等差数列的性质及简单应用(33张)
等差数列的性质
等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
在数学中，等差数列具有许多重要的性质和特点。
本文将从等差数列的定义、通项公式、前n项和以及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解等差数列的性质。
一、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之间的差保持不变。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
二、通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差，可以求得任意一项的数值。
对于等差数列来说，通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。
三、前n项和等差数列的前n项和是指数列中前n个项的和。
使用等差数列的前n项和可以快速计算出数列的和。
对于等差数列来说，前n项和的公式可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sₙ表示前n项和。
四、等差数列的性质1. 共线性：等差数列的图像上的点都在一条直线上，这是等差数列的一个重要特点。
2. 等差性：数列中相邻两项之差保持不变，即每一项与它的前一项之差等于公差d。
这个性质使得等差数列的计算更加简便。
3. 对称性：等差数列以其中间的项为对称轴，对称轴两边的元素之和相等。
4. 递推性：等差数列的每一项可以通过前一项的值加上公差得到。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中。
以下是一些常见的等差数列应用场景：1. 增长和衰减问题：等差数列可以应用于描述某一变量的增长或衰减过程，如财富的积累、人口的增长等。
2. 等距离问题：等差数列可以应用于描绘等距离问题，比如车辆在匀速行驶时的位置变化、航空飞行中的高度变化等。
3. 资金管理问题：等差数列可以应用于资金管理问题中，如每月存入固定金额的储蓄计划、还款计划等。
4. 数字排列问题：等差数列可以应用于数字排列问题中，如排队的位置、打印机打印的顺序等。
总结：等差数列作为一种常见的数列形式，在数学和实际生活中都发挥着重要作用。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每个数字与它前面的数字之差都相等。
它具有很多独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质以及在数学和现实生活中的应用。
一、等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：1. 公差等差数列的公差是指相邻两项之间的差值。
记为d，公差可以为正、负或零。
公差的大小决定了等差数列的增长趋势，如果公差大，则数列增长得快；如果公差小，则数列增长得慢。
2. 通项公式等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速地找到数列中的任意一项。
通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3. 前n项和我们可以通过求等差数列的前n项和，来得到数列中若干项的总和。
前n项和的公式如下：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的应用1. 数学等差数列在数学中有广泛的应用。
它们可以用来解决各种问题，例如算术运算、图形和数学模型的建立等。
在数学建模中，等差数列可以用来表示各种数量的变化规律，从而帮助我们了解和解决实际问题。
2. 经济学等差数列在经济学中也有很多应用。
例如，我们可以通过等差数列来分析某个经济指标的变化趋势，从而预测未来的发展趋势。
另外，等差数列还可以用来计算复利、折旧等经济学中常见的概念。
3. 物理学在物理学中，等差数列也非常有用。
例如，当我们研究一个物体的运动规律时，可以将其位置与时间建立为等差数列，从而更好地描述和分析物体的运动过程。
此外，等差数列还可以用来解决一些关于波动、振动等问题。
4. 工程学在工程学中，等差数列有时用来分析和计算一些工程问题。
例如，在工程设计中，如果某个参数的变化规律可以用等差数列表示，我们可以通过计算等差数列的通项来得到不同情况下的参数取值，从而更好地指导工程设计和优化。
结论等差数列具有明确的数学定义和重要的性质，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
等差数列的性质和应用
等差数列的性质和应用等差数列是数学中常见的一种数列，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质、相关公式以及它在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变。
具体来说，对于一个数列a1, a2, a3, ..., an，如果它满足 a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 = d，其中d是常数，那么这个数列就是等差数列。
其中，d被称为等差数列的公差。
等差数列的性质如下：1. 常数差：等差数列的相邻两项之差是一个常数，即公差。
2. 通项公式：等差数列可以用一个通项公式来表示。
通项公式的一般形式是an = a1 + (n - 1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是公差。
3. 项数和求和公式：等差数列前n项和的求和公式是Sn = (n/2)(a1+ an)，其中Sn是前n项和。
4. 对称性：等差数列中的任意两个项，以中间项为对称轴，其差相等。
二、几个经典的等差数列应用等差数列在数学中有着广泛的应用，下面列举几个经典的应用。
1. 数学题中的应用：等差数列经常出现在数学题目中，尤其是在初中和高中的代数题和数列题中。
通过理解等差数列的性质和公式，可以帮助我们解答相关的问题。
例如：已知等差数列前6项的和为45，首项为2，公差为3，求这个数列的第10项。
我们可以使用等差数列的前n项和求和公式来解决这个问题，将数值代入公式计算即可。
2. 经济学中的应用：等差数列在经济学中的应用比较常见，特别是在描述递增或递减的趋势时。
例如，某公司在过去几年里的年度营业额呈等差数列递增，通过观察前几年的营业额，我们可以推测未来几年的营业额，并作出相应的经营策略。
3. 物理学中的应用：等差数列在物理学中也有一定的应用。
例如，在描述速度随时间变化的问题时，如果速度每单位时间都以相同的增量或减量发生变化，那么我们可以将这个问题建模成等差数列，从而利用等差数列的性质进行求解。
根据等差数列的基本性质及基本运用
根据等差数列的基本性质及基本运用等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
它在数学中有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列的问题。
在本文档中，我们将探讨等差数列的基本性质以及其在实际问题中的基本运用。
1. 等差数列的基本性质等差数列的基本性质主要有以下几点：1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$其中，$a_n$表示第$n$项的值，$a_1$表示第一项的值，$d$表示公差。
1.2 等差数列的前$n$项和公式等差数列的前$n$项和公式可以帮助我们求解数列前$n$项的和。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前$n$项和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$表示前$n$项的和。
