2020中考数学一轮复习基础考点精练相似三角形的实际应用

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2020年中考数学一轮专项复习——相似三角形(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——相似三角形基础过关1.若2x＝3y，则下列比例式中正确的是()A. xy＝23 B.x3＝2yC. xy＝32 D.x2＝y32. (2019兰州)已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则BCB′C′＝()A. 2B. 43 C. 3 D.1693. (2019贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC等于()A. 5B. 6C. 7D. 8第3题图4. (2019杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则()A. ADAN＝ANAE B.BDMN＝MNCEC. DNBM＝NEMC D.DNMC＝NEBM第4题图5. (2019淄博)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为()A. 2aB. 52a C. 3a D.72a第5题图6. (人教九下P41练习2改编)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC ＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于()A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m第6题图7. 如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形CEFD与矩形ABCD恰好相似，当AB＝1时，则AD的长为()A. 1＋52 B.5－12C. 3－ 5D. 5－1第7题图8. (2019玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有()A. 3对B. 5对C. 6对D. 8对第8题图9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB是()A. 4 mB. 4.5 mC. 5 mD. 5.5 m第9题图10. (2019安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF＝EG，则CD的长为()A. 3.6B. 4C. 4.8D. 5第10题图11. (2019吉林省卷)在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为______m.能力提升1. (2019海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为()A. 813 B.1513C. 2513 D.3213第1题图2. (2020原创)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB 上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝()A. 32 B.53C. 32或53 D.32或1第2题图3. (2020原创)如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、BC上，若AD∶DB＝CE∶EB＝2∶3，则△DBE 的面积∶△ADC的面积＝________．第3题图满分冲关1.(2020原创)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BO是斜边AC上的中线，点E为BC 上一点，AB＝BE，连接AE交BO于点F，连接OE. 给出下列结论：①∠BOE＝75°；②OE2＝OF·AB；③△AOE∽△AEC；④若AB＝2，则OF＝2－ 3.其中正确的结论有()第1题图A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ①②③④【错误结论纠正】请将错误结论改正确．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动．两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．第2题图参考答案基础过关1. C2. B 【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴BC B ′C ′＝AB A ′B ′＝86＝43. 3. B 【解析】∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC . ∵AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，∴23＝4BC，解得BC ＝6.4. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，△ADE ∽△ABC .∵△ADN ∽△ABM ，∴DN BM ＝AN AM .∵△ANE ∽△AMC ，∴AN AM ＝NE MC ， ∴DN BM ＝NEMC. 5. C 【解析】∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC ，∴S △ADC S △BAC ＝(AC BC )2＝(24)2＝14.∵S △ADC ＝a ，∴S △BAC ＝4a . ∴S △BAD ＝S △BAC －S △ADC ＝4a －a ＝3a .6. B7. A 【解析】∵AB ＝1，设AD ＝x ，则FD ＝x －1，FE ＝1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EFFD ＝AD AB ，即1x －1＝x1，解得x 1＝1＋52，x 2＝1－52(不合题意舍去)，经检验x 1＝1＋52是原分式方程的解．∴AD 的长为1＋52.8. C 【解析】∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD ，四边形ABFE 和四边形DCFE 都是平行四边形．∴图中的相似三角形有：△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽△CFG ，△AEG ∽△CBA ，△CGF ∽△CAB ，△CGF ∽△ADC ，△ADC ≌△CBA (相似比为1)，共有6对．9. D 【解析】∵在△DEF 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠D ∠DEF ＝∠DCB ，∴△DEF ∽△DBC ，∴DE EF ＝CD BC ，即4020＝8BC，解得BC ＝4 m ，∵AC ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5 m ，即树高5.5 m. 10. B 【解析】如解图，过点D 作DH ∥EG 交AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，EF ⊥AC ，∴EF CD ＝AE AD ＝EGDH ，∵EF ＝EG ，∴CD ＝DH .∵DH ∥EG ∥AC ，∴BD BC ＝DHCA .设CD ＝DH ＝x ，则有12－x 12＝x 6，解得x ＝4，∴CD＝4.第10题解图11. 54 【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，∴1.83＝h90，解得h ＝54 m.能力提升1. B 【解析】∵AB ＝5，BC ＝4，∠C ＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3.∵点D 是PQ 的中点，∴DQ ＝DP .∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠ABD .∵PQ ∥AB ，∴∠QDB ＝∠ABD ，△CPQ ∽△CAB .∴∠QBD ＝∠QDB .∴BQ ＝DQ ＝DP .∵△CPQ ∽△CAB ，∴QC BC ＝QP BA ，即4－BQ 4＝2BQ 5，解得BQ ＝2013.∵PQ ∥AB ，∴AP AC ＝BQ BC ，即AP 3＝20134，解得AP ＝1513. 2. D 【解析】设AE ＝x ，则BE ＝3－x .如解图①，当∠DEC ＝90°时，有△ADE ∽△BEC ∽△EDC ，∴AE DE ＝BC CE ，BC CE ＝BE DE ，∴AE DE ＝BE DE ，即AE ＝BE ，∴x ＝3－x ，解得x ＝32；如解图②，当∠CDE ＝90°时，△ADE ∽△BCE ∽△DCE ，∴∠AED ＝∠DEC ＝∠BEC ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∠BCE ＝30°.∴DE ＝2x ，CE ＝2(3－x )．∴2x ＝3－x ，解得x ＝1.综上所述，AE 的长为32或1.第2题解图3.910 【解析】∵AD BD ＝EC BE ＝23，∴BD BA ＝BE BC ＝35，又∵∠DBE ＝∠ABC ，∴△BED ∽△BCA ，∴S △BED S △BCA＝(35)2＝925，如解图，分别过点B 、D 作AC 的垂线BM 、DN 交AC 于点M 、N ，则DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN BM ＝AD AB ＝25，∵S △ADC ＝12AC ·DN ，S △BCA ＝12AC ·BM ，∴S △ADC S △BCA ＝DN BM ＝25＝1025，∴S △BED S △ADC ＝925×2510＝910.第3题解图满分冲关1. A 【解析】①在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，∵BO 是斜边AC 上的中线，∴BO ＝AB ＝OA ，∴△AOB 是等边三角形．∴∠ABO ＝60°，∴∠OBC ＝30°.∵AB ＝BE ，∴BO ＝BE ，∴∠BOE ＝∠BEO ＝(180°－30°)÷2＝75°.故①正确；②∵在Rt △ABE 中，AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠AEB ＝45°.∵∠BOE ＝∠EOF ，∠OEF ＝∠OEB －∠AEB ＝30°，∴∠OEF ＝∠OBE ，∴△OBE ∽△OEF .∴OB OE ＝OE OF .∴OE 2＝OF ·OB ，又∵OB ＝AB ，∴OE 2＝OF ·AB .故②正确；③∵∠AEC ＝180°－∠AEB ＝135°，∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝135°，∴∠AEC ＝∠AOE .又∵∠OAE ＝∠EAC .∴△AOE ∽△AEC .故③正确；④如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为点G ，设FG ＝x ，则BG ＝3x ，EG ＝x ，BF ＝2x ，∴3x ＋x ＝2.解得x ＝3－1，∴BF ＝2(3－1)．∴OF ＝OB －BF ＝2－2(3－1)＝4－23，故④不正确．综上所述，正确的有①②③.第1题解图2. 解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10， ∵12AC ·BC ＝12AB ·CD ， ∴12×8×6＝12×10CD ，解得CD ＝4.8；(2)AD ＝AC 2－CD 2＝82－4.82＝6.4，点P 运动到点C 需要4.8 s ，如解图，过点Q 作QH ⊥CD 于H ， ∵CD ⊥AB ， ∴QH ∥AD ， ∴△CHQ ∽△CDA ， ∴QH AD ＝CQ AC ，即QH 6.4＝t 8， ∴QH ＝0.8t ，∴S ＝12QH ·CP ＝12×0.8t ×(4.8－t )＝－0.4t 2＋1.92t ，∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×8×6＝24，∴S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100，即－0.4t 2＋1.9224t ＝9100，整理得：5t 2－24t ＋27＝0，解得t 1＝3，t 2＝1.8，∴在运动过程中存在时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100，t 的值为3或1.8.第2题解图。

