高中数学人教A版选修1-1习题：第一章常用逻辑用语1.3
2021高中数学人教A版选修1-1章节练习试题(第一章常用逻辑用语)含答案解析
2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)已知命题p：∀x∈R，x 2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∀α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A. （￢p）∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∨qD. ￢（p∨q）2、(0分)已知命题p：存在x 0＞0，使2 x0＜1，则￢p是（）A. 对任意x＞0，都有2 x≥1B. 对任意x≤0，都有2 x＜1C. 存在x 0＞0，使2 x0≥1D. 存在x 0≤0，使2 x0＜13、(0分)已知命题“若p，则q”为假命题，则下列命题中一定为假命题的是（）A. 若q，则pB. 若￢p，则￢qC. 若￢q，则￢pD. 若￢p，则q4、(0分)若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（）A. p或q为假B. q假C. q真D. 不能判断q的真假5、(0分)命题p：2n−1是奇数，q：2n+1是偶数（n∈Z）则下列说法中正确的是（）A. p或q为真B. p且q为真C. 非p为真D. 非q为假6、(0分)下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x 2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x 2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是，其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47、(0分)下列说法正确的是（）A. 命题“若x2＝1，则x≠1”的否命题是“若x2＝1，则x＝1”B. 命题“”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”C. “y＝f（x）在x0处有极值”是“f'（x0）＝0”的充要条件D. 命题“若函数f（x）＝x2﹣ax+1有零点，则“a≥2或a≤﹣2”的逆否命题为真命题8、(0分)已知命题p：∃x0∈R，tanx0＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是( )A. 命题“p∧q”是真命题B. 命题“p∧(¬q)”是假命题C. 命题“(¬p)∨q”是真命题D. 命题“(¬p)∧(¬q)”是假命题9、(0分)以下三个命题中，正确的个数是（）①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②在△l⊥m中，“”是“”成立的充要条件；③若函数在上有零点，则一定有.A. B.C. D.10、(0分)若命题“p∧(¬ q)”为真命题，则( )A. p∨q为假命题B. q为假命题C. q为真命题D. (¬p)∧(¬q)为真命题11、(0分)命题，p：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ；命题￢q：∀x∈R，x 2+x+1≥0．则下列命题中真命题为（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧（﹣q）D. （￢p）∧q12、(0分)若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p ）∨qD. （￢p ）∧（￢q ）13、(0分)命题p ：∀x∈R，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R，2 x 0＜0，则下列命题为真命题的是（ ） A. p∨q B. p∧qC. （￢p ）∧qD. p∨（￢q ）14、(0分)已知命题p ：∃x∈R，x ﹣2＞lgx ，命题q ：∀x∈R，x 2＞0，则（ ） A. 命题p∨q 是假命题 B. 命题p∧q 是真命题 C. 命题p∨（￢q ）是假命题D. 命题p∧（￢q ）是真命题15、(0分)已知命题 p:∀x ∈R,sin (π−x )=sinx ；命题 q:若 α>β ， 则 sinα>sinβ ． 下列命题是真命题的是( )A. p ∧¬qB. ¬p ∧¬qC. ¬p ∧qD. p ∧q16、(0分)设a →,b →,c →均为非零向量，已知命题p:a →=b →是a →⋅c →=b →⋅c →的必要不充分条件，命题q:x >1是|x |>1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）A. p ∧qB. p ∨qC. (¬p )∧(¬q )D. p ∨(¬q )17、(0分)设命题p ：∃x 0∈R ，e x 0−x 0>x 02，则命题p 的否定为（ ）A. ∀x ∈R ，e x −x ≤x 2B. ∃x 0∈R ，e x 0−x 0<x 02C. ∃x 0∈R ，e x 0−x 0≤x 02D. ∀x ∈R ，e x −x >x 218、(0分)命题：“∀x >0,x 2+x ≥0”的否定形式是（ ） A. ∀x ≤0,x 2+x >0 B. ∀x >0,x 2+x ≤0C. ∃x 0>0,x 02+x 0<0 D. ∃x 0≤0,x 02+x 0>019、(0分)以下有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B. 命题“若x ≠2或y ≠3，则x +y ≠5”的否命题为真命题C. 若p∧q为假命题，则p,q均为假命题D. 对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R，均有x2+x+1≥020、(0分)设p、q是两个命题，若¬(p∨q)是真命题，那么（）A. p是真命题且q是假命题B. p是真命题且q是真命题C. p是假命题且q是真命题D. p是假命题且q是假命题21、(0分)若命题p:∃n∈N，3n<n3，则¬p为（）．A. ∀n∈N，3n≥n3B. ∀n∈N，3n<n3C. ∃n∈N，3n≥n3D. ∃n∈N，3n<n322、(0分)命题“若p，则q”的逆否命题是（）．A. 若q，则pB. 若¬p，则¬qC. 若¬q，则¬pD. 若p，则¬q成立”的否定是（）23、(0分)命题“存在x∈R，使得lnx≤12成立A. 对任意的x∈R，lnx>12成立B. 对任意的x∈R，lnx≤12成立C. 存在x∈R，lnx>12成立D. 不存在x∈R，使得lnx>1224、(0分)下列结论中正确的个数是（）①若a＞b，则am 2＞bm 2；②在线性回归分析中，相关系数r越大，变量间的相关性越强；③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；④已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面，若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l．A. 1B. 2C. 3D. 425、(0分)若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则( )A. “p∨q”为假B. p真C. p 假D. 不能判断q 的真假二、填空题(共10题；共0分)26、(0分)已知命题p ：x 2﹣3x ﹣4≠0，q ：x∈N *， 命题“p 且q”与“ ¬q”都是假命题，则x 的值为 _____________ ．27、(0分)给出下列4个命题：是全称命题的是 _____________① a →⊥b →⇔a →·b →=0 ；②矩形都不是梯形；③ ∃x,y ∈R,x +y ≤1 ；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题例1. 把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。
（1）若β=α，则β=αsin sin ；（2）若对角相等，则梯形为等腰梯形； （3）已知a 、b 、c 、d 都是实数，若b a =，d c =，则d b c a +=+。
分析：先明确原命题的条件p 与结论q ，把原命题写成“若p ，则q ”形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提。
解：（1）逆命题：若β=αsin sin ，则β=α；否命题：若β≠α，则β≠αsin sin ；逆否命题：若β≠αsin sin ，则β≠α。
（2）逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则对角线不相等。
（3）逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则b a =，d c =；否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则d b c a +≠+；逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若d b c a +≠+，则b a ≠或d c ≠。
例2. “已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a >，d b >，则d c b a +>+”，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。
