高二新课程数学2.2《等差数列》第2课时评估训练(新人教A版)必修五
《等差数列》学案2(新人教A版必修5)
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。
略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读：“知三求二”。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。
(新课程)高中数学2.3等差数列的前n项和第2课时评估训练 新人教A版必修5
第2课时 等差数列前n项和的应用双基达标 限时20分钟1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4等于( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析 S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S 7＝7a 4＝35，∴a 4＝5.答案 D2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于 ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析 S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 答案 A 3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )． A ．5 B ．－5 C ．－2.5 D ．2.5 解析 由题意知S 奇＋S 偶＝75，又S 偶＝25，∴S 奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S 偶－S 奇＝10d ，即25－50＝10d ，∴d ＝－2.5.答案 C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 解析 ∵{a n }是等差数列，由S 9＝72，得S 9＝9a 5，a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24.答案 245．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n a 1＋a n 2＝31n 2＝155，得n ＝10.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 7>0a 7<0.∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负．∴数列前6项和最大．综合提高 限时25分钟7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于 ( )． A.310 B.13 C.18 D.19 解析 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A. 答案 A 8．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( )． A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.9．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．解析 法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 答案 21010．在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析 在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0， ∵a 5＝3a 7，∴a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )，∴a 1＝－7d ，∴S n ＝n (－7d )＋n n －2d ＝d 2(n 2－15n )， ∴n ＝7或8时，S n 取得最大值．答案 7或811．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －2×12＝14n 2－94n . 12．(创新拓展)若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列{b n }是项数为7的对称数列，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，试写出{b n }的每一项；(2)已知{c n }是项数为2k －1(k ≥1)的对称数列，且c k ，c k ＋1，…，c 2k －1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{c n }的前2k －1项和为S 2k －1，则当k 为何值时，S 2k －1取到最大值？最大值为多少？解 (1)设{b n }的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11， 解得d ＝3，∴数列{b n }为2,5,8,11,8,5,2.(2)S 2k －1＝c 1＋c 2＋…＋c k －1＋c k ＋c k ＋1＋…＋c 2k －1 ＝2(c k ＋c k ＋1＋…＋c 2k －1)－c k＝2(－2k 2＋52k )－50＝－4(k 2－26k )－50＝－4(k －13)2＋4×132－50，∴当k ＝13时，S 2k －1取得最大值．S 2k －1的最大值为626.。
新人教A版必修5高中数学2.2等差数列(1)学案(二)
高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。
(新课程)高中数学《2.2等差数列》第2课时评估训练 新人教A版必修5
第2课时等差数列的性质及其应用双基达标限时20分钟1．已知{a n}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于．A．4 B．5 C．6 D．7解析由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C答案 C2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是．A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列解析∵a n＋1＋a n＋3－a n＋a n＋2＝a n＋1－a n＋a n＋3－a n＋2＝2d，∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．答案 C3．在等差数列{a n}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－错误!a8的值为．A．4 B．6 C．8 D．10解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－错误!a8＝错误!2a7－a8＝错误!a6＋a8－a8＝错误!a6＝8答案 C4．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________ 解析∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2∴a20＝a4＋16d＝33＋16×－2＝1答案 15．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．解析设a n＝－24＋n－1d，由错误!解得：错误!0即从第25项开始各项为正数．12．创新拓展已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2＋qn常数，q∈R．1当和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列2求证：对任意的实数和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．1解设数列{a n}是等差数列，则a n＋1－a n＝[n＋12＋qn＋1]－n2＋qn＝2n＋＋q，若2n＋＋q是一个与n无关的常数，则2＝0，即＝0∴当＝0时，数列{a n}是等差数列．2证明∵a n＋1－a n＝2n＋＋q，∴a n＋2－a n＋1＝2n＋1＋＋q，∴a n＋2－a n＋1－a n＋1－a n＝[2n＋1＋＋q]－2n＋＋q＝2常数．∴对任意的实数和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．。
人教A版高中数学必修五高二新课程等差数列第课时评估训练新(1)
2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式双基达标(限时20分钟) 1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )．A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 答案 A2．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )．A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项， ∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2， ∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3，故选B. 答案 B3．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 ∵A ，B ，C 为等差数列， ∴B ＝A ＋C 2，即A ＋C ＝2B .又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°， 即B ＝60°. 答案 B4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项a n ＝________.解析 由a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)可得数列{a n }是公差为2的等差数列，又a 1＝1，所以a n ＝2n －1. 