高一数学下学期期中试题(扫描版)
景德镇市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
景德镇市2022-2023学年下学期期中质量检测卷高一数学本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.角2023-︒是（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某校今年二月份举行月考后，为了分析该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，下列说法正确的是（） A.样本容量是180 B.每名学生的成绩是所抽取的一个样本 C.每名学生是个体D.1800名学生是总体3.在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的人数为（ ） A.1000B.1500C.2000D.10004.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为35和47，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（ ） A.1135B.1235C.1335 D.17355.若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角α的弧度为（ ） A.1B.2C.3D. 46.筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的筒车，一个水斗从点A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+≥>< ⎪⎝⎭，则函数()y f t =的解析式是（ ）A.()603f t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()303f t t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()603f t t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭D.()303f t t ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭7.甲乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于6，则甲得一分：若乙掷两次骰子的点数之和大于m ，则乙得一分，最先得到分10者获胜.为确保游戏得公平性，正整数m 的值应为（ ） A.9 B.8C.7D.68.函数22sin 3()cos x xf x x x +=+在区间[,]ππ-的大致图像为（ ）A. B.C. D.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（ ） A.中位数为8.3B.极差为3C.75%的分位数为9.15D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分10.袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（ ）A.第一次摸到红球的概率是13B.第二次摸到红球的概率是16 C.两次都拱到红球的概率是115D.两次都摸到黄球的概率是11511.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费和销售价格如下.（小包装：质量100克，包装费0.5元，销售价格3.00元）；（大包装：质量300克，包装费0.7元，销售价格8.40元），则下列说法正确的是（ ） A.买大包装更实惠B.买小包装更实惠C.卖3小包比卖1大包盈利更多D.卖1大包比卖3小包盈利更多12.已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图像，如下图所示，||4||OB OA =，||3OC π=，则下列说法正确的有（ ）A.()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,1]- C.若(2)()f a x f x +=-，则||a 的最小值为12πD.将()cos g x x =-图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移12π个单位长度得到()f x 的图象 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.利用简单随机抽样的方法，从n 个个体(14)n >中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为15，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为 ． 14.函数2()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为 ． 15.在确保新型冠状病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中小学陆续分阶段复学.某高中在复学之后，为了帮助学生调整心理状态，理性面对疫情，科学合理有效安排学习生活，成立了由5名男教师和2名女敎师组成的心理咨询团队.现从这个团队中随机抽取3人专门负责高一年级的心理咨询工作，则至少选中1名女教师的概率是 ． 16.已知函数()2sin 1(0)6f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，若对于58,23x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≤，则ω的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴的合，终边经过点(8,)P m -，且4cos 5α=-.（1）求tan α的值：（2）求32cos cos()25sin cos()2ππαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值. 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，.在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将 ()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单仫长度，得到()y g x =的图象，若()y g x =图象的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值. 19.某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x （单位：吨），用水果不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；（3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x ，那么标准x 定为多少比较合理？20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为34，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为23，35，47，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响. （1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率； （2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.养鱼场中鱼群的最大养殖昰为t m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量t y 和实际养殖量t x 与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k >.注：=养鱼场中鱼群的最大养殖量-实际养殖量空闲率养鱼场中鱼群的最大养殖量（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长㽚达到最大值时，求k 的取值范围. 22.已知22()cos sin 2sin ()f x x x x a a R =-++∈. （1）求函数()f x 的值域；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ①讨论函数()f x 的零点个数；②若函数()f x 有两个雾点1x ，2x ，证明 122x x π+<.