[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
人教版高中数学必修四教案：2-4平面向量的数量积
授课人1、知识与技能目标：（1）理解向量夹角与向量在轴上射影的概念；（2）掌握向量的数量积的定义及性质；2、过程与方法目标：（1）通过物理学中力做功这一物理背景，让学生体会从特殊到一般的思维方法；感受知识的产生和发展的迁移过程，训练学生的逻辑思维能力；（2）通过对数量积定义的理解与学习，培养学生观察、举一反三的能力。
3、情感目标：通过本节学习，培养学生知识的迁移，发现、提出、解决数学问题的能力，初步尝试数学研究的过程，发展学生的创新意识。
向量的数量积的定义及性质利用力做功这一物理学背景，启发引导学生去研究向量数量积相关知识，在学生学习本节知识中，要常运用几何直观去引导学生理解定义的实质，揭示其几何意义。
让学生了解本节大致的内容，说明这个物理问题可通过向量解决，激发学生的学习兴趣（2）判断：两向量垂直，则两向量夹角是0902、 向量在轴上的正射影 已知a 和轴l （如图），过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别是O 1，A 1，则向量11A O 叫向量a 在轴l 上的正射影（简称射影）；该射影在轴上的坐标，叫做a 在轴上的数量或在轴的方向上的数量。
l 问题2 （1）类比力做功问题，a 在轴上的正射影是什么？正射影的数量又是什么？ （2）类比向量在轴上的正射影概念，向量a 在向量b 上正射影的数量是多少？练习:已知轴l :向量5|| OA ,OA 的方向与轴l的正方向所成角为060,求OA 在轴l 上的正射影的数量; 讨论： (1) 把练习(1)中所成角改为0012,结果又是多少? (2)把练习(1)中的问题改成求OA 在轴l 上的正射影,应如何去算?还须知道哪个量？O 1A 1 O A的数量积，老师提问学生回答在学生回答过程中老师要配以图形学生回答通过这道练习，让学生体会数量积结果跟哪些量有关，强化定义的记忆，并由此得到数量积的5个重要的性质，培养学生独立分析解决问题的能力这些性质的证明让学生自己课下完成强化学生对数量积定通过本题，强化学生对数量积的定义及几何意义的理解和应用，体验创造的激情，激发学生的学习兴趣。
新人教版必修4高中数学2.4.1《平面向量的数量积》教学设计
一、教学内容分析1、教学主要内容（1）平面向量数量积及其几何意义（2）用平面向量处理有关的长度、角度、垂直问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到承上启下的作用。
3、教学内容的核心思想用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节教学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学习新课以前，让学生回顾两向量夹角的定义和范围，为后面学习数量积定义和性质打下了基础。
但是对投影的记忆学生有一定问题，所以在教学上把数量积的定义转化到图形上来。
2、我的思考由于学生基础相对薄弱，学习本节知识，在处理例题和练习时没有必要有过大的计算量。
三、学习目标1、知识与技能（1）掌握平面向量数量积及其几何意义（2）平面向量数量积的应用2、过程与方法通过学生积极参与课堂，通过学生回答和板演，发现问题并及时订正。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理能力四、教学活动2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义日教学目标1、理解数量积的含义及几何意义；（重点）2、体会平面向量的数量积和投影的关系；3、理解掌握向量的数量积的性质及运算律，并能进行相关的运算。
（难点）一、课堂探究1、数量积的定义已知两个非零向量 与 我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积）。
记作 其中θ是 的夹角.规定：零向量与任意向量的数量积为0总结：1、数量积运算符号“点”不能省略；2、数量积是一个数量；3、00a →→⋅=思考问题1：向量的数量积是一个实数，那它什么时候为正？什么时候为负？由学生回答完成！思考问题2：由学生回答完成！老师总结： b a b ⋅cos a b a b θ⋅=即，a b 与a b cos a b θa 0a b →→⇒⋅>0a b →→⇒⋅<0a b →→⇒⋅=00=0=0=0a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→→→⋅>⇒⋅<⇒⋅⇒与的夹角为锐角？与的夹角为钝角？或？由学生完成！2、向量数量积的性质：,a b →→设向量是两个非零向量例2：老师引导学生完成！3、投影的概念：cos b θ→叫做向量 在 方向上的投影. 1.5,4,120a b a b a b a b θ→→===⋅例已知与的夹角，求及向量在方向上的投影。
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2.4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平血向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平而向暈的数暈积定义教学难点：平血向量数量积的定义及运算律的理解和平血向量数量积的应用教学过程：•一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已矢口非零向量a与b ,作0A = a , OB = b ,则ZAO B= 0乃）叫a与说明：（1）0= 0 时,• (2) a与b反向;(3) 迸时, a与b垂直，记a丄b；b的夹角.• (4) 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的•范圉0°^0^180°(2) 两向量共线的判定(3) 练习A. 6B.5C.7D. 81•若沪（2，3）,戻⑷ -1+0,且a//b,则•尸（C ）A•-3 〃•一1 C. 1 D. 32•若昇（/ -1）, 〃（1, 3）, r（2, 5）三点共线，则/的值为（B ）(4)力做的功:W = |F|.|s|cos6, 0是F与s的夹角.•二、讲解新课：1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量"与"它们的夹角是〃，则数量|a| I乃| cosG 叫匂与〃的数量积，记作a・b,即有a-b- \ a\ \ A|cos0, （0 W 〃 W兀）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.••探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？