤⼩为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na +++的值；（2）在等差数列{}n a 和等⽐数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-+-++，根据此信息，若对任意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++++-+，求10a 的值.参考答案⼀. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.⼆. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ?=；（2）77210080P ?=；（3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -+++=?；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
上海市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.过点(2,3)P ，且一个法向量为(3,1)n =-r的直线的点法向式方程是________.【答案】3(2)(3)0x y ---=【解析】【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点(,)x y ,则所求直线的方向向量为(2,3)x y --, 再根据直线的方向向量与法向量垂直可得, (3,1)(2,3)0x y -⋅--=,即3(2)(3)0x y ---=.故答案为: 3(2)(3)0x y ---=.【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.2.三角形ABC 的重心为G ，()()242,1,3,4,,33A B G ⎛⎫--⎪⎝⎭，则顶点C 的坐标为____________．【答案】()1,1--【解析】【分析】 利用三角形的重心坐标123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求得顶点C 的坐标. 【详解】设顶点C 的坐标为(),x y ，由三角形ABC 的重心坐标得：223,33414,33x y -+⎧-=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩ 解得：1,1,x y =-⎧⎨=-⎩故填：()1,1--. 【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使运算的速度更快.3.已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ． 【答案】1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。
考点：矩阵的乘法运算。
点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。
4.点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =________.【答案】9-或11【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求出点P 到直线l 的距离,再根据已知距离列等式可解得.【详解】由点到直线的距离公式可得点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=的距离为, d ==,=,化简得,|1|10c -=, 所以110c -=或110c -=-,解得11c =或9c =-.故答案为9-或11.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.5.设,x y ∈R 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+最大值为________.【答案】2【解析】【分析】作出可行域后,将目标函数化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得.【详解】作出可行域如图阴影部分:将目标函数2z x y =+化为斜截式可得,2y x z =-+,即求直线2y x z =-+的纵截距最大值,比较直线2y x z =-+与直线1x y +=的斜率可知,21-<-,由图可知,最优解为点(1,0),将最优解的坐标带入目标函数可得z 的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题.6.已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -，∴()3,4AB =-u u u v，可得5AB ==u u u v ，因此，与向量AB u u u v 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭u u u v r u u u v 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件【答案】充分不必要【解析】【分析】当5k =时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说明是充分条件,而两直线平行时,也能推出3k =,所以不是必要条件,由此可得.【详解】因为5k =时,直线1:210l x y -+=,直线2:4230l x y -+=,即1:21l y x =+,斜率12k =,纵截距11b =;23:22l y x =+,斜率22k = ,纵截距232b =, 因为12k k =,12b b ≠,所以12l l //,即“5k =”能够推出“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行,因为3k =时,1:1l y =- ,23:2l y =,此时也有12l l //, 所以由12l l //可能推出3k =,不一定推出5k =,所以“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.【点睛】本题考查了两条直线平行条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉30k -=这种情况,属于基础题.8.三阶行列式3518278724-中，元素8-的代数余子式的值为________.【答案】29【解析】【分析】元素的代数余子式的定义计算可得.【详解】根据代数余子式的定义可得元素8-的代数余子式的值为:2335(1)72+-(3257)29=-⨯-⨯=. 故答案为:29.【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代数余子式的定义求值.属于基础题.9.已知向量(1,2)a =r ，(3,4)b =-r ，则向量a r 在向量b r上的投影为________.【答案】1-【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.【详解】由定义可得向量a r 在向量b r 上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅<>=r r r r r r =1=-.故答案为:1-.【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,10.ABC 中，||5AB =u u u r ，||10BC =u u u r ，3B π∠=，则||AB BC -=uu u r uu u r________. 【答案】【解析】【分析】先根据3B π∠=,得到2,3AB BC π<>=u u u r u u u r ,然后将||AB BC -u u u r u u u r 平方开方,利用向量的数量积计算可得.