答案 2n －15．若x ≠y ，两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 4－b 3＝________.解析 设两个数列的公差分别为d 1，d 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝4d 1，y －x ＝5d 2，∴d 1d 2＝54，∴a 2－a 1b 4－b 3＝d 1d 2＝54. 答案 546．已知等差数列{a n }中，a 10＝29，a 21＝62，试判断91是否为此数列中的项． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝29，a 21＝a 1＋20d ＝62， 解得a 1＝2，d ＝3， ∴a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1. 令a n ＝3n －1＝91，得n ＝923∉N *.∴91不是此数列中的项．综合提高 (限时25分钟)7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )．A.14B.12C.13D.23解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.答案 C8．设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b n 2－a n ·b n ，则{c n }是( )．A ．常数列B ．摆动数列C ．公差不为0的等差数列D ．递减数列解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])， ∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b n 2－a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. 答案 C9．已知数列{a n }满足a n ＋12＝a n 2＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析 由已知a n ＋12－a n 2＝4，∴{a n 2}是等差数列，且首项a 12＝1，公差d ＝4，∴a n 2＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案4n －310．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋2a n ＋2}是公差为________的等差数列． 解析 (a n ＋1＋2a n ＋3)－(a n ＋2a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋2d ＝3d . 答案 3d11．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．12．(创新拓展)对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n .对正整数k ，规定{Δk a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n )(k ≥2)．(1)试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列；(2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，为什么？ 解 (1)由题意，可以得到此数列的一阶差分数列为1,2,4,7,11. (2)Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2， ∴{Δa n }是首项为4，公差为2的等差数列． Δ2a n ＝2(n ＋1)＋2－(2n ＋2)＝2，∴{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列．。
精品高二数学必修5课时练：等差数列(二)
§2.2等差数列(二)课时目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．2．熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q .一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3C ．－33D ．－ 3 答案 D解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2答案 B解析 ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －p p －q＝－1， ∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0.二、填空题7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________.答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415， ∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 答案 1解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35.∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.9．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝______. 答案 125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ，即d ＝124. 所以1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512，所以a 10＝125. 10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则 |m －n |＝________.答案 12解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d . 则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74， ∴n ＝14×74＝716， m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716， ∴|m －n |＝12. 三、解答题11．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2) ＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.12．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式． 解 ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .能力提升13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )A ．18B ．9C ．12D ．15答案 D解析 设这7个数分别为a 1，a 2，…，a 7，公差为d ，则27＝3＋8d ，d ＝3.故a 4＝3＋4×3＝15.14．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4，∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m 3－1. ∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25，∴k ＝1,2,3，…，25∴两个数列共有25个公共项．。
高二新课程数学2.4《等比数列》第2课时评估训练(新人教A版)必修五
第2课时 等比数列的性质及应用双基达标(限时20分钟) 1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32解析 由等比数列的性质得a 2·a 6＝a 42＝42＝16. 答案 C2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2D.12解析 根据a n ＝a m ·q n －m ，得a 5＝a 2·q 3. ∴q 3＝14×12＝18.∴q ＝12.答案 D3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于 ( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 答案 B4．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 解析 根据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列． ∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×12030＝480.答案 4805．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 72， ∴a 72＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4. ∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.答案 86．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9的值． 解 法一 由等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 62， 由a 2·a 6·a 10＝1，得a 63＝1， ∴a 6＝1，∴a 3a 9＝a 62＝1. 法二 由等比数列通项公式，得a 2a 6a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 13·q 15＝(a 1q 5)3＝1， ∴a 1q 5＝1，∴a 3a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1.