高一数学参考答案一、选择题 1-4：BACD 5-8：BBBC 二、选择题 9.BCD 10.AC11.AD12.ACD【解析】A ：由题设30A B x x πωϕπωϕωϕπ⎧-+=-⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，则304A A x x πωϕπωϕωϕπ⎧-+=-⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，则()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正确；B ：当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1()sin 21,32f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，错误；C ：由于(2)()f a x f x +=-，则函数()f x 关于x a =轴对称，232x k πππ-=+，5122k x ππ=+，取1k =-，则 12x π=-，正确； D ：()cos g x x =-的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12变为1()cos 2g x x =-，再向左平移12π个单位长度变为2()cos 2cos 2sin 2()6323g x x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确，故选ACD. 三、填空题 13.733 14.7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦15.5716.298【解析】即对于58,23x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1sin 62x πω⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭恒成立，首先85232633T ππππω-=≤=，则04ω<≤， 一方面，考虑552266k πππωπ+=-，解得4245k ω-=≤，取5k =，则185ω=； 另一方面，考虑82366k πππωπ+=-，解得6148k ω-=≤，取5k =，则298ω=； 由于291885>，则max 298ω=. 四、解答题17.解：（1）3tan 4α=. （2）54. 18.解：（1）()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）可以得到函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移(0)θθ>个单位长度， 可以得到函数()3sin 2()6g x x πθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，而函数()y g x =的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭， 故 22()46k k Z ππθπ⨯++=∈，则()23k k Z ππθ=-∈ 0θΘ>.∴当1k =时，max 6πθ=.19.解：（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可以得到如下等式(0.0820.1620.40.520.120.04)0.51a ⨯++++++⨯=，解得0.3a =（2）由频率分布直方图可以知道，该市居民月均用水量的众数约为2 2.52.252+=（吨） 平均数约为0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.2 2.250.26⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.750.15 3.250.06 3.750.04 4.250.02 2.035+⨯+⨯+⨯+⨯=（顿）（3）由频率分布直方图可知，月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5(0.080.160.30.40.52)100%73%⨯++++⨯=.月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为73%0.50.3100%88%+⨯⨯=， 所以(2.5,3)x ∈，由题意可得0.73( 2.5)0.30.85x +-⨯=，解得 2.9x =， 所以希望85%的居民月均用水量不超过x ，那么x 定位2.9吨比较合理.20.（1）解：记“甲队总得分为3分”为事件A 记“甲队总得分为1分”为事件B ， 甲队得3分，即三人都回答正确，则概率33327()44464P A =⨯⨯=. 甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率3333333339()11111144444444464P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）记“为甲队总得分为2分”为事件C ，记“为乙队总得分为1分”为事件D ， 事件C 即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率33333333327()11144444444464P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 事件D 即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率23423423429()111111357357357105P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题意可知，事件C 和事件D 相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为2729261()()()641052240P CD P C P D =⋅=⨯=. 21.（1）解：由题意，空闲率为1xm-，由于鱼群的年增长量y 和实际养殖量x 与空闲率的乘积成正比，比例系数(0)k k >， 所以1m x x y kx kx m m -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，(0)x m ≤<，定义域为(0,)m ； （2）由（1）得2224k k m kmy x kx x m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，故当2m x =时，max 4kmy =， 即鱼群得年增长量得最大值为km 4t . （3）由题意可得，0x y m ≤+<，即024m km m ≤+<，所以22k -≤<. 又因为0k >，02k ∴<<，故k 的取值范围为(0,2).22.解：（1）2()2sin 2sin 1f x x x a =-+++设sin [1,1]t x =∈-，2()221g t t t a =-+++，对称轴为12t =， 则max min 13,(1)3,22g g a g g a ⎛⎫==+=-=-⎪⎝⎭则函数()g t 的值域为33,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的值域为33,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. （2）①()0f x =即22sin 2sin 1x x a -=+， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin (0,1)t x =∈，2122,02t t ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，题设即2221t t a -=+， 1︒当112a +<-或10a +≥，即32a <-或1a ≥-时，方程2221t t a -=+无解；2︒当112a +=-，即32a =-时，方程2221t t a -=+仅有一解12t =，此时6x π=；3︒当1102a -<+<，即312a -<<-时，方程2221t t a -=+有两解，此时函数()f x 有两个零点；综上所述，当3,[1,)2a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 没有零点；当32a =-时，函数()f x 有一个零点； 当3,12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，函数()f x 有两个零点.（2）由①可知1sin x ，2sin x 满足方程22sin 2sin 10x x a ---=，则12sin sin 1x x +=， 则221212sin sin 2sin sin 1x x x x ++=， 由于120,2x x π⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭，则12sin sin 0x x >， 则2212sin sin 1x x +<，则222122sin 1sin cos x x x <-=， 则122sin cos sin 2x x x π⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 由于10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20,22x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则122x x π<-，即122x x π+<，即证.。
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
