高二数学 等差数列的定义及性质
高二数学等差数列及其性质
(Ⅰ) 求Sp+q的值 (Ⅱ) 当n 为何值时，S n有最大值？ 例4 等差数列{an}中，a3=12 , S12>0 ,S13<0 ①求公差d 的取值范围 ②求S1, S2 , S3 ，··· ，S n中哪个值最大,说明理由
五.课堂小结
（1）数列一种特殊的函数。数列的通项公式和前n 项和的 公式都可以看成是关于正整数n的函数。许多数列问题可以 用函数和方程的思想加以解决。 （2）用数形结合的思想研究函数，就是借助函数的图象 进行直观分析，从而更有效地解决函数问题。“数形结合 千般好，形数分离万事休”。（华罗庚）
六 布置作业
三.等差数列的几何性质
性质1 ：等差数列{an}各项对应的点（n, an ）都在同一条 直线上，该直线的斜率就是数列的公差。
an dn (a1 d )
an
an
an
………
o
n
o
n
o
n
d=0
d<0
d>0
性质2 ：等差数列{an} 的前n 都在同一抛物线，且当d >0
项和S
时，S n
n 对应的点（n ,Sn ）
高中数学
3.2.3等差数列及其性质(3)
杭州实验外国语学校
一.复习回顾
1 等差数列的概念
（1）定义 ： （2）通项公式： （3）前n 项和公式：
an1 an d (常数）
an a1 (n 1)d
Sn
n(a1 2
an )
高二数学第一讲等差数列
高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。
②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。
类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。
②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。
高二数学等差数列及其性质
4.在等差数列{an }中, (1)若a3 a4 a5 a6 a7 450, 则a2 a8 ___; (2)已知am n A, amn B, 则am ___; (3)已知a2 a3 a4 a5 34, a2 a5 52, 求公差d ; (4)若a1 a3 a5 12, a1a3a5 80, 求通项公式an .
1.若{an }为等差数列, 求 : (1)a p q, aq p, 且p q, 求a p q ; (2)a1 12, a6 27, 求an ; (3)已知a3 12, a6 27, 求a12 .
2.(1)若{an },{bn }成等差数列, 且a1 34, b1 66, a98 85, b98 15, 则a2004 b2004 ______ . (2)已知等差数列a1 , a2 , a3 , an的公差为d , 则ca1 , ca2 , ca3 , , can (c为常数)是( A公差为d的等差数列 C不是等差数列 ) B公差为cd的等差数列 D以上说法都不对
2n 1 2an an 2n 1 2bn bn
4、其他的题型：
1 1.在数列{an }中,已知a3 2, a7 1, 且{ }成等差数列, 1 an 则a11 _____; 4 1 2.已知数列{an }中, a1 4, an 4 (n 2)令bn , an 1 an 2 求证 :{bn }为等差数列; 并求{an }的通项公式.
(3)已知等差数列{an }的前3项分别为a 1, a 1, 2a 3, 则 此数列的通项公式是 _________ .
3.在等差数列{an }中, (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______; (2)若a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33, 则 a3 a6 a9 ______ (3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
高二选修一数学知识点归纳
高二选修一数学知识点归纳高二数学是学习的关键阶段，全面，系统地学习基础数学知识，为高考打下坚实的基础。
本文将对高二选修一数学知识点进行归纳，帮助同学们更好地掌握和记忆。
一、数列和数列的性质1. 等差数列：定义、通项公式和求和公式2. 等比数列：定义、通项公式和求和公式3. 递推数列：递推公式、通项公式和求和公式4. 数列的性质：首项、公差、项数、前n项和5. 数列的应用：在等差数列和等比数列中的应用问题二、三角函数及其应用1. 单位圆与三角函数2. 常用三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数及其性质3. 三角函数的基本关系4. 三角恒等式：同角三角比的关系、余角、和差化积等恒等式5. 三角方程的解法6. 三角函数在问题中的应用：三角函数的模型、角度的变化规律三、平面几何基础1. 平面几何中的基本概念：点、直线、线段、角度等2. 平面几何中的基本性质：角的性质、线段的性质、平行线与垂直线的性质3. 相似三角形的性质：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质、应用题4. 平面向量的基本概念：向量的定义、向量的运算法则5. 利用平面向量解决平面几何问题：向量的共线性、平行性、垂直性、角平分线等四、概率与统计1. 随机事件与概率：基本概念、事件之间的关系、事件的运算2. 条件概率与独立事件：条件概率的定义与计算、互斥事件与独立事件的判定3. 排列与组合：排列的概念、计算排列数的方法、组合的概念与计算4. 概率的应用：加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯定理等5. 统计学基础：数据的整理与处理、频数分布表与频率分布直方图、平均数、中位数、众数等统计指标五、解析几何1. 平面直角坐标系与向量：平面直角坐标系的建立、向量的坐标表示、向量的数量积与线性运算2. 直线的方程：点斜式、斜截式、一般式、两直线的位置关系及其判定3. 圆的方程与性质：标准方程、一般方程、与直线的位置关系4. 曲线的方程：椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质六、函数与导数1. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像与性质、函数的分类与比较2. 初等函数与复合函数：基本初等函数、复合函数的性质与求导法则3. 导数与导数的应用：导数的定义与计算、函数的单调性与极值、函数的图像与特征以上是高二选修一数学知识的归纳总结。
等差数列的概念(第二课时)-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成
一个新的等差数列bn. (1)求数列bn的通项公式. bn 2n
(2)b29是不是数列an的项?若是,它是an的第几项?
