高等数学上册第五节 函数的微分及其应用优秀课件
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微分详细讲解课件
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值,精确值.
例9 证当x很小时,ex 1 x.
例10 求5 31的近似值.
(一) 、微分的定义
1.引例 2.微分的定义 3.可微的条件 4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 s x02 ,
s (x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
解 (1) y' 3x2 dy 3x2dx
(2)dy |x2 3 x2 |x2 dx 12dx
(3) dy x2 3x2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
tan f(x) PQ x
PQ f (x)x dy y NQ ,dy PQ NP o(x)
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f (x) g(x)) df (x) dg(x)
d(Cf (x)) Cdf (x)
d(f (x)g(x)) g(x)df (x) f (x)dg(x)
d(f (x)) g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) g(x)2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3 设 y e13x cosx, 求dy及dy(0). 例4 y f(e-x ),求dy 例5 :由x y2 exy确定y f (x),求dy
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x Q
）
o
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微分ppt课件
微分PPT课件
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
《微分及其应用》课件
成本函数：描述成本与产量的关系
边际成本：增加一单位产量所增加的成 本
边际收益：增加一单位产量所增加的收 益
边际成本和边际收益的关系：决定企业 是否继续生产
成本和收益分析在经济学中的应用：帮 助企业做出最优决策
微分在物理学中 的应用
速度和加速度的计算
微分在物理学中的应用：速度和加速度的计算 速度的定义：物体在单位时间内通过的距离 加速度的定义：物体速度的变化率 微分在速度和加速度计算中的应用：通过微分方程求解速度和加速度
微分及其应用
汇报人：
目录
微分的概念
01
微分的应用
02
微分在经济学中的应 用
03
微分在物理学中的应 用
04
微分在工程学中的应 用
05
微分的进一步学习建 议
06
微分的概念
微分的定义
微分是函数在某一点的切线斜 率
微分是函数在某一点的增量
微分是函数在某一点的变化率
微分是函数在某一点的导数
微分的几何意义
阻抗匹配在通信工程中的应用：在通信系统中，阻抗匹配可以减少信号损失，提高传输效率
阻抗匹配在电力电子工程中的应用：在电力电子设备中，阻抗匹配可以减少功率损耗，提高设备 效率
机械振动中的频率分析
微分在机械振动中的应用：通过微分方程求解振动频率 振动频率的定义：振动物体在单位时间内振动的次数 振动频率的测量：通过传感器和信号处理技术进行测量 振动频率的应用：在机械设计中用于优化结构、提高性能和降低噪声
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒
动量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总动量
保持不变
能量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总能量
保持不变
动量守恒和能量 守恒的关系：动 量守恒和能量守 恒是相互关联的， 动量守恒是能量
边际成本：增加一单位产量所增加的成 本
边际收益：增加一单位产量所增加的收 益
边际成本和边际收益的关系：决定企业 是否继续生产
成本和收益分析在经济学中的应用：帮 助企业做出最优决策
微分在物理学中 的应用
速度和加速度的计算
微分在物理学中的应用：速度和加速度的计算 速度的定义：物体在单位时间内通过的距离 加速度的定义：物体速度的变化率 微分在速度和加速度计算中的应用：通过微分方程求解速度和加速度
微分及其应用
汇报人：
目录
微分的概念
01
微分的应用
02
微分在经济学中的应 用
03
微分在物理学中的应 用
04
微分在工程学中的应 用
05
微分的进一步学习建 议
06
微分的概念
微分的定义
微分是函数在某一点的切线斜 率
微分是函数在某一点的增量
微分是函数在某一点的变化率
微分是函数在某一点的导数
微分的几何意义
阻抗匹配在通信工程中的应用：在通信系统中，阻抗匹配可以减少信号损失，提高传输效率
阻抗匹配在电力电子工程中的应用：在电力电子设备中，阻抗匹配可以减少功率损耗，提高设备 效率
机械振动中的频率分析
微分在机械振动中的应用：通过微分方程求解振动频率 振动频率的定义：振动物体在单位时间内振动的次数 振动频率的测量：通过传感器和信号处理技术进行测量 振动频率的应用：在机械设计中用于优化结构、提高性能和降低噪声
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒
动量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总动量
保持不变
能量守恒定律： 在弹性碰撞中， 系统的总能量
保持不变
动量守恒和能量 守恒的关系：动 量守恒和能量守 恒是相互关联的， 动量守恒是能量