2020中考复习第22课时相似三角形的应用

∴点 C 的坐标为(-3 3,9).
考点聚焦
②设点 A 向右滑动的距离为 x(x>0),
根据题意得点 B 向上滑动的距离也为 x,如图②.
AO=12×cos30°=6 3 cm,
∴A'O=(6 3-x)cm,B'O=(6+x)cm,A'B'=AB=12 cm,
在 Rt△A'OB'中,由勾股定理得(6 3-x)2+(6+x)2=122,
解得 x=6( 3-1),∴滑动的距离为 6( 3-1)cm.
考点聚焦
3. [2015·徐州25题]如图22-10,在平面直角坐标系中,含30°角的三角尺的直角
顶点C落在第二象限,其斜边两端点A,B分别落在x轴,y轴上,且AB=12 cm.
(2)点C与点O间的距离的最大值=
cm.
图22-10
考点聚焦

∠BCD=∠B1C1D1,
1 1

=
1 1

=
1 1
,求证:四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似;
∵AB⊥y 轴,∴AB∥x 轴,∴∠A=∠COP,∠AQC=∠OPC,

∴△AQC∽△OPC,∴ =

2
=2,∴

2
= ,
3
2
∴CD= BO=4,AD= AB=6,
3
3
∵点 A 的坐标为(9,6),∴点 C 的坐标为(3,2).故选 B.
考点聚焦
2.[2019·潍坊]如图 22-9,Rt△AOB 中,∠AOB=90°,顶点 A,B 分别在反比例函数
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(
③两个大小不同的正方形相似.(

