高中数学论文：对二个高考试题的探究
对2005年二道高考题的探究与思考
在ｘ 轴、 ｙ 轴的正半轴上， Ａ 点与坐标原点重合（ 如图
３ 所示） ． 将矩形折叠， 使 Ａ点落在线段Ｄ Ｃ 上． （ Ｉ ） 若折痕所在直线的斜率为 几 ， 试写出折痕 所在直线的方程； （ ｎ） 求折痕的长的最大值． 解 （ 工 ） （ １ ） 当 ｋ二０ 时， 此时 Ａ点与Ｄ点重
（ ｘ一青） ２
由（ １ ） （ ２ ） 得折痕所在的 直线方程为： １ － Ｚｋ － ２
变式３ 如图１ ， 设Ａ ， Ｂ 分别在边长为 １ 的正方 形Ｏ Ｃ Ｄ Ｅ 的边Ｃ Ｄ ， Ｄ Ｅ 上运动， 求证点 Ｃ 关于Ａ Ｂ 对称 的点不可能落在 Ｏ Ｃ 边上． 证明 假设点 Ｄ关于Ａ Ｂ 对称的点Ｄ ＇ （ ｍ， ０ ） 在 Ｏ Ｃ上， 则
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第１ 期
对２ ０ ０ ５ 年二道高考题的探究与思考
刘晓东
（ 浙江省湖州吴兴高级中学 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
“ 问题是数学的心脏” ， “ 好问题同某些磨菇相 似， 它们大都成堆的生长， 找到一个以后， 你应当在 周围找找， 很可能在附近就有几个” ， 笔者认为 ２ ０ ０ ５ 年数学高考江西卷第 １ １ 题和广东卷第 ２ ０ 题就是两 个极好的问题， 而且它们之间有着某些特殊的联系， 大有异曲同工之妙． 问题 １ （ 江西卷第 １ １ 题） 在 △Ｏ Ａ Ｂ中， ０为坐
ｋ ｏ ｃ ・ ‘ ＝ 一 ‘ ， 告 ＊ 二 一 ｌ ｅ ａ ＝ 一 ＊
故‘ 点坐标为Ｇ （ 一ｋ ， ｌ ） ， 从而折痕所在的直线
与 口 ‘ 的交 点 坐 标 （ 线段 ０ ‘ 的 中 点 ）为
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第１ 期
全国高师会数学教育研究会 ２ ０ ０ ６ 年学术年会纪要
基于高考试卷分析的高中数学教学探究
课堂艺术基于高考试卷分析的高中数学教学探究■姚全刚摘要：近年来随着教育不断改革，高考内容对于学生不同能力的考查形式也发生了相应变化。
2020年全国高考命题落实立德树人的根本任务，在试卷中倡导德智体美劳“五育并举”。
全国各地高考数学试卷已从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变。
这给我们的启示是，要推进精准教学实践适应教学考评转变，具体措施是优化校本教材，深耕原则方法，培养阅读习惯，把脉教学动态。
关键词：高考数学；高中数学教学；教学启示一、高中数学课程标准与考试大纲的相关内容随着教育改革的不断推行，高中数学课程标准指出，教师要突出学生的主体地位，培养学生良好的品德与人格，在教学中帮助学生树立正确的价值观念和数学核心素养。
这些教学理念提醒教师要在教学中明确教学目标，针对教学内容，呼应高考内容改革理念对学生进行规范教学。
因此在高考内容改革的背景下，数学就是围绕学生进行综合培养，通过高考进行考查，通过试题检验学生的数学思想、数学能力、数学文化、数学意识、数学的核心素养等。
二、高考改革背景下高中数学教学的有效策略1.开展生活化教学高中数学内容较为抽象，学科难度较大，不易理解，许多学生都会在学习新知识的时候无法理解，不容易跟上老师的讲课进度，从而导致日后学习知识拖延、成绩掉队等诸多问题。
从近年来高考出题形式变化来看，高考题目与生活之间的联系日益紧密，所以进行生活化教学既是适应考试的需要，也是为了帮助学生更好地理解题目意思，提升数学实践能力。
例如2020年高考理科数学全国Ⅱ卷第4题，将北京天坛作为切入点，考查学生的计算能力和对数列求和的掌握情况。
此外教师教学时可以引入生活中的实例，帮助学生从解题转向解决问题。
例如2020年理科数学全国Ⅱ卷第3题，给出实例，以新冠肺炎疫情为背景，结合时事，考查学生对概率统计的基本掌握情况。
因此教师在讲概率统计时可以举出相应实例，以便学生化抽象为具象，更好地理解并掌握相关知识点。
对高考数学试题的研究例谈
对高考数学试题的研究例谈
作者：李小洪
