第五章 相交线平行线复习

O'
β
所以∠3=60°
即θ =60°
6、两直线平行，同位角的平分线互相平行。
如图，已知AB∥CD，MN交分别AB、 M CD于E、F，EG、FH分别平分∠MEG A 和 ∠EFD，求证：EG ∥ FH
1
G 2
E
B H
D
C
F N
7、两直线平行，内错角的平分线互相平行。
如图，已知AB∥CD，MN交分别AB、 M CD于E、F，EG、FH分别平分∠AEN A 和 ∠EFD，求证：EG ∥ FH
知识回顾:六
平行线的判定：
1、根据定义。（不常用） 2、同位角相等，两直线平行。 3、内错角相等，两直线平行。
4、同旁内角互补，两直线平行。
5、平行于同一条直线的两条直线平行。 （平行线的传递性） 6、垂直于同一条直线的两条直线平行。
知识回顾：五
平行线的性质：
1、两直线平行，同位角相等、内错角相等、同 旁内互补。 2、平行于同一条直线的两条直线平行。 3、垂直于同一条直线的两条直线平行。 4、两直线平行，同位角的平分线互相平行。 5、两直线平行，内错角的平分线互相平行。
D
A
解:设∠AOC=2x°,则∠AOD=3x° 因为∠AOC+∠AOD=180° 所以2x°+3x°=180°
O
解得x=36° B 所以∠AOC=2x=72° ∠BOD=∠AOC=72° 答: ∠BOD的度数是72°
C
在解决与角的计算有关的问题时，经常用到 代数方法。
知识回顾：二
垂 线
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一 个角是90°时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线 叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。 2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直。(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 垂线段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度，叫做点到直线的距离。
C
A
3 E 1 7 5 4 2 8 6
截线
D B
被截线
F
E A
三线八角
C
34 2 1 6 5 7 8
截线
B D
被截线
F
同位角是：∠1和∠8； ∠2和∠7； ∠3和∠6； ∠4和∠5. 内错角是：∠1和∠6； ∠2和∠5. 同旁内角是： ∠1和∠5；∠2和∠6.
练 一 练 如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
例1. 判断下列语句，是不是命题，如果是命 题，是真命题，还是假命题?
(1)画线段AB=2cm (2)直角都相等;
(3)两条直线相交，有几个交点?
(4)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。
(5)相等的角都是直角;
分析: 因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以 (1)、(3)不是命题。 解. (1)、(3)不是命题; (2)、(4)、(5)是命题; (2)、(4)都是 真命，(5)是假命题。
A′ C′
A
B′ C
B
举例
例1 判断题 (1) 两条直线相交，以交点为公共顶点的两角是对顶角。 (2) 一个角与它的邻补角是有特殊关系的两个互补的角。 (3) 有公共顶点且相等的两个角是对顶角。 (4) 两条相交直线构成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角。 (5) 对顶角的补角也相等。 (6) 一条直线的垂线只有一条。 (7) 过直线外一点P与直线a上一点Q，可画一条直线与直线a垂直。 (× ) (√ ) (× ) (√ ) (√ ) (× ) (× )
解: 选C
填空题
例2. 如图所示,△ABC平移到△A′B′C′的位置,则点A的 A′ 点B的对应点是____ B′ C′。 对应点是____, ，点C的对应点是____
A'B ' 线段AB的对应线段是___________ ，线段BC的对应线段是
B ' C ' ，线段AC的对应线段是_______ A ' C ' 。∠BAC的对应 ______
A ' B ' C ' ，∠ACB的 B ' A ' C ' ，∠ABC的对应角是_________ 角是________
沿着射线AA′ A ' C ' B ' 。△ABC的平移方向是_____________ 对应角是_________ (或BB′，或CC′)的方向 线段AA′的长 ___________________________ ，平移距离是_____________ (________________________________ 或线段BB′的长或线段CC′的长 。
2. 命题的组成: 每个命题是由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。或 “若……， 则……”等形式。
3. 真命题和假命题: 命题是一个判断,这个判断可能是正确的, 也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。
真命题就是: 如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 假命题就是: 如果题设成立时,不能保证结论总是成立的命题。
4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段 或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。
5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距 离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。
知识回顾：三
三线八角
1、同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁， (2)在被截两直线的同方向。
2、内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁， (2)在被截两直线之间。 3、同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁， (2)在被截两直线之间。
相 交 线
两条 直线 相交
邻补角
一般情况
邻补角互补 对顶角相等 存在性和唯一性
垂线段最短
点到直 线的距 离
对顶角 垂直
特殊
两条直线被 第三条所截
同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质 两条平行线的距离 命题
平行公理及其推论 平 行 线
平移
平移的特征
知识回顾：一
1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角.如图(1) 1与2是邻补角。 2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 2 1 如图(2). 1与2, 3与4是对顶角。 (2)一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，这两个角是对顶角。
例2. 如图给出下列论断: (1)AB//CD (2)AD//BC (3)∠A=∠C以上，其中两个作为题设，另一个作为 结论，用 “如果……，那么……”的形式，写出一 个你认为正确的命题。
A C
D
分析: 不妨选择(1)与(2)作条件，由 平行性质 “两直线平行，同旁内角 互补”可得∠A=∠C，故满足要求。 由(1)与(3)也能得出(2)成立，由(2) 与(3)也能得出(1)成立。
例3. 如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试证明 A D AB∥CD。
1
证明： ∵由AC∥DE （已知）
∴ ∠ACD= ∠2 ∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠1=∠ACD (等量代换) ∴AB ∥ CD (内错角相等，两直线平行)
B C
2 E
(两直线平行，内错角相等)
例4.已知 EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC， 求证：∠AGD=∠ACB。 证明：
G C
E
1
2
B H
D
F N
8、两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直。
如图，已知AB∥CD，MN交分别AB、 M CD于E、F，EG、FG分别平分∠BEF A 和 ∠EFD，求证：EG ⊥FG
C
B
1
E
2 G D
F N
1. 命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。
命 题
命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出 肯定或者否定的判断。两者缺一不可。
∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知） ∴ AD∥BC (垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB＝ ∠DCB D （两直线平行，同位角相等）
A
∵ ∠EFB=∠GDC （已知） ∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换） ∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行） ∴ ∠AGD=∠ACB （两直线平行，同位角相等）
(1)
3. 邻补角的性质: （1）邻补角相等； （2）邻补角的平分线互相垂直。
3
1 4 (2)
2
4. 对顶角性质:（1）对顶角相等 （2）对顶角的平分线在同一直线上。
5. n条直线相交于一点，就有
n(n-1) 对对顶角。
例1.直线AB与CD相交于O，∠AOC : ∠AOD = 2 : 3 求∠BOD的度数。
E B F
G C
例5. 两块平面镜的夹角应为多少度?
如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入 射到а上，经两次反射后的反射光线O'B平行于а，且 ∠1=∠2，∠3=∠4，则角θ=_____ 60 0 度 分析:由题意有OA//β,O'B∥a 且∠1=∠2，∠3=∠4， а B 由OA//β, ∠1=∠θ O 1 O‘B∥a,∠4=∠θ,∠2=∠5 A 2 所以∠3=∠4 =∠5=∠θ θ 354 因为∠3+∠4+∠5 =180°
对应点所连的线段平行且相等。
例1. 在以下生活现象中,不是平移现象的是 A.站在运动着的电梯上的人 B.左右推动的推拉窗扇
C.小李荡秋千运动
D.躺在火车上睡觉的旅客 分析: A、B、D属平移，在一个位置取两点连 成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发 现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运 动到另一位置时，可能已不平行