2017_2018学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法三反证法与放缩法课件新人教A版选修4_5
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法a45a高二45数学
1．实数 a，b，c 不全为 0 的等价条件为( ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 【解析】 实数 a，b，c 不全为 0 的含义即 a，b，c 中至少有一个不为 0， 其否定则是 a，b，c 全为 0，故选 D.
2.3 反证法与放缩法
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本节目标 (mùbiāo)
1.理解反证法在证明不等式中的应用(yìngyòng)． 2．掌握反证法证明不等式的方法．
3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.
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前置(qián zhì) 学习
前置(qián zhì) 学习
1＋x 1＋y 【证明】 假设 y <2 和 x <2 都不成立，
1＋x 1＋y 则有 y ≥2 和 x ≥2 同时成立，因为 x>0 且 y>0，
所以 1＋x≥2y，且 1＋y≥2x，
两式相加，得 2＋x＋y≥2x＋2y，
所以 x＋y≤2，
1＋x 1＋y 这与已知条件 x＋y>2 矛盾，因此 y <2 和 x <2 中至少有一个成立．
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小) 要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们 把分母放大时相应分式的值就会缩小；
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
2
2
∴a＋1－b>1，b＋1－c>1，c＋1－d>1，d＋1－a>1.
2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法课件 新人教B
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当 n＝1 时，a1＋S1＝2a1＝2，则 a1＝1. 又 an＋Sn＝2，所以 an＋1＋Sn＋1＝2， 两式相减得 an＋1＝12an， 所以{an}是首项为 1，公比为12的等比数列，
[精解详析] ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，
∴kk1＋1＜k12＜kk1－1.
即1k－k＋1 1＜k12＜k－1 1－1k(k∈N＋且 k≥2)． 分别令 k＝2,3，…，n 得 12－13＜212＜1－12，13－14＜312＜12－13， … n1－n＋1 1＜n12＜n－1 1－n1，将这些不等式相加得 12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＜212＋312＋…＋n12＜1－12＋12－13 ＋…＋n－1 0＜z(2－z)≤1，
∴三式相乘得：0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1
②
②与①矛盾，故假设不成立．
∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
法二：假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1 且 z(2－x)＞1.
∴ x2－y＋ y2－z＋ z2－x＞3.
2．实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a， b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a，b，c，d 都是非负数， 即 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中 ac＋bd>1 矛盾， ∴原假设错误， 故 a，b，c，d 中至少有一个是负数.
[小问题·大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知 的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
2017_2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教A版选修4_
三反证法与放缩法1．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明不等式已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；1(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.2“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.2而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，1∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.2(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如1证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：选D“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列，∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d为公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－a)，求证：a<b.证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b.当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a) ＋f(－b)>f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．故假设不成立．∴a<b.利用放缩法证明不等式已知实数x，y，z不全为零．求证：3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2> (x＋y＋z)．2解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．y 3x2＋xy＋y2＝(x＋2 )2＋y24y y y≥(x＋2 )2＝|x＋2 |≥x＋.22z同理可得：y2＋yz＋z2≥y＋，2xz2＋zx＋x2≥z＋，2由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>y z x 3(x＋ 2 )(z＋2 )2 )＋(y＋＋＝(x＋y＋z)．2(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．1 1 1 14．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.2 n＋1 n＋2 2n1 1 1证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.2n n＋k n1 1 1当k＝1时，≤＜，2n n＋1 n1 1 1当k＝2时，≤＜，2n n＋2 n…1 1 1当k＝n时，≤＜.2n n＋n n1 n 1 1 1 n∴将以上n个不等式相加，得＝≤＋＋…＋＜＝1.2 2n n＋1 n＋2 2n n5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|.∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2，－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.课时跟踪检测(八)1．设a，b，c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R3同时大于零”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a－c|<h，|b－c|<h，则下列不等式一定成立的是()A．|a－b|<2h B．|a－b|>2hC．|a－b|<h D．|a－b|>h解析：选A|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|<2h.3．设x，y都是正实数，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(2＋1) B．xy≤2＋1C．x＋y≤(2＋1)2 D．xy≥2(2＋1)x＋y解析：选A由已知(x＋y)＋1＝xy≤(2 )2，∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∵x，y都是正实数，∴x>0，y>0，∴x＋y≥22＋2＝2( 2＋1)．4．