第一章正余弦定理复习课
正弦定理余弦定理复习课
正弦定理、余弦定理及应用复习课学习目标：1、理解用向量的数量积证明正弦定理、余弦定理的方法。
2、掌握正弦定理、余弦定理的变形形式。
3、灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。
了解感知1.三角形边角关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1）正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） 变式1：a = 2R sinA ，b= 2R sinB ，c= 2R sinC变式2：R Cc B b A a C B A c b a 2sin sin sin sin sin sin ====++++ 变式3：b a B A =sin sin ，c a C A =sin sin ，c b C B =sin sin2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．变式1：bca cb A 2cos 222-+=；=C cos .；=B cos . . 2 三角形面积公式：2)(sin 2121r c b a C ab ah S ++===∆（其中r 为内切圆半径） 3、解三角形常见题型及解法(1)已知两角A 、B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝180°可求出角C ，由正弦定理再依次求出b 、c .(2)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(3) 已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理求出另一对角B （注意：角的取舍），由C ＝π－(A ＋B )求出C ，再由正弦定理求出c 。
(4)已知两边b ，c 与其夹角A ，由余弦定理求出a ，再由正弦定理依次求出角B 、C （注意：角的取舍）。
4、常用的三角形内角恒等式：①由A ＝π－（B ＋C ）可得出： sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． ②由222C B A +-=π．有： 2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．深入学习例1、在△ABC 中，（1）已知︒===30,8,4B c b ，求a A C ,,；（2）已知2,2,30==︒=c b B ，求a C A ,,；(3)已知10:)13(:)13(sin :sin :sin -+=C B A ，求最大角。
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课优秀教案
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、知识点回顾1、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==2R = 变 形C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===sin sin sin ::::A B C a b c =面积公式：B ac C ab A bc S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=3、正、余弦定理的作用：解三角形（边角互化）二、随堂练习三、例题讲解例1、 (2012·广州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．四、巩固练习1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63 B.223 C ．－63 D ．－2232．(2011·课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 例2、(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .1．(教材改编题)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2五、课堂小结 正弦定理和余弦定理公式及变形 六、课后作业课堂新坐标1-10七、板书设计正弦定理和余弦定理1、正余弦定理2、正余弦定理3、正、余弦定理的作用4、例题讲解2．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．13.在△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A2＝b ＋c2c ．试判定△ABC 的形状．4. (2012·河源质检)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．。
正、余弦定理复习课件
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讲练5：在 ABC 中， 2 （1）若A=2B， 求证： a bb c （2）若 a 2 bb c 求证：A=2B
证明（1）A=2B sinA=sin2B=2sinBcosB 2 2 2 a c a 2 2 2 3 a=2b 2ac a c a bc b
a 2 bb c a 2 b2 bc a 2 c2 b2 bc c2 2 2ac cos B bc c 2a cos B b c 2 sin A cos B sin B sin C 2 sin A cos B sin B sin A B sin Acos B cos Asin B sin B sin(A B) sin B A-B=B 或 A-B+B=1800 （舍去） A=2B
C a b B c D
A
c B D B
sinB=1 一解 一解 一解
sinB<1 两解
sinB>1 无解
判断解的个数
C b a
a 设c=x， 由余弦定理得： 2=x2+b2-2bxcosA
整理得： 2-2bxcosA+b 2-a2=0 (1) x
A
c =x
B
1、若方程（1）无实根或有根均为负时， 无解； 2、若方程（1）有等根或根为一正一负时，一解； 3、若方程（1）有根均为正时， 两解；
2、“边与角混合”的式子，有两种处理角度 （1）统一成角的关系 （2）统一成边的关系
谢
谢
正弦定理与余弦定理课件-2024届高考数学一轮复习
由正弦定理，得
＝
，则 AC ＝
h ，所以 AB ·h ＝ AB ·AC ·sin A .
×
＝2 .设 AB 边上的高为
所以 h ＝ AC ·sin A ＝2
×
＝6.
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考向2 三角形的解的个数问题
例2 已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .若 a ＝
sin A ＝
＝
.
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（2） 若 AB ＝5，求 AB 边上的高.