2020年中考数学相似三角形专题复习(共19张PPT)

由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴ AF = AB , 即 AF = 8 ,
BC BE
5 45
解得：AF= 2 5
解答题
3.在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,点 D 与点 B 在 AC 同侧,∠DAC>∠BAC,且
DA=DC, 过点 B 作 BE∥DA 交 DC 于点 E, M 为 AB 的中点,连接 MD,ME.
(
3)如图
3,当∠ADC=α时,求
ME MD
的值.
(3)如图 3，延长 EM 交 AD 于 F，
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∴EC=BE,
∵AM=BM, ∠AMF=∠BME,
∴AF=CE,
∴△AMF≌△BME,
∴DF=DE,
∴AF=BE, MF=ME ,
∴DM⊥EF, DM 平分∠ADC,
延长 BE 交 AC 于点 N， ∴∠BNC=∠DAC, ∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC, ∵∠ACB=900,
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC;
(2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。
AG
解：(1)∵AG⊥DE，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=900
∵∠EAF=∠GAC, ∴∠AED=∠ACB,
∵∠EAD=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC; (2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。

2023中考一轮复习：相似三角形的应用

考点15相似三角形的应用【命题趋势】相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。

出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。

【中考考查重点】一、相似三角形在实际生活中的应用二、位似图形三、相似三角形与函数综合考向一：相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在实际生活中的应用：（一）建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【同步练习】1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米B．3米C．米D．米3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF 在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？考向二：位似图形位似图形满足的条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）【同步练习】1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．AE：AD是相似比B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．两个三角形是位似图形2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1第2题第3题3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点4．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为A （2，1），B （1，3），C （4，1），若△A 1B 1C 1与△ABC 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，点A 、B 、C 的对应点分别为A 1、B 1、C 1，且A 1的坐标为（4，2）．（1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A 1B 1C 1；（2）分别写出点B 1、C 1的坐标．考向三：相似三角形与函数综合【方法提炼】1．（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE ＝5；②；③当0＜t ≤5时，；④当秒时，△ABE ∽△QBP ；其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③C ．①③④D ．②④2．（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝m cm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm2．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．33．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则△A′B′C′面积为（）A．B．6C．4D．5．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′＝2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．2：3B．4：3C．2：9D．4：96．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为m．7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为cm．8．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？10．（2022•禅城区校级模拟）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE＝x，AF ＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，（1）图②中y与x的函数关系式为；（2）求证：△CDE∽△ADF；（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．1.（2021·浙江绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m2.（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．3.（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．154.（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．5.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．1．（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（）A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m2．（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20m，MP＝2.5m，则楼高AB为（）A．15m B．16m C．18m D．20m3．（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1B．点P2C．点P3D．点P44．（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（）A．B．C．或D．或5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC 与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．6.（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．7．（2022•鹿城区校级一模）如图，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形，请分别在图1和图2中按要求作图．（1）在图1中以O为位似中心，作格点三角形△A1B1C1，使其与△ABC位似比为1：2．（2）在图2中作格点线段BM⊥AC．8．（2021•永嘉县校级模拟）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；；（1）等腰三角形ABC的面积S△ABC（2）正方形DEFG的边长．9．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？10．（2021•婺城区校级模拟）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1（附答案）1．如图，五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 是位似图形，点A 和点1A 是一对对应点，P 是位似中心，且123PA PA =，则五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 的相似比等于( )A ．23B ．32C ．35D ．532．下列三角形中，与下图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．3．点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=6cm ，则BC 的长为（）cmA ．353-B ．935-C ．656-或935-D ．935-或353-4．