山东省日照市莒县一中2018_2019学年高一数学下学期期中试题(扫描版)
山东省日照市莒县一中2018-2019学年高一数学下学期期中试题（扫描版）2018——2019学年度高一下学期模块考试数学试题参考答案选择题1--10 BBCDC CDDAC 11 ABC 12ABD 13AC10解析：因为π8x=-为()f x的零点，π8x=为图象()y f x=的对称轴，所以ππ()8842T kT --=+，即π2k+12k+12π444T ω==⋅，所以42()k k N ω=+∈，又因为()f x 在π5π(,)824单调，所以5πππ2π2481222T ω-=≤=，即12ω≤，又42()k k N ω=+∈，则ω的可能取值为2,6,10，由检验知10ω=符合题意，故选C. 填空题 14.2 15.15 16.5π6 17.54-;2π3解答题18解：（1）由三角函数定义可知822322sin 2+==m α，解得1±=m Θ角α为第一象限角1m ∴= ………………… 6分（2）由（1）知tan α=πsin cos 3sin()sin 23πcos()cos()3sin cos()2αβαβπαβαβ+++--+sin cos 3cos sin tan 3tan cos cos 3sin sin 13tan tan 13αβαβαβαβαβαβ++=-=-++==-………………… 13分19解：（1）(3,2)(2,3)(15)AB =--=-，u u u r Q ，=(6,)(5,1)(1,1)CD y y --=+u u u r， 由向量AB u u u r 与CD uuur 共线得511(1)0y -⨯-⨯+=（）解得6y =- ………………… 6分（2）(1,5),(5,1)(3,2)(2,1)AB BC ==-=---=u u u r u u u rQ a b =,(1,5)(2,1)(12,5)k k k k ∴+=-+=+-+a b ， (1,5)(2,1)(1,6)-=--=--a b ，k +a b Q 与-a b 垂直，(1)(12)(5)(6)0k k ∴-⨯++-+⨯-=，解得29=8k . ………………… 13分 20解析：（1）(cos ,sin ),(1,[0,π]x x x ==∈Q a b ，//ab ，sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.tan x ∴=,又[]0,πx ∈，2π3x ∴=. ………………… 7分 （2）π()cos 2cos()3f x x x x =⋅=+a b =,[]ππ4π0,π,333x x ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦Q π11cos()32x ∴-≤+≤,于是ππ=,033x x +=时，()f x 取最大值1； π2π=π,33x x +=时，()f x 取最小值2-. ………………… 14分 21解：（1）1cos 211π1()22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=-=--+=-++， 由πππ2π22π()262Z k x k k -≤+≤+∈, 得ππππ()36Z k x k k -≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为ππ[ππ]()36Z k k k -+∈，………………… 7分 （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-++.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以πππ2,2626x m ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，即πsin(2)6x +在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m +≥，即π6m ≥.所以m 的最小值为π6. ………………… 14分 22解：（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，∴点的横坐标B 为π0π224+=；又点C 与点D 关于直线ππ5π23212x +==对称， ∴()f x 的最小正周期T 满足5πππ41246T =-=， 解得2π3T =，即3ω=； 由五点作图知，π3π4ϕ⨯+=，且0πϕ<<， ∴π=4ϕ； ………………… 6分 （2）由（1）知，函数π()=sin(3)4f x x +，由()=2sin 3f x k x +得πsin(3)2sin 34x k x +=+， ∴ππsin(3)2sin 3cos(3)44k x x x =+-=+， 设πππ()cos(3),,4123g x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦， 画出函数()g x 在ππ123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的图象，如图所示；根据题意，y k =与()g x 恰有两个交点， ∴实数k 应满足212k -<≤-． ………………… 14分 23解：（1）由图可得：2A =，4b =2ππ=6=3ωω∴Qπ2sin()43y t ϕ∴=++又过点(3,2)可得：sin 1ϕ=π0π=2ϕϕ<<∴Qπππ2sin()42cos()4323y t t ∴=++=+，所求函数的解析式为π2cos()43y t t =+≥（0）………………… 4分 （2）该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为π2cos((1))43t ++，乙车间为π2cos()43t +根据题意可得厂t 时刻的排污量：ππ2cos(1)+2cos()833W t t =++（）πππππ2cos cos 2sin sin 2cos 833333t t t =-++ππ3cos 833ππcos()836t t t =+=++ ………………… 8分（3）设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产根据题意可得：ππ2cos()4+2cos()41033t m t +++≤（）πππππcos cos sin sin cos 133333t m t m t ∴-+≤ππππ+cos cos sin sin 133331m t t m ∴-≤≤（1）π2+2cos 13m ≤π1cos 32m ∴≤-由函数周期性知()0,6m ∈，可得：2ππ4π333m ≤≤24m ∴≤≤∴为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.………………… 14分。
江西省南昌市2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题(扫描版)
又 ……………………………………3分
……………………………………………………………………………4分
锐角三角形中 ………………………………………………5分
(2) …………………………………6分
由 得： ……………………………………8分
………………………………………………10分
， ， ……………………………………………………3分
又 …………………………………………5分
在 中 ，
………………………………………………7分
=900……………………………………8分
……………………………………………………………………………………9分
时间 =1（小时）………………………………………………………………………………10分
20．解：（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ，
∴ ，故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故 ．4分
（2）由（1）得， ，
∴ 5分
令 ，
则 ，
两式相减得
∴ ，7分
故 ，8分
又由（1）得， ，9分
不等式 即为 ，
即为 对任意 恒成立，10分
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
故实数t的取值范围是 ．……………………………………………………12分
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解：（1） …………………4分
（2）∵ ，∴ ……………7分
∴ ，又∵ ∴ …………………………………………8分
17．解：（1）设数列 公差为 ， 公比为
由 得 所以 ………………………5分
