利用正余弦定理解三角形资料
正弦定理余弦定理解三角形
第一篇 正弦定理和余弦定理【知识清单】一、三角形有关性质（1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b <c ；a>b ⇔sin A >sin B ⇔A >B ；（2）三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1sin 2bc A ；（3）在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或2A B π+=⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，()cos cos A B C +=-，sinA ＋B 2＝cos C2. 定理 正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C === 2222sin a b c bc A =+-2222sin b a c ac B =+- 2222sin c a b ab C =+-变形形式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；③::c sin :sin :sin a b A B C =； ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc+-=；222cos 2a c b B ac+-= ；222cos 2a b c C ab+-= 解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中， A 为锐角 A 为钝角或直角图 形关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b >解个数无解 一解 两解 一解 一解上表中，为锐角，时，无解；为钝角或直角时，或均无解.【典例归纳】考点1 利用正、余弦定理解三角形【例1】（1）在△ABC 中：（1）10c =，75A =o，45C =o，求b ； （2）20a =，28c =，30A =o ，求sin B ； （3）)::21a b c =，求角A 、B 、C ；（4）7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状.解：（1）由正弦定理得sin sin b cB C =，又()()180180754560B A C =-+=-+=o o o o o得，10sin sin 2c Bb C===（2）由正弦定理得，sin sin b aB A=，故sin 28sin 307sin 2010b A B a ===o （3）令2a k =，b =，)1c k =+()0k >，由余弦定理的推论得2222222614cos 22k k k b c aA bc+-+-===45A ∴=o ，同理60B =o ，18075C A B =--=o o ，45A ∴=o ，60B =o ，75C =o .（4）b a c >>Q ，∴ B 最大由余弦定理的推论得22222276105cos 0227628a c b B ac +-+-===-<⨯⨯ 90180B ∴<<o o ，∴ ABC ∆为钝角三角形.【变式1】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c .已知90A C -=o，a c +=，求C .【变式2】ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-. （1）求B ∠的大小；（2）若72b =，ABC ∆的面积332S =，求a c +的值.【变式3】已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos 3sin a C a C b +-- 0c =.（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆3b ，c .方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.考点2 三角形解的情况的判定【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数（1）5a =，4b =，120A =o； （2）5a =，10b =，150A =o； （3）9a =，10b =，60A =o ； （4）18a =，24b =，44A =o .解：（1）a b >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有唯一解； （2）b a >Q ，且A 为钝角，∴ ABC ∆有无解；（3）sin 102b A =⨯=Q ∴ sin b A a b <<，∴ ABC ∆有两解；（4）sin 24sin 4424sin 45b A =<=o oQ ，又1824<，故有两解.【变式1】ABC ∆中，A 、B 的对边分别是a 、b ，且60A =o，a =4b =，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定【变式2】在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ． 10=b ，ο45=A ，ο70=C B ．60=a ，48=c ，ο60=B C ． 7=a ，5=b ，ο80=A D ．14=a ，16=b ，ο45=A【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A. 7a =，14b =，30A =o有两解 B. 28a =，24b =，150A =o有两解 C. 6a =，9b =，45A =o有两解 D. 9b =，10c =，60B =o有两解方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角()0180o o :有几个，它与已知角的和是否小于180o.考点3 三角形形状的判定【例3】在ABC ∆中，cos cos cos a A b B c C +=，试判断三角形的形状.解：由余弦定理代入已知条件得2222222220222b c a a c b a b c a b c bc ac ab+-+-+-⋅+⋅-⋅=， 整理，得()()()2222222222220a b c a b a c b c c a b +-++-+--=， 即()2224a bc -=，222a b c ∴-=±，即222a b c =+或222b a c =+根据勾股定理知ABC ∆是直角三角形.【变式1】在ABC ∆中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.【变式2】在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，试判断ABC ∆的形状.方法总结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： （1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．考点4 正、余弦定理与其他知识的综合应用【例4】ABC ∆中，已知45A =o，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长. 解：（1）4cos 5B =Q ，且()0,B ∈π，3sin 5B ∴== ()()cos cos cos 135C A B B =π-+=-⎡⎤⎣⎦ocos135cos sin135sin B B =+oo43252510=-⨯+=- （2）由（1）得sin 10C ===， 由正弦定理得sin sin BC ABA C ==，解得14AB =. 在BCD ∆中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，CD ∴=【变式】在ABC ∆中，A 、B 、C 为其三个内角，且其对边分别为a 、b 、c .若()2cos23,2m A =+u r ，()2cos ,1n A =r，且//m n u r r .（1）求角A ；（2）若a =3b c +=，求ABC ∆的面积.方法总结：正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制.考点5 三角形的范围与最值问题【例5】在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于_________，AC 的取值范围为____________. 解：由正弦定理知sin 2sin AC BC A A =，即12sin cos sin AC A A A =，∴ 2cos ACA=ABC ∆Q 是锐角三角形，02A π∴<<，022A π<<，032A π<π-<解得，64A ππ<<.由2cos AC A =得AC 的取值范围为.【变式1】锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则ca的取值范围是（ ）A. ()1,2B. (C.)2 D.【变式2】在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. ,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦【变式3】设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.方法总结：（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题. （2）求正弦定理有关的三角函数最值的求法：①利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量； ②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.。
