2017年福建省漳州市高一下学期期末数学试卷与解析答案

2016-2017学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，4，﹣3）关于yOz平面对称点的坐标为（）A．（2，4，﹣3）B．（﹣2，﹣4，3） C．（2，﹣4，﹣3） D．（﹣2，4，3）2．（5分）直线（tan）•x+y+1=0的倾斜角为（）A．B． C．D．3．（5分）设a，b，c∈R，且b＜a＜0，则（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．D．＞14．（5分）若直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：x+ay﹣1=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．5．（5分）正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，则log2a1+log2a2+…+log2a8的值为（）A．10 B．20 C．36 D．1286．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β=m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥n，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．10．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π11．（5分）《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌满一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状②水面四边形EFGH的面积为定值③棱A1D1始终与水面EFGH平行④若E∈AA1，F∈BB1，则AE+BF是定值其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为m．14．（4分）已知圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，则此圆的半径为．15．（4分）若关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围为．16．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=（﹣1）n（a n+n），则{a n}的前40项和为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1）（Ⅰ）求AB边上的高CD所在的直线方程（Ⅱ）求过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，S9=81（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）求+…的值．19．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若b=，且S=，求a+c．△ABC20．（12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内冲入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成；①罩内该种液体的体积比保护罩的溶积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险用，且支付的保险费用与保护罩溶积成反比，当溶积为2立方米时，支付的保险费用为4000元（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩溶积x之间的函数关系式（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且=λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．22．（14分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得=，求实数t的取值范围．2016-2017学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣2，4，﹣3）关于yOz平面对称点的坐标为（）A．（2，4，﹣3）B．（﹣2，﹣4，3） C．（2，﹣4，﹣3） D．（﹣2，4，3）【解答】解：设所求对称点为P'（x，y，z）∵关于坐标平面yOz的对称的两个点，它们的纵坐标、竖坐标相等，而横坐标互为相反数，点P（﹣2，4，﹣3）∴x=﹣2，y=4，z=﹣3，即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'（2，4，﹣3）故选：A．2．（5分）直线（tan）•x+y+1=0的倾斜角为（）A．B． C．D．【解答】解：直线（tan）•x+y+1=0即直线x+y+1=0的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ=﹣，∴θ=．故选：B．3．（5分）设a，b，c∈R，且b＜a＜0，则（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．D．＞1【解答】解：分别令a=﹣1，b=﹣2，对于A、B，c=0时，不成立，将a，b的值代入C，D，C正确，D错误，故选：C．4．（5分）若直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：x+ay﹣1=0平行，则l1与l2的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1与直线l2平行，∴a=﹣2，∴l1与l2的距离为d==．故选：B．5．（5分）正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，则log2a1+log2a2+…+log2a8的值为（）A．10 B．20 C．36 D．128【解答】解：正项等比数列{a n}中，a4•a5=32，可得a1•a8=a2•a7=a3•a6=a4•a5=32，则log2a1+log2a2+...+log2a8=log2（a1a2 (8)=log2324=log2220=20．故选：B．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M、N分别是BB′，CD的中点，则异面直线AM与D′N所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB=2，则D（0，0，0），A（2，0，0），M（2，2，1），N（0，1，0），D′（0，0，2）．=（0，2，1），=（0，﹣1，2）．∴cos==0．∴=90°．故选：D．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．8．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β=m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是（）A．m∥n，α⊥γB．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ【解答】解：∵α∩β=m，∴m⊂α，又∵n⊥α，∴n⊥m．∵n⊥α，n⊂γ，∴α⊥γ，故选：D．9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．8 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故选：C．10．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【解答】解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．11．（5分）《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），所以由正弦定理得，a：b：c=（﹣1）：：（+1），又△ABC的周长为2+，则a=（﹣1）、b=、c=（+1），所以△ABC的面积S====，故选：A．12．