河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分一、单选题单项选择题（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．）1. （ ）A.B. C.D. 2.半径为，圆心角为的弧长为（ ）A. B. C.D.3. 在中，若点满足，则( )A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）A. B.C. D.5. 在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝A. 60°B. 120°C. 30°D. 45°或135°6. 已知且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影数量是（ ）A. B.C. D.7. 把函数图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则（ ）A.B.C.D.8. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）的()tan 300-︒=1cm 3π120︒22cm9π2cm 9π2cm9πcm9πABC V D 2B D D C =AD =1233AC AB +5233AB AC -2133AC AB -2133AC AB+3π1sin 83α⎛⎫+=⎪⎝⎭πcos 8α⎛⎫-= ⎪⎝⎭13-13||3,||4a b ==a b π6a b 32-32()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π6πϕ=6π3π23π56π()2,4a =r ()1,b k = a bkA. B. C. D. 二、多选题多项选择题（本题共3小题．每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若∥，则B. 若∥，∥，则∥C. 若，则或；D. 若，则10. 设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在上单调递减11. 对于中，有如下判断，其中正确判断是（ ）A. 若，则符合条件的有两个B. 若，则等腰三角形C. 若，则D. 若，则是钝角三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知，且，则______13. 已知，向量与的夹角为，求的值______14. 函数，当时恒有解，则实数的范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．）15. 已知,.(1)当为何值时,与垂直;(2)若,,且三点共线,求的值.的为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫-⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭a b ca ba b a b⋅=⋅ a b b c a ca b = a b = a b =- a b a b +=- a b⊥ ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 2π()y f x =x π=()f x 6x π=()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ABC V 8,10,60a c B === ABC V cos cos A B =ABC V A B >sin sin A B>222sin sin sin A B C +<ABC V ()()3,2,6,a b y =-= //a b y =2,3a b == a b2π3a b + 2()4cos 4cos 3f x x x a =+--2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a ()2,0a = ()3,1b =k ka b - 2a b + 52AB a b =-BC a mb =+,,A B C m16. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求，，；（2）．17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间上最大值和最小值.18. 在中，已知．（1）求．（2）求边长及的面积．19. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.的αO x (1,2)P -sin αcos αtan αsin(3π)πsin cos(π)2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭π()2sin 2()6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 94,5,cos 16a b B ===sin A c ABC V ()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭()f x ()f x 4π()y g x =[]12,,x x m m π∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题单项选择题（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的．）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题多项选择题（本题共3小题．每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）【12题答案】【答案】【13题答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5小题，共77分．）【15题答案】【答案】(1)(2).【16题答案】【答案】（1），，（2）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，（2）最大值2，最小值为－1【18题答案】【答案】（1（2）；【19题答案】【答案】（1）（2）为4-[]4,5138k =25m =-sin α=cos α=tan 2α=-1-ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 6c =ABC S =V ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1724π。
精品解析：福建省莆田第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
莆田一中2021~2022学年度下学期期中考试试题高一数学必修二一，单选题（本大题共8小题,共40.0分）1. 已知i 是虚数单位,复数z 满足()1i 1i z ⋅+=-,则z 是（ ）A 1B. -1C. i -D. i【结果】C 【思路】【思路】利用复数地乘除运算即可求解.【详解】由题可知：()1i 1i z ⋅+=-,故21-i (1-i)-2i-i 1i (1i)(1-i)2z ====++.故选：C.2. 已知三个球地体积之比为1:27:64,则它们地表面积之比为（ ）A. 1:3:4 B. 1:9:16C. 2:3:4D. 1:27:64【结果】B 【思路】【思路】依据体积公式可得三个球地半径之比,再依据表面积公式可得表面积之比【详解】由题,设三个球地半径分别为123,,r r r ,则由题,333123444::1:27:64333r r r πππ=,故123::1:3:4r r r =,故表面积之比2221234:4:41:9:16r r r πππ=故选：B3. 在ABC 中,角A ，B ，C 地对边分别是a ，b ，c ,若()()3a c b a c b ac +-++=．则A C +地大小为（ ）A.56πB.23π C.3πD.6π【结果】B 【思路】【思路】利用余弦定理结合角B 地范围可求得角B 地值,再利用三角形地内角和定理可求得A C +地值.【详解】因为()()3a c b a c b ac +-++=,则()223a c b ac +-=,则222a c b ac +-=,由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,.因为0B π<<,则3B π=,故23A CB π+=π-=.故选：B.4. 设a ，b 都是非零向量,下面四个款件中,使a b a b= 成立地款件是（ ）A. a b=- B. //a b C. 2a b= D. //a b 且a b= 【结果】C 【思路】【详解】若使a b a b=成立,则选项中只有C 能保证,故选C[点评]本题考查地是向量相等款件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.5. 已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,其中23ππα-<<,则cos α=（ ）A.B.16-C.16+D.+【结果】C 【思路】【思路】利用同角三角函数地基本关系可求得cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭地值,再利用两角差地余弦公式可求得cos α地值.【详解】23ππα-<<,362πππα∴-<+<,可得cos 6πα⎛⎫+==⎪⎝⎭,因此,111cos cos cos cos sin sin 666666326ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.6. 已知向量()2,1AB = ,点()1,0C -,()4,5D ,则向量AB 在CD上地投影向量地模长为（ ）A.B.C.D.【结果】D【思路】【思路】求出()5,5CD =,从而利用投影向量地模长公式进行求解.【详解】()5,5CD = ,故AB 在CD上地投影向量地模长为.故选：D7. 为了测量铁塔OT 地高度,小刘同学在地面A 处测得塔顶T 处地仰角为30°,从A 处向正东方向走140米到地面B 处,测得塔顶T 处地仰角为60︒,若60AOB ∠=︒,则铁塔OT 地高度为( )A. 米B. 米C. D. 米【结果】A 【思路】【思路】设TO =h ,用h 表示出AO 和BO ,在△AOB 中利用余弦定理即可求出h ．【详解】设铁塔OT 地高度为h ,在Rt AOT 中,30TAO ∠=︒,tan 30hAO ==︒,在Rt BOT 中,60TBO ∠=︒,tan 60h BO h ==︒,在AOB 中,60AOB ∠=︒,由余弦定理得,2222cos 60AB AO BO AO BO =+-⋅⋅⋅︒。