分析：按照定义写出各命题，再分析。
解法1：逆命题；已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则a ，b 都分别大于c 、d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ，b 不都分别大于c ，d ，则d c b a +≤+； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则a ，b 不都分别大于c ，d 。
逆命题为假命题，例如3215+>+，但25>，31<，根据逆命题与否命题的等价性知否命题为假命题。
高中数学人教A版选修1-1习题：第一章常用逻辑用语1.1.2-1.1.3
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时过关·能力提升基础巩固1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数.2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab3.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确,原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,为等价关系.故只需写出原命题的否命题即可.4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.5.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的有()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真,而其否命题为“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则{x|ax2+bx+c<0}=⌀”,为假命题.6.下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;④“若x>2 017,则x>0”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.37.命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题是.x2≥1,则x≤-1或x≥18.命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有个.b≤-1时,Δ=4b2-4(b2+b)=-4b>0,所以原命题为真命题;由Δ≥0,得b≤0,故其逆命题为假命题.所以这4个命题中真命题有2个.9.给出以下命题:①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.其中真命题的序号是.否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.10.证明:若p3+q3=2,则p+q≤2.,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:若p+q>2,则p3+q3≠2.:若p+q>2,则p3+q3≠2.由p+q>2,得q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3.]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13所以p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这说明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.能力提升1.下列说法正确的是()A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真A中逆命题与逆否命题互为否命题,真假性没有关系;选项B中两者等价;选项C中逆否命题应是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”;选项D正确.2.互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用“↔”表示同真或同假,把它叫做“连连看”.下面让我们领略“连连看”的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的“连连看”中,正确的一组是()A.p↔r,s↔tB.p↔t,s↔rC.p↔s,r↔tD.p↔r,s↔rp的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有p↔s;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即r↔t.3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3.4.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.(填序号)的逆命题是:若四点中任意三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②的逆命题是真命题.5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0,且m≠1).若这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.1★6.给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“矩形的对角相等”的逆命题;③“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是.当k>0时,Δ=4+4k>0,故方程有实根;②对角相等的四边形不一定是矩形,故②是假命题;③“若x,y中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,所以原命题的否命题是真命题.7.判断下列命题的真假:(1)“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题;(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题;(4)“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题.(3)“梯形不是平行四边形”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.(4)“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,是假命题.★8.已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,若至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.:(1)三个方程都无实根;(2)只有一个方程有实根}至少有一个方程有实根.(3)只有两个方程有实根(4)三个方程都有实根若按分类讨论,则需分三种情况,且(2)(3)又分多种情况,显然运算量太大,若注意到(2)(3)(4)可合并为至少有一个方程有实根,利用“补集”的思想,问题即可等价转化.,则有{Δ1=(4a )2+4(4a -3)<0,Δ2=(a -1)2-4a 2<0,Δ3=(2a )2+8a <0,即{ -32<a <12,a >13或a <-1,-2<a <0.解得−32<a <−1. 故若三个方程中至少有一个方程有实根,则a 的取值范围是a ≥-1或a ≤−32.。
【2020】最新高中数学第一章常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词1-3-1且(and)1-3-2或(or)1-3-3非(not)学
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
1.3.3 非(not)
学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
[解](1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题， p为假命题．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则 所以m≥3.
若p假q真，则 所以1<m≤2.
所以m的取值范围为1<m≤2或m≥3.
母题探究：1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解]由例题知，当p为真时，m>2，当q为真时1<m<3，则当p∨q为真命题时，m>1，
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习及答案
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
真 真 真 假
非（not）
非（not） 一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ¬p 读作“非 p ”或“ p 的否 定”．若 p 是真命题，则 ¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则 ¬p 必是真命题．