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得4BC =米，2CA =米，则树的高度为（）A ．6米B ．4.5米C ．4米D ．3米6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝4，BC ＝5，则AC 等于（）A ．3B ．4C ．163D ．2037．已知：如图，在▱ABCD 中，AE ：EB=1：3，则FE ：FC=（）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．3：28．已知a ，d ，b ，c 依次成比例线段，其中3a cm =，4b cm =，6c cm =，则d 的值为（）A ．8cmB ．192 cm C ．4cm D ．92cm 9．如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是（）A ．△DEC ∽△ABCB ．△ADE ∽△BEAC ．△ACE ∽△BEAD ．△ACE ∽△BCA10．如图，BE ，CF 为△ABC 的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE 的长为（）A ．185B ．4C ．215D ．24511．如图，ADE ACB V V ∽，则:DE BC =________．12．如图，在ABC ∆中，//,3cm,5cm,DE BC AD AB ADE ==∆与ABC ∆是否相似_________，相似比是__________．13．以原点O 为位似中心，将ABC V 缩小，使变换后得到的111A B C V 与ABC V 对应边的比为1:2．请在网格内画出111A B C V ，并写出点1A 的坐标________．14．已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4，点D 从A 出发以每秒5个单位的速度向点B 运动，同时点E 从点B 出发以每秒4个单位的速度向点C 运动，在DE 的右侧作∠DEF ＝∠B ，交直线AC 于点F ，设运动的时间为t 秒，则当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，t 的值为_____．15．如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，E 在AC 上且AE=AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转900，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是_______16．如图，在四边形ABCD 中，,15A CBD AB ∠=∠=cm ，20AD =cm ，18BD =cm ，24BC =cm ，则CD 的长为__________cm ．17．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____.18．（2017四川省绵阳市）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +12MA DN⋅的最小值为______．19．A 城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm ，而该新城区的实际南北长为6km ，则新区建设规划图所采用的比例尺是__________.20．如图，ABC △与AEF V 中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．21．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）求证：△OBP 与△OPA 相似；（2）当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q ，O ，A 、P 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O（1）求证：点D 在⊙O 上；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BE 的长度．23．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为（3，1）、（2，−1）.（1）画出V OAB 绕点O 顺时针旋转90°后得到的11△OA B ；（2）在y 轴的左侧以O 为位似中心作V OAB 的位似22OA B △（要求：新图与原图的相似比为2：1）.24．如图，在68⨯的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和ABC V 的顶点均为格点．()1以O 为位似中心，在网格图中作A'B'C'V ，使A'B'C'V 与ABC V 位似，且位似比为1：2；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)()2若点C 和坐标为()2,4，则点A'的坐标为(______ ，______ )，点C'的坐标为(______ ，______ )，A'B'C'S V ：ABC S =V ______ ．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．(1)求证：DH 是圆O 的切线；(2)若32FD EF =，求证：A 为EH 的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O 的半径．26．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AB 上一点，且AE=13AB ，EF ⊥EC ，连接BF ．（1）求证：△AEF ∽△BCE ；（2）若AB=33，BC=3，求线段FB 的长．27．已知在ABC V 中，D 是边AC 上的一点，CBD ∠的角平分线交AC 于点E ，且AE AB =，求证：2AE AD AC =⋅．28．已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE=∠ABC ＝∠ACB ＝α，(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形；(2)如图2所示，当α=45°时，求证：CD DE =2； (3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系：CE DE ＝_____.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：1PAPA，进而求出即可．【详解】∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA=3PA1，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：13=2PAPA．故选B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比=相似比得出是解题关键．2．B【解析】【分析】根据图示知该三角形是腰长为3的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】如图：A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；B．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确；C．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．3．D【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也有可能是较短线段，则BC或BC，将AB＝6cm代入计算即可.【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，∴BC＝3或BC＝9－故选D.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，其中较长的线段为全线段与较短线.4．D【解析】【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,根据中位线性质可得12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 继而可得12DE DF EF AB AC BC ===，可判定△DEF ∽△ABC. 【详解】因为点D,E,F 分别为OA,OB,OC 的中点,所以DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE ∽△AOD, △DOF ∽△AOC, △EOF ∽△BOC,因为DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线, 所以12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 所以12DE DF EF AB AC BC ===，所以△DEF ∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 5．B【解析】【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】如图：∵BC=4， AC=2，∴AB=2+4=6，∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴AC ：AB=CD ：BE ，∴2：6=1.5：BE ，∴BE=4.5m ，∴树的高度为4.5m ，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．6．D【解析】分析：由勾股定理求得BD，证得△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得结果．