辽宁省协作校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题(解析版)
2023—2024学年度下学期期中考试高一试题数学考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题 共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. （ ）A.B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】本题先利用诱导公式进行化简，再利用两角和正弦公式，即可得到结果.详解】，故选：C.2. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( )A. y=1-2sin 2πxB. y=sinC.y=tanx D. y=sinπxcosπx【答案】D 【解析】【分析】对，利用二倍角余弦公式化简后判断；对直接判断奇偶性即可；对，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin 的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tanx 是奇函数，周期为2，不合题意；y=sinπxcosπx=sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【的sin 735cos 45sin105sin135︒︒+︒︒=12()()()sin 735cos 45sin105sin135sin 720+15cos 45sin 90+15sin 90+45︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒+=+()sin15cos 45cos15sin 45sin 1545sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+==π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭π2A B C D ()2πx π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭π212【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为；由函数可求得函数的周期为.3. 已知，，且，则与的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据模长公式可得，即可由夹角公式求解.【详解】由题意，，，又，所以，．故选：B ．4. 在中，，，则“恰有一解”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据余弦定理可得，利用一元二次方程根的情况，结合判别式即可分类求解只有一个解时的范围，即可根据逻辑关系求解.【详解】由，得，方程 的判别式，①，解得．()cos y A x ωϕ=+2πω()sin y A x ωϕ=+2πω()tan y A x ωϕ=+πω()2,1a = 2b = a b ⊥ a b - a 3a b -=a == 2b = a b ⊥ 0a b ⋅= 3a b -=== ∴()2co s a b a a b a a b a a b a a b a -⋅-⋅-====-⨯-⨯,ABC cos B =2AC =AB m =ABC 02m <≤2240a m +-=ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2240a m +-=2240a m +-=2223244161699m m m ∆=-+=-22232441616099m m m ∆=-+=-=6m =±当时， 转化为，解得符合题意；当时 转化为，解得 不符合题意；②，且两根之积，可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时；③，且两根之积，解得，当时，，解得符合题意；当时，解得不符合题意；故若有一解，则或，故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件故选：B ．5. 英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的n 阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）A. 0.83 B. 0.46C. 1.54D. 2.54【答案】C 【解析】【分析】首先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用，即可求解.6m =2240a m +-=2320a -+=a =6m =-2240a m +-=2320a ++=a =-22232441616099m m m ∆=-+=->240m -<a ABC 02m <<22232441616099m m m ∆=-+=->240m -=2m =±2m =20a =a =2m =-20a +=a =ABC 02m <≤6m =ABC 02m <≤()f x 0x (),a b ()1n +(),x a b ∀∈()()()()()()()()()200000000!1!2!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+⋅⋅⋅ 00x =()()()()()()200000!1!2!!n n f f f f f x x x x n =+++⋅'⋅⋅+''+⋅⋅⋅()f x 0x =0!1=!123n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯sin x cos x e x ln x 357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+⋅⋅⋅246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅π112sin cos222⎛⎫+ ⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅【详解】，因为，所以，近似值为，所以的近似值为.故选：C6. 扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）A. B. 0C. D. -1【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，其中，，，故，，，，，，，的取值范围为,，故的最小值为；故选：A ．2π1112sin cos 2cos cos112222⎛⎫+==+⎪⎝⎭246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅111cos11 (224720)=-+-+0.54π112sin cos 222⎛⎫+ ⎪⎝⎭1.54AOB 120AOB ∠=︒C AB CA CB ⋅12-32-(cos ,sin )C θθ1πsin()26CA CB θ⋅=-+ O OA x O OA y AOC θ∠=(cos ,sin )C θθ2π03θ≤≤(1,0)A 1(2B -(1cos ,sin )CA θθ=-- 1(cos 2CB θ=-- sin )θ-∴1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB θθθθ⋅=-+--+--111πcos sin()2226θθθ=--=-+2π03θ≤≤∴ππ5π666θ≤+≤∴1πsin()126θ≤+≤11πsin()0226θ∴-≤-+≤∴CA CB ⋅ 1[2-0]CA CB ⋅ 12-7. 2023年下半年开始，某市加快了推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为，基站A ，B 在江的北岸，测得，，，，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A. B. C. 40kmD. 【答案】D 【解析】【分析】利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可．【详解】在中，，，所以，即，得故．在中，．由正弦定理得，，解得，在中，由余弦定理得，，解得、之间的距离为．故选：D．