【详解】在三角形ABC 中,因为3B π∠=,所以2,3AB BC π<>=u u u r u u u r ,所以||AB BC -=uu u r uu u r =====.故答案为【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角.11.已知点()()2,3,5,2A B -，若直线l 过点()1,6P -，且与线段AB 相交，则该直线l 的斜率的取值范围是___________ 【答案】(--1][1,)∞⋃+∞，【解析】【分析】利用直线的斜率公式分别计算出直线,PA PB 的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：要使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足PA k k ≤或PB k k ≥，63621,1121(5)PA PB k k --==-==-----Q ， 1k ∴≤-或1k ³，则直线l 斜率的取值范围是(--1][1,)∞⋃+∞，． 故答案为：(--1][1,)∞⋃+∞，【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础．12.已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r 的解集为________. 【答案】∅【解析】【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得AB AC λ=u u u r u u u r ,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x =-,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.【详解】因为A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点,所以AB u u u r 与AC u u u r 共线,根据共线向量定理可得,存在实数R λ∈,使得AB AC λ=u u u r u u u r ,因为0AB ≠u u u r r ,所以0λ≠,所以OB OA -u u u r u u u r AC λ=u u u r, 所以11AC OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r , 又由已知得2AC x OA xOB =--u u u r u u u r u u u r ,根据平面向量基本定理可得,21x λ-=-且1x λ=-,消去λ得2x x =-且0x ≠,解得1x =-,1λ=, 当1λ=时,AB AC =u u u r u u u r ,此时B 与C 两点重合,不符合题意,故舍去,故于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r的解集为∅,故答案: ∅. 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.二.选择题13.设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A. {1}B. {}1-C. {1,1}-D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】 按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x x x x x --=-=⨯-⨯+⨯ 221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯222x x x x =--+++222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =.所以方程()0f x =的解集为{1,1}-.故选C .【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.14.如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C 是方程0(),f x y =的曲线B. 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上C. 不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D. 方程0(),f x y =是曲线C 的方程【答案】C【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上,故方程0(),f x y =的曲线不一定是C,所以曲线C 是方程0(),f x y =的曲线不正确; 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确;不能推出曲线C 是方程0(),f x y =的轨迹,从而得到A,B,D 均不正确,不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上是正确的.故选 C.15.已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4.【答案】C【解析】对于①，当0a =时，两条直线分别化为:1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为:1,a a -,满足11a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直，故①正确；对于②，当a 变化时，代入验证可得:1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:222MA MB +=，则22?MA MB ≥，所以·MA MB 的最大值是1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C16.已知两个不相等的非零向量a r 与b r ，两组向量1x u r ，2x u u r ，3x u r ，4x u u r ，5x u r 和1y ur ，2y u u r ，3y u u r ，4y u u r ，5y u u r 均有2个a r 和3个b r 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+u r u u r u u r u u r u u r u u r 4455x y x y ⋅+⋅u u r u u r u u r u u r ，且min s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若a b ⊥r r ，则min s 与||a r 无关；③ 若a r ∥b r ，则min s 与||b r 无关；④ 若||4||b a >r r ，则min 0s >；⑤若||2||b a =r r ，且2min 8||s a =r ，则a r 与b r 的夹角为4π；正确的结论的序号是（ ）A. ①②④B. ②④C. ②③D. ①⑤【答案】B 【解析】 【分析】按照S 中a b ⋅rr 的对数分3种情况,求出S 的值:123,,S S S 共3个值,故①不正确;作差比较可得3S 最小,再逐个分析②③④⑤可得.