• （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosB的符号所决定.•（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积必b,而"方是两个向量的数量的积，书写时要严格区分•符号“・”在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若狞0,且“K0,则工0；但是在数量积中，若曲0,且&匸0,不能推出 匸0.因为其中cosG 有可能为0. （4）已知实数日、b 、c （停0）,则ab=bc => &二c.但是a ・b = be*如右图：a ・b = | | b\ cos|3 = | |0A|, be - \b\ \ c|cosa = | 力||0A=> a-b - be 但自 H c(5)在实数中，有3 /?) c = a(bd ,但是a(bc)显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与自共线的向量，而一般自与c 不共 线. 2. “投影”的概念：作图定义：丨川cose 叫做向量方在臼方向上的投彫.投影也是一个数量，不是向量；当0为锐角时投影为正值； 当8为钝角时投影为负值；当。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案
§2.4平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量错误！嵌入对象无效。
与非零向量错误！嵌入对象无效。
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误！嵌入对象无效。
=λ错误！嵌入对象无效。
.2．平面向量基本定理：如果错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！嵌入对象无效。
，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！嵌入对象无效。
=λ1错误！嵌入对象无效。
+λ2错误！嵌入对象无效。
3．平面向量的坐标表示分别取与错误！嵌入对象无效。
轴、错误！嵌入对象无效。
轴方向相同的两个单位向量错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
作为基底.任作一个向量错误！嵌入对象无效。
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
，使得错误！嵌入对象无效。
把错误！嵌入对象无效。
叫做向量错误！嵌入对象无效。
的（直角）坐标，记作错误！嵌入对象无效。
4．平面向量的坐标运算若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
，则错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
.若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
人教A版高中数学选修平面向量的数量积教案第二课时
§2.4 平面向量的数量积（2）教学目标：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两向量共线、垂直的几何判断，会证明两量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、问题情境1．情境引入：平面向量数量积（内积）的定义,θcos ||||b a b a =⋅.2．提出问题：平面向量数量积有怎样的一些运算性质呢?与实数积的性质是否相同?二、学生活动问题1：实数积的运算率有哪些？交换律，结合律，分配律.问题２：向量数量积也有交换律、结合律、分配律吗？三、建构数学１.向量的交换律：a b b a ⋅=⋅ 证：设，夹角为θ，则θcos ||||=⋅，θcos ||||=⋅ ∴⋅=⋅ ２.数乘结合律：⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(若0>λ,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅； 若0<λ，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(=--=-=⋅θλλcos ||||)(=⋅，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(b a b a b a b a =--=-=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴λλλλ)()()(3．向量的分配律：⋅+⋅=⋅+)( 设向量,,和实数λ，则向量的数量积满足下列运算率：（1）⋅=⋅（2）b a b a b a b a ⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(（3）⋅+⋅=⋅+)(4.回顾反思：（１）向量的数量积运算满足结合率吗？在实数中，有)()(bc a c ab =，但是)()(c b a c b a ⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. （２）有如下常用性质：⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+)()(2222)(b b a a b a +⋅+=+五、数学运用1.例题例1．已知4||,6||==b a ，，的夹角为060，求)3()2(b a b a -⋅+的值.例2．已知5||,3||==b a ，且λ+与λ-垂直，求λ.例3．已知2||,1||==，（1）若//，求⋅；（2）若，的夹角为060，求||+； （3）若-与垂直，求，的夹角.例4．设,是两个单位向量，夹角为060，求向量n m a +=2与m n b 32-=的夹角.２．练习：可以讨论课本P80练习第1、2、3题.六、总结反思。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
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| a || b |
x12 y12 x2 2 y2 2
二、讲解范例：
例 1 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例 2 设 a = (5， 7)，b = (6， 4)，求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ(精确到 1o) 分析：为求 a 与 b 夹角，需先求 a·b 及｜a｜·｜b｜，再结合夹角 θ 的范围确定其值.