p
真 假
¬p
假 真
复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题． 例题： 将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断它们的真假． （1）p : √2 是无理数，q : 3 不是无理数； （2）p : 方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，q : 方程 x2 + 2x + 1 = 0 两根的绝对 值相等； （3）p : 3 是 19 的约数，q : 3 是 27 的约数． 解：（1） p ∧ q ：√2 是无理数且 3 不是无理数；p ∨ q ：√2 是无理数或 3 不是无理数． 由于 p 是真命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是真命题， p ∨ q 是真命题． （2） p ∧ q ：方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根且两根的绝对值相等；p ∨ q ：方程 x2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根或两根的绝对值相等． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． （3）p ∧ q ：3 是 19 的约数且 3 是 27 的约数；p ∨ q ：3 是 19 的约数或 3 是 27 的约 数． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． 写出下列命题的否定，并判断真假． （1）p ：y = cos x 是奇函数； （2）p ： （3）p ：四个角都相等的四边形是正方形； （4）p ：一元二次方程至多有两个解． 解：（1）¬p : y = cos x 不是奇函数．是真命题． （2）¬p : （3）¬p : 四个角都相等的四边形不都是正方形．是真命题． （4）¬p : 一元二次方程至少有三个解．是假命题．
高中数学人教A版选修1-1练习：第1章 常用逻辑用语
第一章 1.1 1.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句中，是命题的是( A ) A ．π是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“绩效工资”D ．今天的天气真好呀！[解析] 由命题的定义可知，选项A 正确． 2．下列命题为真命题的是( A ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 中，若x 2＝1，则x ＝±1；C 中，若x ＝y <0，则x 与y 无意义；D 中，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2，故选A ．3．下列语句中，不能成为命题的是( B ) A ．5>12 B ．x >0C ．已知a 、b 是平面向量，若a ⊥b ，则a ·b ＝0D ．三角形的三条中线交于一点[解析] A 是假命题；C 、D 是真命题，B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题．4．下列命题正确的是( D ) A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面 C ．四边形确定一个平面D ．不共面的四点可以确定四个平面[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．5．下列四个命题中，真命题是( D ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C ．1a <1b⇒a >bD ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d[解析]∵c<d，∴－c>－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(B)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析]c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.[解析]①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．三、解答题9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.(1)指数函数是增函数吗？(2)x>2；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析](1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能判断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题． (4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B 级 素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( A )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思[解析] A 为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B 为疑问句，C 为祈使句，D 为感叹句，所以均不是命题．2．下列命题中的真命题是( A ) A ．二次函数的图象是一条抛物线B ．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形C ．已知m 、n ∈R ，若m 2＋n 2≠0，则mn ≠0D ．平行于同一直线的两个平面平行[解析] A 是真命题；B 中四边形可以是菱形，故B 是假命题；C 中当m ＝0，n ＝1时，m 2＋n 2≠0，而mn ＝0，故C 是假命题；D 中两平面可以相交，故D 是假命题．3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a >b ，c ≠0，则ac >bc ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( A ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中，当x ＝1，y ＝0时，xy ＝0，|x |＋|y |＝1，故①错误；②中，若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则ac ＝－2，bc ＝－1，ac <bc ，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．4．下列命题中的假命题是( B ) A ．若log 2x <2，则0<x <4B ．若a 与b 共线，则a 与b 的夹角为0°C ．已知非零数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．点(π，0)是函数y ＝sin x 图象上一点[解析] B 中当a 与b 共线，但方向相反时，a 与b 的夹角为180°，所以B 是假命题． 5．(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为( C ) ①函数y ＝x 2－3x ＋1的图象关于x ＝32对称；②若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y x ＋2的最大值为33；③若△ABC 为锐角三角形，则sin A >cos B ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个[解析] ①由y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54知①正确，②y x ＋2表示平面直角坐标系中(x ，y )与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C ．二、填空题6．设a 、b 、c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面． 其中真命题的个数是__0__.[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行， ∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.7．下列语句中是命题的有__①③④⑤__，其中是真命题的有__①④__(填序号). ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？” ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？” ③“一个数不是正数就是负数”；④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”； ⑤“若x ＋y 为有理数，则x 、y 都是有理数”； ⑥作一个三角形．