若不是, 说明理由.
另解: 数列an的各项依次是数列
解:（2）由(1)知,b29 2 29 58, bn的第1,5,9,13， 项,
4.2.1 等差数列的概念
第二课时
上节课知识要点回顾
1.等差数列定义： 1，3，5，7，9 … 公差是2
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 递推公式：an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N+） 2.等差中项： 注：（1）同一个常数，是由后项减前项；
请看课本P15：练习
4.已知在等差数列an中,a4 a8 20,a7 12.求a4.
a1 0, d 2, a4 6
5.在7和21中插入3个数, 使这5个数成等差数列.
a2 10.5, a3 14, a4 17.5
例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在
使用过程中老化, 其价值会逐年减少, 经验表明, 每经过一年其 价值就会减少d (d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为
4.等差数列的性质：
（1）在等差数列an中，
① 若p q s t, 则a p aq as at ② 若m n 2k, 则am an 2ak
③ an1 an1 2an ④ ank ank 2an
学以致用：
1.在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
（2）等差数列的单调性： 9，7，5，3，1… 公差是－2 当d>0时，该等差数列是递增数列； 当d<0时，该等差数列是递减数列； 当d=0时，等差数列是常数列。2，2，2，2… d=0
高二数学等差数列知识点及典例
高二数学等差数列知识点及典例在高二数学学习中，等差数列是一个重要的数学概念。
它在应用数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质及一些典型的例题。
一、等差数列的定义及性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都是一个常数，该常数被称为公差。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
其中，n代表数列的第n项。
等差数列有几个重要的性质：1. 公差d的值决定了数列的增长趋势。
如果d> 0，则数列的项逐渐增大；如果d <0，则数列的项逐渐减小。
2. 数列的第n项可以通过通项公式计算得出，也可以通过前一项加上公差得到。
即an = an₋₁ + d。
3. 对于等差数列中的任意三项，其中间一项的值等于前一项与后一项之和的一半。
即an₋₁ + an₊₁ = 2an。
4. 对于等差数列中的任意两项，它们的平均值等于数列的中间项。
即(an + am)/2 = ak。
其中k为中间项的位置，k = (m + n)/2。
以上性质在等差数列的推导与证明中经常被使用。
二、等差数列的典型例题1. 例题一：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前五项。
解：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n-1)d，代入已知条件，可以得到该数列的前五项为2，5，8，11，14。
2. 例题二：已知等差数列的首项为-1，公差为4，求该数列的第n项为25。
解：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n-1)d，代入已知条件，可以得到-1 + 4(n-1) = 25。
化简方程，解得n = 7。
通过以上两个例题，我们可以看到等差数列的运用和计算方法。
三、等差数列的应用等差数列在实际生活和应用数学中有广泛的应用。
1. 利用等差数列的性质，我们可以计算某个数列中的特定项。
例如，在实际工作中，我们经常需要计算各种指标的增长情况，往往可以利用等差数列的思想进行计算。
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等差数列的定义及性质
•等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。
•等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p；
（5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）仍为等差数列，公差为
•对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同
一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数
列；当d<0时，数列为递减数列；
④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三
个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．。