详解：∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=4，BC=5，由勾股定理得：2222=54BC CD--=3，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B=90°-∠BCD=∠ACD，∠BDC=∠ADC，∴△BDC∽△CDA，∴BC BD AC CD＝，即534 AC＝，解得：AC=20 3故选D．点睛：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AB=CD，再根据AE：EB=1：3可得BE：CD=3：4，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得FE：EC的值.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴△BEF ∽△DCF ，∴EF ：FC=BE ：CD ，∵AE ：EB=1：3，AE+BE=AB ，∴BE ：AB=3：4，∴EF ：FC=3：4，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8．D【解析】【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得： ::a d b c =代入数值即可求得．【详解】根据题意得：a :d =b :c ，∵a =3cm ，b =4cm ，c =6cm ，∴3:d =4:6， ∴9cm 2d =；故选:D.【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念.9．C【解析】试题解析：A.∵∠2=∠3，∠C=∠C ，∴△DEC ∽△ABC ，故A 正确；B ∵∠2=∠3，∴DE ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∵∠1=∠3，∴△ADE ∽△BEA ；故B 正确；C.∵∠1=∠2，∠BEA≠∠C ，∴△ACE 与△BEA 不相似；故C 错误；D.∵∠1=∠3，∠C=∠C ，∴△ACE ∽△BCA ；故D 正确.故选C ．10．A【解析】【分析】根据两组角对应相等，得到△AEB ∽△AFC ，根据相似三角形的性质得到,AE AB AF AC =进而证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到,EF AE BC AB =代入即可求解. 【详解】∵BE ，CF 为△ABC 的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A ，∴△AEB ∽△AFC ， ∴,AE AB AF AC= ∵∠A=∠A ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴,EF AE BC AB= ∵AB=6，BC=5，EF=3， ∴3,56AE = ∴18.5AE = 故选A ．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键.11．1:3【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可．【详解】∵△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC =AD AC =233+=13.故答案为1:3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质. 12．相似3：5【解析】【分析】DE BC可得同位角相等，即∠ADE=∠B，∠AED=∠C，两角对应相等得由//△ADE∽△ABC，再由对应边的比例得相似比.【详解】DE BC，∵//∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，则:相似比=AD:AB=3:5【点睛】本题结合平行，考查了两角对应相等则两三角形相似的判定方法以及相似比.1,413．()【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】如图所示：A1（1，4）．故答案为（1，4）．【点睛】此题主要考查了位似图形画法，得出对应点位置是解题关键．14．521【解析】【分析】当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，推出四边形BEFD 是平行四边形，由△ABC ∽△BED ，可得=BD BE BC AB，延长构建方程即可解决问题；【详解】如图1，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝5，∴BG ＝CG ＝2，由勾股定理得：AG ＝22(5)2 ＝1，由图形可知：∠BAC 是钝角，∴当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴∴DEF ＝∠BDE ＝∠B ，∴△ABC ∽△BED ，∴=BD BE BC AB，∴55=5t，∴t＝5 21，故答案为5 21．【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．【解析】【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，则CM=x，可计算出EM=-x+1，再利用旋转的性质得到ED=EF，∠DEF=90°，证明△EDM≌△FEN得到DM=FN=x，EM=NF=-x+1，接着利用勾股定理得到AF2=（-x+1）2+（2+x）2，配方得到AF2= （x-）2+，然后利用非负数的性质得到AF的最小值.【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，在Rt△CDM中，CM=DM=x，而EM+x=1，∴EM=-x+1，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，∴ED=EF，∠DEF=90°，可得△EDM≌△FEN，∴DM=FN=x，EM=NF=-x+1，在Rt△AFN中，AF2=（-x+1）2+（2+x）2=（x-）2+，当x=时，AF2有最小值，∴AF的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质.16．1085（AB AD BDBD BC DC==）【解析】【分析】由AB:AD=BD:BC且其夹角对应相等，即A CBD∠=∠，可证明△BAD∽△DBC，再利用比例关系求解CD.【详解】∵AB:AD=BD:BC=34，又∵A CBD∠=∠，∴△BAD∽△DBC，∴201824AD BDBC DC DC===，解得CD=1085.【点睛】本题通过证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解边.17．2∶15【解析】分析：已知a、b两数的比为1：3，根据比的基本性质，a、b两数的比1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；而b、c的比为：2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a、c两数的比为2：15．详解：a ：b=1：3=（1×2）：（3×2）=2：6； b ：c=2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a ：c=2：15；故答案为：2:15．点睛：本题主要考查比的基本性质的实际应用，如果已知甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比．18．．【解析】解：∵AB =6，AB =1：3，∴AD =6×13=2，BD =6﹣2=4．∵△ABC 和△FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A =∠B =∠FDE ．由三角形的外角性质得，∠AMD +∠A =∠EDF +∠BDN ，∴∠AMD =∠BDN ，∴△AMD ∽△BDN ，∴MA MD BD DN =，∴MA •DN =BD •MD =4MD ，∴MD +12MA DN ⋅=MD +3MD =22+-2+∴=，即MD 时，MD +12MA DN ⋅有最小值为19．1:5000【解析】【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比值即可求解．【详解】∵图上距离为120cm ，实际距离为6km=600000cm ，∴新区建设规划图所采用的比例尺=120：600000=1：5000．故答案为1：5000．【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 20．①③④【解析】解：在△ABC与△AEF中，∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，∴△AEF≌△ABC，∴AF=AC，∴∠AFC=∠C，故①正确．由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB，故③正确；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAD=∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD，∴∠BFD=∠CAF，故④正确．综上可知：①③④正确．点睛：本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21．(1)见解析；（2）P）；（3）存在；Q）．【解析】【分析】（1）在Rt△OAB中，由切线的性质知：OP⊥AB，易证得△OAP∽△BPO．（2）当P为AB中点时，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P点的横、纵坐标相等，已知OP的长，易求得点P的坐标．（3）此题应分两种情况：①OP为对角线，此时OQ∥AP，由于∠OP A=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此时OB为∠POQ的对角线，即P、Q关于y轴对称由此得解；②OP为边，此时OP∥AQ，由于∠OP A=90°，那么平行四边形OP AQ为矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．