[解析] ①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题． ②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③是假命题，数0既不是正数也不是负数．④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边． ⑤是假命题，如x ＝3，y ＝－ 3. ⑥祈使句，不是命题．8．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是__钝角__三角形. [解析] ∵AB →·BC →>0，∴BA →·BC →<0，∴∠B 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．C 级 能力提高1．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0； (4)当x 2－2x －3＝0时，x ＝3或x ＝－1； (5)正三角形的重心、内心、外心、垂心重合． [解析] (1)若ac >bc ，则a >b .假命题．(2)若m >14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根．真命题．(3)若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0.真命题． (4)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.真命题．(5)若一个三角形为正三角形，则这个三角形的重心、内心、外心、垂心重合．真命题． 2．将命题“已知a 、b 为正数，当a >b 时，有a 2>b 2”写成“若p ，则q ”的形式，并指出条件和结论.[解析] 根据题意，“若p ，则q ”的形式为： 已知a 、b 为正数，若a >b ，则a 2>b 2. 其中条件p ：a >b ，结论q ：a 2>b 2.第一章 1.1 1.1.2 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．设a 、b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( D ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题． 2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1，或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1[解析] －1<x <1的否定为x ≤－1或x ≥1， x 2<1的否定为x 2≥1，故逆否命题为“若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1”，故选D ． 3．命题“若c <0，则方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解”，则( C ) A ．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真 B ．该命题的逆命题为真，逆否命题也假 C ．该命题的逆命题为假，逆否命题为真 D ．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假[解析] 如：当c ＝0时，方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解，该命题的逆命题“若方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解，则c <0”是假命题；若c <0，则Δ＝1－4c >0，命题“若c <0，则方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中( B ) A ．真命题个数一定是奇数 B ．真命题个数一定是偶数C ．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D ．以上判断都不对[解析] 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B ．5．对于实数a 、b 、c ，下列命题中是真命题的是( B ) A ．若a >b ，则ac >bc B ．若ac 2>bc 2，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，则1a <1b[解析] ∵ac 2>bc 2，∴c 2>0，∴a >b . 6．有下列四个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的否命题； (2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．二、填空题7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y ＝5__；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__(填“真”或“假”)命题.[解析]指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[解析](1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.B级素养提升一、选择题1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是(B)A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的(C) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．解法二：如图可知，s与t互否．3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(D)A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0[解析]命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．4．(2016·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(C)A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[解析]原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．5．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”．若f (x )＝3x 2，假命题．则否命题也为假命题．二、填空题6．(2016·山东枣庄高二检测)有下列三个命题： ①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题； ③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题． 其中所有真命题的序号为__②__.[解析] 命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”，是真命题；命题③是假命题．7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围为__[1,2]__.[解析] 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__[3,8)__.[解析] 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．C 级 能力提高1．(2016·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a 、b 是实数，若a ＋b 是无理数，则a 、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.[解析] 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数． 由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数． 如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．2．(2016·山西太原高二检测)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．[解析] (1)这个命题的逆命题是在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．否命题是：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1不成等差数列．逆否命题是：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1不成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q ＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下： 易知a m ＝a m ＋2＝a m ＋1＝a 1≠0，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ＋2－S m ＝2a 1，S m ＋1－S m ＋2＝－a 1，显然S m ＋2－S m ≠S m ＋1－S m ＋2.