22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
练习3 (1)设 为 A. 1
x x 1 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x x 的值为( A )
2
1 2
B. －1
C.
5 D.
5 5
二
已知两根求作新的方程
以 x 1 , x 2 为两根的一元二次方程
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 2 解:由已知得, n n=－2 即 m· m m+n=－2 n m 2
{
{
∴所求一元二次方程为:
a 2a 2 0
2
题5
以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是（ B ） A、y ＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0
22.2.4
一元二次方程的
根与系数的关系
方程 x x1 x x2 0的两根为 x1 , x2 , 将方程化为x px q 0
2
的形式, 你能看出x1 , x2与p, q 之间的关系吗？
x x1 x x2 0 x x1 x2 x x1 x2 0
则：
x1 x2
2 1 2 2
4
x1 x 2 1
2
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 ＝ 14
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＝ 12
2
2
另外几种常见的求值
x1 x 2 1 1 1. x1 x 2 x1 x 2
22.2.4_一元二次方程根与系数的关系
2 3
, x1 · 2=-3 x
2 3 3
=
x1 x 2 x x2 1
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2 -2x x )2
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (3) x1 = 7
2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x
2
3x 1 0
2
2.3x
2
2x 2
2
3.2 x
3x 0
2
4.4 x
1 2x
的一个根是 1，
2、已知方程 3x 19 x m 0 求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 根与系数的 关系，求下列各式的值：
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
韦达是法国十六世纪最有影响的数 学家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 韦达（1540－1603） 父”。
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
b x1 x2 ,
三、例题分析
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方 程两根 x1 , x2 的和与积.
(1) x 2 6x 15 0;
解：a 1, b 6, c 15
b 6 x1 x2 6, a 1 c 15 x1 x2 15. a 1
b 5 5 x1 x2 , a 4 4 c 1 x1 x2 . a 4
三、例题分析
注意： （1）要先把一元二次方程化成一般形式； （2）不要漏除二次项；
b （3）要注意 的负号. a
四、巩固练习
1.教科书第42页练习. 2.补充练习：判断下列各方程后面两个数是不是 它的两个根.
三、例题分析
(2)3x 2 7 x 9 0;
解：a 3, b 7, c 9
(3)5x 1 4x 2 .
解： 2 5x 1 0; 4x
a 4, b 5, c 1
b 7 x1 x2 , a 3 c 9 x1 x2 3. a 3
第二十五章 概率初步
22.2.2降次—— 解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者： 河北省藁城市增村中学 王志敏
一、复习引入
1.请写出一元二次方程的一般形式和求根公式. 2.解方程.
x1 2, x2 4 1 2 (2)2x 3x 1 0. x1 1, x2 2
(1) x 2 6 x 8 0;
二、探索分析
请仔细观察和思考两根和、两根积与系数的关系.
对于所有的一元二次方程的两个根都有这样的规 律吗？ 根据求根公式可知，方程的两根为
22.2.4一元二次方程根与系数关系
则 x1 + x2 = − p, x1 • x2 = q ：
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理） 韦达定理）
若 程 方 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)的 根 x1, x2 , 两 为
2
b c 则 1 + x2 = − , x1 • x2 = x a a
推 论
以 个 x1, x2为 的 元 次 两 数 根 一 二 方 （ 次 系 为） 程 二 项 数 1 是 x − x1 + x2） + x1 • x2 = 0 （ x
练习： 练习：P42 练习
作业：
P数的关系 (韦达定理） 韦达定理）
若 程 方 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)的 根 x1, x2 , 两 为
2
b c 则 1 + x2 = − , x1 • x2 = x a a
推 论
特 地 别 ： 若 程 + px + q = 0 两 为 1, x2， 方 x 的 根 x
2
1、课本P41例4 、课本 例
2、利用根与系数的关系，求作 、利用根与系数的关系， 根与系数的关系 一个一元二次方程， 一个一元二次方程，使它的两根 为2和3.
是方程2X +mX+3=0的一个根 的一个根， 3、如果 是方程 X +mX+3=0的一个根， 求它的另一个根及m的值. 求它的另一个根及m的值.
