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2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

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【2020备考资料夹】高考数学冲刺专题突破专题10+三角函数与数列大题(理科)

【2020备考资料夹】高考数学冲刺专题突破专题10+三角函数与数列大题(理科)

1专题十 三角函数与数列大题（一）命题特点和预测：分析近8年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在17题位置且每年只考一个，8年5考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3年考数列，主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础题，2019年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题． （二）历年试题比较： 年份题目2018年 【2018新课标1，理 17】在平面四边形中，，，，.（1）求； （2）若，求.2017年 【2017新课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.2016年 【2016高考新课标理数1】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（1）求C ；2（2）若的面积为332，求ABC △的周长． 2015年 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（1）求{n a }的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 2014年【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠， ，其中λ为常数，（1）证明：；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.2013年 【2013课标全国Ⅰ，理17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .2012年 【2012全国，理17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C－b－c＝0．(1)求A ；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c．2011年【2011全国新课标，理17】等比数列{an }的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，23239a a a.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列1{}nb的前n项和．【解析与点睛】（2018）（17）【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.34所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.（2017年）【解析】（1）由题知∴∵由正弦定理得，由sin 0A ≠得. （2）由（1）得，∵∴又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin A =，1cos 2A =由余弦定理得 ① 由正弦定理得，∴②由①②得33b c +=∴，即ABC △周长为333+【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，5建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.（2016年）【解析】（1）由正弦定理及得，，即，即，因为π<<C 0，所以0sin ≠C ，所以21cos =C，所以3π=C .（2）由余弦定理得：∴6ab =∴5a b +=∴ABC △周长为。

2020年高考文科数学大题专项二 高考中的三角函数与解三角形

2020年高考文科数学大题专项二 高考中的三角函数与解三角形

二
考情分析
典典例例剖剖析析
专题总结提升
-7-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练 1(2018 山东潍坊期中联考)设函数 f(x)=sin ωx·cos
ωx- 3cos2ωx+ 23(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为
π2 + 4.
(1)求 ω 的值;
(2)若函数
y=f(x+φ)
0
<
������
高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典例剖析
专题总结提升
-2-
从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查都 呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题共15分,要 么一个小题和一个大题共17分.在三个小题中,分别考查三角函数 的图象与性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中, 小题要么考查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考 查的都是解三角形.
题型三
题型四
解 (1)在△ABD 中,由正弦定理得si���n������∠��������� = sin∠������������������������������. 由题设知,sin545°= sin∠2������������������,所以 sin∠ADB= 52.
由题设知,∠ADB<90°,所以 cos∠ADB=
<
π 2
是奇函数,求函数 g(x)=cos(2x-φ)
在[0,2π]上的单调递减区间.
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典典例例剖剖析析

决战2020年高考数学(理)三角函数与解三角形专题： 余弦定理及其应用(解析版)

决战2020年高考数学(理)三角函数与解三角形专题： 余弦定理及其应用(解析版)

