07HW9ans

1. 某系统发送平稳独立等概序列{}k a ，其中{}1k a ∈±。

经过一个ISI 信道后，接收机在
眼图最大张开时刻取样后的结果是1k k k k y a a z α−=++，其中随机变量(
)
2
~0,k z N σ代表信道中噪声的贡献，1k a α−是ISI 。

a) 求序列{}k y 的自相关函数()[]y k k m R m E y y += b) 求概率()()
sgn k k p P a y =≠ c) 求()sgn k k E a y ⎡⎤⎣⎦
d) 令()1sgn k k k z y y α−=−，求()21k k J E z a ⎡⎤=−⎣⎦
e) 令1k k k w y y α−=−，求()2
2k k J E w a ⎡⎤=−⎣⎦
解：a)
()[]()()()()()()()()()()()1111112
11112221110y k k m k k k k m k m k m k k k m k m k m k k k k m k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m a a a a z R m E y y E a a z a a z E a a a a z a a z a a z z E a a a a aa a a a z z R m R m R m R m R m m αααααααααααασα+−++−+−++−+−++−+++−−+−+−+==++++⎡⎤⎣⎦
=+++++++⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=++++⎣⎦
=+−++++++== 10m else ⎧⎪
=±⎨⎪ ⎩
b) ()()()()sgn 1,01,0k k k k k k p P a y P a y P a y =≠==+<+=−>
()
()()
()(){}111111(1,0)(0|1)111
101221
1,11,12
k k k k k k k k k k k k k k k P a y P y a P a P a z P z a P z a a P z a a αααα−−−−−−=+<=<=+=+=
++<=+<−=+<−=−++<−=+ ()()()
()()(
)111111,11|111111
111erfc 2224k k k k k k k k k k P z a a P z a a P a P z P z P z ααααα−−−−−+<−=−=+<−=−=−⎛⎞=−<−=<−+=>−= 同理(
)111
1,1erfc 4k k k P z a a α−−⎛⎞+<−=+= 因此
(k P a ⎧⎫⎛⎞⎛⎞⎪
=⎬⎪⎭
=
同理1
(1,0)erfc 8k k P a y ⎛⎞⎛⎞
=−>=
所以()(
)1
sgn erfc 4k k p P a y ⎛⎞⎛⎞
=≠= c) ()()()()()
sgn 1sgn 1sgn 12k k k k k k E a y P a y P a y p =−×≠+×==−⎡⎤⎣⎦ d)
()(){}(){}
()()()()222
1111222222
111111222222
sgn sgn sgn 22sgn 2sgn 021204k k k k k k k k k k k k k k k k k J E z a E y y a E a z y E a z y z a a y z y p p ααααααααασαασα−−−−−−−−−⎡⎤=−=−−=+−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=+++−−⎣⎦=+++−−−=+
e)
()()()()()22212211212221242222
21211k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k J E w a E y y a E a a z a a z a E z a z E z a z a z z z z αααααααααααασαασ−−−−−−−−−−−−2422
⎡⎤⎡⎤
=−=−−⎣⎦⎣⎦⎡⎤=++−−−−⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=+ +−2−−2 ⎣⎦
=++
2. 某通信系统中无线信道的传输增益h 是个未知的实随机变量，为了测量h ，我们发送内容对收端来说已知的数据x ，收端观察到y hx n =+，其中(
)2
~0,n N σ
是信道噪声。

已
知h 与n 相互独立，且2
1E h ⎡⎤=⎣⎦。

如果没有噪声，收端自然可以得知信道增益为：y
h x
=。

因为存在噪声，于是收端只能对信道增益作出某种估计，假设其估计是认为信道增益是
ˆy h x α=。

求最佳的α，使得均方误差()()
2ˆJ E h h α⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦
最小。

解：()ˆy h
hx n h n x x x
αα
αα==+=+ ()()
()()()()2
22
2
22
22222ˆ12111J E h h E h n x E h hn n x x x ααααααααασ⎡⎤⎛⎞⎡⎤=−=−−⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎢⎥⎣⎦
−⎡⎤=−−
+=−+⎢⎥⎣⎦
上式对α求导并令其为0得：
()2
2210x
αασ2−+
= 解得最佳值为：2
2
11x
ασ
=
+。