75ACB ∠=︒120ACD ∠=︒30ADC ∠=︒45ADB ∠=︒ACD AC BCD △BC ACB △AB ACD 30ADC ∠=︒120ACD ∠=︒30CAD ∠=︒CAD ADC ∠=∠AC CD ==BDC 180()180(4575)60CBD BCD BDC ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒sin sin BC CDBDC CBD=∠∠()40sin 30cos 45cos30sin 45BC ===︒+︒= cos75cos30cos 45sin 30sin 45=︒-︒=ABC 222222cos 2cos752000AB AC BC AC BC BCA =+-⋅⋅∠=++-⨯⨯︒=AB =A B8. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 函数偶函数 B. 函数关于对称C. 函数的最大值为D. 函数在上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用偶函数定义判断A ；计算，从而判断B ；利用二次复合函数的性质判断C ；利用复合函数的单调性判定D.【详解】根据题意，函数定义域为，故函数为偶函数，A 不符合题意；，，故，即函数关于对称，B 不符合题意；，又，当时，函数取最大值，C 符合题意；当，则，，且为增函数，为()cos sin 2xf x x =-()f x ()f x πx=()f x 98()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭(π)(π)f x f x +=-()f x R ()()()cos sincos sin cos sin 222x x xf x x x x f x --=--=--=-=()f x ()()ππcos πsin cos cos 22x x f x x x -⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭()()ππcos πsincos cos 22x xf x x x ++=+-=--(π)(π)f x f x +=-()f x πx =()22cos sin12sin |sin 12sin |sin 22222x x x x xf x x =-=--=--2192sin 248x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭[]sin0,12x ∈|sin |02x=()f x 1π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,212x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sinsin 22x x ⎛=∈ ⎝所以函数在上单调递减，D 不符合题意.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 在中，角的对边分别是.下面四个结论正确的是（ ）A. ，，则的外接圆半径是4B. 若，则C. 若，则一定是钝角三角形D. 若，则【答案】BCD 【解析】【分析】根据正弦定理可得，即可判断A ；由正弦定理即可求解BD ，利用余弦定理，判断出为钝角，即可判断C.【详解】A ．，，设的外接圆半径是，则，解得，故A 错误；对于B ，由可得，由正弦定理可得，故B 正确，对于C ．，则，为钝角，故一定是钝角三角形，因此C正确；对于D ，由以及正弦定理可得：，，因为，故D 正确；故选：BCD ．10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭ABC ,,A B C ,,a b c 2a =30A =︒ABC A B >sin sin A B>222a b c +<ABC cos sin a bA B=45A =︒2sin aR A=222cos 2a b c C ab+-=C 2a =30A =︒ABC R 224sin sin 30a R A ===︒2R =A B >a b >sin sin a bA B=sin sin A B >222a b c +< 222cos 02a b c C ab+-=<C ∴ABC cos sin a b A B =sin sin a bA B=sin cos A A =tan 1A ∴=0180,45A A ︒<<︒∴=︒()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π<ϕA.，频率为，初相为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在上的值域为D. 若在上恰有4个零点，则m 的取值范围是【答案】BD 【解析】【分析】利用函数的图象求出，进而根据相关定义即可求解A ，代入验证是否为最值即可求解B ，利用整体法结合三角函数的性质即可求解CD.【详解】根据函数的图象，，，故，所以；当时，，所以，，整理得，，由于，所以当时，，故．对于A ，，频率为，初相为，故A 错误；对于B ：当时，，故B 正确；对于C ：由于，故，故，故C 错误；对于D ：，则，若在上恰有4个零点，则，解得，2A =1ππ6()f x π6x =-()f x π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎣()f x []0,m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭π()2sin(26f x x =-2A =313π4π3π=412124T =-πT =2ω=π3x =π2π(2sin()233f ϕ=+=2ππ2π+32k ϕ+=()k ∈Z π2π6k ϕ=-()k ∈Z ||πϕ<0k =π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-:2ω=πT =1ππ6-π6x =-ππ(2sin()262f -=-=-π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦[]π()2sin(2)0,26f x x =-∈[]0,x m ∈πππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x []0,m π3π24π6m ≤-<19π25π1212m ≤<故的取值范围是，D 正确．故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，的三个顶点都在单位圆上，且则（ ）A. B. C. 为锐角三角形 D. 在上投影的数量【答案】BCD 【解析】【分析】由，可得，化为，得到,即可求解B ．由，可得化为,即可根据投影的公式求解D ，根据，即可根据夹角公式求解A ，根据数量积的正负求解角，即可判断C.【详解】由于的外接圆半径为1，圆心为，．由，可得，化为．，，．故是等腰直角三角形．B 正确，由，可得，,所以，故，A 错误，由得，所以,,,因此均为锐角，故为锐角三角形，C 正确．m 19π25π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC 3450OA OB OC ++=3cos ,5OA OC =OA OB⊥ ABC AB OC15-3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 0OA OB = OA OB ⊥ 3450OA OB OC ++= 534OC AB OA AB OB AB =-- 15OC AB =- 3455OC OA OB -=-ABC O ∴||||||1OA OB OC === 3450OA OB OC ++=22(34)(5)OA OB OC +=- 2229162425OA OB OA OB OC ++= 9162425OA OB ∴++= ∴0OA OB = ∴OA OB ⊥OAB 3450OA OB OC ++= 534OC OA OB =-- 25343OC OA OA OB OA =--⋅=- 35OC OA =- 3cos ,5OC OA OA OC OC OA⋅==-534OC OA OB =-- 3455OC OA OB -=-()()()2239396055555B BC OA OB OC OB OA OB OA OB O OB A A --⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=+=> ⎪⎝⎭()()()2284844055555A AC OB OA OC OA OB OA OA OB OA OB B -⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-=> ⎪⎝⎭ ()()2284392436120555525255C CB OA OC OB OC OA OB O A A OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+⋅+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,A B C ABC ∴()()22534341OC AB OA OB OB OA OA OB ⋅=--⋅-=-=-．在上的投影．D 正确故选：BCD第II 卷（非选择题92共分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理边角互化可求，代入已知面积公式可求．【详解】由题意得，，所以，则， 所以．故答案为：．13. 已知向量，将绕原点O 沿逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标________.