第二章随机变量复习

0, 1 , 即 F ( x) 4 3 , 4 1, x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
由 F ( x ) P{ X x } ,
得
1 1 1 P{ X } F ( ) , 4 2 2
3 1 1 3 5 5 3 P{ X } F ( ) F ( ) , 2 2 2 2 4 4 2
P{2 X 3} F ( 3) F ( 2) P{ X 2}
3 1 3 1 . 4 2 4
连续型随机变量的概率密度
(1)定义
如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x ), 存在 非负函数, 使对于任意实数 x 有 F ( x)
f (t ) d t ,
f ( x)

x
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或 “无记忆性”.具体叙述如下：
P{ X s t | X s} P{ X t }
正态分布(或高斯分布)
(1)定 义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数 , 则称X服从参数为 μ, σ 的
P{a X b} F (b) F (a )
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
均匀分布
(1)定义
设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 其它, 0, 则称 X 在区间 (a , b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 41 . 2 2 48
二、课后习题
1 、 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同 时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写 出随机变量X的分布律.
解 X只能取值3,4,5
从5只球中同时取3只,共有
5 5! 3 3!2! 10
(3)标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e , x , 2π 标准正态分布的分布函数表示为 ( x )
2. (1)设随机变量 X的分布律为 P ( X k ) a k 0,1,2,.其中 0为常数 .试确定常数 a . a ( 2)设随机变量 X的分布律为 P ( X k ) , N k 1,2,, N .试确定常数 a .

k
k!
,
解：（1）由分布律性质
即 a
k e
, k 0,1,2,,
例1 一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行
检验，用X表示废品的个数。求X的分布律。 解：
X P
0 0.95
1 0.05
随机变量的分布函数
(1)定义
设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为 X 的分布函数.
(2)分布函数 x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o

b

x
指数分布
设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其中 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布. 记为 X ~ E ( ) .
解
(1) 由 f ( x) d x 1,

x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 (2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x ) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
(2)说明
10 pk 0, k 1,2,;

20
pk 1; k 1
30 离散型随机变量的分布 律也可表为
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
1 p
则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.
x
(1) 求系数 A; ( 2) 求 P{0 X 1}. (3) 求 X 的分布函数 F ( x );
解 (1) 由概率密度的性质 ,有
1
故


f ( x)d x


Ae
x
d x 2

0
Ae d x
x
2 A,
1 A . 2
1 x ( 2) F ( x ) e d x, 2 1 x x 1 x 当 x 0 时, 有F ( x ) e d x e ; 2 2
x x 1 0 x 1 x x e d x e d x] 1 e ; 当 x 0 时 , 有F ( x ) [ 0 2 2 所以 X 的分布函数为 1 x x 0, 2e , F ( x) 1 1 e x , x 0. 2
(2)说明 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.
分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
例2 设随机变量 X 的分布律为
X
1
2
3
1 4 1 3 5 求 X 的分布函数, 并求 P{ X }, P{ X }, 2 2 2 P{2 X 3}.
pk
1 4
而 故得
4 P{ X 1} P{ X 1} (1 p) 9
2
1 p 3
从而
65 0.80247 81
P (Y 1) 1 P (Y 0) 1 (1 p)4
5.
已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) Ae , x .
x<3 3x<4 4x<5 x5
F(x)=0 F(x)=P{X=3}=1/10 F(x)=P{X=3}+P{X=4}=4/10=2/5 F(x)=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=1
x3 0, 1 / 10, 3 x 4 总之,X的分布函数为 F ( x ) 2 / 5, 4 x 5 x5 1,
x
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X的概 率密度函数, 简称概率密度.
(2)性质
f (x)
1
2
o
f ( x ) 0;
面积为1
o
f ( x ) d x 1 .

o
x2 x1
x
3 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
种取
法. X=3时,一只球编号为3,另外两只球编号为1,2,只有一种取法,
1 P{ X 3} 10
X
3
4
5
Pk 1/10 3/10 6/10
求第1题中的随机变量的分布函数. 解 由第1题的结果, X的分布律为 F(x)=P{X≤x} P{ X xk }
xk x
X 3 4 5 Pk 1/10 3/10 6/10
x
x2 2
1 e 2π
t2 2
d t , x .
例
设随机变量 X 具有概率密度 0 x 3, kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4, 2 其它. 0,
(1) 确定常数 k ;
(2) 求 X 的分布函数;
7 (3) 求 P {1 X }. 2
( x μ )2 2σ2
正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ ).
2
f ( x)

x
正态分布
N ( , 2 ) 的图形特点
的陡峭程度.
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
(2)分布函数 ( t μ )2 x 1 2σ 2 F ( x) e dt 2πσ
o
f ( x ) d x.
4o 若 f ( x ) 在点 x 处连续, 则有 F ( x ) f ( x ) .
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P { X a } 0. 由此可得
P {a X b } P {a X x) d x 得
x
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) 2 x 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
二项分布
X 的分布律为
X pk
0 q
n
n n 1 n k n k p q pq 1 k ( k 0,1,2,, n, 0 p 1)
1

k

n p
n
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p).
泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为0,1,2,, 而取 各个值的概率为 k! 其中 0 是常数.则称 X 服从参数为 的泊松分 布, 记为 X ~ π( ). P{ X k }