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；当a>b与a<b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a，b至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________．答案：a，b中没有任何一个为正数(或a≤0且b≤0)6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0，lg 9＋lg 11 lg 99 lg 100∴lg 9·lg11＜＝＜＝1，2 2 2∴lg 9·lg 11＜1.答案：lg 9·lg 11＜14x＋y x y7．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A，B的大小关系是________．1＋x＋y1＋x1＋yx y x y解析：A＝＋＜＋＝B.1＋x＋y1＋x＋y1＋x1＋y答案：A＜B8．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数．由a＋b＝c＋d＝1知a，b，c，d∈．a＋c b＋d从而ac≤ac≤，bd≤bd≤，2 2a＋c＋b＋d ∴ac＋bd≤＝1，2即ac＋bd≤1，与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．9．已知a n＝1 × 2＋2 × 3＋3 × 4＋…＋n n＋1(n∈N*)．n n＋1n n＋2求证：<a n< .2 2证明：∵n n＋1＝n2＋n，∴n n＋1>n，n n＋1∴a n＝1 × 2＋2 × 3＋…＋n n＋1>1＋2＋3＋…＋n＝.2n＋n＋1∵n n＋1< ，21＋2 2＋3 3＋4 n＋n＋1∴a n< ＋＋＋…＋2 2 2 2n n n＋2＝＋(1＋2＋3＋…＋n)＝.2 2n n＋1n n＋2综上得<a n< .2 25 10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在上的最大值为2，最小值为－.2b|a|<2.求证：a≠0且b|a|≥2.证明：假设a＝0或①当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0.由题意得f(x)＝bx在上是单调函数，5所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.5 1由已知条件得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，2 2这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.b b②当|a|≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－，2a知f(x)在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得.所以Error!或Error!b|a|<2.又a＋c＝0，则此时b无解，所以b|a|<2.由①②，得a≠0且本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1 1|x－2 |＋|x＋2 |，M为不等式f(x)<2的解集．1．(全国甲卷)已知函数f(x)＝(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解：f(x)＝Error!1当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；21 1当－<x< 时，f(x)<2恒成立；2 21当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.2所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．6(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.2．(全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b> c＋d；(2) a＋b> c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为( a＋b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋d)2＝c＋d＋2 cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得( a＋b)2>( c＋d)2.因此a＋b> c＋d.(2)①必要性：若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b> c＋d.②充分性：若a＋b> c＋d，则( a＋b)2>( c＋d)2，即a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b> c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．7a＋m1 a＋m2已知b，m1，m2都是正数，a<b，m1<m2，求证：< .b＋m1 b＋m2a＋m1 a＋m2 －b＋m1 b＋m2a＋m1b＋m2－a＋m2b＋m1＝b＋m1b＋m2am2＋bm1－am1－bm2 ＝b＋m1b＋m2a－b m2－m1＝.b＋m1b＋m2因为b>0，m1，m2>0，所以(b＋m1)(b＋m2)>0.又a<b，所以a－b<0.因为m1<m2，所以m2－m1>0.从而(a－b)(m2－m1)<0.a－b m2－m1于是<0.b＋m1b＋m2a＋m1 a＋m2所以< .b＋m1 b＋m2综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设a>0，b>0，a＋b＝1.1 1 1求证：＋＋≥8.a b ab∵a>0，b>0，a＋b＝1.1∴1＝a＋b≥2ab，ab≤.21 ∴≥4.ab1 1 1 1 1 1(＋b)＋∴＋＋ab＝(a＋b)a b a ab1≥2ab·2＋4＝8.ab1 1 1∴＋＋≥8.a b ab8分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a>b>0.求证：a－b< a－b.要证a－b< a－b，只需证a< a－b＋b，只需证( a)2<( a－b＋b)2，只需证a<a－b＋b＋2 b a－b，只需证0<2 b a－b.∵a>b>0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a－b< a－b.反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定B来达到肯定B的目的，如果B只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．1已知：在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中点．求证：AD< BC(如右图所示)．21假设AD≥BC.21①若AD＝BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这29条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾．1所以AD≠BC.21 1②若AD> BC，因为BD＝DC＝BC，2 2所以在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD.即∠B＋∠C>∠A.因为∠B＋∠C＝180°－∠A，所以180°－∠A>∠A，即∠A＜90°，与已知矛盾．1故AD＞BC不成立．21 由①②知AD＜BC成立.2放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．3 1 1 1 1求证：－<1＋＋…＋<2－(n∈N*且n≥2)．2 n＋1 22 n2 n∵k(k＋1)>k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)，1 1 1∴< < .k k＋1k2 k k－11 1 1 1 1即－< < －.k k＋1 k2 k－1 k分别令k＝2,3，…，n，得1 1 1 1 1 1 1 1 1－< <1－，－< < －，2 3 22 2 3 4 32 2 3…1 1 1 1 1－< < －，将这些不等式相加，得n n＋1 n2 n－1 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1－＋－＋…＋－< ＋＋…＋<1－＋－＋…＋－，2 3 3 4 n n＋1 22 32 n2 2 2 3 n－1 n1 1 1 1 1 1即－< ＋＋…＋<1－.2 n＋1 22 32 n2 n1 1 1 1 1 1∴1＋－<1＋＋＋…＋<1＋1－.2 n＋1 22 32 n2 n1031111即－<1＋＋…＋<2－(n∈N*且n≥2)成立．2n＋122n2n10。
人教版高中数学选修第二讲三反证法与放缩法ppt课件
【名师点评】 当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明， 对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定 理、已知条件、假设矛盾．
变式训练 1 已知 f(x)＝x2＋px＋q， (1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 1 2.