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌满一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状②水面四边形EFGH的面积为定值③棱A1D1始终与水面EFGH平行④若E∈AA1，F∈BB1，则AE+BF是定值其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个【解答】解：对于①，水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；对于②，水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；对于③，棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；对于④，当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为50m．【解答】解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，∴∠ABC=30°，由正弦定理=得：AB===50（m），故答案为：5014．（4分）已知圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，则此圆的半径为2．【解答】解：圆的方程是2x2+2y2﹣4x+6y=，即x2+y2﹣2x+3y=，即（x﹣1）2+（y+）2 =22，故该圆的半径为2，故答案为：2．15．（4分）若关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，则m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：关于x的不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1＜0的解集为∅，∴，即，解得m≥；∴m的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．16．（4分）已知数列{a n}满足a n+1=（﹣1）n（a n+n），则{a n}的前40项和为﹣400．=（﹣1）n（a n+n），【解答】解：∵a n+1=﹣（a n+n），当n为奇数时，a n+1∴a2+a1=﹣1，a3+a4=﹣3，a5+a6=﹣5，a8+a7=﹣7，…，a40﹣a49=﹣39．从第一项开始，相邻两项的和构成以﹣1为首项，以﹣2为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为﹣20+×20×19×（﹣2）=﹣400，故答案为：﹣400．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1）（Ⅰ）求AB边上的高CD所在的直线方程（Ⅱ）求过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，A（4，0），B（0，﹣2），C（﹣2，1），∴直线AB的斜率为k AB==，又∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为k CD==﹣2，∴直线CD的方程为y﹣1=﹣2（x+2），即CD的方程为2x+y+3=0；（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，又直线过点C（﹣2，1），解得k=﹣，∴所求的直线方程为y=﹣x；②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，又直线过点C（﹣2，1），解得a=﹣1，∴所求的直线方程为x+y=﹣1；综上，所求的直线方程为x+2y=0或x+y+1=0．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，S9=81（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）求+…的值．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1=1，S9=81，即为9×1+×9×8d=81，解得d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）前n项和为S n=n+n（n﹣1）×2=n2，则==﹣，可得+…=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．19．（12分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小=，求a+c．（Ⅱ）若b=，且S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π﹣B），∴由正弦定理得：sinBcosC=（2sinA+sinC）•（﹣cosB），∴sinBcosC+cosBsinC=﹣2sinAcosB，∴sin（B+C）=﹣2sinAcosB，∴sinA=﹣2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，∵0＜B＜π，∴B=．=，（Ⅱ）∵B=，b=，且S△ABC==ac=，解得ac=3，∴S△ABC由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，∴13=（a+c）2﹣6﹣6×（﹣），解得a+c=4．20．（12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内冲入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成；①罩内该种液体的体积比保护罩的溶积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险用，且支付的保险费用与保护罩溶积成反比，当溶积为2立方米时，支付的保险费用为4000元（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y与保护罩溶积x之间的函数关系式（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依据题意，当保护罩体积等于x时，保险费用为（其中k 为比例系数，k＞0）且当x=2时，=4000，∴k=8000，∴y=500（x﹣0.5）+=500x+﹣250（x＞0.5）．（单位：元）（Ⅱ）y=500x+﹣250≥2﹣250=3750当且仅当500x=，即x=4立方米时不等式取得等号．所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元．21．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且=λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE=2，又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴，∴SE2+BE2=SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．22．（14分）已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0（Ⅰ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长（Ⅱ）已知坐标轴上点A（0，2）和点T（t，0）满足：存在圆C上的两点P和Q，使得=，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0，得m（3x﹣y）=﹣x ﹣y+4，由m的取值是任意的实数，得，解得，∴直线l恒过定点M（1，3）；又|CM|=＜2=r，∴点M在圆C内，且当CM⊥l时，所截得的弦长最短，由题意知圆心C（0，4），半径r=2，∴k CM==﹣1∴k l===1，由=1，解得m=﹣1；∴圆心C到直线l的距离为d=|CM|=，∴最短弦长为l0=2=2=2；（Ⅱ）【解法一】设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由+=得（﹣t，2）+（x1﹣t，y1）=（x2﹣t，y2），∴，由点P（x1，y1）在圆C上，得+=4；由点Q（x2，y2）在圆C上，得+=4；∴圆+=4与+=4有交点，则2﹣2≤≤2+2，解得﹣2≤t≤2，∴t的取值范围是[﹣2，2]．【解法二】由=，得=﹣=，则||=||，又||≤4，∴||=≤4，解得﹣2≤t≤2，对于任意t∈[﹣2，2]，欲使=，此时||≤4；只需作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即=；因此对于任意t∈[﹣2，2]均满足题意；综上，t的取值范围是[﹣2，2]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。