2012独立事件,伯努利试验

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例2
每门高射炮击中飞机的概率都为0.6
若有一架敌机入侵，想要以99%以上的概率 击中它，至少需要多少门高射炮?
解
设 Ak 第 k 门高射炮发射一发炮弹击中飞机 ,
k 1, 2...... ,则 Ak 之间相互独立 ,且 P Ak 0.6 ,于是
故 事件A、B独立.
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前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
可见
P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.
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两事件相互独立的性质
两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
若 P( A) 0, 则P( B) P( B A) 若 P( B) 0, 则P( A) P( A B)
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请同学们思考
两两独立
?
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若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立
则
P A1 A2 An
1 P A1 A2 An
1 P A1 A2 An


1 P A1 P A2 P An
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定义
n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), 1 i j n
P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ), 1 i j k n
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
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又如： 一批产品共7 件，3件次品，从中抽取2件， 一次取一件，设 Ai={第i次取到次品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
n个独立事件中任意m 个也是相互独立的。
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请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 对 n (n > 2)个事件
相互独立
不一定
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则事件 A、B 相互独立 , 且事件"两粒种子都出苗 " 表示为 : AB , " 恰好有一粒出苗" 表示为 : A B AB , "至少有一粒种子出苗 " 表示为 : A B .
1 P AB P AP B 0.8 0.9 0.72 ; 2 P A B AB P A B P AB P A P B P A P B
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
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1 1 若 P ( A) , P ( B ) 2 2
则 P ( AB ) 0,
B A
1 P ( A) P ( B ) , 4
故 P ( AB ) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件互斥但不独立.
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注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我 们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意 义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立 性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的 公式进行计算。
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三、独立性的概念在计算概率中的应用
0.2 0.9 0.8 0.1 0.26 .
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3 P A B P A P B P AB P A P B P A P B
0.8 0.9 0.8 0.9 0.98 . 或者 P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 0.98 .
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1.假设P（A）=0.5，P（A∪B）=0.6， 若A，B相互独立，则P（B）=? 若A，B互斥，则P（B）=?
2.已知 P( B) 0.3 P( A B) 0.7 且A与B相互独立，则
P ( A) ？ 3 7
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概率的性质 A、B独立
P(A )= P(A - A B) B
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B 独立
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例 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
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2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
A与B， 与B, A与B , A 与B ，只要一对相互独立，其 A 它三对也相互独立. 证明：设A与B独立 仅证A与 B 独立
再证充分性 : 设 P A | B P A 成立 , 则有
P AB P A | B P B P AP B
由定义可知, 事件 A、B 相互独立 .
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例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？ 解 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26. 可见, P(AB)=P(A)P(B)
或P A| B P A ,P B 0

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证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
P AB P A P B
P AB P AP B P A 所以 ,当 P B 0 时 , P A | B P B P B P AB P AP B P B 或者 ,当 P A 0 时 , P B | A P A P A
注 1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
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例如 1 ,2 ,3 ,4 , A 1 , 2 , B 1 , 3 ,
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直观说法：对于两事件，若其中任何一个
事件的发生不影响另一个事件的发生，
则这两事件是独立的.
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由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)
P AB P B A P A
1 C 1 , 4 , 则 P A P B P C , 并且 , 2 1 P AB P AP B , 4 1 P AC P A P C , 4 1 P BC P B P C . 4 即事件 A、B、C 两两独立 . 1 但是 ABC P AP B P C P . 4
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二、多个事件的独立性
定义
三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：
P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C )
(1)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) (2)
P ( BC ) P ( B ) P (C )
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
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在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙 命中}，A与B是否独立？
若已知“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 则认为A、B独立 .
解: 设 A ={甲中}, B= {乙中}, C= {目标被击中}, 所以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB)= 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98. 集美大学诚毅学院