【详解】当有零对a b ⋅r r 时,2212||3||S a b =+r r ; 当有2对a b ⋅r r 时,222||2||2S a b a b =++⋅r r r r ; 当有4对a b ⋅r r 时,23||4S b a b =+⋅r r r ;所以S 有3个不同的值,所以①不正确;因为2222222122||3||||2||22()S S a b a b a b a b a b a b -=+---⋅=+-⋅=-r r r r r r r r r r r r , 22222223||2||2||42()S S a b a b b a b a b a b a b -=++⋅--⋅=+-⋅=-r r r r r r r r r r r r r , 因为a b ≠r r ,所以12230,0S S S S ->->,所以123S S S >>,所以2min3||4S S b a b ==+⋅rr ,对于②,因为a b ⊥r r ,所以0a b ⋅=r r ,则2min 3||S S b ==r 与||a r 无关,只与||b r 有关,所以②正确; 对于③,当//a b r r 时,设a b λ=r r ,则2min 3||4S S b a b ==+⋅r r r 222||4||(14)||b b b λλ=+=+r r r 与||b r有关,所以③不正确;对于④,设a r 与b r 的夹角为θ,因为||4||b a >r r,所以min 3S S ==2222||416||4||||cos 16||16||cos b a b a a b a a θθ+⋅>+>+r r r r r r r216||(1cos )0a θ=+≥r ,所以min 0S >,故④正确;对于⑤,因为||2||b a =r r,所以22min3||44||4||||cos S S b a b a a b θ==+⋅=+r r rr r r 224||8||cos a a θ=+r r ,因为2min 8||s a =r ,所以224||8||cos a a θ+r r 28||a =r ,所以1cos 2θ=, 因为0θπ≤≤,所以3πθ=,所以a r 与b r 的夹角为3π,故⑤不正确.故选B .【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题. 三.解答题17.已知二元一次方程组的增广矩阵为421a a a a +⎛⎫⎪⎝⎭，请利用行列式求解此方程组.【答案】当2a =时, 方程组有无数组解; 当2a =-时,方程组无解;当2a ≠±时, 方程组有唯一组解,2a x a =+,12a y a +=+. 【解析】 【分析】先交换第一行与第二行,然后第一行乘以a -加到第二行,再对a 分类讨论即可得到.【详解】对于增广矩阵421a a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭221142042a a aaa a a a a ⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪+--++⎝⎭⎝⎭10(2)(2)(1)(2)a a a a a a ⎛⎫→ ⎪+-+-⎝⎭, 当2a =时,矩阵化为122000⎛⎫⎪⎝⎭,方程组有无数组解;当2a =-时,矩阵化为122004--⎛⎫⎪-⎝⎭,方程组无解;当2a ≠±时,矩阵第二行有.(2)(2)(1)(2)a a y a a +-⋅=+-,得12a y a +=+, 将12a y a +=+代入到x ay a +=,得1(1)(1)2a x a ay a y a a +=-=-=-+,,进一步得2a x a =+.综上,当2a =时, 方程组有无数组解; 当2a =-时,方程组无解;当2a ≠±时, 方程组有唯一组解,2a x a =+,12a y a +=+. 【点睛】本题考查了利用矩阵变换解线性方程组,属于基础题.18.已知a r 、b r 都是单位向量，a r 与b r满足|||ka b a kb +=-r r r r ，其中0k >.(1)用k 表示a b ⋅r r；(2)求a b ⋅r r 的最小值，并求此时a r 、b r的夹角的大小.【答案】(1)214k k +；(2)12，3π【解析】 【分析】(1)对|||ka b a kb +=-r r r r两边平方，化简即可求解;(2)利用基本不等式求出a b ⋅r r 的最小值，再结合数量积公式求出此时a r 、b r的夹角.【详解】(1)|||ka b a kb +=-r r r rQ222222||2||3||63||k a ka b b a ka b k b ∴+⋅+=-⋅+r r r r r r r r即214k a b k=+⋅r r(2)由(1)可知21114442k k a b k k +⋅==+=r r …当且仅当1k =时，a b ⋅r r 取最小值12此时a r 、b r 的夹角的余弦值为1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==r r r r r r ，,3a b π〈〉=rr所以a b ⋅r r的最小值为12，此时a r 、b r 的夹角为3π.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.19.边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =u u u v u u u v，AF nAC =u u u v u u u v，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =； （2）若1m n +=，求||MN 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为34. 【解析】 【分析】(1)利用共线向量基本定理得AM AN λ=u u u u r u u u r,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将MN u u u u r用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将2||MN u u u u r 表示为m 的二次函数,求出二次函数的最小值.【详解】(1)由,,A M N 三点共线,得/,AM AN u u u u r u u u r共线,根据共线向量定理可得,存在R λ∈使得AM AN λ=u u u u r u u u r,即11()()22AE AF AB AC λ+=+u u u r u u u r u u ur u u u r , 所以mAB nAC AB AC λλ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ,根据平面向量基本定理可得m n λ==, 所以m n =.(2)因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r 11()()22AB AC AE AF =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ,又1m n +=,所以11(1)22MN m AB mAC =-+u u u u r u u u r u u u r,因为三角形ABC 是边长为1的正三角形,所以||||1AB AC ==u u u r u u u r ,1||||cos 32AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2||MN =u u u u r 22222111(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22111(1)11(1)||||cos 4423m m m m AB AC π=-⨯+⨯+-u u u r u u u r 22111(1)(1)444m m m m =-++- 2113()4216m =-+,所以12m =时,MN u u u u r 【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.20.已知倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -和点B ，点B 在第一象限，||AB =. （1）求B 的坐标；（2）若直线l 与两平行直线1:3480l x y -+=，2:340l x y c -+=相交于E 、F 两点，且||EF =c 的值；（3）记集合{|P m =直线m 经过点B 且与坐标轴围成的面积为}S ，0S ≠，针对S 的不同取值，讨论集合P 中的元素个数.