2010年全国高中数学联赛试题参考答案
2010年全国高中数学联赛一试试题及答案
6. 两人轮流投掷骰子否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是
84 . 119 21 7 = ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
解：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 7 1 84 . = × = 25 119 12 1− 144
2
数学竞赛之窗博客/
g ( y ) max = a 2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a = 2 ，
所以 g ( y ) min = 2
1 + 3 × 2 −1 − 2 = − . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ −1,1] 上的最小值为 − . 4
解二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B − A1 P − B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得
2
3 ≤ a ≤ 12 . 2
解：令 sin x = t ，则原函数化为 g (t ) = ( −at + a − 3)t ，即
2
g (t ) = −at 3 + (a − 3)t .
由
− at 3 + (a − 3)t ≥ −3 ， − at (t 2 − 1) − 3(t − 1) ≥ 0 ，
2010全国高中数学联赛一试评分标准a
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
k 1
9
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为
2 846 98 1790 .
4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列， {bn } 是等比数列，其中 a1 3, b1 1, a 2 b2 ,3a 5 b3 ， 且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则 解：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则
2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本 评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不要增加其 他中间档次。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1. 函数 f ( x)
C B
PB PA1 5 , A1O B1O 2 , PO 3 .
在直角 PA1O 中， A1O PO A1 P OE , 即
2 3 5 OE , OE
6 5
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2010B1、函数x x x f 3245)(---=的值域为◆答案：]3,3[-★解析：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2010B 2、已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围为◆答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,23 ★解析：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知：1223≤≤-a .2010B 3、双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851★解析：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.2010B 4、已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα◆答案：3★解析：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+（1），2)43(3q d =+（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.2010B 5、函数23)(2-+=x xa ax f （0>a ，且1≠a ）在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值为 ◆答案：41-★解析：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.2010B 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮另一个人投掷。
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
.
解答
若 a > 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递增，
则 f (1) = a2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a2 + 3a − 10 = (a − 2)(a + 5) = 0 ⇒ a = 2；
若 0 < a < 1 时，f (x) = a2x + 3ax − 2 在区间 x ∈ [−1, 1] 上单调递减，
求 a 的最大值.
解答
f ′(0) = c,
f
′(x)
=
3ax2
+
2bx
+
c
⇒
ff
′(1) ′1
= 3a + 3
=a
2b + c, +b+c
24
2 ⇒a=
f ′(0) + f ′(1) − 2f ′
1
3
2
f ′(0) = c = 1,
⩽ 2 |f ′(0)| + |f ′(1)| + 2 f ′ 1
······ x = 99 时，y = −98, −97, · · · , 97, 98 共 197 个整点. 所以区域内部整点的个数是 98(3 + 197) = 9800.
2 4. 已知 {an} 是公差不为 0 的等差数列，{bn} 是等比数列，其中 a1 = 3, b1 = 1, a2 =
b2, 3a5 = b3，且存在常数 α, β 使得对每一个正整数 n 都有 an = logα bn + β，则
+ 5r
−
2
=
0.
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
2010年全国高中数学联赛试题及答案
PA1 B .
过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ^ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ÐB1 EO 为二面角 B - A1 P - B1 的平面 设 AA1 = 2 ,则易求得 PB = PA1 = 5, AO = B1O = 1 在直角 DPA1O 中， A1O × PO = A1 P × OE ,即
2 4 2 4
5
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 》
容 易 知 道 当 -1 £ z £ 1 时 ， 0 £ h ( z ) £ 2, 0 £ h(-z) £ 2 . 从 而 当 -1 £ z £ 1 时 ，
0£
h( z ) + h(- z ) £2 ， 即 2
a1 = 3, b1 = 1, a2 = b2 ,3a5 = b3 ，且存在常数 a, b 使得对每一个正整数 n 都有 an = log a bn + b ，
则a+b = 5. .
2x
函数 f ( x ) = a
+ 3a x - 2( a > 0, a ¹ 1) 在区间 x Î [- 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个
A1 C1 OA1 = OB, OA = OB , E 1 A 1B ^ AB1 B1 O A P
6 . 4
所以 sin a =
解法二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 .
A1 B
与
AB1
交
于
点
O,
则
因为 PA = PB1 , 所以 PO ^ AB1 , 从而 AB1 ^ 平
面
区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC - A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是 CC1 的 中 点 ， 二 面 角 . .