来源：《试题与研究·新课程论坛》2012年第30期
高考数学试题具有一些显著的特点，比如解法多样、思辨性强。
从高考试题中我们可以看出，虽然其结果是唯一确定的，但是解题思路确实多种多样，并且能够发挥出考生们的学习特点，灵活的解答方式有利于彰显学习的数学能力水平。
通过对高考数学试题特点的研究，可以引导学生在一题多解的过程中构建他们的知识体系。
我们以2011年的全国高考数学试题为例：如图1，已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+■=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-■的直线l与交于A、B两点，点P满足■+■+■=0。
两道高考试题的渊源及联系
率大于 ０ ）交椭 圆于 Ｐ 、Ａ两点 ，其 中 Ｐ在第 一象 限 ，过 Ｐ作 轴 的垂
线 ，垂 足 为 Ｃ，连 接 ４ Ｃ，并 延 长 交 椭 圆 于 点 Ｂ，则 直 线 Ｐ 与 直 线 Ｐ Ａ Ｂ
日 、
二 ； 二 ＝
一
＝
十 ， ｎ … ｍຫໍສະໝຸດ ＝ １ 一 ， ：Ａ ．
… ｍ
， 孔
所 以
， ｋ ： ｌ ．Ｐ ＿
—
． Ｉ± ， ＿
十 ｍ
：一 ｚ Ａ：
ｍ
关 键 词 ：课 本 例 题 ； 高考 试 题 ；研 究 性 学 习
，
为定值．
这样我们便可以得到命题 １ ．
因 为 上Ｐ Ｂ，所 以 ｋ ・ ＝一 ， ｋ １
即 ｋ ・ 册＝上二 崩 ｋ 一 －
一
一
于椭 圆的命题 １ ，用命 题 １简捷 解决 ２ １ 年 江 苏高考解析 几何 ０１
ｌ 题第（ ） ８ ３ 问的推广． 进一步探 索命题 １的反向问题 ，得到命题 ２ ， 用命题 １ 、命题 ２来解决 ２ １ ０ ０年江苏高考 １ ８题的第（ ） ３ 问的推广． 从 而揭 示课本题 与高考题 、高考题与 高考题之 间的 内在联 系．
高考试题 ，以期对如何高效组织高考复习有所启迪． 江苏教育 出版社出版的数学课本 《 选修 １ ＝ ２ 一ｌ 》第 ７页例 ２ ： 将圆 ： ＝４上 的点 的横坐标保持不变 ，纵坐标变为原来 ＋ 的一半 ，求所得曲线的方程 ，并说 明它是什 么曲线．
一
率 之积 ｋ ・ 为定值一 ． ｋ
，
—
＝ ＝ ， 争。
一
通过高考试卷研究谈高三数学教学的有效性
通过高考试卷研究谈高三数学教学的有效性昌国良湖南师范大学数学与计算机科学学院把握高考命题的导向明确学生应考的差距找准课堂教学的对策实施新课程后的第一次高考已尘埃落地，这次指挥棒指向了哪里？我们的学习该朝什么方向努力？从高考数学试卷的分析中或许能找到答案。
湖南高考数学试卷保持了几年来自主命题所形成的命题风格和试题特色。
试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念，体现了“知能并重、深化能力立意；突出对创新意识和作为数学核心的思维能力的考查；注重对数学应用意识的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。
试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度适中。
坚持“多考一点想，少考一点算”的基本理念，对思维量与运算量作出了精心地调控。
1．试卷指向1.1试卷突出了三个全面考查2010年的试卷全面落实了“考试说明”的基本要求，在数学基础知识，基本的数学思想方法，数学基本能力等方面的考查目标都已落实到位。
突出了对课标新增知识内容的全面考查2010年的文、理试卷都保持了湖南卷一贯的考查风格，考查基础知识在平淡中见深刻，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。
在题型的分值分布中沿用同一思想，以下是近四年题型、题量和分值分布(见表1.1)和主要考查内容所占分值统计情况(见表1.2)。
表1.2 近四年考查主要内容所占分值统计表2010年数学高考试题对课标新增内容作出了全面考查。
比如试题对算法与框图、三视图、几何概型、定积分、推理证明以及选修系列四的几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程、优选法与实验设计初步等内容都用了5分的分值进行考查。