【答案】【解析】【分析】由条件得，设，则，，再求的正弦和余弦，然后由坐标，，即可求出结果．【详解】，设，则，，∴15OC AB =-∴AB OC 11515||OC AB OC -⋅===- ABC ,,A B C ,,a b c 2a b cp ++=ABC S =ABC ()()()sin sin :sin sin :sin sin 5:7:6A B BC C A +++=ABC 4,6,8a b c ===18a b c ++=(sin sin ):(sinsin ):(sin sin )():():()5:7:6A B B C C Aa b b c c a+++=+++=::2:3:4a b c =4,6,8a b c ===92a b cp ++==S =()4,3OP = OP 45︒1OP 1P ||5OP = xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=45︒cos x r α=sin y r α=||5OP == xOP θ∠=3sin 5θ=4cos 5θ=设,，则，故，故答案为：14. 如图，在四边形中，分别在边上，且，，，，与的夹角为，则________.【答案】【解析】【分析】本题关键是对向量进行线性运算，并用基底与线性表示，然后再做数量积运算即可.【详解】由图形结合向量线性运算可得：，由，可得，由可得，由上面两式相加得：，即又由，，与的夹角为，可得，11(P x 1)y 15cos(45)5(cos cos 45sin sin 45)x θθθ=+︒=︒-︒=15sin(45)5(sin cos 45cos sin 45)y θθθ=+︒=︒+︒=1P ABCD E F ，AD BC ，13AE AD =13BF BC =3AB =2DC =AB DC 60︒AB EF ⋅= 7EF AB DC EF ED DC CF =++ 13AE AD =13BF BC =22EF EA D F C B =-+- EF EA AB BF =++ 2222EF EA AB BF =++ 32F D E AB C =+ 23AB EF DC += 3AB =2DC =AB DC 60︒1cos 603232AB DC AB DC ︒⋅=⋅=⨯⨯=所以，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）且.【解析】【分析】（1）先设的坐标，再利用向量垂直关系得到向量积为0和它的模已知列方程组求坐标；（2）利用向量夹角为锐角，肯定向量积大于0，但要注意检验是否有可能夹角为0即可.【小问1详解】由，可得，设，则由，可得，又因为，可得，联立方程组解得：或即或.【小问2详解】由与的夹角为锐角，可得，代入，可得：，解得，当时，，可得，解得：，此时满足，即同向共线，所以夹角要排除为0的情形，222+293=7333AB AB AB AB EF AB DC DC +⋅⨯+⋅=⋅== 7()1,2a = ()3,2b =--r ()2c a b ⊥+ c = c a a b λ+ λ()4,2c = ()4,2c =-- 57λ<0λ≠c()1,2a = ()3,2b =-- ()()()2=21,23,21,2a b ++--=- (),c x y = ()2c a b ⊥+ ()()()2=,1,220c a b x y x y ⋅+⋅-=-+= c = 2220x y +=42x y =⎧⎨=⎩42x y =-⎧⎨=-⎩()4,2c = ()4,2c =-- a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> ()1,2a = ()3,2b =-- ()()()()()()1,21,23,21,213,2213222=570λλλλλλ⎡⎤⋅+--=⋅--=-+-->⎣⎦57λ<()//a a b λ+ ()()1,2//13,22λλ--()()21322=0λλ---=0λ57λ<综上可得与的夹角为锐角时，且.16. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若的值.【答案】（1）最小正周期为，单调减区间， （2）【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用周期公式求解，利用整体法求解单调性，（2）代入化简可得，进而利用和差角公式以及二倍角公式化简即可代入求值.【小问1详解】函数，，，令，，，，，单调减区间，【小问2详解】根据（1）知，，故，a a b λ+ 57λ<0λ≠()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-()f x π28f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos3θππ5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈2327-π())4f xx =+1cos3θ=()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x=+-=+-+cos 2sin 2x x =+π4x =+π()4f x x ∴=+2ππ2T ==∴ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+Z k ∈∴π5π2π22π44k x k +≤≤+∴π5πππ88k x k +≤≤+Z k ∈∴π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈π()4f x x =+ππππ2282842f θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故，故17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________，在①；②，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：（1）求角A 的大小；（2）若AD 是的角平分线，且，，求线段AD 的长；（3）若，判断的形状.【答案】（1） （2（3）直角三角形【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解；（2）设，结合，列出方程，即可求解；（3）由余弦定理得，再由，联立得到，进而得到方程，求得或，进而得到三角形的形状.1cos 3θ∴=28sin 9θ=()()222cos3cos 2cos 2cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+=-=--181********9327⎛⎫=-⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ABC 2S AC AB =⋅ a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+ABC 2b =3c =b c -=ABC π3sin A A =tan A =cos 1A A =+π1sin()62A -=222sin sin sin sin sinBC A B C +=+222b c a bc +-=1cos 2A =AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 222a b c bc =+-b c -=232a bc =222520b bc c -+=2b c =12b c =【小问1详解】选择①：由，可得，即，即，因为，所以；选择②：因为②，，因为，可得，所以，，可得，因为，可得，所以；选择③，由，可得,又由正弦定理得，再由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】因为AD 是的角平分线，且，设，因为，可得，即，解得，即.【小问3详解】由（1）知，由余弦定理得，因为，平方得，即，代入上式，可得，即，2S AC AB =⋅ 12sin cos 2bc A bc A ⨯=sin A A =tan A =(0,π)A ∈π3A =a c =sin si n A C =sin sin cos sin A C C A C =+(0,π)C ∈sin 0C >cos 1A A =+cos 2sin()16πA A A -=-=π1sin()62A -=(0,π)A ∈ππ66A -=π3A =2sin sin sin 1sin sin sin sinBC A C B B C+=+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A =ABC 2,3b c ==AD x =ABC ABD ACD S S S =+ 1π1π1π23sin 3sin 2sin 232626x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯11111233222222x x ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯x =AD =π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-b c -=222123b c bc a +-=222123b c a bc +=+223a bc =232a bc =将代入，可得，解得或，当时，可得，此时，可得为直角三角形；当（不成立，舍去）；综上可得，为直角三角形.18. 