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
高三正余弦定理、解三角形综合讲义
正余弦定理、解三角形综合讲义一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理：考点1 正弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝考点2 余弦定理在ABC ∆中a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A sin A ＋C＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－322．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )A ．－725 B.725 C ．－2425 D.24253．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 326．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________.1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．(1)求m 〃n 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，2cos α2垂直，其中α为第二象限角．(1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．高考尝试1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．2. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。
（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。
（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。
（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。
③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。
由此可知余弦定理是勾股定理的推广。
由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。
4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。
用正、余弦定理解三角形
灵活应用正、余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。
下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。
一、直接利用定理求边和角。
例1：在△ABC 中，0060,30,366==+=+B A b a ，求边c 的长。
解：∵ )(1800B A c +-==090 由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==及等比定理得 0060sin 30sin 366sin sin sin ++=++=B A b a C c ∴12)31(21)31(62321366=++=++=c 二、配凑公式求边和角。
例2：若a ，b ，c 分别表示△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，且（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，求cos （A+B ）。
解： 由（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，得ab c b a 3)(22=-+整理得：ab c b a =-+222， 故cos （A+B ）=－cosC =－2122222-=-=-+ab ab ab c b a 三、利用定理求边和角的求值范围。
例3：①在锐角△ABC 中，a =1，b=2则c 的取值范围是多少？②设a ,a +1, a +2为钝角三角形的三边，则a 的取值范围是__________.解:①由余弦定理得: =2c C C ab b a cos 45cos 222-=-+由0<cosC<1 得512<<c 即 51<<c②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos 222<++-++=a a a a a C 30310322<<⇔<<-⇔<--⇔a a a a四、利用定理判断三角形的形状。
例4：在△ABC ，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，判断△ABC 的形状。
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
例谈用正弦余弦定理解三角形
例谈用正弦余弦定理解三角形三角形是初中数学学习中重要的一个内容，而解三角形则是其中的一个难点。
在解三角形的过程中，我们可以运用正弦余弦定理来简化运算，提高解题效率。
本文将详细介绍如何运用正弦余弦定理解三角形。
首先，我们要了解正弦余弦定理的概念和公式。
正弦定理是指：在任意三角形中，三角形的任意一条边的长度与与其对角的正弦值成比例。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形的三条边的长度，A、B、C分别为三角形的三个内角的大小。
而余弦定理是指：在任意三角形中，三角形的任意一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边的乘积与夹角余弦值的积。
即a=b+c-2bc*cosA（同理，b=a+c-2ac*cosB，c=a+b-2ab*cosC）。
通过正弦余弦定理，我们可以求解三角形的各边长和内角大小。
具体步骤如下：1. 已知两边和夹角，求第三边根据余弦定理，我们可以求出第三边的长度。
例如，已知三角形的两条边分别为3cm和4cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解：根据余弦定理可得：c=3+4-2×3×4×cos60°=25，因此c=5cm。
2. 已知两边和夹角，求内角根据正弦定理，我们可以求出内角的大小。
例如，已知三角形的两条边分别为3cm和4cm，夹角为60度，求第三角的大小。
解：根据正弦定理可得：sinA/3=sin60°/5，因此sinA=3sin60°/5=√3/2，那么A=60°。
3. 已知三边，求内角根据余弦定理，我们可以求出三个内角的余弦值，然后通过反余弦函数求出内角的大小。
例如，已知三角形的三条边分别为3cm、4cm 和5cm，求三个内角的大小。
解：根据余弦定理可得：cosA=(4+5-3)/2×4×5=3/5，cosB=(3+5-4)/2×3×5=4/5，cosC=(3+4-5)/2×3×4=-1/2。
专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形(解析版)
