高中数学人教版选修2-1习题 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3 含答案
高中数学人教a版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.1.3 有答案
高中数学人教a 版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.1.3有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA→·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG→·AC → D ．2EF→·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG→·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________．【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎨⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎨⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→， cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3-1-27，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12(a ＋b )，BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c . ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ，∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→) ＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋AD → ＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC→＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C. 【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF＝________. 【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD →，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3-1-28，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3-1-28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
3.1.3空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝______分配律a·(b＋c)＝____________(3)两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______④|a·b|≤|a|·|b|.一、选择题1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE uuu r ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能 二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA u uu r ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB uuu r ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD ＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b |a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题． 3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理 1．〈a ，b 〉 [0，π] 2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c (3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b | ③a·b |a||b | 作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．] 2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭u u u r u u u r＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.]6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0， m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0， ∴m ⊥n .] 7．60°解析 由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°.8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， ∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC . 11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2，∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r · 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|＝MN MN •u u u u r u u u u r ＝53a ，即|MN |＝53a .12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－cos 〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－a ·b2.]13.解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ， 过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°， ∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. 又CD →＝CA →＋AB →＋BD →， ∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2 ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0. 故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD → ＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625， ∴|CD →|＝25.。
高二数学人教版选修2-1(第03章 空间向量与立体几何) Word版含解析
绝密★启用前人教版选修2-1 第3章 空间向量与立体几何一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,－2y ,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝12-C ．x ＝16，y ＝32-D ．x ＝16-，y ＝232．【题文】已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．33．【题文】设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．124．【题文】若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【题文】在△ABC 中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A.2133+b cB.5233-c bC.2133-b cD.1233+b c6．【题文】已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7．【题文】已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．647D ．6578．【题文】与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( )A ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫-- ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭9．【题文】已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3 D ．110．【题文】已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0.11．【题文】已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°12．【题文】已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【题文】已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________，________.14．【题文】在△ABC 中，已知AB ＝(2,4,0)，BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.15．【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为 ．16．【题文】在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，其中不正确的命题为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）【题文】如图，空间四边形OABC 中，E ，F 分别为OA ，BC 的中点，设=OA a ，OB =b ，OC =c ，试用a ，b ，c 表示EF .18．（本题满分12分）【题文】已知{},,i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝ －2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝aa 1＋ba 2＋ca 3 成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）【题文】四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．20．（本题满分12分）【题文】如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点． 求证：DM ∥平面PFB .21．（本题满分12分）【题文】如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．22．（本题满分12分）【题文】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.人教版选修2-1 第3章空间向量与立体几何答题卡注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1、3.1.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→的结果为( )图3-1-11A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3-1-12A.EF→＋GH →＋PQ →＝0B.EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.【答案】 －18．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，(1)∵OQ→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →， ∴PC→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE→与MN →是否共线．图3-1-13【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB→＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN→与向量AD →，BC →是否共面．图3-1-14【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN→＝MB →＋BC →＋CN →，②又MA→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得： 2MN→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案