这些试题难度不大，很好的体现了课改精神和新课程理念。
通过新增试题充分考查学生的思维品质和数学素养，强调考查学生的应用意识，同时启示中学数学新课程改革需注重培养学生应用数学知识解决各种数学内外问题的意识，使学生加深对数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学知识和方法解决一些实际问题。
全国2卷数学试题分析论文
数学试题分析试题总体情况今年的高考数学试题全国卷2严格按照《考试说明》命题，立足于现行教材，重视数学基础，突出考察数学核心能力，与往年相比没有太多变化，在稳定中坚持创新，重点问题，热点问题仍然挑大梁，但难度成上升趋势，试题的区分度更加明显，对中等生的影响较大，中等生的成绩有一定的下滑，主要呈现以下特点。
第一《考试说明》中共15个模块，考察了14个，覆盖面百分之九十以上，同时突出了学科的核心内容，集合与函数，立体几何，解析几何，数列与不等式，概率统计，导数的应用等重要内容约占百分之八十六，整体结构合理，从基础知识和思维能力方面都达到了必要的深度和广度，今年的试题难度高于往年，难题多于往年，从第八题开始难度增大，感觉上容易得分，但得高分难，区分度好于往年第二试卷总体难度比较适中，题型比较常规，没有大起大落，没有偏题，怪题，解题方法以通性通法为主，切入点较多，也没有过于复杂和繁琐的运算，但部分试题显得入手容易，完成较难，深入解题后发现与过去做过的题目不同，比如21题第三强调概念的考察，概念性强是数学学科的一个基本特征，所有数学内容都是以概念作为它的基本元素，由概念组成命题，由命题组成逻辑系统，所以，2010年试题依然非常关注对数学概念的考察，如理科2,3题。
第四突出考察数学思想方法，不是简单地套一个公式来完成，需要通过转换才能解答，对学生的数学思维能力有较高的要求，函数与方程思想，分类与整合思想，转化与化归思想，特殊与一般等数学思想方法几乎贯穿全卷试卷，要求学生有较强的基本功，良好的数学素养，在解题时认真审题，抓住问题的实质，如第10题，第11题，第12题，第16题，第17题。
第五试卷梯度设置合理，起点低，无论是大题还是小题都是如此，很多同学都可以顺利的进入题目，但在题目收尾的时候或者在某些方法上障碍设置比较巧妙，总体上有利于学生发挥正常的水平第六试题不回避运算量的问题，不回避与其他学科之间的相互渗透，不回避思维的跳跃问题，重点问题，热点问题不回避，重点热点年年考。
高考数学全国二卷研作心得
五年高考发展趋势之我看适应社会发展，树立文化自信，积极回应社会关切史博民五年来，高考数学全国二卷考题在继承中适度创新、稳定中适度发展，逐步渗透传统文化，凸显数学实用性的原则下，在保持试题结构、难度及考查内容基本稳定的前提下，积极回应社会要求高考改革的呼声。
一方面继续重视双基的考查；另一方面在题目的背景上做文章，让考题更能体现传统文化的重要性、更加凸显数学的实用性；再一方面，考查内容在保持基本稳定的情况下做了适度调整；最后，试题越来越重视对数学核心素养的考查。
“试题越来越新、越来越活、越来越重视数学核心素养、越来越具有文化底蕴、越来越倾向于实用”是我对这五年高考试题发展的深切感受。
具体来说，感受有以下几点。
一重视双基的考查高考的选拔具有层次性，为了适应这一要求，高考试题中基础性题目的比重基本上都在70%左右，这部分题目占到了100左右的分值。
这些题目的解决只需要学生具备基本的知识和基本的能力即可，对学生更高层次的能力几乎不做要求。
但这部分题目需要学生对要能正确掌握基本知识且有深入的理解，对基本能力要做到理解、熟练，近乎做到烂熟于心。
二以双基为载体考查数学能力高考试题除了具备选拔一般人才的功能，同时也具被选拔顶尖人才的功能，所以试题凸显了“以双基为载体，重视能力立意”的特点。
具体体现在以下三个方面，一方面部分题目对学生数学能力的要求很高，如17年全国二卷（文数）中的6、9、18（2）、19（2）、20（2）、21（2）等。
这部分试题对学生的区分度相当高。
另一方面体现在一题多解的解决方案优化上。