【答案】（1）(4,1)B ；（2）7-或23；（3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】(1)先求出直线l 的方程,再根据方程设出B 的坐标,利用||AB =以及B 在第一象限,可解得;(2)解方程组得,E F 的坐标,根据两点间的距离可解得; (3)设出直线m 的截距式方程1x ya b+=,代入B 的坐标并根据面积公式可得||2ab S =,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.【详解】(1)因为倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -, 所以由点斜式得(2)tan(1)4y x π--=-,即3y x =-,因为直线l 过点B ,所以设(,3)B x x -,所以||AB ==因为||AB =,=化简得2(1)9x -=,解得4x =或2x =-, 因为点B 在第一象限,所以0x >, 所以4x =,431y =-=, 所以(4,1)B .(2)联立33480y x x y =-⎧⎨-+=⎩, 解得2017x y =⎧⎨=⎩ ,所以(20,17)E ,联立3340y x x y c =-⎧⎨-+=⎩,解得129x cy c=+⎧⎨=+⎩,所以(12,9)F c c ++,因为||EF ==化简得2161610c c --=, 解得7c =-或23c =.(3)因为0S ≠,所以可设直线m 的截距式方程为1x ya b+=, 因为直线m 经过点(4,1)B ,所以411a b+=, 所以4a b a =-, 因为直线m 与坐标轴围成的面积为(0)S S >, 所以1||||2a b S =即||2ab S =, 所以2ab S =-或2ab S =, 当2ab S =-时,24aa S a ⋅=--,整理得2280a Sa S +-=,因为22(2)324320S S S S =+=+>V 恒成立,所以一元二次方程2280a Sa S +-=恒有两个非零实根, 当2ab S =时,24aa S a ⋅=-,整理得2280a Sa S -+=, 当2(2)320S S =--<V ,即08S <<时, 2280a Sa S -+=无解,当2(2)320S S =--=V ,即8S =时, 2280a Sa S -+=有且只有一个非零实根, 当2(2)320S S =-->V ,即8S >时, 2280a Sa S -+=有两个不相等的非零实根, 所以,当08S << 时,直线m 有两条,集合P 有两个元素, 当8S =时,直线m 有三条, 集合P 有三个元素, 当8S >时,直线m 有四条, 集合P 有四个元素.【点睛】本题考查了两点间的距离公式,求两直线交点坐标,讨论一元二次方程实根个数,属于中档题.21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-230k +≤≤时，求折痕长的最大值.【答案】（1）-1y x =+；（2）2122k y kx =++；(3)2(62).【解析】试题分析：（1）若折痕的斜率为1-时，由于A 点落在线段DC 上，可得折痕必过点(0,1)D ，即可得出；（2）当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =，当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，可知A 与G 关于折痕所在的直线对称，有•1OG k k =-，故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG的中点为M ，即可得出；（3）当0k =时，折痕为2，当20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y 轴于210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．试题解析：（1）∵折痕的斜率为1-时，A 点落在线段DC 上 ∴折痕必过点(0,1)D ∴直线方程为1y x =-+（2）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =. ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，()02a ≤＜ 则A 与G 关于折痕所在的直线对称，有1OG k k ⋅=-，即a k =-． ∴G 点坐标为()(),1,20G k k --≤＜从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG 的中点为1,22k M ⎛⎫-⎪⎝⎭，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即()212022k y kx k =++-≤<．综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：()212022k y kx k =++-≤≤．（3）当0k =时，折痕长为2．当20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y 轴于210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．∵(22222211224444732222k k y EF k k ⎡⎤⎛⎫+==+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，22==>.∴综上所述，折痕长度的最大值为2点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题。
上海高二高中数学期中考试带答案解析
上海高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.复数.（为虚数单位）的虚部是___________。
2.计算：=___________。
3.已知Z是复数，且满足2Z+|Z|=0，则Z=________________。
4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是______________。
5.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是___________。
6.正方体的棱长为2，则异面直线与AC之间的距离为_________。
7.正方体的棱长为2，则与平面间的距离为__________。
8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为_____________。
9.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________。
10.一个圆柱的轴截面为正方形，则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为_____。
11.在正三棱柱中，AB=3，高为2，则它的外接球上A、B两点的球面距离为_______。
12.若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为，则其体积为____________。
13.有一山坡倾斜角为300，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成450角的直路前进了100米，则升高了_________米。
14.设地球的半径为R，北纬600 圈上有经度差为900的A、B两地，则A、B两地的球面距离为______。
二、选择题1.复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.用M表示平面，表示一条直线，则M内至少有一直线与（）A．平行；B．相交；C．异面；D．垂直。