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.【答案】（1）（2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而求出的最大值；（2）由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积．（3）根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值.232a bc =222a b c bc =+-222520b bc c -+=2b c =12b c =2b c =a =222a c b +=ABC 12b c =12c =-ABC ABCD AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =BD 2AB =6BC =4AD CD ==ABCD A ABCD P ABD △,B D PB PD +2π3A =ABCD AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯BD πA C +=ABD △BCD △2BD cos A A ABCD ()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=【小问1详解】由，，，，可得，由题意可得，即，，当且仅当四点共圆时等号成立即的最大值为；【小问2详解】如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，所以，即，，在中，，①在中，由余弦定理可得，②由①②可得，解得，而，可得，所以此时．所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为【小问3详解】由题意可知所以，即，在中，由余弦定理可得,故,故，AB =1BC =π2ACD ∠=AC CD =AD =AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯≥⨯AB CD BC CD BD ⨯+≥⨯BD ≥,,,A B C D BD BD 2AB =6BC =4AD CD ==πA C +=cos cos C A =-sin sin A C =ABD △2222cos 416224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯=-BCD △2222cos 3616264cos 5248cos BD BC CD BC CD C A A =+-⋅=++⨯⨯=+2016cos 5248cos A A -=+1cos 2A =-(0,π)A ∈2π3A =sin sin A C ==1111sin sin 24642222ABCD ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯= 2π3A =ABCD πA P +=1cos cos 2P A =-=BPD △222222cos 5248cos BD PB PD PB PD P PB PD PB PD A =+-⋅=+-⋅=+()22228328PB PD PB PD PB PD PB PD +-⋅=⇒+-⋅=()222832832PB PD PB PD PB PD +⎛⎫+=+⋅≤+ ⎪⎝⎭故，当且仅当时等号成立，故最大值为19. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A 、B 是固定，点C 在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l ，如图2所示，经测量直线AB 与直线l 平行，A 、B 两点距离及点A 、B 到直线l 的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA 、MB 、MC 三条线在点M 处相交，，，设.（1）若时，求MC 的长；（2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值；②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由.【答案】（1）米（2）①时，取得最小值为米；②答案见解析【解析】【分析】（1）首先求直角三角形中斜边的高，即可求解的值；（2）①首先利用三角函数表示，再根据三角函数关系式，利用换元法，即可求解；②当点是中垂线上，且结合图形，设时，利用角三角函数表示，再利用三角恒等变换，结合基本不等式，计算最小值.【小问1详解】中，，，，则，，点到，所以米；的的PB PD +≤=PB PD ==PB PD +M A M B ⊥MC l ⊥MAB θ∠=π3θ=θMA MB MC ++100-π4θ=MA MB MC ++50MAB △AB MC MA MB MC ++M AB AMC α'∠=αMA MB MC ++MAB △M A M B ⊥100AB =π3MAB θ∠==50MA =MB =M AB =100MC =-【小问2详解】①中，，，设点到的距离为，则，则，则，所以，设，，，，所以，所以，当时，即时，取得最小值为米.②当点是中垂线上，且时，桥面长更小，证明：记，则，，记，因为，而，当且仅当时等号成立，此时由最小值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数表示长度，再结合三角运算和性质，求解最值.MAB △100cos MA θ=100sin MB θ=M AB h 100100100sin cos h θθ=⨯⨯100sin cos h θθ=100100sin cos MC θθ=-()100sin cos 100100sin cos MA MB MC θθθθ++=++-sin cos t θθ+=21sin cos 2t θθ-=ππsin cos ,0,42t θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(t ∈()()22100501100501200MA MB MC t t t ++=--+=--+t =π4θ=MA MB MC ++50+M AB 120AMB ∠= π0,2AMC α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭'50sin MA MB α==50100tan MC α=-()100502cos 10010050sin tan sin g MA MB MC ααααα-=++=+-=+⨯22cos 3sin 2cos 11322tan sin 2222sin cos tan 222αααααααα+-==⋅+≥()tan 0,12α∈tan 2α=()g α10050+<+。
北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学（学科）2024年4月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将所有试卷交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，，若，则（ ）A.﹣4B.1C.2D.43.设，为非零向量，且满足，则与的关系是（ ）A.同向B.反向C.垂直D.既不共线也不垂直4.已知点，，向量，则向量（ ）A. B. C. D.5..三角形，，，，=（ ）A. B.-3C.3D.6.已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.8.为了得到.函数的图像，可以将函数的图像（ ）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C..向左平移个单位长度D..向右平移个单位长度9.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕()i 1i -(1,2)a = (2,)b t = a b∥t =a b ||||||a b a b -=+ a b(0,1)A (3,2)B (4,3)AC =-- BC =(7,4)(1,4)-(7,4)--(1,4)ABC 3AB =2BC =60B ∠=︒AB BC ⋅-AB DC∥ABCD ABC △AB BC12BC-BC2BC2BC- ()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()sin 2f x x =π3π3π6π6达哥拉斯定理早五百到六百年.如图，现有△ABC 满足“勾三股四弦五”，其中，，点是延长线上的一点，则等于（ ）A.3B.4C.9D.不能确定10.在中，，，且（）的最小值是（ ）A.D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）11.已知向量，，且，则___________.12.已知复数，则___________；_________________.13.已知向量，，与的夹角为，则求___________.14.已知非零平面向量，，，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或.其中正确命题的序号是_________________.15.如图，四边形是正方形，延长至E ，使，若点P 是以点A 为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。