解：（2） 由（1）知， cos A ＝
＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＝
＝
，所以
sin B ＝ sin （ A ＋ C ）
×（
＋
）＝
.在△ ABC 中，
D. （1，2）
C
）
总结提炼
可以用数形结合的方法确定三角形的解的个数.
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考点二
判断三角形的形状
例3 （多选）在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .
sin
sin
sin
若
＝
＝
（ m ∈N*），则当 m 取不同的值时，关于△ ABC 的
6
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形状，下列说法正确的是（
（1） 在△ ABD 中，由余弦定理，得 cos ∠ ABD ＝
AB ∥ CD ，所以∠ BDC ＝∠ ABD . 所以 cos
正弦定理和余弦定理复习课件ppt课件PPT课件
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
[知识能否忆起]——上节课知识回 忆
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＝ c2＝
余弦定理
b2＋c2－2bccos A ；
a2＋c2－2accos B ；
a2＋b2－2abcosC
.
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
答案：A
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②假设sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
正余弦定理复习教案
正弦、余弦定理一. 教学内容：正弦、余弦定理二. 教学重、难点：1. 重点：正弦、余弦定理。
2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理>⇔a>b⇔A>B）注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。
（∵sinA>sinB⇔R R22二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α 即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向； ②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abcS ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
【典型例题】[例1] 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。
（1）5=a ，4=b ，︒=120A （2）7=a ，14=b ，︒=150A （3）9=a ，10=b ，︒=60A （4）50=c ，72=b ，︒=135C正弦定理余弦定理的应用：例2：在ABC∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2s i n c o sc o s AA B +=（ ）A ．12 B ．12C ． -1D ． 1 练习：在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围[例3]若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.练习：1、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于______，AC 的取值范围为______．2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C(1)判断△ABC 的性状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC的取值范围． 3、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形利用正余弦定理求三角形面积〖例4〗（2009浙江文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．练习：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．正余弦定理实际应用问题〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 已知在ABC ∆中，︒=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。
_正弦定理与余弦定理课件复习
(2)由正弦定理得csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC 为等边 三角形．
答案：(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形
(理)(2011·天津模拟)在△ABC 中，cos2B2＝a＋2cc(a、b、 c 分别为角 A、B、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
三角形的面积公式
[例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C
的 对 边 ， 且 a＝ 4， b＋ c＝ 5， tanB＋ tanC＋ 3 ＝ 3
tanB·tanC，则△ABC 的面积为( )
3 A. 4
B．3 3
C.3 4 3
D.34
分析：由 tanB＋tanC 及 tanB·tanC 联想到两角和的 正切公式：tan(B＋C)＝1t－antBan＋Bt·atannCC，又 tan(B＋C)＝ tanA，故由条件式变形可求角 A，问题转化为已知边 a 角 A 和 b＋c 求△ABC 的面积，因此 S△ABC＝12bcsinA，只 须用余弦定理建立 a、A、b、C 的方程，整体处理求出 bc 即可获解．
解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b2＋2cb2c－a2)＝b·(a2＋2ca2c－b2)⇒a2c2 －a4－b2c2＋b4＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0 ∴a2－b2＝0 或 c2－a2－b2＝0 ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理和余弦定理：复习教案
铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题正弦定理和余弦定理重难点1.正弦定理和余弦定理2.正弦定理和余弦定理的灵活应用教学步骤及教学内1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c ＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24.教育要对民族的未来负责3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________. 答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.教育要对民族的未来负责5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 π6教育要对民族的未来负责解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.教育要对民族的未来负责探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.教育要对民族的未来负责又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，教育要对民族的未来负责即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以 下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化 角．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，[6分] ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，教育要对民族的未来负责∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.[10分] 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力． 解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]教育要对民族的未来负责方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B教育要对民族的未来负责解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题(每小题5分，共15分)教育要对民族的未来负责5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5. 三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置.s.5.u.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A＝36－10－10×35＝20，∴a＝2 5.教育要对民族的未来负责教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。
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√D.π3
在△ABC中，利用正弦定理，得
2sin Asin B＝ 3sin B，∵B∈(0，π2)，sin B≠0，
∴sin A＝ 23.又∵A 为锐角，∴A＝π3.
123
2.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝－32 .