三角函数与平面向量余弦定理及其应用一、具本目标：1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ； 2. 能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.3.考纲解读：利用余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关知识；余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题. 二、知识概述：1.余弦定理：2.有关的概念：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角.（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.余弦定理内容Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⋅-+=⋅-+=⋅-+=变形形式ab c b a C ac b c a B bc ac b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=解决的问题（1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.【考点讲解】（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.（4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度.0 3.三角形的面积公式：.,,,,,S C B A c b a ABC 面积为别为，三边所对的三个角分的三边为设∆()()上的高表示边BC h ah S 211=().sin 21sin 21sin 212A bc B ac C ab S ===()外接圆的半径）为ABC R C B A RRabc S ∆==(sin sin sin 2432. ()()内切圆的半径）为ABC r c b a r S ∆++=(214. ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=---=c b a p c p b p a p p S 2153. 解斜三角形在实际中的应用：解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海等方面都可能用到，解题的一般步骤：（1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求； （2）根据题意画出示意图；（3）将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理，余弦定理等关知识求解； （4）检验所得到结果是否具有实际意义，对解进行取舍，并写出答案. 4.常见题型与方法：（1）灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换 （2）三角形形状的判定方法：①化边为角；②化角为边.（3）．三角形中三角函数求值，恒等式证明. （4）通过三角变换探索角的关系，符号规律.（5）熟练掌握由三角形三个元素（至少有一边）求解三角形的其它元素方法； （6）常用的三角形的有关定理：正、余弦定理；内角和定理； （7）常用的三角形面积公式；（8）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能解决解三角形的计算问题．1．【2018年高考全国Ⅱ文理】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 12521532425AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A. 【答案】A2.【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6【解析】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用.由题可知：2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ文数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +【真题分析】4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =，由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A 为 锐角，且3cos 2A =从而求得833bc =，所以ABC △的面积为1183123sin 22323S bc A ==⨯⨯=， 故答案是233. 【答案】2334.【2019优选题】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________.【解析】 由sin B ＝2sin C 得b ＝2c .又因为a ＋2c ＝2b ，所以a ＝2c ， 因此cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c 2＝24.【答案】245.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【答案】636. 【2018·浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.【解析】因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3. 【答案】2173 7.【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-． 因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得3sin 2B =．由正弦定理得33sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以33sin()sin 14B C A +==． 【答案】（1）7b =，5c =；（2）3314. 8.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【答案】（1）33c =；（2）255. 9.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=， 即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-． 由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．【答案】（1）60A ︒=；（2）62sin 4C +=.1.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（ ）A.3π4B.π3C.π4D.π6【解析】本题考点余弦定理的应用，由余弦定理得：()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-，因为()2221sin a b A =-，所以cos sin A A =，因为cos 0A ≠，所以tan 1A =，因为()0,A ∈π，所以4A π=，故选C. 【答案】C 2.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （ ） A.31010 B.1010 C.1010- D.31010- 【解析】本题考点是余弦定理的应用，由题意可设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，【模拟考场】知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 【答案】C3.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=( ) A.2 B.3 C.2 D.3【解析】本题考点是余弦定理的应用，由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去）. 【答案】D4.在△AB C 中，如果(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则A 等于 ( ) A.150° B.120°C.60°D.30°【解析】由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 得(b ＋c )2－a 2＝3bc ,∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴ 2221cos 22b c a A bc +-== 【答案】C5.在△ABC 中，若=13AB ,BC=3，120C ∠=o ,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【解析】：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 【答案】A6.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】87.若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．【答案】78.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】由2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，故()(sin sin )()sin +-=-a b A B c b C ，又根据正弦定理，得()()()+-=-a b a b c b c ，化简得，222+-=b c a bc ，故2221cos 22+-==b c a A bc ，所以060=A ，又224+-=≥b c bc bc ，故1sin 32∆=≤BAC S bc A ．【答案】39.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 试题分析：（I ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （II ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（I ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- . 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = .由题意知A 为锐角，所以3cos 2A = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ，可得：22132bc b c bc +=+≥ .即：23,bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此123sin 24bc A +≤ ，所以ABC ∆面积的最大值为234+ 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（II ）ABC ∆ 面积的最大值为234+ 10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.【解析】 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，－π6＜A －π6＜5π6，即A －π6＝π6，所以A ＝π3. (2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0＜B ＜2π3， 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C .所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b2＋c2－bc＝4bc＋4＝b2＋c2≥2bc bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立.所以S△ABC＝12bc sin A＝12×32bc≤34×4＝3，即当b＝c＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为 3.。

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；（2）当时，求∠A 的大小．【解答】解：（1）由，，∴a ＝2b •sin C ，∵C ＝60°且b ＝1，∴a ；（2）当时，，∵b2+c2﹣2bc•cos A，∴，即，∴，得sin（A）＝1．∵A∈（0，π），∴A∈（），则A，得A．【再练一题】在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以．思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，因为sin B≠0，所以，即．因为0＜A＜π，所以．……………………………………（2）因为a＝2，所以，所以，因为，所以当且仅当时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为．………………【再练一题】如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD＝2，CD＝4，△ABC为正三角形，则△BCD面积的最大值为．【解答】解：设∠ADC ＝α，∠ACD ＝β，由余弦定理得：AC 2＝42+22﹣2×4×2cos α＝20﹣16cos α，∴cos β，又由正弦定理可得，则sin β，∴S △BCD BC •CD •sin （β）＝2BC （sin βcos β）＝2BC •（••）＝4sin （α）+4，故△BCD 面积的最大值为4+4，故答案为：4+4思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a ．b ．c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c ＜b cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵c ＜b cos A ，∴利用正弦定理化简得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．【再练一题】在△ABC中，若22，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：∵22，∴c2﹣a2＝bc cos A，∴c2﹣a2＝bc•，化简可得：c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选：B．命题点2求解几何计算问题【典型例题】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2，B＝60°，△ABC的面积为，则a+c＝（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：△ABC中，b＝2，B＝60°，所以△ABC的面积为S ac sin B ac•，解得ac＝4；又b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣12，所以（a+c）2＝16，解得a+c＝4．故选：A．【再练一题】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，∠BAC＝90°，．（1）设∠DAC＝30°，求角B的大小；（2）设BD＝2DC＝2x，且，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵AC DC，∴sin∠ADC sin∠DAC．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B，∴∠ADC，∴∠C＝π，∴∠B；（2）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC x，∴sin B，cos B，AB x．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即：（2）2＝6x2+4x2﹣2x×2x2x2，得：x＝2．故DC＝2．思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．基础知识训练1．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ） A ．4 BCD【答案】B 【解析】 如图所示：平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4， 则：在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：22249161cos 22234AB BC AC ABC AB BC +−+−∠===−⋅⋅⋅，故：1cos cos 4DAB ABC ∠=−∠=， 则：2222?•DAB BD AD AB AD AB cos ∠=+−， 解得：． 故选：B ．2．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x xD．【答案】C由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+−⋅⋅ 234150AC AC ⇒−−=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】D 【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=−，)cos A C B b A +==−，sin cos B b A =−，sin sin cos A B B A =−， ∵sin 0B >，cos A A =−，即：tan 3A =−， ∵(0,)A π∈， ∴56A π=. 故选：D ．4．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，满足22()6,3c a b C π=−+=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．2D ．32【答案】B，∴22226c a ab b =−++，又，由余弦定理可得： 222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−∴ 222226a ab b a b ab −++=+−，解得：6ab =，由三角形面积公式可得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案选B 。