空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
数学人教B选修2-1讲义：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
3.1.3 两个向量的数量积学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一 两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．范围：〈a ，b 〉∈[0，π]．特别地：当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b .知识点二 两个向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a ·b . 规定：零向量与任何向量的数量积都是0. 2．数量积的运算律注意：空间向量的数量积不满足结合律。
知识点三 两个向量的数量积的性质1．向量AB →与CD →的夹角等于向量AB →与DC →的夹角．( × ) 2．对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，可得a ＝c .( × )3．对于向量a ，b ，c ，有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )4．若非零向量a ，b 为共线且同向的向量，则a ·b ＝|a ||b |.( √ ) 5．对任意向量a ，b ，满足|a ·b |≤|a ||b |.( √ )题型一 数量积的计算例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →； (4)AB →·CD →.考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 用定义求数量积 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 120°＝－14. (4)AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思感悟 (1)已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积公式计算．(2)如果要求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 用定义求数量积 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2. 题型二 利用数量积证明垂直问题例2 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .求证：P A ⊥BD .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，知DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0. 由PD ⊥底面ABCD ，知PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0. 又P A →＝PD →＋DA →，所以P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .反思感悟 (1)由数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量(a ，b 是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用证明 设A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A →＝c ， 则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |. ∵A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12a ＋12b ，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12a ＋12b －12c ， ∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. 于是A 1O →⊥BD →，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →，即A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，OG ⊂平面GBD ，BD ⊂平面GBD ， ∴A 1O ⊥平面GBD .题型三 数量积求解空间角与距离命题角度1 求解角度问题例3 在空间四边形OABC 中，连接AC ，OB ，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求向量OA →与BC →所成角的余弦值． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|·cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.反思感悟 求两个空间向量a ，b 夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 解 不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b . ∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1， 而|A 1B →|＝|AC →|＝2， ∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12， ∵〈A 1B →，AC →〉∈(0°，180°)， ∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 命题角度2 求解距离或长度例4 平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长解 由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos 〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5， 解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5.反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．跟踪训练4 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， 所以AC →21＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA →21＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以AC →21＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC →21＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23， 则|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.利用数量积探究垂直问题典例 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方)，则边BC 上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用解 假设存在点Q (点Q 在边BC 上)，使PQ →⊥QD →， 即PQ ⊥QD .连接AQ ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥QD . 又PQ →＝P A →＋AQ →，所以PQ →·QD →＝P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又P A →·QD →＝0，所以AQ →·QD →＝0，所以AQ →⊥QD →. 即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2.又AB ＝1，所以当a2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意；当a2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a2<1，即a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →； 当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.[素养评析] 本例由条件PQ →⊥QD →，利用向量的数量积推知Q 点轨迹，从而转化为平面几何问题，解答此题，应具有较强的逻辑推理能力．1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0；对于C ， a 2＝b 2，只能推出|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于D ，当a ＝0时，不能推出b ＝c .2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2 答案 B解析 |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 B解析 易知①②正确；AD 1→与A 1B →的夹角为120°， ∴③不正确．故选B.4．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 答案3π4解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4. 5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.1．空间向量数量积性质的应用(a ，b 为非零向量) (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系． (2)|a |2＝a 2，此结论用于求空间中线段的长度．(3)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |，此结论用于求有关空间角的问题．(4)|b |cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |，此结论用于求空间中的距离问题．2．