2014-2015年文科数学全国1卷真题及答案

（17）（本小题满分12分）
已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。
（ ）求 的通项公式；
（ ）求数列 的前 项和.
（18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
（A） （B） （C） （D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
（ ）求 的极坐标方程.
（ ）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（ ）当 时求不等式 的解集；
（ ）若 的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
一、选择题
（1）已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
（2）若 ，则
A. B. C. D.
（3）设 ，则
A. B. C. D. 2
（4）已知双曲线 的离心率为2，则
A. 2 B. C. D. 1
（5）设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是奇函数D. 是奇函数
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣传费 的回归方程式类型.
（II）令 ，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为 ,因此y关于 的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（II）知，当 =49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
故 ，的c=a= .
所以△ABC的面积为1.……12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.……5分
（II）设AB= ，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC= ，GB=GD= .
由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数 则使得 成立的 的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高 ，则山高 ________ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
设函数 ，曲线 处的切线斜率为0
（1）求b;
（2）若存在 使得 ，求a的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形 是 的内接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，且 .
（ ）证明： ；
（ ）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？
20.（本小题满分12分）已知过点 且斜率为k的直线l与圆C： 交于M，N两点.
（ ）求k的取值范围；
（ ）若 ，其中O为坐标原点，求 .
21.（本小题满分12分）设函数 .
（ ）讨论 的导函数 的零点的个数；
（ ）证明：当 时 .
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
由于 ，所以 .
故当 时， .……12分
22、解：
（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC= ，所以∠DEC+∠OEB= ，故∠OED= ，DE是 O的切线.
……5分
（II）设CE=1，AE= ，由已知得AB= ，BE= .由射影定理可得， ，
（ ）设 不是 的直径， 的中点为 ，且 ，证明： 为等边三角形.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 ，直线 （ 为参数）
（1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为30°的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG= .
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE= .
由已知得，三棱锥E-ACD的体积 = × AC·GD·BE= .
故 =2……9分
从而可得AE=EC=ED= .
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 .
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2 .……12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是 O直径，AC是 O切线，BC交 O与点E.
（ ）若D为AC中点，证明：DE是 O切线；
（ ）若 ，求 的大小.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
所以 ，即 .可得 ，所以∠ACB= .
……10分
23、解：
（I）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为 .……5分
（II）将 代入 ，得 ，解得
.故 ，即
由于 的半径为1，所以 的面积为 .……10分
24、解：
（I）当 时， 化为 .
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
.
所以当 ，即 =46.24时， 取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
20、解：
（I）由题设，可知直线 的方程为 .
因为 与C交于两点，所以 .
解得 .
所以k的取值范围为 .……5分
（II）设 .
将 代入方程 ，整理得
.
所以 .
.
由题设可得 =12，解得k=1，所以 的方程是y=x+1.
13、数列 中 为 的前n项和，若 ，则 .
14.已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .
15.若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．
16.已知 是双曲线 的右焦点，P是C左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为．
三、解答题
17.（本小题满分12分）已知 分别是 内角 的对边， .
（ ）若 ，求
（ ）若 ，且 求 的面积.
18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点， ，
（ ）证明：平面 平面 ；
（ ）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）D（2）A（3）C（4）C（5）B（6）B
（7）B（8）D（9）C（10）A（11）B（12）C
二、填空题
（13）6（14）1（15）4（16）
三、解答题
17、解：
（I）由题设及正弦定理可得 =2ac.
又a=b，可得cosB= = ……6分
（II）由（I）知 =2ac.
因为B= ，由勾股定理得 .
（ ）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（ ）根据（ ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（ ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（ ）的结果回答下列问题：
（ ）当年宣传费 =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为
（A）5（B）4（C）3（D）2
2、已知点 ，向量 ，则向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知复数 满足 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
且 ，则
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且
，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
19(本题满分12分)
如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面 .
（1）证明：
（2）若 , 求三棱柱 的高.