那么 | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设 a (x1, y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a b x1x2 y1 y2 0
4． 两向量夹角的余弦（ 0 ）
cos = a b
x1 x2 y1 y2
x2 y2 5x
由
10x
4y
29
2y
0
x1 y1
7 2 3 2x2来自或y2
3
2 7
2
∴B 点坐标 (7 , 3) 或 ( 3 , 7 ) ； AB = ( 3 , 7 ) 或 ( 7 , 3)
2 2 22
22
22
2 在△ABC 中， AB =(2， 3)， AC =(1， k)，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 值. 解：当 A = 90时， AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 3
坐标.
解：设 B 点坐标(x， y)，则 OB = (x， y)， AB = (x5， y2)
∵ OB AB ∴x(x5) + y(y2) = 0 即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵| OB | = | AB | ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2 即：10x + 4y = 29
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问
题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质： 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.
A.60°
B.30°
C.135°
D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与 b 之间的夹角为 ，那么向量 m=a-4b 的模为（ ） 3
A.2
B.2 3
C.6
D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量 a (x1, y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，怎样用 a 和 b 的坐标表示 a b ？
. 1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a b x1x2 y1 y2
2. 平面内两点间的距离公式
1
（1）设 a (x, y) ，则| a |2 x 2 y 2 或| a | x 2 y 2 .
（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1, y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0 3 当 a 与 b 同向时，ab = |a||b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a||b|. 特别的 aa = |a|2 或| a | a a
ab
4cos =
；
| a || b |
5|ab| ≤ |a||b|
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|= 2 ，且(a-b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是（ ）
2
当 B = 90时， AB BC = 0， BC = AC AB = (12， k3) = (1， k3) 11
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 3
当 C = 90时， AC BC = 0，∴1 + k(k3) = 0
3 13 ∴k =
2
3
例 3 已知 a＝（１， 3 ），b＝（ 3 ＋１， 3 －１），则 a 与 b 的夹角是多少? 分析：为求 a 与 b 夹角，需先求 a·b 及｜a｜·｜b｜，再结合夹角 θ 的范围确定其值.
解：由 a＝（１， 3 ），b＝（ 3 ＋１， 3 －１）
有 a·b＝ 3 ＋１＋ 3 （ 3 －１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２ 2 ．
2、平面内两点间的距离公式 | a | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
3、向量垂直的判定：
设 a (x1, y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a b x1x2 y1 y2 0
2
五、课后作业：《习案》作业二十四。 思考：
1、如图，以原点和 A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点 B 和向量 AB 的
记 a 与 b 的夹角为 θ，则ｃｏｓθ＝ a b 2 ab 2
又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107 面 1、2、3 题
1 2、已知 A(3，2)，B(-1，-1)，若点 P(x，- )在线段 AB 的中垂线上，则 x= .
2 四、小结： 1、 a b x1x2 y1 y2