上海市高二上学期期中数学试卷
上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．如图，在长方体ABCD 1CC 的中点，点P 在矩形BCC 值时，三棱锥1P MA B -的体积为(1)请在图一作出过M，N，P三点的平面a截正方体所得的截面(2)计算截面b的周长.(3)任作平面g与对角线AC垂直，使平面g与正方体ABCD1这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长l和面积．2024【分析】由题意可求通项公式an而,M N 分别为1,BC CC 的中点，则由1111////,AA BB MN AA BB MN ==又EF Ë平面AMN ，MN Ì平面AMN 又11,,A F EF F A F EF =ÌI 平面A故选：A 12．D【分析】ABC 选项根据空间中直线与平面的位置关系直接判断即可，D 选项需要通过画图解释，另外需要结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质进行分析.【详解】对A ，若,,a b a b a b ^ÌÌ，则a 与b 相交、平行或异面都有可能，故A 错误；对B ，若//,,a b a b a b ÌÌ，则//a b 或a 与b 异面，故B 错误；对C ，若//,a b a b Ì，则a 与b 相交、平行或异面都有可能，故C 错误；对D ，若,,a a b a g b g =^^I ，设a 与g 的交线为m ，b 与g 的交线为n ，在平面a 内取1l m ^，在平面b 内取2l n ^，12,l l 与a 不重合，由面面垂直的性质可得12,l l g g ^^，所以12l l //， 又1l b Ë，所以1//l b ，由线面平行的性质定理得1//l a ，所以有a g ^，故D 正确.故选：D.13．B【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，得MEO Ð是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】依题意，O 是BCD △中心，如图所示，过点1A 作1A E ^因为四棱柱111ABCD A B C -因为1A E Ì平面1111D C B A ，所以又因为111A E C D ^，1DD C Ç所以1A E ^平面11DCC D ，点Q的运动轨迹为以点E为圆心、半径为显然11 212ED=´=，2OF=，所以所以»π2π233FG=´=.故选：C. 15．(1)证明见解析(2)4由AB AC =，O 为BC 的中点，得AO BC ^，又1AO ^平面ABC ，且,AO BC Ì平面ABC ，则1AO AO ^，1BC A O ^，由1BC A O A =I ，1,BC AO Ì平面1A BC ，得AO ^平面1A BC ，在11BCC B Y 中，,O M 分别为11,BC B C 的中点，则1//OM CC ，1OM CC =，而11//AA CC ，11AA CC =，则1//OM AA ，1OM AA =，即四边形1AOMA 为平行四边形，则1//A M AO ，所以1A M ^平面1A BC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，由（1）知，1BC A O ^，则111B C AO ^，所以异面直线1A O 和11B C 夹角的大小为90o .（3）连接11,AB OB ，（2）由,M P 分别为111,C D CC 的中点，得则112a D F D M ==，由1//D R AD，得2210()()626a a a MR FR ==+=，同所以截面b的周长NR MR NQ ++由截面与正方体111ABCD A B C D -得不论六边形GHIJKL 如何平行边长为2a 的菱形GTJS 中，GSJ Ð使GH SL =，过,L H 作JG 的平行线则六边形GHIJKL 的每个内角都是2TGJ THI SKLS S S =--V V V 21(2)sin 60(22a -o 22233[(12a a l -+-1l ££，2102l æö£-ç÷èø所以截面多边形面积的取值范围是DP//SC，所以DP,CS共面\Î面DPC, SMÌ面DPCDC M内SM与SC相交，所以SM与DP相交。
上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷(含答案)
位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略 （2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。
上海市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。
上海市松江区立达中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
上海市松江区立达中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,0,2a =- ，()0,3,1b =- ，则⋅= a b .二、填空题2．直线与平面所成角的范围是.3．已知球的半径为3，则球的表面积为4．若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系.5．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为.6．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为.7．如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为.（结果用反三角函数表示）9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为.10．圆柱底面半径为1，高为2，AB 为上底底面的直径，点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC V 面积的范围是.11．已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，当AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为.12．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则r a =.三、单选题13．“平面α内有一条直线l ，则这条直线上的一点A 必在这个平面内”用符号语言表述是（）A ．l A A l αα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B ．l A A l αα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C ．l A A l αα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D ．l A A l αα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭14．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A ．B ．C ．D ．15．设m ，n 是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若m //α，n ⊂α，则m //nB ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //αD ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n 16．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A ．5B ．12C ．5D ．2四、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA===，点P 为1DD 的中点.(1)求证:直线1//BD 平面PAC ;(2)求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .(1)求“浮球”的体积：(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为3？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.(1)求证：⊥PO 平面ABCD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；(3)在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.。
上海市松江二中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市松江二中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知平面a ，直线l、m ，若m a Ì，则“//l m ”是“//l a ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“20250a =”是“()40494049,n n S Sn n *-=<ÎN ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知正方体1111ABCD A B C D -是一个棱长为2的正方体容器，E ，F 分别为AB ，BC的中点，下列选项中正确的是（ ）1．Ì【分析】由线面位置关系直接可得答案.【详解】由已知A l Î，B l Î，且A a Î，B a Î，则直线l 与a 有无数个公共点，即直线l a Ì，故答案为：Ì.2．128【分析】由地推公式得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到8a 的值.【详解】∵12n n a a +=，∴数列{}na 是首项为1，公比为2的等比数列，∴77812128a a q ===.故答案为：128.3．1【分析】根据//a b ，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解.【详解】因为//a b ，所以两平面的法向量共线，所以存在唯一实数l ，使得()()2,4,21,2,k l -=--，11()(22AB AC AB AC é+-+êëuuur uuu r uuu r uuu 111222AB AC AD -++=-uuu r uuu r uuu r 故答案为：111222a b -++r r设(14)BF x x =<£，则4CF x =-11144422222DEF x =´-´´-´´-V 在DSF V 中，4,DS SF x ==，DF数学归纳法求证.。
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。
