退化中立型微分系统的常数变易公式和通解
微分方程的变换法与常系数齐次方程的特解
微分方程的变换法与常系数齐次方程的特解微分方程是研究自变量与未知函数及其导数之间关系的方程。
常系数齐次方程是一类特殊的微分方程，其中的系数不随自变量变化，且未知函数的各阶导数组合后等于零。
本文将介绍微分方程的变换法以及常系数齐次方程的特解的求解方法。
一、微分方程的变换法微分方程的变换法是一种通过变量代换将原微分方程转化为更容易求解的形式的方法。
变换法可以用于解决某些特殊形式的微分方程，例如线性齐次方程、可分离变量方程等。
下面以线性齐次方程为例介绍变换法的基本步骤。
1. 设想一个合适的变量代换。
对于给定的微分方程，我们需要设定一个合适的变量代换来将其转化为更简单的形式。
常见的变量代换包括令新的自变量为原自变量的函数、令新的未知函数为原未知函数的导数等。
具体的变量代换需要根据微分方程的形式进行选择。
2. 进行变量代换和求导运算。
将所选的变量代换应用于原微分方程，并进行求导运算。
根据链式法则，我们可以得到新变量对应的导数与原变量对应的导数之间的关系。
3. 将原微分方程代入变换后的方程。
将原微分方程代入变换后的方程，消去原未知函数及其导数，得到一个只含新自变量和新未知函数的代数方程。
4. 求解新的代数方程。
对新的代数方程进行求解，得到新未知函数的表达式。
5. 求解原微分方程。
利用变量代换得到的新未知函数的表达式，反过来代回原微分方程中，求解得到原微分方程的解。
二、常系数齐次方程的特解常系数齐次方程是指未知函数的各阶导数组合后等于零的方程，且其中的系数不随自变量变化。
求解常系数齐次方程的特解需要使用特征方程和初始条件。
1. 根据方程的阶数写出特征方程。
对于一个n阶的常系数齐次方程，可以根据其各阶导数的系数写出特征方程。
特征方程类似于一个特殊的代数方程，其根决定了方程的解的形式。
2. 求解特征方程得到特征根。
根据特征方程，可以求解得到n个不同的特征根。
特征根的个数等于方程的阶数。
3. 根据特征根及初始条件确定特解。
第4章_第4节_常数变易法
a11 ( x )e x a11 ( x ) sin x a12 ( x ) x a21 ( x )e a21 ( x ) sin x a22 ( x )
a11 ( x ) 1, a21 ( x ) a22 ( x ) 0 a12 ( x ) cos x sin x .
②
③
由③，得 y2 c2 , 再由 y2 ( 0) 1，得 c2 1
y2 1,
代入②得
dy1 y1 (cos x sin x ) 1 xe x dx 关于 y1 的一阶非齐线性方程
y1 ( x )
x x dt e 0 [
e x[
0
x
0
(cos t sin t te t )e
的一个基本解组，则(3.1)满足初值：
( 3.2)
( x0 ) ( x0 ) ( n1) ( x0 ) 0
的特解为： (3.1)的常数变易公式 n x W (t ) ni ( x) yi ( x ) f ( t )dt x0 W ( t ) i 1
x
x
0
c ( t ) dt
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
c ( x ) c ( x0 )
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
33
亦即
c ( x1 ( t ) f ( t ) dt
dy1 a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 xe x dx dy2 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 dx 已知与其对应的齐线性方程组的一个基解矩阵
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常数变易法方程组的说明
常数变易法常系数非齐次线性微分方程①的齐次通解（即时）为②是齐次微分方程的线性无关的n个特解，是n个常系数.这一步可以通过特征方程和特征根求得.现要求非齐次微分方程的通解，的形式就是齐次通解加上非齐次特解即. 可以简单求得，难点在于求.的形式是已知的，只需要把②中的常系数变为函数，就得到的形式③具有这样的形式是直接使用了拉格朗日的结论，详细说明合理性比较麻烦，直接接受。
现只有是未知的。
将代入①中求出就能找到①的通解.关于满足如下方程（来源于课堂PPT）下面对这个方程组的合理性进行说明，以二阶为例说明，并推广到n阶二阶常系数线性微分方程④齐次通解为⑤根据前面说的，设非齐次特解为⑥.⑦，即PPT中方程组的第一行。
分析这步合理性：我们的目的是求出和，和实际上是已知的。
将⑥代入④用和表示和是唯一的方法.如果将⑥代入④，结果是有两个未知量和，但是只能得到一个方程。