专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决 一、题型选讲题型一 、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b在ABC △中，由正弦定理，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而,所以C ∠为锐角.故cos C ==则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯ 变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，a =. (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【解析】若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =. 所以在Rt ABM 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB = 所以解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠， 因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为为锐角，所以325sin C cosA ==又sin sin sin b c a B C A ===所以,4b B =,4c C = 所以若选择条件②，则答案为:(1)因为252B C bsin asinB +=，所以252Absin asinB π-=， 由正弦定理得252AsinBcos sinAsinB =，因为0sinB ≠，所以25,2A cos sinA =5222A A Acos sin cos =，因为02Acos≠，所以125A sin =，则225A cos=，所以. (2)同选择①变式2、(2019徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．【解析】：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈， 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以．（2）在ABC △中，由正弦定理得，．又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，2216513251365=+-⨯⨯⨯ 92=．变式3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在中，，为的平分线，，则___________．A B CD【答案】【解析】原题图形如图所示： 则： 设，则，又 解得：本题正确结果：变式4、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．，【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD = .题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=， 由余弦定理得， ，在BCF 中，2BC =，BF 1CF =， 由余弦定理得. 故答案为：14-. 变式1、(2018徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．【解析】： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010，(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD ＝5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7. 变式2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．【解析】： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C→＝5013×10＝513.(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665 ＝28.题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=， ．在CBD 中,BD =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,,BD AD h =，,100AB =，60BAD ︒∠=, 由余弦定理可得，解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B.变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.BD CE D C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE =B【答案】【解析】在中，，，，则，在中，，，，则，由正弦定理得，可得，在中，，，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案为：.变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知，AD =（1）霍尔顿发现无论BD 多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得，在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-， 则，； （2）1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=， 则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（1）知：，代入上式得：3ACD △45ACD ∠=CD =67.5CAD ∴∠=AC CD ==BCE 60BEC ∠=75BCE ∠=CE 45CBE ∠=2sin 60sin 45CE BC ===ABC AC =BC 2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=3AB =3配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=-+ ⎝⎭，当A =14.变式3、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________m.【答案】 30解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．二、达标训练1、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在ABC ∆中，内角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =5c =，2B C =，则cos C ______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC ∆的面积为______.10【解析】因为b =5c =，2B C =， 由正弦定理可得：， 所以，则cos C =；4sin 2sin cos 25B C C ===， 14561225ABD S ∆∴=⨯⨯⨯=，由余弦定理可得：，解可得5a =（舍)或11a =， 所以，512106ADC S ∆∴=⨯=．，10．2、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.3、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD sin C =___________.【解析】ABD ∆中，由正弦定理可得，，所以sin BAD ∠=AD 为BAC ∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=()10sin sin 4510C DAC ∴=∠+∠=+=..4、(2019南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，，______，24CD AB ==，求AC . 【解析】选择①：所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠4822202⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭所以 选择② 设，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中，即所以sin 4AC θ=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，，即4sin sin6ACπθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=，又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==. 6、（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.【解析】 (1)由.设当乙到达C 地时,甲处在D 点,则65310AD km =⨯=所以在ACD ∆中,由余弦定理得:5CD ∴=即此时甲､(2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲､乙两交警之间的距离为()f t km ,在BCD ∆中，乙从C 地到达B 地,用时45t =小时,甲从D 处到达B 地,用时75t =小时,所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且454,35DE km BE km =⨯== 所以当405t ≤≤时，令282()3,1,560,033f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >（舍去）又当4755t ≤≤ 时,甲､乙两交警间的距离因为甲､乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系 所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过25小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.。