当q ≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下： 因为a m ＝a 1q m －1，a m ＋2＝a 1q m ＋1，a m ＋1＝a 1q m ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则a 1q m －1＋a 1q m ＝2a 1q m ＋1， 即1＋q ＝2q 2，也就是1－q 2＝q 2－q ，又S m ＋2－S m ＝a 1(1－q m ＋2)1－q －a 1(1－q m )1－q ＝a 1(1－q 2)q m 1－q ，S m ＋1－S m ＋2＝a 1(1－q m ＋1)1－q －a 1(1－q m ＋2)1－q＝a 1(q 2－q )q m 1－q ＝a 1(1－q 2)q m1－q ，即S m ＋2－S m ＝S m ＋1－S m ＋2.第一章 1.2 1.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( A ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3D ．x <3[解析] 首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( A )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( B )①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题个数为1，故选B ．4．(2016·广西南宁高二检测)“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x (2x －1)＝0，得x ＝0或x ＝12，故x (2x －1) ⇒/x ＝0一定成立，而x ＝0⇒x (2x－1)＝0成立，∴“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．5．“a ＝－2”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋y －2＝0与直线l 2：ax ＋(2a ＋2)y ＋1＝0互直垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由l 1⊥l 2，得a (a ＋1)＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝－2，故选A ．6．(2016·天津文)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( C ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．二、填空题7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)[解析]x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/x＝3，故p是q的充分不必要条件．8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要__条件.[解析]a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．B级素养提升一、选择题1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由面面平行的判定定理可知，由m∥β⇒/α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m ∥β，必要性成立．2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p 是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]x＋y＝－2⇒/x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的(C) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3⇒命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3⇒x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5⇒命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(B)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．故选A．二、填空题6．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为__②③④__.[解析]由于x2<1，即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②、③、④满足题意．7．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．由一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴时，即x ＝0，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0，∵b <5，∴k >4.故填“充要”．8．命题p ：sin α＝sin β，命题q ：α＝β，则p 是q 的__必要不充分__条件. [解析] sin α＝sin β⇒/α＝β，α＝β⇒sin α＝sin β，故填必要不充分．C 级 能力提高1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答) (1)向量a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2)，p ：x 1x 2＝y 1y 2，q ：a ∥b ；(2)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝－y ；(3)p ：直线l 与平面α内两条平行直线垂直，q ：直线l 与平面α垂直；(4)f (x )、g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，p ：f (x )、g (x )均为偶函数，q ：h (x )为偶函数．[解析] (1)由向量平行公式可知：p ⇒q ，但当b ＝0时，a ∥b 不能推出x 1x 2＝y 1y 2，即q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．(2)∵|x |＝|y |⇒x ＝±y ，∴p 不能推出q ，但q ⇒p ， ∴p 是q 的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p 不能推出q ，但由线面垂直的定义可知：q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．(4)若f (x )、g (x )均为偶函数，则h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，∴p ⇒q ，但q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．2．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2. [解析] (1)充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根， 设x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2， 由韦达定理知：x 1x 2＝1>0，∴x 1、x 2同号， 又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1、x 2同为负根．(2)必要性：∵x 2＋mx ＋1＝0的两个实根x 1，x 2均为负，且x 1·x 2＝1， 需Δ＝m 2－4≥0且x 1＋x 2＝－m <0，即m ≥2. 综上可知，命题成立．第一章 1.2 1.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p ：1<x <2；q ：2x >1，则p 是q 成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵1<x <2⇒2x >1， 而 2x >1⇒/1<x <2，故选A ．2．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )A ．m >1，n <－1B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0 [解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧－m n>01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( B )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] log 12(x ＋2)<0＝log 121，∴x ＋2>1即x >－1，而x >1⇒x >－1，反之不然．