空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a ≠0，由a ·b ＝0可得a ⊥b 或b ＝0.(3)空间向量没有除法运算：即若a ·b ＝k ，没有a ＝k b.一、选择题1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( ) A ．垂直 B ．共线 C ．不垂直D ．以上都可能考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 数量积的性质 答案 A解析 由题意知|a |＝|b |， ∵(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 答案 D解析 ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， ∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉 ＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22. ∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.3．已知空间向量a ，b ，c 两两夹角为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |等于( ) A. 5 B ．5 C ．6 D. 6 答案 A解析 ∵|a －b ＋2c |2＝|a |2＋|b |2＋4|c |2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos 60°＋4·1·1·cos 60°－4·1·1·cos 60°＝5， ∴|a －b ＋2c |＝ 5.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →答案 C解析 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错，只有C 正确．5．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1， 又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.6．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a 等于( ) A ．12 B ．8＋13 C ．4 D ．13 答案 D解析 (2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×⎝⎛⎭⎫－12＝13. 7．已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 答案 D解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6.8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线A 1B 与C 1A所成的角等于( )A.π6B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ， 则A 1B →＝a －c ，C 1A →＝－b －c ，∴A 1B →·C 1A →＝(a －c )·(－b －c )＝－a ·b ＋b ·c －a ·c ＋c 2＝|c |2，∴cos 〈A 1B →，C 1A →〉＝A 1B →·C 1A →|A 1B →||C 1A →|＝|c |22|c |2＝12.∴A 1B 与C 1A 所成的角为π3.二、填空题9．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32＋12＋422＝－13.10．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________. 考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求角 答案 60°解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0，两式相减得46a ·b ＝23|b |2，所以a ·b ＝12|b |2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a |＝|b |，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°.11．(2018·大连高二检测)如图，平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AD ＝1，AA ′＝2，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长答案11解析 |AC ′—→|2＝|AB →＋BC →＋CC ′—→|2＝AB →2＋BC →2＋CC ′—→2＋2AB →·BC →＋2BC →·CC ′—→＋2AB →·CC ′—→＝12＋12＋22＋2×1×1×cos 60°＋2×1×2×cos 60°＋2×1×2×cos 60°＝11， 则|AC ′—→|＝11. 三、解答题12.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，若AB ＝CD ，AC ＝BD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，试用向量方法证明EF ⊥AD 且EF ⊥BC .证明 连接AF ，∵点F 是BC 的中点，∴A F →＝12(AB →＋AC →)，∴EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12(AB →＋AC →－AD →)， 又|AC →|＝|BD →|＝|AD →－AB →|， ∴AC 2＝AD 2－2AD →·AB →＋AB 2，①同理AB 2＝CD 2＝AD 2－2AC →·AD →＋AC 2，② 将①代入②可得AB 2＝AD 2－2AC →·AD →＋AD 2 －2AB →·AD →＋AB 2，∴2AD 2－2AD →·(AC →＋AB →)＝0， ∴AD →·(AC →＋AB →－AD →)＝0， ∴AD →·12(AB →＋AC →－AD →)＝0，∴AD →·EF →＝0，∴EF →⊥AD →. 同理可得EF →⊥BC →. ∴EF ⊥AD 且EF ⊥BC .13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．解 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2， PB →＝P A →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A →·DA →＝P A →·AB →＝P A →·BC →＝0. ∵AB ⊥AD ， ∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ， ∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(P A →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1， 又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∵〈PB →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈PB →，DC →〉＝π3，∵异面直线所成的角为锐角或直角， ∴PB 与CD 所成的角为π3.14．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． 答案 －4解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.15.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．(1)证明 AB 1→＝AB →＋BB 1→， BC 1→＝BB 1→＋BC →. ∵BB 1⊥平面ABC ， ∴BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →) ＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)解 结合(1)知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝(AB →＋BB 1→)2＝2＋BB 1→2＝|BC 1→|，∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。
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第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是导学号 33780723( )
A．①②B．②③
C．③④D．②④
[答案] D
[解析] 根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.
2．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的导学号 33780724 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不
成立，因为当a 与b 共线反向时，a ·b ＝－|a||b|.
3．如图，正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，那么导学号 33780725( )
A.AE →·BC →<AE →·CD
→ B.AE →·BC →＝AE →·CD
→ C.AE →·BC →>AE →·CD
→ D.AE →·BC →与AE →·CD
→不能比较大小 [答案] C
[解析] ∵AE →·BC →＝12
(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12
(|AB →|2－|AC →|2)＝0， AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD
→ ＝AB →·(BD →－BC →)＋12
BC →·CD → ＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos120°＋12
|BC →|·|CD →|cos120°<0. ∴AE →·BC →>AE →·CD
→. 4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：
①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为
60°. 其中正确命题的个数是导学号 33780726( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．0个 [答案] B
[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°
，∴③不正确，故选B.
5．已知|a|＝1，|b|＝
2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为导学号 33780727( )
A ．60°
B ．30°
C ．135°
D ．45° [答案] D
[解析] ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b)·a ＝0，
∴a ·a －a ·b ＝|a|2－|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉 ＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0，
∴cos 〈a ，b 〉＝2
2.
∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.
6．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b|导学号 33780728
( )
A.7 B ．10。