微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

专题09 正、余弦定理解三角形——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必备知识】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===AB(R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④R SinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>. 2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形； （3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形； （3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形； 4、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π. 考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题【例1】已知ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)3sin(sin π+=A b B a .（1）求A ； （2）若c a b ,23,成等差数列，ABC ∆的面积为32，求a 【解析】（1）因为)3sin(sin π+=A b B a ，所以由正弦定理可得)3sin(sin sin sin π+=A B B A ，因为0sin ≠B ，所以)3sin(sin π+=A A .因为),0(π∈A ，所以ππ=++3A A ，所以3π=A .（2）因为c a b ,23,成等差数列，所以a c b 3=+. 又因为ABC ∆的面积为32，所以32sin 21==∆A bc S ABC ，所以323sin bc 21=⨯⨯π，可得bc=8.所以由余弦定理可得bc c b bc bc c b A bc c b a 3)(3cos22)(cos 222222-+=--+=-+=π，即24)3(22-=a a ，解得32=a .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )4(cos -=，则=A 2cos （ ）A.87-B.81-C.87D.81【解析】A.因为A b c B a cos )4(cos -=， 所以A B A C B A cos sin cos sin 4cos sin -=， 即A C A B B A cos sin 4cos sin cos sin =+， 所以C A C sin cos 4sin =，又因为0sin ,0≠<<C C π，所以A cos 41=，即41cos =A ， 则871cos 22cos 2-=-=A A ，故选A.考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题 【例2】在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A cB b=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）tan 21tan A cB b +=Q sin cos 2sin 1sin cos sin A BC B A B∴+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， sin()2sin sin cos sin A B C B A B+∴=，整理得1cos 2A = 0,3A ππ∴=Q ＜A ＜ （2）2222cos ,a b c bc A =+-Q22222122a b c bc b c bc =∴=+-⨯=+-， 即2232,b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当3==c b 时，bc 取最大值，从而433sin 21≤=∆A bc S ABC .所以ABC ∆面积的最大值为433. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足)6cos(sin π-=B a A b .（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且BD=1，求ABC S ∆的最大值． 【解析】（1）因为)6cos(sin π-=B a A b ，所以B A B A A B sin sin 21cos sin 23sin sin +=, 即B A B A cos sin 3sin sin =， 因为0sin ≠A ，所以3tan =B ， 又因为），（π0∈B ， 所以3π=B .（2）因为D 为AC 的中点，所以由向量的中线定理得)(21BC BA BD +=,3cos 214141π⋅⋅++=， 又因为BD=1，所以ac ac c a 2422≥-=+ 故34≤ac ，当且仅当a=c 时，等号成立，此时34max =）（ac ， 所以ABC S ∆的最大值为333sin 3421=⨯⨯π.【类比训练2】已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足bcB A B A 2sin sin cos cos =+，且b=3. （1）求B.（2）求ABC ∆的周长l 的最大值. 【解析】利用正弦定理对b c B A B A 2sin sin cos cos =+化简得BCB B A B B A sin sin 2sin cos sin cos sin cos =+, 即BC B B B A sin sin 2sin cos )sin(=+. 因为0sin )sin(≠=+C B A ，所以21cos =B . 又),0(π∈B ，所以3π=B .（2）解法一：在ABC ∆中，由余弦定理得9cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ， 所以22)2(3939)(c a ac c a ++≤+=+，即6≤+c a ， 所以9≤++=c b a l ，当且仅当a=b=c=3时，ABC ∆的周长l 取得最大值，且最大值为9. 解法二：由正弦定理得32sin 2==BbR ，所以B B R b A A R a sin 32sin 2,sin 32sin 2====，所以)32sin(32sin 323sin 32sin 323A A B A c b a l -++=++=++=π=)6sin(63cos 3sin 333π++=++A A A又因为)32,0(π∈A ，所以)65,6(6πππ∈+A 所以当26ππ=+A ，即3π=A 时，1)6sin(=+πA ， 所以963max =+=l .考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,33cos =B . (1)求△ACD 的面积;(2)若32=BC ,求AB 的长. 【解析】(1)因为∠D=2∠B,33cos =B ， 所以cos D=cos 2B=2cos 2B-1=31-. 因为D ∈(0,π),所以sin D=322cos 12=-D . 因为AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积S=21AD·CD·sin D=2322121=⨯⨯.(2)在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=32. 因为BC=32,所以∠B=∠BAC, 由正弦定理得ACBABB AC ∠=sin sin ,所以B ABB B AB B AB B AB B sin 332cos sin 22sin )2sin(sin 32===-=π, 所以AB=4.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是：1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【解析】（1）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=，因此7.AB =考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). 3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度).坡度又称为坡比. 注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是[0,2π]. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B 是海面上位于东西方向相距）（335+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB=）（335+ 海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,由正弦定理得ADBABDAB DB ∠=∠sin sin , 所以00105sin 45sin )33(5sin sin +=∠∠⋅=ADB DAB AB DB=464222)33(560sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(500000+⨯+=++=310231)31(35=++（海里），又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=320海里, 所以在△DBC 中,由余弦定理得DBC BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222 即900213203102-12003002=⨯⨯⨯+=CD ， 所以CD=30(海里), 所以需要的时间13030==t (小时),即救援船到达D 点至少需要1小时. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)【解析】如图,作CD 垂直于AB 的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,=,所以BC =×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD ⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷Ⅱ高考理·T15）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC ∆的面积为 .【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得23,23c c ==-（舍去） 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 2、(2018·全国卷II 高考理科·T6)在△ABC 中,cos C2=√55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .4√2B .√30C .√29D .2√5【解析】选A .cos C =2cos2C2-1=2×(√55)2-1=-35, 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C , 所以AB 2=1+25-2×1×5×(-35)=32,所以AB =4√2.3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C = ( ) A .B .C .D .【解析】选C .由题意S △ABC =12ab sin C =a 2+b 2-c 24,即sin C =a 2+b 2-c 22ab,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C ∈(0,π),所以C=.4、(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【解析】A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC, 即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC 为锐角三角形, 所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b. 【非选择题组】1、(2018·浙江高考T13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =√7,b =2,A =60°,则sin B = ,c = . 【解析】由正弦定理asinA =bsinB 得=2sinB ,得sin B =√217, 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+c 2-74c=12,解得c =3.答案:√217 32、(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=154, 所以S △BDC =12BD·BCsin ∠15,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC ,则cos ∠cos 12ABC ∠+10答案:15103、（2019全国I 理·T17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sinC ．【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+故sin sin()46C ππ=+=.4、（2019全国III 理·T18）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 因为0<B π<，02A Cπ+<< 故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立， 所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V .故ABC S V取值范围是(82. 5、(2018·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17. (1)求∠A.(2)求AC 边上的高.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c 2+a 2-b 22ca==-17,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc==12,又因为0<A<π,所以A=. (2)设AC 边上的高为h,则sinA=hc , 所以h=csinA=3×sin =3√32,即AC 边上的高为3√32. 方法二:(1)因为cosB=-17<0得角B 为钝角,由三角形内角和定理,角A 为锐角, 又sin 2B+cos 2B=1,所以sinB>0,sinB=4√37,由正弦定理,asinA =bsinB ,即sinA=ab sinB=78×4√37=√32, 又因为0<A<,所以A=.(2)设AC 边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√32×(-17)+12×4√37=3√314, 所以h=asinC=7×3√314=3√32,即AC 边上的高为3√32. 6、(2018·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos ,即sinB=cos ,所以sinB=√32cosB+12sinB ,可得tanB=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos,可得sinA=√37. 因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314. 6、(2017·北京高考理科·T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sinC 的值.(2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)根据正弦定理sinA a=sinCc ,所以sinC=sinA c a =37×sin60°=37(2)当a=7时,c=37a=3,因为所以1314,在△ABC 中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA××1314+12,所以S △ABC =12ac×sinB =12×7×3×7=7、(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】(1)因为,所以,所以因为A ∈(0,π),所以A=23π.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入,b=2得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC ,所以,所以sinC=7,所以在Rt △CAD 中,tanC=ADAC ,所以2=2AD ,即则S △ADC =12×由(1)知S △ABC =12·bc·sinA =12×2×4×2=所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =.8、(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22B . (1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22B,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=1517, (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=417ac , 又S △ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 9、(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinA a且S=12bcsinA ,所以23sinA a =12bcsinA ,所以a 2=32bcsin 2A ,由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=32. (2)由(1)得sinBsinC=23,又cosBcosC=16,因为A+B+C=π,所以cosA =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sinBsin C-cosBcosC =12,又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sinA=2,cosA=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sinB,c=sinAa ·sinC , 所以bc=22sin Aa ·sinBsinC=8 ②,由①②得所以即△ABC 的周长为10、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b 和sinA 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sinB=35,所以cosB=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2accosB=13,所以由正弦定理得,sinA=sinB a b(2)由(1)知又a<c,sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2Acos 4π+cos2Asin 4π=26.11、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知2-b 2-c 2). (1)求cosA 的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cosA=2222b c abc+-=5ac-(2)由(1)可得sinA=5,代入asinA=4bsinB,得sinB=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5, 于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×⎛⎝⎭-35。