【详解】解：（1）证明：∵AB是过点P的切线，∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3；在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO．（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分线，∴点P到x、y轴的距离相等；又∵点P在第一象限，∴设点P（x，x）（x＞0），∵圆的半径为2，∴，解得x=（舍去），∴P）．（3）存在；①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），∵OP=2，解得∴Q）；②如图示OPAQ为平行四边形，同理可得Q）．【点睛】此题主要考查的是切线的性质以及平行四边形的判定,相似三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,难度较大.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=．【解析】【分析】(1)连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O 的切线；（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE 的长．【详解】（1）连接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE，∴点D在⊙O上；（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∴∠C=∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切线；（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，∵AC ∥OD ，△ACB ∽△ODB ，∴，∴OD=，解得：x=，∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=．【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．23．见解析【解析】【分析】（1）将点A 、点B 绕点O 顺时针旋转90°得到点A 1、B 1，连接A 1、B 1、O 三点即可；（2）根据位似的性质得出A 2、B 2的位置，连接A 2、B 2、O 三点即可；【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查图形的旋转以及图形的位似的作图方法.24．（1）详见解析；（2）()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′，B′，C′的位置，进而得出答案；（2）由（1）中所画图形可得．【详解】解：()1如图所示：'''A B C V 即为所求；()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4．【点睛】此题主要考查了相位似变换，利用位似比得出对应点的位置是解题关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）51+ 【解析】【分析】（1）由角的关系易证OD //AC ，已知DH AC ⊥，即证.DH OD ⊥（2）由OD //AC ，可证ODF AEF V V ∽，根据“相似三角形的对应边成比例”易得32FD OD EF AE ==, 设32OD x AE x =，＝证明E B C ∠=∠=∠，EDC △是等腰三角形，表示出.EH 即可证明.（3）通过等量关系表示出边的长度，由BFD EFA V V ∽，可得对应边的比例关系的方程，求解即可.【详解】解：(1)连接OD ，如图1，∵在⊙O 中，OB OD =，∴OBD ODB ，∠=∠∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴ODB ACB ∠=∠，∴OD //AC ，∵DH AC ⊥，∴90,AHD ∠=︒∴180?90,ODH AHD ∠=︒-∠=︒ ∴DH OD ⊥，∴DH 是圆O 的切线；(2)∵ ODF E OFD AFE ∠=∠∠=∠，，∴ODF AEF V V ∽，∴32FD OD EF AE ==，设32OD x AE x =，＝连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，即AD BD ⊥，∵AB AC =，∴D 是BC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， 26AC OD x ==，∴8,EC EA AC x =+=∵在⊙O 中，E B ∠=∠，∴E B C ∠=∠=∠，∴EDC △是等腰三角形，∵DH AC ⊥， ∴142EH EC x == ∵A 在EH 上且2AE x =,∴A 为EH 的中点.(3)如图2，设⊙O 的半径为r ，即OD OB r ==，∵EF EA =，∴EFA EAF ∠=∠，∵OD ∥EC ，∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠，∴DF OD r ==，∴1DE DF EF r =+=+，∴1?BD CD DE r ===+，在⊙O 中，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，∴BF BD =，BDF V 是等腰三角形，∴1BF BD r ==+，∴()2211?AF AB BF OB BF r r r ==-=-+=-﹣，∵,BFD EFA B E ∠=∠∠=∠， ∴BFD EFA V V ∽，,EF BF FA DF= 11,1r r r+∴=-解得：12r r == (不合题意，舍去)，综上所述，⊙O ．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.属于综合题，难度较大，对学生综合能力要求较高.26．（1）证明见解析（2）31【解析】分析：(1)、根据矩形的性质以及EF ⊥EC 得出∠AFE=∠BEC ，从而得出三角形相似；(2)、根据题意得出AE 和BE 的长度，然后根据三角形相似得出AF 的长度，然后根据Rt △ABF 的勾股定理得出答案．详解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠CBE=90°， ∴∠AEF+∠AFE=90°，又∵EF ⊥EC ， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∴∠AFE=∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ；（2）∵AB=3、AE=AB ， ∴AE=、BE=2， ∵△AEF ∽△BCE ， ∴=，即=，解得：AF=2，则BF===．点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及三角形相似的判定与性质，属于中等难度的题型．根据双垂直得出∠AFE=∠BEC 是解题的关键．27．证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD ＝∠C ，可证明△ABD ∽△ABC ，即可解题．【详解】∵BE 平分CBD ∠，∴DBE CBE ∠∠=，∵AE AB =，∴ABE AEB ∠∠=，∵ABE ABD DBE ∠∠∠=+，AEB C CBE ∠∠∠=+，∴ABD C ∠∠=，∵ABD C ∠∠=，A A ∠∠=，∴ABD ABC V V ∽，∴AB:AD AC:AB =，即：AB AB AD AC ⋅=⋅，∵AE AB =，∴AE AE AD AC⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．28．1【解析】试题分析：（1）证明△CFD≌△DAE即可解决问题．（2）如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出DCDE=CFAD，再证明CF=2AD即可．（3）证明EC=ED即可解决问题．试题解析：（1）证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA．∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°．∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=60°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE．∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°．∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，∴∠DFC=∠DAE=135°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴DCDE=CFAD．∵四边形ADFG是矩形，FC2FG，∴FG=AD，CF2AD，∴CDDE2（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO=∠ACB．∵∠CDE=∠ACB，∴∠CDO=∠OAE．∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴COEO=ODOA，∴COOD=EOOA．∵∠COE=∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO=∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°．∵∠CDE=∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ECD，∴EC=ED，∴CEDE=1．点睛：本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