3.给出下面四个命题：（1）如果直线，那么可以确定一个平面；（2）如果直线和都与直线相交，那么可以确定一个平面；（3）如果那么可以确定一个平面；（4）直线过平面内一点与平面外一点，直线在平面内不经过该点，那么和是异面直线。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
上海二中高二期中(2019.11)
上海第二中学高二期中数学卷2019.11一. 填空题1. 过点(2,3)P ，且一个法向量为(3,1)n =-r 的直线的点法向式方程是2. △ABC 的重心为G ，(2,1)A 、(3,4)B -、24(,)33G -，则顶点C 的坐标为 3. 已知矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵4231B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算矩阵AB = 4. 点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =5. 设,x y ∈R 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+最大值为6. 已知(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB uu u r 同方向的单位向量为7. 已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的 条件8. 三阶行列式3518278724-中，元素8-的代数余子式的值为9. 已知向量(1,2)a =r ，(3,4)b =-r ，则向量a r 在向量b r 上的投影为10. 在ABC 中，||5AB =uu u r ，||10BC =uu u r ，3B π∠=，则||AB BC -=uu u r uu u r 11. 已知点(2,3)A ，(5,2)B -，若直线l 过点(1,6)P -，且与线段AB 相交，则该直线的斜 率的取值范围是12. 已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r 的解集为二. 选择题13. 设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A. {1} B. {1}- C. {1,1}- D. 以上答案都不对14. 如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）A. 曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线B. 方程(,)0f x y =的每一组解的对应点都在曲线C 上C. 不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D. 方程(,)0f x y =是曲线C 的方程15. 已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=和两点(0,1)A ，(1,0)B -，给出如下结论： ① 不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；② 当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点(0,1)A ，(1,0)B -；③ 不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④ 如果1l 与2l 交于点M ，则||||MA MB ⋅的最大值是1；其中所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知两个不相等的非零向量a r 与b r ，两组向量1x u r ，2x u u r ，3x u r ，4x u u r ，5x u r 和1y ur ，2y u u r ，3y u u r ，4y u u r ，5y u u r 均有2个a r 和3个b r 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+u r u u r u u r u u r u u r u u r4455x y x y ⋅+⋅u u r u u r u u r u u r ，且min s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：① s 有5个不同的值；② 若a b ⊥r r ，则min s 与||a r 无关；③ 若a r ∥b r ，则min s 与||b r 无关；④ 若||4||b a >r r ，则min 0s >；⑤若||2||b a =r r ，且min 8||s a =r ，则a r 与b r 的夹角为4π； 正确的结论的序号是（ ）A. ①②④B. ②④C. ②③D. ①⑤三. 解答题 17. 已知二元一次方程组的增广矩阵为421a a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，请利用行列式求解此方程组.18. 已知向量a r 与b r ，(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且a r 与b r 之间的关系式是|||ka b a kb +=-r r r r ，其中0k >.（1）用k 表示a b ⋅r r ；（2）求a b ⋅r r 的最小值，并求出此时a b ⋅r r 夹角的大小.19. 边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =uu u v uu u v ，AF nAC =uu u v uuu v ，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =；（2）若1m n +=，求||MN 的最小值.20. 已知倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -和点B ，点B 在第一象限，||32AB =. （1）求B 的坐标；（2）若直线l 与两平行1:3480l x y -+=，2:340l x y c -+=相交于E 、F 两点， 且||152EF =，求实数c 的值；（3）记集合{|P m =直线m 经过点B 且与坐标轴围成的面积为}S ，0S ≠，针对S 的不同取值，讨论集合P 中的元素个数.21. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、CD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标轴原点重合，将矩形ABCD 折叠，使A 点落在线段CD 上，设此时点为1A .（1）若折痕的斜率为1-，求折痕的所在的直线方程；（2）若折痕的所在的直线方程的斜率为k ，（为常数），试用k 表示点1A 的坐标，并求折痕的所在的直线方程；（3）在（2）的条件下，当230k -+≤≤时，求折痕长的最大值.参考答案一. 填空题1. 3(2)(3)0x y ---=2. (1,1)--3. 1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 9-或115. 26. 34(,)55-7. 充分不必要8. 299. 1- 10. 11. (1,1)- 12. ∅二. 选择题13. C 14. C 15. C 16. B三. 解答题17. 当2a =，无穷解；当2a =-，无解；当2a ≠±，2a x a =+，12a y a +=+ 18.（1）214k ab k +⋅=r r ；（2）最小值为12，此时a b ⋅r r 夹角的大小为60°.19.（1）证明略；（2）最小值为4. 20.（1）(4,1)B ；（2）7-或23；（3）当08S <<，2个；当8S =，3个；当8S >，4个.21.（1）1y x =-+；（2）2122k y kx =++；（3）.。