1 2
2
4、已知关于x的方程 2+(2k+1)+k2-2=0 、已知关于 的方程 的方程x 的两根的平方和比两根之积的3倍少 的两根的平方和比两根之积的 倍少 10，求k的值 ， 的值. 的值
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)∵x1 ，x2 是方程 x2－6x＋k＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝k. ∵ x2x2－x1－x2＝115， 1 2 ∴k2－6＝115 ， 解得 k1＝11，k2＝－11.
当 k1＝11 时， Δ＝36－4k＝36－44＜0， ∴k1＝11 不合题意． 当 k2＝－11 时， Δ＝36－4k＝36＋44＞0， ∴k2＝－11 符合题意． ∴k 的值为－11.
b c － a a 和系数 a， c 的关系是 x1＋x2＝________， 1·2＝________. b， x x
4．仿照课本 P41 例 4，根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两根的和与积： (1)3x2＋2x―3＝0；
2 解：x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 3
(2)x2＋8x＝20.
探究点二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例 2 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝ 0 的两个实数根，且 x2x2 －x1－x2＝115. 1 2 (1)求 k 的值； (2)求 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
分析： 根据根与系数的关系和已知的 x2x2 －x1－x2＝115， 1 2 列出关于 k 方程，解方程可求 k 的值，根据根与系数的关系 也可求出 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
x1＋x2＝2， 解：(1)由题意，得 x1＋2x2＝3－ 2， x ＝1＋ 2， 1 解得 x2＝1－ 2. ∴a＝x1·2＝(1＋ 2)(1－ 2)＝－1. x (2)方法 1：由题意，得 x2－2x1－1＝0， 1 ∴x3－3x2＋2x1＋x2 1 1 ＝x3－2x2－x1－x2＋3x1＋x2 1 1 1 ＝－x2＋2x1＋1＋x1＋x2－1＝2－1＝1. 1
一元二次方程根与系数的关系
22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1）主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名 学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a bx x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 学习过程：一）自我完成：阅读教材P 15 — 16页 ,并完成下列练习。
1、(1)一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；.②将（x －x 1）（x －x 2）=0 化为一般形式x 2－( x 1 +x 2)x + x 1x 2=0与x 2+px + q =0 对比, 易知: p =，q = 。
二）小组讨论： 探究2：完成下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？ ①用语言叙述发现的规律： ②ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
x 1+x 2= x 1x 2=利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax 2+bx +c =0的两根1x = ,2x =12x x +=12.x x =三）学以致用：例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --=（2）22350x x +-=（3）21203x x -=例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及K 的值。
练习：课本16页习题四）课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？五）、学习内容达标检测1．若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x , 则12x x +=12.x x = 2．方程22310x x --=则12x x +=12.x x =3．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为p =4．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是m =5．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p +q =6．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么（）A .p =q =0B .P =0,q ≠0C .p ≠0,q =0D .p ≠0, q ≠0） 7、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x 2－5x －10=0 （2）2x 2+7x +1=0（3）3x 2－1=2x +5 （4）x （x －1）=3x +7六、学习内容反思：22.2.4一元二次方程根与系数的关系（2）学习目标：1、掌握根与系数关系：a bx x -=+21，ac x x =21； 2、会用根的判别式及根与系数关系解题. 学习内容：【典型例题讲练】1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.1.已知方程x 2－6x +m 2－2m +5=0一个根为2，求另一个根及m 的值.解：2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x－7=0两根的符号情况.【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2－2(m+1)x+m－1=0的两个根都是正数.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k－2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3. 关于x的一元二次方程x2－3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.【变式1】已知：方程x2+2(m－2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值. 【变式2】设与是方程x2－7mx+4m2=0的两个实数根，且(－1)(－1)=3，求m的值．4．求关于根的对称式的值．