2020中考数学一轮复习基础考点第四单元三角形第20课时相似三角形的实际应用

第3题图
解：如解图，延长MM′交DE于点P，
∵AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′， ∴四边形M′MNN′和四边形PMNE均为矩形， ∴MM′＝NN′＝6.2，PM＝EN＝12.3.(2分) ∵AB∥CD∥PM，∴△ACD∽△DPM， △ABD∽△MM′D，
∴CD＝ AD ， AB ＝AD ， PM DM MM′ MD
第3题解图
模型四镜面反射、投影
图形
题设
已知∠α、AB、AO、OC，已知AB在水中的倒影为BD，及
求CD的高
EF、EC、CB，求AB
构建等量直接得出△ABO∽△CDO，列直接得出△FEC∽△DBC，列比例
关系式
比例式求解
式求解
4. 小雁塔位于唐长安城安仁坊荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是西安的标志性建筑之一．在一次社会实践中，小梅和小鹏想通过测量小雁塔的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图，由于无法直接到塔的底部，小梅在D处利用测角仪测得塔顶A的仰角为25°，同时小鹏在C、B之间的地面上放置一平面镜(平面镜厚度不计)，当小鹏移动平面镜至E处时，小梅恰好通过平面镜看到了塔顶A.经测量，DC＝ 1.5米，CE＝3米．已知DC⊥CB，AB⊥CB，且C、E、B在同一条直线上，不考虑其它因素，请你根据题中提供的相关信息，计算小雁塔的高AB.(结果精确到0.1米， sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)．
第2题图
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN， ∴△CAD∽△MND，
∴ CA MN
＝NADD，(2
分)
∴ 1.6 MN
＝（5＋1×10）.8×0.8，
∴MN＝9.6.(3分)

2020年最新中考专项复习--相似三角形的应用

第四节相似三角形应用
(10年11考；每年至少单独考查1道，另外在17、23、24、25题涉及较多，3～11分)
5．相似三角形的应用利用相似三角形的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：(1)将实际问题转化为相似三角形问题；(2)找出一对相似三角形；(3)根据相似三角形的性质求解．相似三角形的实际应用有如下两种：(1)测量距离．利用相似三角形的性质测量不能直接测量的河的宽度；(2)测量高度．测量不能达到顶部的物体的高度，同一时
第9题解图
∴路灯杆在原高度的基础上至少再增加约3.1米才能符合拓宽后的设计要求．(8分)
10. (2015陕西副题20题7分)周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、 DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.测得GE＝5米，EN＝ 12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？(结果精确到 0.01米)
第7题图
解：如解图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5.(1分)
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD.
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.(2分)
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG.(4分)
∴