谢谢观看！
3．放缩法的理论依据
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为不等量；
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
4．常用的放缩技巧
(1)舍掉(或加进)一些项；
(2)在分式中放大或缩小分子或分母；
(3)应用重要
不等
式进行
放缩
，如(a＋12)2＋
3 4
>(a＋
1 2
)2；k12
a＋b22＝|a＋b2|≥a＋b2.
b2＋bc＋c2＝
c＋b22＋34b2
≥
c＋b22＝|c＋b2|≥c＋b2.
∴ a2＋ab＋b2＋ b2＋bc＋c2≥a＋b＋c.
【名师点评】 (a＋b2)2＋34b2 去掉非负数34b2 而变小．
变式训练 3 求证：32－n＋ 1 1<1＋212＋312＋…＋n12<2 －n1(n∈N＋，n≥2)．
方法感悟
1．反证法的证题思路及适用类型 要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性质推出矛盾，从而 肯定M>N成立．凡涉及到的证明不等式为否定性命题,唯一性命题,或 是含“至多”、“至少”等字句时，可考虑使用反证法．
2．常用的换元法——三角换元 对于条件不等式的证明，当所给的条件较复杂，一个变量不易用另 一个变量表示时，可考虑三角换元,将两个变量都用一个参数表示， 此法如果运用得当,可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转 化为三角问题，如问题中已知x2＋y2＝a2，a∈(0，＋∞)，可设x＝ acosθ，y＝asinθ；若已知x2＋y2≤1，可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(|r|≤1) 等．
2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法教案(含解析)新人教A版选修4_5
三 反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤： ①假设命题不成立； ②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.证明：假设4a (1－b )>1,4b (1－c )>1,4c (1－d )>1， 4d (1－a )>1，则有a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.∴a (1－b )>12，b (1－c )>12，c (1－d )>12，d (1－a )>12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2>12，b ＋1－c 2>12， c ＋1－d 2>12，d ＋1－a 2>12. 将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b .证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． 故a <b .[例2] x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得 y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证：1 a ＋1＋1b ＋1<32.证明：因为1a ＋1＋1b ＋1<1＋b a ＋1＋b ＋1＋a b ＋1＋a＝a ＋b ＋2a ＋b ＋1＝32，所以原不等式得证．5．已知n ∈N ＋，求证：1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122.证明：因为1×3<1＋32＝42，3×5<3＋52＝82，…，(2n －1)(2n ＋1)<(2n －1)＋(2n ＋1)2＝4n2，所以1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<4＋8＋…＋4n 2＝n 2＋n ，又因为n 2＋n <⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3. 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2， 则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，∵a ，b ，c 均小于0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C. 5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________． 解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M <1. 共210项 答案：M <16．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nnn 项＝n . 答案：A ≥n8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1，知a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2.10．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，从而cos α＝1，这与α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α， 所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos α2－cos β＝sin αsin β.因为α>β，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>sin β.从而cos α2－cos β>1，即cos α>2－cos β，即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立． 由①②可知假设不成立，故原结论成立．。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与
2.3.2 放缩法课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】 证明下列不等式: (1)21·43·65·…·10099<101; (2)1<d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++<2.证明： (1)21<32,43<54,……,10099<101100,令A=21.43.....10099,B=32.54.. (101100),∴A<B,A 2<A·B=1011<1001. ∴21·43·65·…·10099<101. (2)d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++ <)()(d c dd c cb a bb a a+++++++=2, 又d c a dd c b c c b a b d b a c +++++++++++d c b a dd c b a c d c b a b d c b a c +++++++++++++++>=1,∴原不等式成立.各个击破类题演练1设n 为正整数,求证:21≤n n n 212111+++++Λ<1.