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复习课: 解三角形枣庄十八中 秦真教学目标重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。
难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题. 能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪. 一、【知识结构】二、【知识梳理】1.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- ，2222cos c a b ac C =+- ，222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=3.111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+6.三角形内角的诱导公式（1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan tan()C A B =+，cossin22c A B+=，sincos22C A B+=，... 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及sin sin sin a b cA B C==，可求出角C ，再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a bA B=，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a bA B=求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：8.三、【范例导航】题型（一）：正、余弦定理1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．在∆ABC 中，已知a =c =，45B =o ，求b 及A ；()22222212cos 2cos 45 1218b ac ac B b =+-=+-⋅︒=+-=∴=Q 解析：（）(2)求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：2222221cos 22b c a A bc +-+-===Q 60A ∴=︒解法二：sin sin 45,a A B b ==︒Q 2.4 1.4 3.8,2 1.8 3.6,>+=<⨯=Q 又, 090a c A ∴<︒<<︒即60A ∴=︒变式训练1（2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，a ，则A. a ＞bB. a ＜bC. a ＝bD. a 与b 的大小关系不能确定 答案：A【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题 题型（二）：三角形面积例2．在∆ABC中，sin cos AA +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：（先解三角方程，求出角A 的值。
） 1sin cos 45) cos(45).2A A A A+=-=∴-=o o Q又0180οο<<A , 4560,105.A A ∴-==o o otan tan(4560)2A ∴=+==-o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοAS AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：（由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
） Θsin cos A A +=22①211(sin cos ) , 2sin cos , 0180, sin 0,cos 0.221(sin 2)2A A A A A A A A ∴+=∴=-<<∴><=-o o Q 另解23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, ∴-=sin cos A A 62② ①+②得sin A =+264。
①－②得cos A =-264。
从而sin tan 2cos 4A A A ===- 以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 变式训练2（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=，∴21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin ,sin 5A C ==，又∵,33B b π==，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积1163433693sin 3225S ab C ++==⨯⨯⨯=. 题型（三）：正、余弦定理判断三角形形状例3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 变式训练3（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得22251113cos 02511C +-=<⨯⨯，所以角C 为钝角 四、【解法小结】1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。
2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
五、【布置作业】必做题：1.（2010天津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc-=，sin 23sin C B =，则A=( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）01502.（2010湖北理数）3.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －22 B 22C －6D 6 3.（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC=4. （2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sincos 3cos sin ,A C A C = 求b选做题6.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状. 7.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 作业答案1．A 2. D 3. 1 4. 2,2,3 5. b=46. A=1200，ABC ∆是等腰的钝角三角形 7. 56AB =（第7题）六、【教后反思】1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现解三角形知识，直观简明；其次，例题选择典型，并关注高考中常出现的有关三角形的问题，讲练结合，学生落实较好；再次，题目注重一题多解，关注变式训练；最后，在作业的布置上，选择高考中的低档题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：在一些具体问题中，学生在用正弦定理解决已知两边及其中一边的对角的问题中出现一解两解及无解的情况时容易出错，而例题中涉及的笔墨较少，有些遗憾.。