5．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．6．如+，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，7．如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，8．+=(x1+x2)2－2x1x2，……等．9． 4 ， .如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．10．【变式】已知与是方程3x2－x－2=0的两个实数根，求代数式的值．课堂检测：一、选择题1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )A. 3，2B.C.D.2. 如果是方程的两个根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D.3. 以2，－3为根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=0二、填空题.1. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________.2.已知一元二次方程的两根为2+和2－，则这个方程为_______．三、解答题1.设x 1与x 2是方程x 2+4x －6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值： (1)； (2)+x 1x 2+； (3)(x 1－2)(x 2－2)．2. (1)已知方程x 2+mx +21=0的两个根的平方和是58，求m 的值； (2)已知方程x 2+2x +m =0的两个根的差的平方是16，求m 的值； (3)已知方程x 2+3x +m =0的两个根的差是5，求m 的值；（4)已知方程x 2+3x +m =0的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．3、已知12x x ，是关于x 的方程0222=++m x x 的两个实根，且22221=-x x ，求m 的值．。
_22.2.4(修改)一元二次方程根与系数的关系课件
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 ,
又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数y ( x 0) x
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
k 1 2 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 3 , 2x1x2=
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新人教版九年级上)
x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2
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c — a
x1.x2=
如果一元二次方程ax 如果一元二次方程ax2+bx+c=0 （a=0）的两个根是x1，x2 那么 a=0）的两个根是x b x1+x2=-— a x1.x2=
c — a
例1
已知方程 5x2+kx-6=0的一个 +kx-6=0的一个
根是2 求它的另一个根及k的值。 根是2，求它的另一个根及k的值。
2
x1 x2
x1.x2
2
1.下列方程两根的和与两根
的积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2.利用根与系数的关系，判
断下列各方程后面的两个数 是不是它的两个根。（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3） （3）2x2-3x+1=0（3，1） （4）x2-4x+1=0（-2+ 3，-2- 3 ）
解：设方程的另一个根是x1那么
6 3 2x1=-— ∴x1=-—. 5 5 3 k 又（-—）+2=-— 5 5 3 ∴ k=-5 （-—）+2 =-7 5 3 答：方程的另一个根是-—，k的 5
值是-7。
例2
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两 =0的两 不解方程，求方程2
个根的（ 个根的（1）平方和
-7/6 -1/2 23/5 12/5
-3/2 1/3 4 3/5
请同学们猜想： 请同学们猜想： 任意的一元二次方程
+bx+c=0（a=0） ax2+bx+c=0（a=0）的x1+x2， x1.x2 与系数a 的关系。 与系数a，b，c 的关系。
你猜对了吗？ 你猜对了吗？ 任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a=0）的x1+x2， x1.x2与 系数a，b，c 的关系是：
1、已知关于 x 的方程 x2+2（m-2）x+m2+4=0 +2（
有 两个实数根， 两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的 积大21 21。 的值。 积大21。求m的值。
2、如果关于 x 的方程 x2+3x+5m=0的两个实数都 的方程2 +3x+5m=0的两个实数都
小于1 试求m的取值范围。 小于1。试求m的取值范围。
（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 3 1 13 2-2（-—）=— =（-—） 2 4
3 x1+x2 1 1 2 （2）—+— = ———— = ——— =3 1
x2那么 3 1 x1+x2 =-— x1.x2 =-—. 2 2
1、已知方程 x2-19x+m=0的一个根是1，它的另 19x+m=0的一个根是 的一个根是1 已知方程3
一个根是 16/3 ，m的值是 16 。
3、设x1.x2是方程 x2+4x-3=0的两个根，利用 方程2 +4x-3=0的两个根 的两个根，
根与系数的关系，求下列各式的值。 根与系数的关系，求下列各式的值。 x2 x1 +1）（ +1）（ ）（x ）（2 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）— + — x1 x2
谨以此语献给广大的数学爱好者！ 谨以此语献给广大的数学爱好者！
数学就是这样一种学问； 数学就是这样一种学问；她 要求我们扎扎实实地学习， 要求我们扎扎实实地学习，勤勤 恳恳地探索。 恳恳地探索。她提醒你有无形的 灵魂， 灵魂，她赋予她所发现的真理以 生命；她唤起心神，澄清智能； 生命；她唤起心神，澄清智能； 她给我们的内心思想添辉， 她给我们的内心思想添辉，她涤 尽我们有生以来的蒙昧与无知。 尽我们有生以来的蒙昧与无知。
一元二次方程的根与系 数的关系（ 数的关系（一）
请同学们观察下表
方程 3x2 - 4x-4=0 2x2 +7x-4=0 6x2+7 x-3=0 5x2-23x+12=0
两个根x1，x2 两根 的值 的和 x1 x2 x1+x2 两根 的积 x1.x2
-2
1/2
-2/3 4/3 -4/3
-4
-7/2 -2