函数的微分及其应用ppt课件
(1) 若 x 是自变量时, dy f ( x)dx; (2) 若 x 是中间变量时, 即另一变量 t 的可微
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
3
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
y y f (x)
Relative error
27
1. 若已知量测最大误差为，即 | x | ，则
| y || f ( x) | | x || f ( x) |
y f ( x) | x | f ( x)
y f (x)
f (x)
2. 若已知 y 的最大绝对误差为 ，即
| y || f ( x) | | x |
2 2
xy xy
dx
20
例6. 求 y
x2 1 的微分； x2 1
解:
dy
x2 x2
1 1
dx
令
u
x2 x2
1, 1
dy (
u)du
2
1 u
d
x2 x2
11
2
1 u
2 x( x2
1) (x2
2x( 1)2
函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x 是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是 dy f ( x)dx
3
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
由定义知: (1) dy 是自变量的改变量 x 的线性函数;
(2) y dy o (x) 是比 x 高阶无穷小;
(3) 当 A 0 时,dy 与 y 是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A 是与 x 无关的常数,但与 f ( x) 和 x0 有关;
y y f (x)
Relative error
27
1. 若已知量测最大误差为，即 | x | ，则
| y || f ( x) | | x || f ( x) |
y f ( x) | x | f ( x)
y f (x)
f (x)
2. 若已知 y 的最大绝对误差为 ，即
| y || f ( x) | | x |
2 2
xy xy
dx
20
例6. 求 y
x2 1 的微分； x2 1
解:
dy
x2 x2
1 1
dx
令
u
x2 x2
1, 1
dy (
u)du
2
1 u
d
x2 x2
11
2
1 u
2 x( x2
1) (x2
2x( 1)2
高数二章课件05函数的微分
导数与极值的关系：导数为0 的点可能是极值点
极值的判定：利用导数判断函 数的单调性，从而确定极值
极值的求解：利用导数求解函 数的极值
极值的应用：在工程、经济等 领域中，利用极值求解最优解
利用导数研究曲线的凹凸性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数小于0，曲线在该点为凹
导数的正负决定了曲线在该点的凹凸性 导数大于0，曲线在该点为凸
隐函数求导：通过 隐函数方程，求解 出隐函数的导数
隐函数微分应用：在 物理、工程等领域广 泛应用，如求解运动 方程、优化问题等
微分的应用
利用微分近似计算函数值
微分近似计算函 数值的原理
微分近似计算函 数值的步骤
微分近似计算函 数值的应用实例
微分近似计算函 数值的优缺点
利用微分解决实际问题
微分在工程学中的应用：如 流体力学、热力学等
微分在经济学中的应用：如 边际分析、弹性分析等
微分在物理学中的应用：如牛 顿第二定律、能量守恒定律等
微分在生物学中的应用：如种 群增长模型、生态平衡模型等
感谢观看
汇报人：
添加标题
微分是函数在某一点的切线斜率
添加标题
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微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的切线斜率
微分的物理意义
微分是函数在某一点的瞬时速度
添加标题
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微分是函数在某一点的变化率
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添加标题
微分是函数在某一点的加速度
微分的计算
微分的基本公式
微分基本公式：dy/dx = f'(x) 导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h 导数的性质：f'(x) = f'(x+h) - f'(x) 导数的计算方法：直接代入法、求导公式法、导数表法等
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dyAx 定理: 函数 yf(x)在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x)在点 x0处可且 导 A ， f(x0),即
d yf(x0) x
©
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证: “必要性”
d yf(x0) x
“充分性”已知 yf(x)在点 x 0 的可导, 则
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
( lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f( x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
y y f(x)
y
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 © 2) x与x0靠近 .