综合提高(限时25分钟)7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )．A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2解析 ∵a 1a 2a 3＝a 23＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 83＝10，∴a 8＝310. ∴a 52＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 53＝5012＝5 2.答案 A8．在等比数列{a n }中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为 ( )．A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29解析 ∵a 2＝a 3q ，a 4＝a 3q ，∴a 2＝12q ，a 4＝12q .∴12q＋12q ＝30.即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 2＝24，∴a 10＝a 2·q 8＝24×⎝⎛⎭⎫128＝3×2－5； 当q ＝2时，a 2＝6，∴a 10＝a 2q 8＝6×28＝3×29. 答案 D9．在等比数列{a n }中，若a n >0，a 1·a 100＝100，则lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋…＋lg a 100＝________. 解析 由等比数列性质知：a 1·a 100＝a 2·a 99＝…＝a 50·a 51＝100.∴lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋…＋lg a 100＝lg(a 1·a 2·a 3·…·a 100)＝lg(a 1·a 100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100. 答案 10010．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________．解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3， ∴b ＝3a ，c ＝a ·32＝9a .又由等差中项公式有：2(b ＋8)＝a ＋c ， ∴2(3a ＋8)＝a ＋9a .∴a ＝4. ∴b ＝12，c ＝36. 答案 4,12,3611．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a 1a 5＝a 32，a 3a 5＝a 42，a 3a 7＝a 52， ∴由条件，得a 32－2a 42＋a 52＝36， 同理得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n－2或a n ＝a 1q n －1＝26－n .12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．解 设这3个数分别为aq，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2.(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q ＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。
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第2课时 等差数列的性质及其应用
双基达标
(限时20分钟)
1．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于
( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 由a 2＋a 8＝2a 5＝12得：a 5＝6，故选C. 答案 C
2．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是
( )．
A ．新数列不是等差数列
B ．新数列是公差为d 的等差数列
C ．新数列是公差为2d 的等差数列
D ．新数列是公差为3d 的等差数列
解析 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， ∴数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列． 答案 C
3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－1
2a 8的值为
( )．
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，
∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝1
2a 6＝8.
答案 C
4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35. ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 答案 1
5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0
解得：83
<d ≤3.
答案 ⎝⎛⎦⎤83，3
6．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列． 解 显然a －4<a ＋2，
(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则 (a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)， ∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14. (2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则 (a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11. (3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则 (26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
综合提高 (限时25分钟)
7．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为
( )．
A. 3
B ．±3
C ．－
3
3
D ．－ 3
解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝
4π3
. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π
3
＝－ 3. 答案 D
8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为
( )．
A.3
4
B ．－3
4
C ．－67
D ．－1
解析 设插入的四个数为x ，y ，z ，r ，则新的数列为a 1，x ，a 2，y ，a 3，z ，a 4，r ，a 5，共九项，∴d ＝a 5－a 19－1＝2－88＝－3
4.
答案 B
9．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.
解析 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，
又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 答案 19
10．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1
4的等差数列，则|m －n |＝
________.
解析 由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，1
4＋3d .
则14＋⎝⎛⎭⎫14＋3d ＝2，∴d ＝1
2， ∴这4个根依次为14，34，54，7
4
，
∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，
∴|m －n |＝12.
答案 12
11．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
解 法一 由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－46，d ＝2.
∴a 14＝－46＋13×2＝－20. ∴a n ＝－46＋(n －1)·2＝2n －48. 令a n ≥0，即2n －48≥0⇒n ≥24. ∴从第25项开始，各项为正数．
法二 在等差数列{a n }中，根据a n ＝a m ＋(n －m )d ， ∴a 51＝a 11＋40d ， ∴d ＝1
40
(54＋26)＝2.
∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.
∴a n＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴a n＝2n－48.显然当n≥25时，a n>0.
即从第25项开始各项为正数．
12．(创新拓展)已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？
(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．
(1)解设数列{a n}是等差数列，
则a n＋1－a n＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，
则2p＝0，即p＝0.
∴当p＝0时，数列{a n}是等差数列．
(2)证明∵a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，
∴a n＋2－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．∴对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．。