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 1 页 共 12 页
3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 第 4 页 共 12 页
为
8 . 3
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
2
x1 x 2 y y2 ， 2, y 0 1 2 2
k AB
y 2 y1 y y1 6 3 . 22 2 x 2 x1 y 2 y1 y 0 y 2 y1 6 6 y0 ( x 2) . （1） 3
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y y 0
2010A 10、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 y 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) ， 其中 x1 x 2 且 x1 x 2 4 ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 的面积的最大值。 ★解析：解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0
2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛)含答案
2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． ．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体， 点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ．ABC(第7题)(第4题)C A BD D 1C 1 B 1A 1P Q R8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，0m <≤()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()2f x ≥，求所有的实数x 的值．四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式．四、（本题满分50分）A B CEF M I (第1题)设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+.2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ． 答案：b n ＝n ＋45，n ∈N*简解：由a n ＝22n +35，得a 1a 2a 3…a n ＝22(1＋2＋…＋n )＋3n5＝2n (n ＋4)5，n ∈N*．所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋45，n ∈N*．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． 答案：3简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l 有3条．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(－17，－117)简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2＋x 的对称轴和开口方向．因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以－12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体，点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．D 1C 1B 1A 1答案：43简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ．又因为AC ⊥BD ，所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ． 又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ．同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2．因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝16，所以V C 1－PQR ＝13·34·(2)2·33－V A －PQR ＝43．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 答案：－6简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 1a 2 a 3a 4＝1．又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*．所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，概率为 3106 .掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24C =10种，概率为 4106 . 所以概率的比为 3106:4106 = 1:6 .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ． 答案：1116简解：因BC AC >，故A B ∠>∠. 如图，作AD ，使∠BAD ＝∠B ，则∠DAC ＝∠A －∠B ．设AD ＝BD ＝x ，则DC ＝5－x ．在△ADC 中，ABD C(第7题)由余弦定理得x ＝3．再由余弦定理得cos C ＝1116．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF 的最大值为 ． 答案：233简解：设点M (x ，y )，则(MO MF )2＝x 2＋y 2(x ＋12)2＝4x 2＋8x 4x 2＋4x ＋1＝1＋4x －14x 2＋4x ＋1．令4x －1＝t ，当t ≤0时，显然MOMF ≤1．当t ＞0时，则(MO MF)2＝1＋4t ＋6＋9t ≤1＋13＝43，且当t ＝3，即x ＝1时，等号成立． 所以MO MF 的最大值为233，此时点M 的坐标为(1，±2)．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．证明：设P (cos α，sin α)，C (－1，－2)，D (1，－2)，E (x 1，0)，F (x 2，0)． 因为点P 、E 、C 三点共线，所以sin α＋2cos α＋1＝2x 1＋1，所以x 1＝2(cos α＋1)sin α＋2－1． ………………5分由点P 、F 、D 三点共线，所以sin α＋2cos α－1＝2x 2－1，所以x 2＝2(cos α－1)sin α＋2＋1． ………………10分所以BE ＝x 1＋1＝2(cos α＋1)sin α＋2，EF ＝x 2－x 1＝2sin αsin α＋2 ，F A ＝2(cos α－1)sin α＋2．所以BE ·F A ＝2(cos α＋1)sin α＋2×2(cos α－1)sin α＋2＝4sin 2α(sin α＋2)2＝EF 2．即BE ，EF ，F A 成等比数列． ………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，023m <≤，函数()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()3f x ≥，求所有的实数x 的值． 解答：因为(0, )x a ∈时，2222()244x ma ma amx mx m a -=--+≤， 当且仅当2ax =时等号成立， ……………5分 所以2222222234(1)(1)4(1(1))a mamx mx am a a a m a a a m a m -≤≤=+-+-+- 344am m ≤≤≤， ……………15分 当且仅当2ax =及1a =与23m =时等号成立. 