答案 解析
由余弦定理，得 cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝14. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×14＝32. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据 具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面 向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识 转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．
(1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
【解】 (1)由 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝1，所以 C＝π.
2
3
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos
123
第一章复习
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角 形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地， 应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关 系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知 识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转 化、化简，从而得出结论．
当且仅当b c=2时，“=”成立
跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设 向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的 大小为 150°.
解：∵m∥n， ∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，
＝ 3，则 B＝________.
或 2
33
2. 已知△ABC 中 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且有
asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
【规范解答】 (1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
当
C＝60°时，A ＝90°，S △ABC＝
3，符合题意，故 2
C＝60°.
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sin C， 试确定△ABC 的形状．
解：因为 sin C＝sin(A＋B)．又因为 2cos Asin B＝sin C， 所以 2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以 sin(A－B)＝0. 因为 A、B 均为三角形的内角，所以 A＝B.
A＝1acsin 2
B．(
√
)
(2)b＋a c＝23，则sin
sin A B＋sin
C＝23.(
√
)
(3)a2＝5，则sin2 A＝5.( × )
b 3 sin B 3
(4)a2＋b2＋ab＝c2，则 C＝π.( 3
×)
2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A＝π6，a＝1，b
sin A＝1，
∴A＝π2，故选 B.
7.已知a,b, c分别为ABC三个内角A, B,C的对边，a=2
且(a b)(sin A sin B) (c b)sinsin B) (c b)sin C
(a b)( a b ) (c b) c
A
abc 4R
二.三角形中的常用结论 (1)a+b>c，b+c>a，c+a>b. (2)a-b<c，b-c<a，a-c<b. (3)A+B+C=π. (4)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB. (5)a=b⇔A=B.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)S△ABC＝12absin
C＝1bcsin 2
6．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋
ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos C＋cos Bsin C
＝sin2A，即 sin(B＋C)＝sin2A，从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得
由正弦定理，得(a＋b)(b－a)＝c( 3a＋c)，
即 a2＋c2－b2＝－ 3ac， 再由余弦定理，得 cos B＝－ 23， 又0°<B<180°， ∴B＝150°.
1.在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b，若 2asin B＝ 3b，
则角 A 等于
π
π
A.12
B.6
π C.4
必修五第一章复习 （一）
正余弦定理的应用
复习：
一.1.正弦定理原形与变形：
a b c 2R原形
sin A sin B sin C 1)边转角：a 2R sin A
2)角转边：sin A a 2R
3)a : b : c sin A: sin B : sin C
正弦定理能直接解决的三角形问题：
的面积为
3，则 2
C＝(
C)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由正弦定理，得sin B＝sin C， AC AB
即12＝sin3C，sin
C＝
3， 2
又 0°<C<180°，所以 C＝60°或 C＝120°.当 C＝120°
时，A＝30°，解三角形可得
S △A B C＝
3≠ 4
3不符合题意．而 2
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，故 cos B＝ 2，因此 B＝45°. 2
(2)sin A＝sin75°＝
2＋ 4
6.故 a＝b×ssiinn AB＝1＋
3.
C＝180°－45°－75°＝60°，所以
c＝b×ssiinn
C＝ B
6.
3．在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，△ABC
2R 2R
2R
(a b)(a b) (c b)c
b2 c2 bc a2
A
3
Q SABC
1 bc sin A 2
3 bc 4
又Q b2 c2 bc a2 =4
4 2bc bc bc
bc 4,
cos A b2 c2 a2 1
2bc
2
3 SABC 4 bc 3
① 已知两角和一边 ② 已知两边和其中一边的对角
复习：
2.余弦定理原形与变形：a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
余弦定理的应用： （1）已知两边和夹角；
（2）已知三边.
3.三角形面积公式：
SABC
1 2
absin C
1 2
ac sin
B
1 bc sin 2
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得(a＋b)2－c2＝3ab，即 a2＋b2－c2＝ab， 所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12. 因为 0°<C<180°，所以 C＝60°， 因此△ABC 为等边三角形．
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
A)＝c.
(1)求 C；
(2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
(2)由已知得 S=1absin C＝3 3.
2
2
又 C＝π3，所以 ab＝6.
由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2-ab＝7，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.