故选B ．4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 若a ＝2，则ax ＋2y ＝0即为x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，反之若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，则－a2＝－1，a ＝2，故选C ．5．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b)⊥a”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－m b)⊥a⇔(a－m b)·a＝0⇔|a|2－m a·b＝0⇔m＝1，故选C．6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(A)A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0⇒/a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．二、填空题7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要__条件.[解析]因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q⇒p，即q是p的充分不必要条件．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的__充分不必要__条件.[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列却不一定就是a n＝2n＋1.三、解答题9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．[解析](1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似⇒/两个三角形全等，而两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根，而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/m <－2， 所以p 是q 的充分不必要条件． (4)因为矩形的对角线相等，所以p ⇒q .而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件．B 级 素养提升一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁， ∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B ．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin (2x ＋φ)过坐标原点”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y ＝sin (2x ＋π)＝－sin 2x ，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A ．4．设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A ．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1D ．a ≤0或a >1[解析] 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C ．故选A ．二、填空题6．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的__充分不必要__条件. [解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．7．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的__充要__条件. [解析] 利用集合的图示法，如下图，A B ⇒∁S B∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .∴p 是q 的充分条件，也是必要条件， 即p 是q 的充要条件．8．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≤－8__.[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ，∴－m2≥4，∴m ≤－8.C 级 能力提高1．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. [解析] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两不等实根，设为x 1、x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x 1、x 2， 则由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 2．(2016·浙江杭州高二检测)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x 、y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数r 的取值范围.[解析] 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x 、y ∈R ，r >0}．如图，集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心、r 为半径的圆的外部．设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ， 则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴0<r <125，∴实数r 的取值范围是(0，125)． 第一章 1.3 1.3.1 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题．那么( D ) A ．命题p 和命题q 都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p为真命题，q为假命题D．命题q和命题p的真假不同[解析]“p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．2．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是(B)A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．3．(2016·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是(B)A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．9≤7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[解析]3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B．5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则(A)A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p、q均为假[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，故选A．6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是(B) A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．二、填空题。
人教A版高中数学选修一高中选修1-1《第一章常用逻辑用语》测试题.docx