故1x =. ……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．证明：(方法一) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3＜b n ，0＜b n ＜1． ………………5分 所以 (a k －a k ＋1)( a k ＋2－1)＝(b k －b k ＋1)×b k ＋2＝(b k －b k ＋1)×b k ＋13＜14(b k －b k ＋1)×(b k 3＋b k 2b k ＋1＋b k b k ＋12＋b k ＋13)＜14(b k 4－b k ＋14)． ………………15分所以 (a 1－a 2)(a 3－1)＋(a 2－a 3)(a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)(a n ＋2－1)＜14(b 14－b 24)＋14(b 24－b 34)＋…＋14(b n 4－b n ＋14) ＝14(b 14－b n ＋14)＜14b 14＜14． ………………20分 (方法二) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3，0＜b n ＜1． ………………5分所以 (a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＝(b 1－b 2) b 3＋(b 2－b 3) b 4＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋2 ＝(b 1－b 2) b 23＋(b 2－b 3) b 33＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋1313014x dx <=⎰． ………………20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.证明：过点M 作MP AC ⊥、MQ AB ⊥，垂足分别为P 、Q . 圆I 切边BC 于点D ，则ID BC ⊥, IF AB ⊥, IE AC ⊥.显然AF=AE , 所以AFM AEM ∠=∠, 从而推知Rt Rt QFMPEM ∆∆, 得MQ MFMP ME=. A BCEFPQM IDA B C EF M I (第1题)又 1212MAB MAC MQ ABS MQ AB MF AB S MP AC ME ACMP AC ∆∆⋅==⋅=⋅⋅, 所以 MAB ∆与MAC ∆面积相等的充要条件是AB MEAC MF=. ① 由①可知，问题转化为证明：AB MEAC MF =的充分必要条件是MI BC ⊥. ………10分 首先证明：若MI BC ⊥，则AB MEAC MF=. 由MI BC ⊥可知点M 在直线ID 上.因为B 、D 、I 、F 四点共圆，所以MIF DBF B ∠=∠=∠，MIE ECD C ∠=∠=∠.又 IE=IF ，则由正弦定理得sin sin sin()sin MF FI IE MEMIF IMF IMF MIEπ===∠∠-∠∠,即sin sin ME C MF B =，而sin sin AB C AC B =. 所以AB MEAC MF=. ……………30分 其次证明：若AB MEAC MF=，则MI BC ⊥. 设直线ID 与EF 交于点'M ，则由上述证明可知''AB M EAC M F=，于是有 ''AB M EAC M F=，从而 'M M ≡. 故命题成立. ……………40分二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.证明：不妨设12max{,,,}n b b b b =，并且由点A 向12,,,b A A A 引出b 条蓝色边，则12,,,b A A A 之间无蓝色边，12,,,b A A A 以外的n b -个点，每点至多引出b 条蓝色边，因此蓝色边总数()n b b ≤-22()24n b b n-+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. …………20分故 2212242n n n b b b +++≤⨯=. 命题得证. ……………40分三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式． 解：由已知得11n n n na aa a -+>. 若有某个n ，使11n na a -≥，则 1n n a a +>， …………10分 从而112n n n n a a a a -++≥>>>，这显然不可能，因为*{} (N )n a n ∈是正整数的无穷数列. 故数列{}n a 中的项是严格递增的. …………20分 从而由44a =可知， 11a =，22a =，33a =. …………30分于是由{}n a 的递推公式及数学归纳法知*(N )n a n n =∈. …………40分显然数列*{} (N )n n ∈满足要求，故所求的正整数无穷数列为{}n (1)n ≥. …………50分 四、（本题满分50分）设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+. 证明：由条件可知22|(2)p x y py -+，则2|(2)p x y -.因p 是素数，故有|2p x y -. 设2x y pk -=， …………20分 则 222211((2))44p x xy y py x y +-+=+-2221((2))4x pk p p k =-+ 22((2))4p x pk pk =-+ …………30分 22((2))4p x pk k k pk =-+-+ 22((2))4p u v pv =-+ （这里(1)2k p u x -=-，v k =） 22(44(1))4p u uv p v =-++ 221()4p p u uv v +=-+. 命题得证. …………50分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.函数 在区间 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.
6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2010年10月17日8：00—9：20
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1.函数 的值域是______________.
2.已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是_____________.
3.双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.
又x轴上有98个整点，
则所求整点个数为 .4.来自5.6.= .
7.
8.
二、解答题
9.
10.
11.
11.(本小题满分20分)证明：方程 恰有一个实根 ，且存在唯一的严格递增正整数列 ，使得 .
2010年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案与评分标准
一、填空题
1. .2.
3. . 4. .
5. .6. .
7. .8. .
1.
2..
3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设 与双曲线右半支交于点 ，与直线 交于点 ，则线段 内部的整点个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个数为
7.正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ,则 _____________.
8.方程 满足 的正整数解 的个数是_____________.
二、解答题（本题满分56分）
9.(本小题满分16分)已知函数 ，当 时， ，试求 的最大值.
10.(本小题满分20分)已知抛物线 上的两个动点 和 ,其中 且 .线段 的垂直平分线与 轴交于点 ,求△ 面积的最大值.