考点1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图(解析版)

2010-2015年高考真题汇编 专题8立体几何考点1空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．（2015年安徽7，5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（） （A ）B ）（C ）D ）【答案】B【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示：，,，因此该四面体的表面积为B 。

2.（2015年北京7，5分）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤121+112BCD s ∆==112ABD s ∆==1sin 232ABC ACD s s π∆∆===2+【答案】C【解析】如图所示满足不等式()()2log 1f x x ≥+的解显然为11x -<≤故选C3.（2015年湖南10，5分）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】当正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1B 1C 1D 1在圆锥的曲面上时体积有最大值，设AB=x ，则，故，故选A新工件的体积原工件的体积89π169π31)π31)π4.（2015年全国卷一11，5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )A ．1B.2C.4D.8【答案】B【解析】该几何体为一个放倒的半圆柱，在圆柱的半圆底面扣着一个半球所构成，其表面积为一个半球的表面积和一个半圆柱的侧面积所构成，即即r=2.5.（2015年全国卷二6，5分）（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）（A ）81（B ）71（C ）61（D ）51【答案】D【解析】几何体如图所示，设正方提的边长为a ，截去部分的体积为1V ，正方体的体积为V ，剩余部分的体积为2V ，则有321612131a a a V =⨯⨯=，3a V =，31265a V V V =-=，故有5121=V V ，选D 。

6.（2015年陕西5，5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．222222242451620,S r r r r r r πππππ=+++=+=+24,r ∴=3π4π24π+34π+【答案】D【解析】由三视图知识可知该几何体为底面半径为1，高为2的半个圆柱。

所以该几何体的表面积。

7.（2015年天津10，5分）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为________3m 。

【答案】83π 【解析】该几何体是由两个圆锥体和一个圆柱体组成的，圆柱的底面半径为1，高为2，因此V 圆柱=πr 2h=2π，圆锥体的体积V 圆锥=13πr 2h=13π，因此整个几何体的体积为2π+2×13π=83π。

8.（2015年浙江2，5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ） A. B. C.D.22234S πππ=+⨯+⨯=+38cm 312cm 3323cm 3403cm【答案】C【解析】这是一个正四棱锥和正方体组成，所以体积为。

9.（2015年重庆5，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的（ ）正视图左视图俯视图(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个三棱锥组合而成。

ππ+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=31212111221312半圆柱三棱锥V V V 10．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．42C ．6D ．4132********V =⨯⨯⨯+⨯⨯=1π3+2π3+12π3+22π3+【解析】如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A －BCD ，最长的棱为AD ＝22＋22＝6，选C.11．（2014安徽，5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18【答案】A【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S ＝6×4－12×6＋2×34×(2)2＝21＋ 3.12．（2014福建，5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱 【答案】A【解析】选A 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．13．（2014浙江，5分）某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S ＝S 1－S正方形＋S 2＋2S 3＋S斜面，其中S 1是长方体的表面积，S 2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S 3是三棱柱的一个底面的面积，则S ＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2×12×4×3＋5×3＝138(cm 2)，选D.14．（2014辽宁，5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4【答案】B【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π.15．（2014湖南，5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2Sa ＋b ＋c＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B.16．（2014重庆，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72【答案】B【解析】题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去三棱锥E －A 1B 1C 1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，则BC ＝5，Rt △ABC 的面积等于12×3×4＝6.AA 1⊥平面ABC ，则直角梯形ABEA 1的面积等于12×(2＋5)×4＝14，矩形ACC 1A 1的面积等于3×5＝15.过点E 作EF ⊥AA 1于点F ，则EF ＝AB ＝4，A 1F ＝B 1E ＝BB 1－BE ＝3，则A 1E ＝5，所以△A 1C 1E 的面积等于12×3×5＝152，直角梯形BCC 1E 的面积等于12×(2＋5)×5＝352，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋152＋352＝60，选B.17．（2014江西，5分）一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )【答案】B【解析】选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．18．（2014天津，5分）一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】203π【解析】该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱．因为V 圆锥＝13π×22×2＝83π，V 圆柱＝π×12×4＝4π，所以该几何体体积V ＝83π＋4π＝203π. 19．（2013北京，5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．【答案】255【解析】本题考查空间几何体、点到直线的距离等基础知识，意在考查等价转化的数学思想和考生的空间想象能力．点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P ′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P ′C 的长度的最小值．当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255. 20．（2013新课标全国Ⅰ,5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】本题考查空间组合体的三视图及组合体的体积计算，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力．先根据三视图判断出组合体的结构特征，再根据几何体的体积公式进行计算．根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π，选择A.21．(2013新课标全国Ⅱ,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ­xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )【答案】A【解析】选 A 本题考查三视图的基本知识．作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A.22．(2013广东,5分)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6【答案】B【解析】本题考查三视图及几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力及运算能力．由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.23．(2013湖南,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A ．1 B. 2 C.2－12 D.2＋12【答案】C【解析】本小题主要考查三视图及考生的空间想象能力，考查函数与方程思想．由题可知正方体的底面与水平面平行，先把正方体正放，然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视图的面积最小，为1×1＝1；当正方体逆时针旋转45°时，其正视图的面积最大，为1×2＝ 2.而2－12<1，所以正方体的正视图的面积不可能等于2－12. 24．(2013湖北,5分)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4【答案】C【解析】本题考查三视图以及几何体的体积计算问题，意在考查考生空间想象能力和运算求解能力．由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋2×4＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C. 25．(2013陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．【答案】π3【解析】本题考查三视图和空间几何体之间的关系，涉及体积的计算方法，考查考生的空间想象能力及运算求解能力．易知原几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3. 26．(2012新课标全国,5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9. 27．(2012广东,5分)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π. 28.(2011山东,5分)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．29．(2011广东,5分)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．18 3B ．12 3C ．9 3D ．6 3【答案】C【解析】该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3.30．(2011浙江,5分)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )【答案】D【解析】从俯视图看，B 和D 符合，从正视图看D 符合，而从侧视图看D 也是符合的．31．(2011陕西,5分)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD.2π3【答案】A【解析】圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，正确选项为A.。