证明:∵n∈N *,∴n n n n n n n n n 12121,,12121,11121<≤<+≤<+≤Λ,以上各式相加得n nn n n n n<+++++≤2121112Λ故原不等式成立.变式提升1求证:4712111222<++n Λ. 证明:∵k k k 11112--<,∴ΛΛ+-+-++<++++)4131()3121(21111312111222222n 47147121411)111(<-=-++=--+n n n n 即原不等式成立.二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩【例2】 (1)比较log 23与log 34的大小;(2)求证:log 56·log 54<1;(3)已知f(x)=log x (x+1),①比较f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)与1.1的大小;②求证:f(n)>f(n+1)(n∈N ,n≥2).(1)解析:log 23-log 34=3lg 2lg )]4lg 2(lg 21[3lg 3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 222•+->••-=- 3lg 2lg )9lg 21(3lg 3lg 2lg )8lg 21(3lg 2222•->•-= ∴log 23>log 34.(2)证明:24log 6log 4log 6log 5555+<•=21log 524 <21log 525=1. (3)①解析:f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)=101110112lg 2lg 2lg )12lg(1024lg 2049lg >+==1.1. ②证明:f(n)>f(n+1)⇐log n (n+1)>log n+1(n+2)log n+1(n+2)·log n+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.温馨提示1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:log 23=log 827>log 816>log 916=log 34,就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c 为三角形的三边,p=2c b a ++,p 2=2ab,求证: (1)p<2a;(2)a>c.证明:(1)∵a+c>b,∴p=2c b a ++>22b =b. ∴2ab=p·p>p·b,即p<2a.(2)p=ab 2≤22b a +, 即2c b a ++≤22b a +,故a≥c. 当且仅当2a=b 时取等号,此时,由条件p 2=2ab ⇒p=b,再由p=2c b a ++知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.变式提升2(1)a,b,c 为三角形的三边,证明a 2+b 2+c 2<2(ab+bc+ca);(2)设a,b,c 为三角形的三边,证明cc b b a a +>+++111 证明:(1)a,b,c 为三角形的三边,有a+b>c ⇒c(a+b)>c 2,b+c>a ⇒a(b+c)>a 2,c+a>b ⇒b(c+a)>b 2.三式相加即为2(ab+bc+ca)>a 2+b 2+c 2. (2)cc c b a b a b a b a b b a a b b a a +=+>++=+++=+++++>+++111111111111 ∴原不等式成立.三、利用其他方法进行放缩【例3】 设0<α<β<2π,0<θ<2π,求证: βαβθαθsin sin )sin()sin(>++. 思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：βθβθαθβθβθβθαθαθβθαθsin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin )sin()sin(•+••+•>•+••+•=++ βαβθαθsin sin sin cos sin cos =••> ∴原不等式成立.温馨提示将cosα换成cosβ,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a<b,则b a <m b m a ++.其实,很多时候我们不可能一下子看清问题的实质,那么去尝试一下,尝试的过程中,去伪存真,删繁就简.类题演练3设△ABC 的三边a,b,c 满足关系:a 2+b 2=c 2,当n>2,且n∈N *时,求证:a n +b n <c 2n . 证明:∵a 2+b 2=c 2,∴a<c,b<c.∴a n-2<c n-2,b n-2<c n-2.∴a n +b n =a 2·a n-2+b 2·b n-2<a 2·c n-2+b 2·c n-2=c n-2(a 2+b 2)=c n ,即a n +b n <c 2n .变式提升3在△ABC 中,求证:sin 2A ·sin 2B ·sin 2C ≤81.证明:sin 22A=2cos 1A -ac a bc c b a 44)(222≤--, ∴sin bc a A22≤.同理,sin ac b B 22≤,sin ab cC 22≤.三式相乘,得sin 2A ·sin 2B·sin 2C≤81.。
第二讲证明不等式的基本方法(反证法与方缩法)
应用反证法的情形： 应用反证法的情形：
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论． (2)需分成很多类进行讨论． 结论为“至少” 至多” （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； 类命题； 多个” ---类命题 唯一”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
第三讲
证明不等式的基本方法 -- 反证法与放缩法
反证法 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确 的推理,引出矛盾，因此说明假设错误, 的推理,引出矛盾，因此说明假设的的证明方 法叫反证法。 法叫反证法。
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
已知a 问题：已知a,b,c,d∈ R +，求证 a b c d 1< + + + <2 a+b+d b+c+a c+d+b d+a+c
问题：已知a 是实数， 问题：已知a,b是实数，求证 |a + b| |a| |b| ≤ + 1+|a + b| 1+|a| 1+|b|
问题： 问题：当 n > 2 时， 求证： 求证： n(n -1)log n(n +1)< 1 log
1 少有一个不小于 2
问题： 问题： 已知a 为实数, 已知a,b,c为实数,a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0， 求证 a > 0,b > 0,c > 0
放缩法
通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,简化不等式,从而达到证明的目的, 缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,讲 这种证明方法称为放缩法. 这种证明方法称为放缩法.