上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________10．在体积为9的斜三棱柱三棱锥S—A1B1C1的体积为A ．1122-++r r r a b cC ．1122a b c--+r r r 15．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为(1)求证：侧面PAC ^侧面PBC ；(2)E 为PC 的中点，EF PA ^，垂足为F ，求BF 与侧面PAC 所成角的大小．19．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ^面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ^====，,M N分别是,BC BA 中点.(1)求证：1//A N 平面1C MA ；(2)求点C 到平面1C MA 的距离．20．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的动点，OP 垂直于圆O 所在的平面，且2PO OB ==．故答案为：()3,1,5.5．12π【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π´=，故侧面积为34π12π´=.故答案为：12π6．平行或异面【分析】根据面面平行的性质进行判断即可.【详解】∵平面//a ∥平面b ，∴平面a 与平面b 没有公共点∵,a b a b ÌÌ，∴直线,a b 没有公共点∴直线,a b 的位置关系是平行或异面故答案为：平行或异面．7．60°或120°【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小【详解】设点P 是二面角l a b --内的一点，过P 分别作直线,a b 的平行线,PA PB ，且PA垂直于a 于A ，PB 垂直于b 于B ，设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA a ^，PB b ^，l a Ì，l b Ì，则3OA=，由截面圆的周长为解得2AB=，球的半径是所以该球的表面积为4π13´。
上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．两条异面直线所成角的范围是．2．已知球的半径为3，则球的表面积为3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是．4．若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是．5．用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积.6．如图，ABC A B C '''-是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA B B ''-的体积是．7．若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为.8．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为.9．正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为．10．已知一个圆台的上下底面面积分别为π和9π，高为2，则它的体积为．11．如图，圆锥的底面直径3AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离为．12．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为．二、单选题13．设m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,m n αα⊂，则//m nC ．若//,//m n n α，则//m αD ．若//,,m n m n αα⊄⊂，则//m α14．设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定15．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥16．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A B C D 三、解答题17．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，14A A =．求：(1)直线1B C 与平面ABCD 所成角大小；(2)异面直线1B C 与11A C 所成角大小．18．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，长度分别为2，2，4．(1)求该三棱锥的体积；(2)求点P 到平面ABC 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2AD =，PA ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -体积为1．(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)求二面角P CD A --的大小．20．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为h ．(1)若6h =，求水的体积；(2)若水的体积为水杯体积的一半，求h ．（精确到0.01）21．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA AD=，M，N分别是AB，PC的中点．MN平面PAD；（1）求证：//（2）求证：平面MND⊥平面PCD．。
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上海市高二上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）
A . 命题“若=1，则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”
B . “x=﹣1”是“﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D . 命题“∃x∈R使得+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有+x+1＜0”
2. （2分）已知数列，满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分）函数的定义域是：（）
A .
B .
C . ∪
D . ∪
4. （2分）下列命题正确的个数是（）
①命题“∃x0∈R，＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分） (2016高二上·吉安期中) 如图，焦点在x轴上的椭圆 =1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=4，则该椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 点是椭圆上的一个动点,则的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）如图所示，已知椭圆的方程为， A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆的离心率等于（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高二下·长治期中) 给出下列四个命题：
（1）命题“若，则tanα=1”的逆否命题为假命题；
（2）命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；
（3）“ ”是“函数y=sin（2x+ϕ）为偶函数”的充要条件；
（4）命题p：“∃x0∈R，使”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．
其中正确的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为（）
A .
B .
C .
D . 4
10. （2分）(2017·西城模拟) 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）
A . 1
B .
C . 2
D .
11. （2分） (2016高二上·郑州期中) 设a＞0，b＞0，若a+b=1，则的最小值为（）
A . 4
B . 8
C . 1
D .
12. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 是圆内一定点，是圆周上一个动点，线段的垂直平分线与交于 ,则点的轨迹是（）
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高一下·湖州期中) 已知a，b，c，d为常数，若不等式 + ＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则不等式 + ＜0的解集为________
14. （1分） (2019高二上·德惠期中) 给出下列命题：
①命题“若，则”的否命题为“若，则”；
②“ ”是“ ”的必要不充分条件；
③ 命题“，使得”的否定是：“ ，均有”；
④命题“若，则”的逆否命题为真命题
其中所有正确命题的序号是________.
15. （1分） (2016高二上·洛阳期中) 已知正实数x，y满足x+4y﹣xy=0，则x+y的最小值为________．
16. （1分） (2017高二下·烟台期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
⑴对任意a，b∈R，a*b=b*a；
⑵对任意a∈R，a*0=a；
⑶对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数f（x）=（ex）* 的性质，有如下命题：
⑴f（x）为偶函数；
⑵f（x）的x=0处取极小值；
⑶f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]；
⑷方程f（x）=4有唯一实根．
其中正确的命题的序号是________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分） (2019高二上·上杭期中) 已知关于x的不等式的解集为或．
（1）求a，b的值；
（2）解关于x的不等式．
18. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）
求椭圆C的方程和离心率e；
（2）
若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
19. （5分） (2019高一上·辽宁月考) 求关于x的方程至少有一个负根的充要条件.
20. （5分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．求动圆圆心的轨迹C的方程．
21. （10分） (2016高三上·台州期末) 如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），过点F1的直线交C于A，B两点，直线MA，MB与直线x=﹣2分别交于P，Q两点，求△MPQ 面积的最大值．
22. （10分） (2016高二上·西安期中) 经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
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