2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析

【答案】10 6 【解析】如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt△ABC 中，由∠ACB＝45°得 BC＝x. 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3x. 在△BDC 中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即( 3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得 x＝40，所以电视塔高为 40 m. 点评：求解高度问题应注意的 3 个问题
无解
一解
两解
一解
一解
无解
7.三角形常用的面积公式
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例: 类型一、测量高度问题
【例 1】如图，一山顶有一信号塔 CD （ CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚 A 处测得塔尖 C 的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l 米后到达 B 处，测得 C 的仰角为 .
3 海里.
(1)求 两点间的距离；(精确到 0.01)
(2)某一时刻，我国一渔船在 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘 国舰艇正从点 正东 10 海里的点 处以
18 海里/小时的速度接近渔船，其航线为
(直线行进)，而我东海某渔政船正位于点 南偏西 方向
20 海里的点 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行 8 海里至点 处，再折向点 直线航行，航
实战演练:
1．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东150 BAC 150 方向上，匀速向北航
行 20 分钟到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 600 方向上，此时测得山顶 P 的仰角 600 ，若山高为 2 3 千米，

2020高考数学专项训练《3 正、余弦定理在解三角形中的应用》(有答案)

例题：(2018·南通、泰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b . (1)求sin B 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．变式1在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a2－b2－c2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin (2B －A)的值．变式2已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝35，D 是线段BC 上的点，cos ∠ADC ＝210. (1)若b ＝5，a ＝7，求c 的大小；(2)若b ＝7，BD ＝10，求△ABC 的面积．串讲1在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________________．串讲2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b2＋c2－a2＝65bc ，求tan B.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B)的值．(2018·常州期末)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，3b sin C ＝c cos B ＋c.(1)求角B ；(2)若b 2＝ac ，求1tan A ＋1tan C的值．答案：(1)B ＝π3；(2)233.解析：(1)由正弦定理得b sin B ＝csin C，又∵3b sin C ＝c cos B ＋C ， ∴3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C ，3分△ABC 中，sin C ＞0，所以3sin B －cos B ＝1，4分所以sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12，－π6＜B －π6＜5π6，B －π6＝π6，所以B ＝π3；6分(2)因为b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，8分1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin （π－B ）sin A sin C ＝sin Bsin A sin C.12分所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.14分专题3例题 答案：(1)55；(2)－1010. 解析：(1)在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sinB 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55. (2)因为a ＝152b ＞b ， 所以A ＞B ，即得0＜B ＜π3.又sin B ＝55，所以 cos B ＝1－sin 2B ＝255，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－⎝⎛⎭⎫22cos B －22sin B ＝－⎝⎛255×22－⎭⎫55×22＝ －1010. 变式联想变式1 答案：(1)－55；(2)－255. 解析：(1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B，又因为由a sin A ＝4b sin B ，可得 a ＝2b ，又因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，即b 2＋c 2－a 2＝－55ac ，所以由余弦定理可得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)因为0<A<π，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，可得sin B ＝a sin A 4b ＝55，由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255，于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B＝35，所以sin (2B －A)＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 变式2答案：(1)42；(2)42.解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋52－2×7×5×35＝32，即c ＝4 2.(2)因为0<C<π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝45，同理sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝7210，所以cos ∠CAD ＝－cos (∠ADC ＋C)＝－cos ∠ADC cos C ＋sin ∠ADC sin C ＝22， 即∠CAD ＝π4，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，得CD ＝AC sin ∠CAD sin ∠ADC ＝7×227210＝5，所以S △ABC ＝12AC·BC·sin C ＝12×7×15×45＝42.点拨：三角形作为重要的平面几何研究对象，通过回顾解三角形的研究思路，有利于培养从定性到定量的研究，研究角度可以是边的关系、角的关系，边角关系入手，解题方法与过程蕴含了基本方程与不等式．其中正弦定理和余弦定理实现了三角形边角几何关系的代数化，遇到边角关系式，基本处理策略就是“化边为角或化角为边”．串讲激活串讲1答案：(6－2，6＋2)．解法1如图，∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝75°，延长BA ，CD 交于点E ，则可知BE ＝CE ，且在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°.在△BEC 中，由正弦定理可得BE ＝CE ＝BC sin 75°sin 30°＝6＋2，由题意可得DE ∈(0，6＋2)．在△ADE 中，由正弦定理可得AE ＝DE sin 45°sin 105°＝(3－1)DE ，所以AE ∈(0，22)．又因为AB ＝BE －AE ，所以AB的取值范围是(6－2，6＋2)．(解法1图)解法2(构造法)：如图，构造△BEC ，使得∠B ＝∠BCE ＝75°，则∠BEC ＝30°，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得∠BAD ＝75°.若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 化为△A′BC ，且可在△A′BC 中利用正弦定理求得A′B ＝2sin 30°sin 75°＝6－2；若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 化为△BEC′，且可在△BEC 中利用正弦定理求得BE ＝2sin 75°sin 30°＝6＋ 2.又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E之间，且不与点C 与点E 重合，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．(解法2图)串讲2答案：(1)略；(2)tan B ＝4.解析：(1)证明：因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可得cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C＝1， 可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，又因为sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin (A ＋B)＝sin (π－C)＝sin C ，即sin A sin B ＝sin C.(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，因为A ∈(0，π)，所以sin A>0，则sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C＝1，可得cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4. 新题在线答案：(1)π3；(2)3314.解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6＝cos B cos π6＋sin B sin π6＝32cos B ＋12sin B ，∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，a ＝2，c ＝3， B ＝π3，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得sin A ＝37，∵a ＜c ，∴cos A ＝27，∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，∴sin (2A －B)＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。