⑧换句话说，两个变量一个方程，那么这两个变量的取法是有无穷多种的，则必须要令和其中一个为任意的确定的函数，才能解出另一个变量。
这是人为规定的一个关系，理论上也可以规定为其它的等量关系，只是这样规定往后计算非常简便。
这样规定的合理性在于，相当于我们先任意取定函数的形式，我们就能通过⑧解得的形式。
只是我们希望取定的这个个关系式。
那么我们解方程组就能求出和。
（时刻注意，这两个方程里面还含有和，我们希望用它们表示出和）如果说这个方程组有解的话，说白了就是能算出来结果的话，说明和满足⑧，也满足⑨。
满足⑧就相当于满足原微分方程④，也就相当于求解成功。
并且满足⑨，说明我们这样任意的规定是合理的，不会造成无解的情况。
，又令则⑪⑥⑩⑪整理得由于和就是齐次通解，因此上式两个括号都为0，即综合我们任意赋值的方程⑨看可以得到关于和的方程组对比PPT给出的方程组，这就是二阶情况下的形式这样令系数函数的方程为0的方法可以推广到n阶。
实际上n-1个方程都是人为规定的系数之间的关系，合理性已经在二阶的时候说明。
常微分方程课件--常数变易法
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E.Байду номын сангаасdt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
§1.4 线性方程与常数变易法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 的连续函数 x 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
x(t ) x(t t ) x(t ) 20 3.08t 1000 t 4000000 20t
因此有 dx
dt 100 x 61.6, x(0) 0. 400000 2t
该方程有积分因子
(t ) exp(
100 dt ) (4000 0.02t )50 400000 2t
积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
怎么解微分方程
怎么解微分方程
微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了某个物理量（例如速度、加速度、浓度等等）如何随着时间或空间的变化而变化。
解微分方程就是求出该物理量的具体函数形式，从而能够预测其未来或过去的变化情况。
要解微分方程，需要先确定该方程的阶数（即微分项的最高次数），然后找到一些基本的解或特解。
基本解是该微分方程的通解的一部分，特解则是该方程的特定解，它是一组符合某些特殊条件的解。
接下来，可以通过线性组合或积分变换等方式，将基本解与特解组合起来得到该微分方程的通解。
通解包括两个部分：齐次解和非齐次解。
齐次解是代数式，而非齐次解是一个特定函数，它包含了方程右边的所有项。
最后，还需要根据具体的初值或边界条件，求出该微分方程的特定解。
初值条件是指在某个起始点上，该物理量的值已知；边界条件是指在该物理量所处的某个区域边界上，该物理量的某种性质已知。
通过将这些条件带入通解中，就可以得到该微分方程的特定解，从而解决实际问题。
总的来说，解微分方程是应用数学中重要的一部分，它可以帮助我们深入理解各种物理现象，进行科学研究和工程设计。
- 1 -。
常微分方程总结
g(y)dy f (x)dx
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得 g( y) dy f (x) dx
则有
G( y)
F ( x)
G(y) F(x) C ②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, y1(x) 是某二阶齐次方程的解, 则 y2 (x) 2 y1(x) 也是齐次方程的解
但是 C1y1(x) C2 y2 (x) (C1 2C2 ) y1(x)
并不是通解！
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:
分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3 .齐次方程的求解方法:
dy dx
( y)
x
令
u y, x
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方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
2. 伯努利方程
dy P(x)y Q(x)yn dx
(n 0,1)
令 u y1n , 化为线性方程求解.
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。