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[解析]
(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．令 f′(x)＝0，
反证法的应用
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； 1 (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
[证明]
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾， 1 ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
2
1．用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项 “添舍”放缩、分项放缩、函 数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递． 2．利用常用结论： 1 2 2 (1) ＝ > ＝2( k＋1－ k)， k k＋ k k＋ k＋1 1 2 2 ＝ < ＝2( k－ k－1)(k∈N＋，k>1)； k k＋ k k＋ k－1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) 2< ＝ － ； > ＝ － (程度大)； k kk－1 k－1 k k2 kk＋1 k k＋1 1 1 1 1 1 1 (3) 2< 2 ＝ ＝ k－1－k＋1(程度小)． k k －1 k－1k＋1 2
放缩法在综合问题中的应用 [典例] (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)＝xcos x－sin x＋1(x>0)．
(1)求 f(x)的单调区间； (2)记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(i∈N*)个零点， 1 1 1 2 证明：对一切 n∈N ，有 2＋ 2＋…＋ 2 < . x1 x2 xn 3
放大 或 缩小 ，简化不等式，
从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
[双基自测] 1．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 )
解析：恰有一个的否定是至少有两个或都是，故选 D.
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、反证法 先 假设要证的公理、定义、
定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、 明显成立的事实等) 矛盾 的结论， 以说明 假设 不正确， 从而证明原命题成立， 我们称这种证明问题的方法为反证法． 二、放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值
解析：由反证法的证明过程知正确顺序为③①②.
答案：③①②
1 1 1 3．A＝1＋ ＋ ＋…＋ 与 n(n∈N＋)的大小关系是________． n 2 3
1 1 1 1 解析：A＝ ＋ ＋ ＋…＋ ≥ n 1 2 3
1 1 1 1 答案： ＋ ＋ ＋…＋ ≥ n n 1 2 3
n ＝ n. n
探究一 [例 1] 已知 f(x)＝x2＋px＋q，
1 1 1 1 7 2．对于任意 n∈N＋，求证：1＋ 2＋ 2＋ 2＋…＋ 2< . 2 3 4 n 4
1 1 1 1 1 证明：∵ 2＝ < ＝ － (n≥2)， n n· n nn－1 n－1 n 1 1 1 1 ∴ 1＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 2 3 4 n 1 1 1 1 <1＋ 2＋ ＋ ＋…＋ 2 3×2 4×3 nn－1 1 1 1 1 1 1 1 ＝1＋ ＋2－3＋3－4＋…＋n－1－n 4 5 1 1 7 1 7 ＝ ＋ －n＝ －n< . 4 2 4 4
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证： x 与 y 中至少有一个小于 2. 1＋y 1＋ x 证明：假设 x ≥2 且 y ≥2.
∵x>0，y>0， ∴1＋y≥2x， 1＋x≥2y， ①＋②得 2＋(x＋y)≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与 x＋y>2 矛盾． 1＋y 1＋x ∴假设不成立，故 x 与 y 中至少有一个小于 2. ① ②
利用反证法证明不等式的方法步骤 (1)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否 定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． (2)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证 法，因为此类问题的反面比较具体． (3)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假 设矛盾；③与显然成立的事实相矛盾．
答案：D
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90° ＋90° ＋∠C>180° ，这与三角形内角和为 180° 矛盾，故假 设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90° ，∠B＝90° .上述步骤的正确顺序 为________．
三 反证法与放缩法
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.理解反证法在证明不等式中的作 用，掌握用反证法证明不等式的方 法．
重点：1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2.掌握反证法证明不等式的方法． 难点：掌握放缩法证明不等式的原理，并会用 其证明不等式.
2.掌握放缩法证明不等式的原理，
并会用其证明不等式.
01 课前 自主梳理
探究二 [例 2]
利用放缩法证明不等式
设 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1，
nn＋1 n＋12 求证：不等式 <Sn< 对所有的正整数 n 都成立． 2 2 nn＋1 2 2 2 [证明] ∵Sn> 1 ＋ 2 ＋…＋ n ＝1＋2＋…＋n＝ . 2
1＋2 2＋3 n＋n＋1 2n＋1 3 5 且 Sn< ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2 2 2 2n＋1 n＋1 1 3 5 < ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 2 2 2 2 2 nn＋1 n＋12 ∴ <Sn< . 2 2