2020年高考数学三角函数、三角形、平面向量 专题08 正弦定理与余弦定理 文(含解析)

专题08正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心：1。

解三角形时的分类讨论(锐角钝角之分）2。

边角互化的选取3。

正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题5。

三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二．【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．三．【方法总结】1。

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1）已知两角和任一边,求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角).2。

由正弦定理容易得到:在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B。

3。

已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时,要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4。

利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题：（1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；（3)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.（4）由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定。

四．【题型方法】}（一)正弦定理辨析三角形例1．已知数列的前项和（1）若三角形的三边长分别为，求此三角形的面积；(2)探究数列中是否存在相邻的三项,同时满足以下两个条件：①此三项可作为三角形三边的长；②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在,找出这样的三项；若不存在，说明理由。

【答案】（1）（2）见解析【解析】解:数列的前n项和．当时，，当时，，又时，，所以，不妨设三边长为，，，所以所以假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，,三个角分别是，，由正弦定理:，所以由余弦定理:，即化简得:，所以：或舍去当时,三角形的三边长分别是4，5,6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.练习1．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是A．在中，B．在中，若,则C．在中，若,则；D．在中，【答案】B【解析】在中，;在中，若，则或，即或;在中，若,则；在中,，选B.练习2．在中，内角所对的边分别是，若,则的值为（)A．B．C．1 D．【答案】D【解析】根据正弦定理可得故选D。