高考试题在命制时充分考虑到考生数学能力的个体差异，大部分试题的思想方法及解答方法不唯一，是多种多样的。
一道题可以从不同的角度，用不同的思想方法解决。
各种方法之间本省差异很大，方法选得好，既可以节省时间，还可以提高答案的准确度，反之则会事倍功半。
如17年全国二卷（文数）的12题，可以从抛物线的几何性质入手，还可以从纯代数的角度入手，但两种方法效果差异很大。
高考数学试卷分析论文
摘要：本文通过对高考数学试卷的分析，探讨试卷的命题特点、难度分布、知识覆盖面以及对学生能力的考查等方面，旨在为教师的教学和学生的学习提供参考。
关键词：高考数学试卷；命题特点；难度分布；知识覆盖；能力考查一、引言高考数学试卷作为我国高考的重要组成部分，对学生的数学素养和能力进行综合考查。
分析高考数学试卷的命题特点、难度分布、知识覆盖面以及对学生能力的考查，有助于教师优化教学策略，提高学生的数学素养。
二、命题特点1. 紧扣教材，注重基础高考数学试卷的命题紧扣教材，注重基础知识的考查。
试题内容来源于教材，以基础知识为出发点，考查学生对基本概念、公式、定理的理解和运用。
2. 突出能力，注重创新试卷在考查基础知识的同时，注重对学生能力的考查，如逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力等。
试题设计巧妙，注重培养学生的创新意识。
3. 关注现实，贴近生活高考数学试卷关注现实生活，贴近学生的实际，试题背景源于生活，引导学生运用数学知识解决实际问题。
三、难度分布1. 难度适中，区分度明显高考数学试卷难度适中，既能筛选出优秀学生，又能体现学生的实际水平。
试题难度分布合理，区分度明显。
2. 试题类型多样，兼顾不同层次学生试卷涵盖填空题、选择题、解答题等多种题型，兼顾不同层次学生的需求。
其中，解答题注重考查学生的综合能力，填空题和选择题则侧重于基础知识的考查。
四、知识覆盖面1. 知识点全面，注重主干知识试卷涵盖高中数学的主干知识，如函数、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计等。
试题设计注重主干知识的考查，提高学生的数学素养。
2. 考查内容与时俱进，关注热点问题试卷关注数学领域的最新研究成果，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
试题内容与时俱进，关注热点问题，引导学生关注社会发展。
五、对学生能力的考查1. 逻辑思维能力试卷注重考查学生的逻辑思维能力，如推理、归纳、演绎等。
试题设计引导学生运用逻辑思维解决数学问题。
2. 运算求解能力试卷考查学生的运算求解能力，包括运算技巧、计算速度等。
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对二个高考试题的探究
本文将对圆锥曲线的的两个命题进行探究。
命题一：椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FQ FM λ-=。
（2004年高考（天津卷）数学（理工类）第22题）
探究以上问题的一般情形：
过定点A(m,0)(m>0)作一直线l 交椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）于P 、Q
两点，又P 关于x 轴的对称点为M ，设AQ AP λ=（1>λ），证明：EQ EM λ-=，其中E 的坐标为（n,0）,且2a mn =。
（如图1所示） 证明：),(),,(2211y m x y m x -=-=.由已知得方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.1,
1,
),
(2
2
2
22222
122121
21b y a
x b y a
x y y m x m x λλ
注意1>λ，解得
λ
λ2)
()(2m n m n x -++=
因),(),0,(11y x M n E -，故
),)((),(1211y n m m x y n x --+-=--=λ
),2)
()((),2)()((
22y m n n m y m n n m λ
λλλλ-+--=--+-=.