1.3 等差数列的性质等差数列还有许多其他性质，例如：任意两项之和与中间项之和相等；对于任意的正整数$m$和$n$，它们对应的项数为$a_m$和$a_n$，则第$(n+m)$项与第$(n-m)$项之和等于$2a_n$等等。
这些性质在求解实际问题时非常有用。
2. 等差数列的基本运用等差数列的基本运用包括以下几个方面：2.1 求解未知项当我们已知等差数列中的部分项及公差时，可以通过等差数列的通项公式来求解未知项的值。
2.2 求解前$n$项和当我们需要计算等差数列的前$n$项和时，可以通过等差数列的前$n$项和公式来求解。
2.3 求解问题等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如：求解等差数列中某一项的值；求解等差数列中满足特定条件的项数等等。
这些问题都可以通过等差数列的性质和公式来解决。
在实际应用中，我们可以利用等差数列的基本性质和基本运用来解决一系列的问题，例如：计算利息、预测未来的数值等等。
等差数列及应用
等差数列及应用等差数列是一种非常常见且重要的数列，它在数学中有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的概念和性质，并展示它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。
它可以用以下公式来表示：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
在等差数列中，首项和公差是两个重要的参数，可以决定整个数列的特征。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中首项a1为2，公差d为3。
二、等差数列的性质1. 公差性质：等差数列中的任意一项与它前面的一项之差都相等。
即an - an-1 = d，对于任意的n>1。
2. 通项公式：等差数列的第n项可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d来计算。
3. 首项和末项：等差数列的首项a1和末项an可以通过an = a1 + (n-1)d来计算。
4. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)来计算。
三、等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 资金计划问题假设某公司计划在未来几个月内按照等差数列的方式增加投入的资金，首月投入10000元，每个月递增500元。
我们可以利用等差数列的通项公式an = 10000 + (n-1)500来计算每个月的投入金额。
2. 等差数列的和假设某人每天存储一定数量的水资源，首日存储10升，每日增加3升。
如果想知道某个特定日子之前总共存储了多少水，可以使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。
3. 等差数列的平均值假设某班级一次数学考试中，学生们的成绩呈等差数列分布。
已知首位同学的得分为80分，末位同学得分为100分，共有20位学生。
我们可以使用等差数列的求和公式来计算平均分。
四、总结等差数列是指数列中相邻的两项之差相等的数列，具有公差、通项公式、求和公式等性质。
等差数列的性质及应用
等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。
它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。
2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。
二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。
例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。
2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。
3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。
例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。
三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。
求第5年的降雨量。
解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。
2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。
求这4次考试的平均分。
解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。
平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。
由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，它是一种具有特定规律的数列。
本文将介绍等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义等差数列是指具有相同公差的数列。
公差（common difference）是指相邻两项之差的固定值，用d表示。
一般情况下，等差数列的首项用a1表示。
例如，数列1，4，7，10，13是一个等差数列，其公差为3，首项为1。
二、等差数列的性质1. 公差确定等差数列的性质之一是公差确定了数列的规律。
通过公差的取值，可以唯一确定一个等差数列。
2. 通项公式等差数列可以由通项公式来表示。
通项公式（general term formula）用an表示等差数列的第n项，首项为a1，公差为d，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的第n项的数值，而不需要一个一个进行递推。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式（sum of the first n terms）是指等差数列的前n项和的计算公式。
设Sn表示等差数列的前n项和，则有Sn =(a1+an) * n / 2。
前n项和公式的应用非常广泛，可以用于计算各种等差数列的和，简化计算过程。
三、等差数列的应用等差数列是数学在实际问题中的重要应用之一，广泛用于各种领域。
1. 财务规划在财务规划中，我们经常需要计算一系列年度投资或者收益的总和。
如果投资或者收益之间存在固定的增长或者减少幅度，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总和。
通过这种方式，可以快速计算出未来的财务状况。
2. 人口统计人口统计学中，经常需要计算一段时间内的人口总数或者增长率。
如果人口每年按照相同的比例增长或者减少，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总数。
这在城市规划、人口迁移研究等领域中具有重要意义。
3. 流程控制在控制工程中，常常需要设计各种流程控制方案。
等差数列的性质及简单应用
即时训练1-1:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于 ()
(A)14
(B)21
(C)28
(D)35
解析:(1)因为a3+a4+a5=12, 所以3a4=12,则a4=4, 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864. 答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
因为 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, 2ak=2a1+2(k-1)d=2a1+(m+n-2)d, 所以 am+an=2ak(m,n,k∈N*).