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) ex 1x
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
y f( x 0 ) x o ( x ) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
(4) taxnx
©
例6. 半径为10 厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了0.05厘米，问面积达约增加了多少？
解: 以 A 、 r 分别表示圆片的面积及半径，
则 A r2
当 r 10 厘米， r0.05 厘米，时
面积的增量
A d A 2 r r 2 1 0 0 .0 5 （ ）厘米2
高等数学上册第五节 函数的微分及其应用 优秀课件
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
y1 x31 x31 2ln1(x2)arcxtan d yd(1)1d(1)1dln 1 (x2)d(arxc ) ta
x 3 x3 2
©
例+. 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s( sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
则 x0.1时，y0.331, dy 0.3
则 x0.01 时， y0.030301, dy 0.03
©
三、 微分运算法则 基本初等函数的微分公式 (见 P72表)
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
©
二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 ) A xo ( x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
©
例7. 求 sin3013 的近似值 .
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变式
©
例3.设 y ex2 cos1 x
解:
，求 dy
d yco1d s(ex2)ex2d(c1 o)s
x
x
co s1e x2d( x2)e x2( sin1)d(1)
x
xx
ex2(2xcos11sin1)dx x x2 x
©
例4.设 y3x 32 x 31ln1x2arctanx, 求 dy
解:先化简
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
lim ylim (Ao( x))A x 0 x x 0 x
故 yf(x)在点 x 0 的可导, 且 f(x0)A
©
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
d yf(x0) x
©
定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证: “必要性”
d yf(x0) x
“充分性”已知 yf(x)在点 x 0 的可导, 则
limy x0x
f
(x0)
xyf(x0)
( lim0) x0
故 y f ( x 0 ) x x f( x 0 ) x o ( x )
即 dyf(x0) x
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
y y f(x)
y
当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分, 记作 d x
o
x0
x
x0 x
则有 dyf(x)dx
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
使用原则: 1 )f(x0),f(x0)好;算 © 2) x与x0靠近 .
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) ex 1x
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
y f( x 0 ) x o ( x ) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f( x 0 x ) f( x 0 )f(x0)x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
(4) taxnx
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例6. 半径为10 厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了0.05厘米，问面积达约增加了多少？
解: 以 A 、 r 分别表示圆片的面积及半径，
则 A r2
当 r 10 厘米， r0.05 厘米，时
面积的增量
A d A 2 r r 2 1 0 0 .0 5 （ ）厘米2
高等数学上册第五节 函数的微分及其应用 优秀课件
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
y1 x31 x31 2ln1(x2)arcxtan d yd(1)1d(1)1dln 1 (x2)d(arxc ) ta
x 3 x3 2
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例+. 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s( sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
则 x0.1时，y0.331, dy 0.3
则 x0.01 时， y0.030301, dy 0.03
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三、 微分运算法则 基本初等函数的微分公式 (见 P72表)
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
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二.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 0 的微分
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定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 ) A xo ( x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 yf(x)在点 x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作 d y 或d f , 即
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例7. 求 sin3013 的近似值 .
1.d(uv)dudv 2.d(Cu)Cdu (C 为常数)
3.d(uv) vduudv
5. 复合函数的微分
4.d(u) v
vdu udv v2
(v0)
y f(u ),u (x )分别可微 ,
则复合函数 yf[(x)]的微分为
dyyxdxf(u )(x)d x du
dyf(u)du 微分形式不变式
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例3.设 y ex2 cos1 x
解:
，求 dy
d yco1d s(ex2)ex2d(c1 o)s
x
x
co s1e x2d( x2)e x2( sin1)d(1)
x
xx
ex2(2xcos11sin1)dx x x2 x
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例4.设 y3x 32 x 31ln1x2arctanx, 求 dy
解:先化简
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
lim ylim (Ao( x))A x 0 x x 0 x
故 yf(x)在点 x 0 的可导, 且 f(x0)A
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定理 : 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1 ) d12 x(2 C) x d x
( 2 )d1s( int C) co td ts
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.