考点17 正、余弦定理及解三角形-备战2020年高考数学(理)考点一遍过

考点17 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .（1）12S ah = (h 为BC 边上的高)； （2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． （3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C+=.典例1 在ABC △中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bsin2A +√3asinB =0，b =√3c ，则ca的值为A ．1 BC ．5D ．7【答案】D【解析】由bsin2A +√3asinB =0，结合正弦定理，可得sinBsin2A +√3sinAsinB =0， 即2sinBsinAcosA +√3sinAsinB =0， 由于sinBsinA ≠0，所以cosA =−√32， 因为0＜A ＜π，所以A =5π6．又b =√3c ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =3c 2+c 2+3c 2=7c 2， 即a 2=7c 2，所以ca =√77. 故选D ．典例2 已知ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且asinA +bsinB +√2bsinA =csinC . （1）求C ；（2）若a =2,b =2√2,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.【解析】（1）因为asinA +bsinB +√2bsin A =csinC ,所以a 2+b 2+√2ab =c 2. 由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−√22， 又0<C <π，所以C =3π4.（2）由（1）知C =3π4,根据余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =22+(2√2)2−2×2×2√2×(−√22)=20，所以c =2√5.由正弦定理得csinC =bsinB ，即sin 2B =，解得sinB =√55.从而cos B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E , 因为在Rt BDE △中，cosB =BEBD ，所以cosBEBDB===，因为DE为线段BC的中垂线，所以CD=BD=√52.1．已知△ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c,且()2cos cos cosC a B b A c+=，1,3a b==，则c= A．3B．CD2．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC∠，sin2sinC B=.（1）求BDCD；（2）若1AD AC==，求BC的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在ABC△中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c，满足3cos cos sin sin cos2A C A C B++=，且,,a b c成等比数列.（1）求角B的大小；（2）若2,2tan tan tana c baA C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cosB A C=-+，32sin sin2A C∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c bA C B+=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4 在ABC △中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC +csinB ． （1）求角B ；（2）若b =2√2，求ABC △面积的最大值．【解析】（1）由已知和正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ， ∵sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， ∴sinB =cosB ，解得B =450．（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(2√2)2=a 2+c 2−2accos450， 整理得：a 2+c 2=8+√2ac ．∵a 2+c 2≥2ac （当且仅当a =c 取等号），∴8+√2ac ≥2ac ，即ac ≤4(2+√2)， ∴S ΔABC =12acsinB ≤12×4(2+√2)×√22=2√2+2，故ABC △面积的最大值为2√2+2．【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5 在ABC △中，AC =2√3，D 是BC 边上的一点. （1）若AD =1,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，求CD 的长； （2）若∠B =120°，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，AC =2√3， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos ∠DAC ＝1×2√3×cos ∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝√32.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2√3×1×√32＝7， 所以CD ＝√7.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，∴AB +BC =4(sinA +sinC)=4[sinA +sin(π3−A)]=4sin(A +π3)，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.∴AB +BC ∈(2√3,4]，故ABC △周长的取值范围为(4√3,4+2√3] .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin BDC ∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =.（2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =，由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=.所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD ，且AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五 解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六 三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以|在ABD △1x =， 所以3AB BC ==，典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c ，且b =3，c =1，A =2B ，则a 的值为 A ．2√5 B ．4 C ．2√3D ．2√22．在ABC △中，AB =1，BC =2，则角C 的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为S ，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4S =a 2−(b −c)2，bc =4，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，10BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于 A 315B ．34C ．2D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为4，∠A =900，则2AB +AC 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．8√2D ．4√27．设ABC △的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，且a =√3，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．√2D ．18． △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2 B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin (C −A )=12sinB ，且b =4，则c 2−a 2=A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 12．平面四边形ABCD 中，∠ABC =150°，√3AB =2BC ，AC =√13，BD ⊥AB ，CD =3，则四边形ABCD 的面积为A ．7√3B ．2C ．√3+1D ．√3+213．已知△ABC ，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为 .15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√1010，b =√2，c =√5．（1）求a ；（2）求cos(B −A)的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数f(x)=2cosx(cosx +√3sinx).（1）当x ∈[π24,7π12]时，求f(x)的值域；（2）在ABC △中，若f (B )=−1,BC =√3,sinB =√3sinA,求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．10．（2019年高考北京卷理数）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．11．（2019年高考天津卷理数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .14．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.15．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．16．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cosC a B b A c+=，由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sinC A B B A C+=，所以()2cos sin sinC A B C+=，即2cos sin sinC C C=，所以在△ABC中，1cos2C=，又因为2221cos,1,322a b cC a bab+-====，所以c=故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD中，sin sinAD BDB BAD=∠，在△ACD中，sin sinAD CDC CAD=∠，又因为BAD CAD∠=∠，则sin2sinBD CCD B==.（2）sin2sinC B=，由正弦定理得22AB AC==，设DC x=，则2BD x=，由余弦定理得222254cos cos24AB AD BD xBAD CADAB AD+--∠==∠⋅，2222222AC AD CD xAC AD+--==⋅.因为BAD CAD∠=∠，所以2254242x x--=，解得2x=.则3BC x==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos 2B ∴=-由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△．5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===， ]1sin )1sin sin()L a b c B C B A B ∴=++=+=+++1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， π2πππ5π,0,,,33666A B B ⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L ∈.故ABC △的周长L 的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos 2a B b c +=，及正弦定理可得：2sin cos sin 2sin A B B C +=， 则2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+， 整理得sin 2cos sin B A B =， 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >， 所以1cos 2A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==， 因为D 为AC 的中点，所以24AC AD ==，在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos133BC =+-⨯⨯⨯=，所以BC =．