6.若{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首 末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=…. 7.数列{λ an+b}(λ ,b是常数)是公差为λ d的等差数列. 因为λ an+b=λ [a1+(n-1)d]+b=(λ a1+b)+(n-1)λ d, 所以公差为λ d. 8.下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列.
9.若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列. 10.项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.例如:a1,a3,a5,…构 成等差数列,再比如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍构成等差数列.
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2．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知 a1， d，am，an(m≠n)，则 d＝ann－－1a1＝ann－－mam，从而有 an＝am＋(n－
m)d. (2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，
p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
跟踪训练 1 在等差数列{an}中： (1)a5＝11，a8＝5，则 a10＝____1____； (2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则 a1＋a20 等于 ___1_8____．
解析：(1)设公差为 d，因为 a8＝a5＋(8－5)×d，所以 d＝a8－3 a5 ＝－2，所以 a10＝a8＋(10－8)×d＝1.
2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则 a5 等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案：C
3．在等差数列{an}中，若 a2＝－5，a6＝a4＋6，则 a1 等于( ) A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
解析：由 a6＝a4＋6 得 2d＝6，解得 d＝3. 又 a2＝a1＋d＝－5， 所以 a1＝－8. 答案：B
4．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则 a3＋a13－a8 等于( )
A．24 B．22 C．20 D．－8
解析：根据等差数列的性质可知 a3＋a13＝2a8，所以已知等 式可变为 2a8＋3a8＝120，解得 a8＝24，所以 a3＋a13－a8＝2a8 －a8＝a8＝24.
对等差数列的性质的理解 (1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项特别
地，当 m＋n＝2r 时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar. (2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数
列，当然公差也随之发生变化． (3)将等差数列各项都乘以同一个常数 k，所得数列仍为等差数列，
公差为 kd. (3)形如 a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上
是 3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于 2 项、4 项、5 项…道理是相同 的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( × ) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( × ) (3)在等差数列{an}中，若 m＋n＝r，m，n，r∈N*，则 am＋ an＝ar.( × ) (4)若数列{an}是等差数列，则 a1，a3，a5，a7，a9 是等差数 列．( √ )
公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)
(3){an}的公差为 d，若 d>0⇔{an}为递增数列；若 d<0⇔{an}
为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
|化解疑难|
【课标要求】 1.能根据等差数列的定义与通项公式，推导出等差数列的重 要性质. 2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的 计算问题. 3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是关 于 n 的常数函数；当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；点(n， an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35பைடு நூலகம்
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则 a75＝___2_4____.
【解析】 (1)利用等差数列性质可知 a3＋a4＋a5＝3a4＝12， 所以 a4＝4，
所以 a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. (2)法一：因为{an}为等差数列， 所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，设其公差为 d， a15 为首项，则 a60 为第四项， 所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4，所以 a75＝a60＋d＝24.
3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和．即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)
{c·an}
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1 ＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.
类型二 等差数列的实际应用问题 [例 2] 某公司 2016 年经销一种数码产品，获利 200 万元， 从 2017 年起，预计其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一 规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起， 该公司经销这一产品将亏损？
答案：A
5．等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则 a35＝________.
解析：由 a25 是 a15 与 a35 的等差中项得 2a25＝a15＋a35，所以 a35＝2a25－a15＝2×66－33＝99.
答案：99
课堂探究 互动讲练
类型一 等差数列性质的应用
[例 1] (1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1
法二：设等差数列{an}的公差为 d. a60＝a15＋45d， 所以 20＝8＋45d，所以 d＝145， a75＝a15＋60d＝8＋60×145＝24.
方法归纳
解决本类问题一般有两种方法：(1)运用等差数列{an}的性 质：若 m＋n＝p＋q＝2w，则 am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q， w 都是正整数)；(2)利用通项公式转化为数列的首项与公差的结 构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程 的思想．