2020中考数学一轮复习基础考点第四单元三角形 6.第20课时相似三角形的实际应用

第四单元三角形第20课时相似三角形的实际应用点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处第1题图2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC，已知栏杆AB的长为3.5 m，OA的长为3 m，C点到AB的距离为0.3 m，支柱OE的高为0.6 m，则栏杆D端离地面的距离为()A. 1.2 mB. 1.8 mC. 2.4 mD. 3.2 m第2题图3.(北师九上P91问题解决改编)中国第一水街——周至沙河湿地公园，为国家AAAA级旅游景区，是在原沙河基础上改造的水景街景，也是国内首家立体水景、互动式滨河生态主题公园．如图，为了测量水街中间一段宽度相同的沙河的宽，先在沙河的一边河岸上选取一个测量点A，再在另一边河岸上选定测量点B和C，且使河宽AB与河岸BC垂直，然后选一个测量点E，使CE垂直于河岸BC，从点E望向点A，视线正好经过河岸BC上的点D处，若测得BD＝15 m，CD＝6 m，CE＝2.4 m，且图中各点在同一水平面上，请根据以上数据求出沙河的宽度．第3题图4.随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得OE＝1 m，OF＝3 m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．第4题图5.小明想用所学的知识去测量他家小区的路灯的高度，他带一个自制的直角三角板AOB与皮尺对路灯开始测量．如图，首先，小明手拿自制直角三角板移动位置并观察，使三角板的一直角边OA与路灯A′在一条直线上，另一直角边OB与路灯正下方地面上一点B′在一条直线上，并记录下此时他所在的位置C，再用皮尺测量出B′到C的距离为2 m，小明知道自己的身高OC为1.6 m(眼睛到头顶的距离可忽略不计)，请根据以上数据计算路灯的高度A′B′.第5题图6.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得旗杆的顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，已知小明的眼睛到地面的高度AB为1.5 m；然后，用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8 m时，点M也恰好在三角板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45 m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4 m，较短直角边为0.3 m，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1 m)第6题图7.(2019陕西定心卷)一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．如图，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥BC.经测量，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米，且点E到河岸BC的距离为50米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第7题图点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019毕节)如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D 在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为()第1题图A. 100 cm2B. 150 cm2C. 170 cm2D. 200 cm22.(2019西工大附中模拟)如图，小优和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵开满桃花的小桃树(桃树高度不计)，他们想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚的距离，即DE的长度．小优站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小优在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小优的眼睛距地面的距离AB＝1.8米，请你利用以上数据求出DE的长度．(结果保留根号)第2题图参考答案第20课时相似三角形的实际应用点对点·课时内考点巩固1. B【解析】设象棋盘方格的边长为1，则由“帅”、“兵”、“相”组成的三角形的三边长分别为2，25，42，由于“车”，“炮”之间的距离为1，②到“炮”的距离为5，②到“车”的距离为22，根据三边对应成比例两三角形相似，“马”应落在②处．2. C【解析】如解图，过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H, 则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH＝ODOC，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5 m，OD＝OA＝3 m，CH＝0.3 m，∴OC＝0.5 m，∴DG0.3＝30.5，∴DG＝1.8 m，∵OE＝0.6 m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8＋0.6＝2.4 m.第2题解图3.解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴AB∥CE.∴△ABD∽△ECD.∴ABEC＝BDCD，即AB2.4＝156.解得AB＝6m.答：沙河的宽度为6 m.4.解：∵DO⊥BF,∴∠DOE＝90°.∵OD＝1 m，OE＝1 m，∴∠DEB＝45°.∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°.∴AB＝BE.设AB＝EB＝x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO.∴△ABF∽△COF.∴ABBF＝COOF.即xx＋（3－1）＝1.5＋13，解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的解，且符合实际．答：环保宣传牌AB的高度是10 m.5.解：在Rt△COB′中，由勾股定理得，B′O2＝B′C2＋OC2＝22＋1.62＝6.56，∵A′B′⊥B′C，OC⊥B′C，∴A′B′∥OC.∴∠A′B′O＝∠B′OC.又∵∠A′OB′＝∠B′CO＝90°，∴△A′B′O∽△B′OC.∴A ′B ′B ′O ＝B ′OOC. ∴A ′B ′＝B ′O 2OC ＝6.561.6＝4.1(m)．答：路灯高度A ′B ′为4.1m.6. 解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ，则EF ＝AB －CD ＝1.5－1.45＝0.05 m ，设ME ＝x ，则MF ＝x ＋0.05，∵∠AEM ＝∠AGH ＝90°，∠MAE ＝∠HAG ， ∴△AGH ∽△AEM . ∴AG AE ＝HG ME ，∴0.4AE ＝0.3x. ∴AE ＝43x .∵BD ＝8， ∴CF ＝DN ＝8－43x .∵∠CQP ＝∠CFM ＝90°，∠PCQ ＝∠MCF ， ∴△CQP ∽△CFM ， ∴CQ CF ＝PQ MF. 即0.48－43x ＝0.3x ＋0.05，解得x ＝2.975，经检验，x ＝2.975是原分式方程的解，且符合实际． ∴MN ＝ME ＋EN ＝2.975＋1.5≈4.5 m. 答：旗杆MN 的高度约为4.5 m.第6题解图7. 解：∵BC ∥EF ，∴∠ABC ＝∠AEF ，∠ACB ＝∠AFE . ∴△ABC ∽△AEF . ∴AB AE ＝BC EF ，即AB AB ＋60＝120200，解得AB ＝90.如解图，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，易得△APB ∽△EQB ， ∴AP EQ ＝ABEB ，又∵EQ ＝50， ∴AP 50＝9060，解得AP ＝75.答：彩虹桥AP 的长度为75米．第7题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】设正方形CDEF 的边长为x ，∵AF ∶AC ＝1∶3，∴AF ＝12x ，∴AC ＝32x ，根据题意得EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AF ∶AC ＝EF ∶BC ，∴x ∶(x ＋BD )＝1∶3，解得BD ＝2x ，即BC ＝3x ，在Rt △ABC中，∵AB ＝30，∴(32x )2＋(3x )2＝302，解得x ＝4 5.∴AC ＝65，BC ＝125，∴这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为S △ABC －S 正方形CDEF ＝12AC ·BC －EF 2＝12×65×125－(45)2＝100 (cm 2)．2. 解：如解图，过点E 作EF ⊥CD ，垂足为F . ∵∠CDE ＝120°，∴∠EDF ＝60°. 设DE ＝x 米，则DF ＝x 2米，EF ＝3x2米，∴CF ＝11.5＋x 2＝23＋x2(米)．由题易知∠ECF ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠EFC ＝90°， ∴△ABC ∽△EFC . ∴AB BC ＝EF FC ，即1.82.7＝3x223＋x2. 解得x ＝63＋4，经检验，x ＝63＋4是原分式方程的解，且符合实际．答：DE 的长度为(63＋4)米．第2题解图。

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