而),2)
()((
),(222y m n n m y n x λλ-+-=-=，所以 λ-=。
对于双曲线上述命题同样成立，若是抛物线，则有下列命题： 如下图2所示，过定点A （m,0）(m ＜0)作一直线l 交抛物线C ：y 2=2px(p
＞0)于P 、Q 两点，又P 关于x 轴对称点为M ，若AQ AP λ=（1>λ）,证明：λ-=，其中E 的坐标为（-m,0）。
命题二：设抛物线方程y 2
=2px (p>0)的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O 。
（2001年高考试题）
探究以上问题的一般情形：
设抛物线方程为y 2
=2px (p>0)，E(m ，0),经过E 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在直线x=-m 上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O 。
（如图3）
证明：设A （,221p y y 1），B （,22
2
p
y y 2）
，则C （-m, y 2）
∵A ，B ，F 在同一直线上， ∴AB =λAE （λ>1）
∴（p y 222- p y 221，y 2- y 1）=λ（m-p
y 22
1，- y 1）
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--=-112222)2(22112
y y y p y m p y p y λλ 即⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=12)1(2
112λλpm y y y ∴=（-m-,22
1p y y 2- y 1）=(,22
1p
y λ-1
y λ-)
又AO =（-,22
1p
y -y 1） ∴=λAO ∴直线AC 经过原点O 。
若对于椭圆或双曲线，则有下列结论：
1．设椭圆方程为122
22=+b
y a x （a>b>0），E(m ，0)，经过E 的直线交
椭圆于P 、Q 两点，点M 在直线x=n 上，且QM ∥x 轴，证明：直线PM 经过线段AE 的中点。
其中A(n ，0)，m 、n 满足2
a mn =。
2．设椭圆方程为122
22=+b
y a x （a>b>0），
点A 1，A 2分别是椭圆的两个焦点，E(m ，0)，经过E 的直线交椭圆于P 、Q 两点，经过点P 、A 2的直线与直线l ：x=n 交于点M ，其中m 、n 满足2
a mn =。
则：点A 1、Q 、M 在同一直线
上。
（如图4）
通过以上的探究，极大地丰富了圆锥曲线的的教学内容，使圆锥曲线的性质得以拓展。
例 （2006年高考数学试卷（天津））如图，双曲线
22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 、2F 分别为左、右焦点，M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且121
..4
F M F M =-
（I ）求双曲线的方程；
（II ）设(,0)A m 和1
(
,0)(01)B m m
<<是x 轴上的两点。
过点A 作斜率不为0的直线,l 使得l 交双曲线于C 、D 两点，作直线BC 交双曲线于另一点E 。
证明直线DE 垂直于x 轴。
同时，我们发现上述问题对于研究圆锥曲线焦点弦的轨迹有广泛的教学意义，下面举例说明。
例 过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则满足条件的直线l 有 （ ）
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．无数条 下面用《几何画板》制作焦点弦过程如下：
（1）在双曲线上任取一点A，作A关于x轴的对称点'A；
（2）连接'A M、AF，得交
（M为准线与x轴的交点）；
点B。
（3）拖动点A在双曲线上
运动，观察|AB|的变化。