A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题2．对于任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件；其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数，则下列新命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨qC．⌝p∧q D．⌝p∨q4．下列四个命题中的真命题是()A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝35．存在性命题“存在实数使x 2＋1<0”可写成( )A ．若x ∈R ，则x 2＋1<0B ．∀x ∈R ，x 2＋1<0C ．∃x ∈R ，x 2＋1<0D ．以上都不正确6．已知命题“如果p ，那么q ”为真，则( )A ．q ⇒pB ．⌝p ⇒⌝qC ．⌝q ⇒⌝pD ．⌝q ⇒p7．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③⌝p ；④⌝q .其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．(2010·广东理，5)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件9．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x >0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，使x 2＋1≠010．在ΔABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件11．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α12．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件()A．a∈(－∞，1]B．a∈[2，＋∞)C．a∈[1,2]D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是______．14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________________________．15．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件是________________．16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出所给命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．若x2＋x≤0，则|2x＋1|<1.18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.19．(本小题满分12分)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q 的必要条件，求实数a的取值范围．20．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分．21．(本小题满分12分)已知a >0设命题p ：函数y ＝(1a)x 为增函数． 命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的范围．22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0，a ∈R ，求：(1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件．参考答案：一、 ABDCC CCADC DD二、 13、若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B14、 若ac ≤0，则方程a 2－bx ＋c ＝0的两根不全大于0.15、 c ＝0 16 、 [1,2)三、17、[解析] 逆命题：若|2x ＋1|<1，则x 2＋x ≤0为真．否命题：若x 2＋x >0，则|2x ＋1|≥1为真．逆否命题：若|2x ＋1|≥1，则x 2＋x >0，为假．18、[解析] (1)p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m <0，则m <－14， 所以当m ＝－1时，綈p 为真．(2) ⌝q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0.(真)因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0 所以⌝q 为真．19、[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1 ∴－1≤a ≤5.20、[解析] (1)p 或q ：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆．p 且q ：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．非p ：正多边形没有内切圆．∵p 真q 真，∴p 或q ，p 且q 为真，⌝p 为假．(2)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分非p ：存在一个平行四边形的对角线不相等因为p 是假命题，q 是真命题，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为真命题．21、[解析] 由y ＝(1a )x 为增函数得，0<a <1因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数． ∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2. 当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a 恒成立得，2>1a ，解得a >12如果p 真且q 假，则0<a ≤12. 如果p 假且q 真，则a ≥1所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)22、[解析] (1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0Δ≥0 即：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1a ≤2或a ≥10 即：a ≥10或a ≤2且a ≠1设此时方程两根为x 1，x 2∴有两正根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10x 1＋x 2>0x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10a ＋2a －1>04a －1>0⇒1<a ≤2或a ≥10即为所求．(2)从(1)知1<a ≤2或a ≥10方程有两个正根当a ＝1时，方程化为3x －4＝0有一个正根x ＝43方程有一正、一负根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≠0Δ≥0x 1x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥104a －1<0⇔a <1 综上：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.。
人教a版数学【选修1-1】作业：第一章《常用逻辑用语》章末总结(含答案)
第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
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1.3简单的逻辑联结词
课时过关·能力提升
基础巩固
1.命题“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是()
A.“p∨q”形式的命题
B.“p∧q”形式的命题
C.“p”形式的命题
D.以上都不对
答案:B
2.若命题p∧q为假,且p为假,则()
A.p∨q为假
B.q为假
C.q为真
D.不能判断
解析:∵p为假,∴p为真.
又p∧q为假,∴q为假.故选B.
答案:B
命题
3.已知命题p:“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”，
q:的充要条件为则下列命题中的假命题是
A.p∨q
B.p∧q
C.(p)∨(q)
D.p∧(q)
答案:B
4.有下列说法:
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件;
②“p∧q为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件;
③“p∨q为真”是“p为假”的必要不充分条件;
④“p为真”是“p∧q为假”的必要不充分条件.
其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①中,由p∧q为真,得p真q真.
由p∨q为真,不一定有p真q真,故①正确;
②中,由p∧q为假,有可能p假q假,不能得p∨q为真,故②错;
③由p为假,得p为真,故p∨q为真.
但由p∨q为真,不一定有p为真.故③正确;
④p为真,则p为假,则p∧q为假,
但由p∧q为假,有可能p为真,即p为假,故④错.
答案:B
5.设α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,且m?α,n?β,有两个命题,p:若m∥n,则α∥β;q:若m⊥β,则α⊥β.那么()
A.“p或q”是假命题
B.“p且q”是真命题
C.“非p或q”是假命题
D.“非p且q”是真命题
答案:D
6.p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在曲线y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点P(x,y)是()
A.(0,-3)
B.(1,2)
C.(1,-1)
D.(-1,1)。