7．【解析】（1）在△CDE 中，3609015105150DCE ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∴1111sin150112224△CDE S CD CE =⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）. （2）如图，连接AB ，根据题意知，在Rt △ACD中，tan 1tan60AC DC ADC =⋅∠=⨯︒=（百米）， 在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⨯⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒4=，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)22262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=， 所以π1sin(2)62A +=， 又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=， 所以π3A =， 又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BC C A=，所以sinC =12sinA ，所以0<sinC ≤12， 又AB <BC ，则C 必为锐角，故C ∈(0,π6]. 3．【答案】A【解析】∵4S =a 2−(b −c)2，bc =4，∴4×12bcsinA =2bc −(b 2+c 2−a 2)， 可得2sinA =2−2cosA ，则sinA +cosA =1，可得sin (A +π4)=√22， ∵0<A <π，∴π4<A +π4<5π4，∴A +π4=3π4，解得A =π2.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ，因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin A =，所以由1123222h ⨯⨯=⨯，得h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为4，且∠A =900，所以S =12AB ⋅AC =4，即AB ⋅AC =8，所以2AB +AC ≥2√2AB ⋅AC =2√2×8=8，当且仅当AB =2,AC =4时取得等号， 所以2AB +AC 的最小值为8. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为(a +b +c)(b +c −a)=3bc ，所以(b +c)2−a 2=3bc ， 即b 2+c 2−a 2=bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12,A ∈(0,π)，所以A =π3，因为a =√3，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 2a R A =⨯==. 故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos 22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ，由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知sin (C −A )=12sinB =12sin (A +C ),即2sinCcosA −2cosCsinA =sinAcosC +cosAsinC ，即sinCcosA =3sinAcosC ， 由正弦定理和余弦定理得：c ⋅b 2+c 2−a 22bc=3a ⋅a 2+b 2−c 22ab，即b 2+c 2−a 2=3a 2+3b 2−3c 2，即4c 2−4a 2=2b 2=2×16=32， 则c 2−a 2=8. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为√3AB =2BC ，所以设AB =2x,BC =√3x ， 又∠ABC =150°，AC =√13，所以由AC 2=AB 2+BC 2−2AB •BC •cos∠ABC ， 得13=4x 2+3x 2−4√3x 2cos150∘=13x 2，所以x =1， 所以AB =2,BC =√3， 又BD ⊥AB ，所以∠DBC =60°，由余弦定理可得，CD 2=BD 2+BC 2−2BD •BC •cos∠DBC ， 可得9=BD 2+3−√3BD ，解得BD =2√3， 故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C====2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =+1，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 24S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin a C A cc ⨯⎤===⎥⎣⎦．故答案为31⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =2+5−2×√2×√5×(−√1010)=9，解得a =3．（2）在ABC △中，由cosA =−√1010得A ∈(π2,π)，∴sinA =2A =√1010=3√1010， 在ABC △中，由正弦定理得asinA=bsinB，即sin B =， ∴sinB =√55， 又A ∈(π2,π)，故B ∈(0,π2)， ∴cosB =√1−sin 2B =√1−(√55)2=2√55， ∴cos(B −A)=cosBcosA +sinBsinA =2√55×(−√1010)+√55×3√1010=√210．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin aB b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos36sin226B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，又因为2π(0,)3B∈，所以ππ5π(,)666B+∈，则π1sin(,1]62B⎛⎫+∈⎪⎝⎭.从而π36sin(6,9]6B⎛⎫++∈⎪⎝⎭.因此△ABC周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cosb A B=，由正弦定理，得sin sin cosB A A B=，∵sin0A>，∴sin B B=，即tan B=∵0πB<<，∴（212ac=，解得4ac=，由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得221422a c ac=+-⨯2()3a c ac=+-2()12a c=+-，故4a c+=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC∠=︒，18AB=，15230AC=⨯=，BCAα∠=．在ABC△中由余弦定理可得2222cos1764BC AB AC AB AC BAC=+-⋅⋅∠=，所以42BC=，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时．（2）在ABC△中，18AB=，120BAC∠=︒，BC=42，BCAα∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=︒，所以18sin1202sin4214ABBCα⨯⋅︒===．21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，即BCA2sin)sin(=+，所以BB2sinsin=．又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =， 所以2π3AC +=. 22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-π1)3A =-.因为2π03A <<，ππ2π33A -<-<，所以πsin(2)13A <-≤，所以()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝． 22．【解析】（1）f(x)=2[√32sin2x +12(cos2x +1)] =2sin(2x +π6)+1. ∵x ∈[π24,7π12]，∴2x +π6∈[π4,4π3].当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值3； 当2x +π6=4π3，即x =7π12时，f(x)取得最小值1−√3，故f(x)的值域为[1-√3，3].（2）设ABC △中A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c. ∵f(B)=−1,∴sin(2B +π6)=−1 . ∵0<B <π,即π6<2B +π6<2π+π6. ∴2B +π6=32π,得B =23π.又∵BC =√3，即a =√3,sinB =√3sinA,即b =√3a,∴b =3. 易得sinA =12.∵0<A <π3，∴A =π6，∴C =π6. ∴S ΔABC =12absinC =12×√3×3×12=3√34.23．【解析】（1）在ABC △中，∵1,45AB BC ABC ==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴1AC =，则ABC △为等腰直角三角形， ∴135BCD ∠=°， 在△BCD中，1,135BC CD AC BCD ===∠=︒ ，由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max 9BD =，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则， 故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =， 因为()0,πC ∈，所以π4C =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.4．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 44DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD cos BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=． （2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =， 因此B =60°．（2）由题设及（1）知ABC △的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=.所以5BC =.。

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2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求 : 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题12.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 Sab sin C .2 基础知识回顾 :a b c1. ＝ ＝＝2R ，其中 R 是三角形外接圆的半径．sin A sin B sin C由正弦定理可以变形： (1) a∶b ∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ；(2) a ＝ 2 Rsin A ，b ＝ 2Rsin B ，c ＝2Rsin C .2 ．余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2 bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－ b 2a 2＋b 2－c 2变形： cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝2bc 2ac 2ab4. 三角形常用的面积公式1111 abc(1)S ＝ a ·h a (h a 表示 a 边上的高 )．(2) S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ bcsinA ＝2 2 224R1（3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）.所以：中，利用正弦定理得：由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。

【例2】已知在中，所对的边分别为，.（1 ）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1 ）或（2）12 ）∵， ∴又由余弦定理得 ，∴时，则 时，则 ，点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的 关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 .第三步：求结果 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】 在 中， ， .（1 ）求证： 是直角三角形；（2 ）若点 在 边上，且 ，求 ．答案】（1 ）见解析；（ 2 ），∴综上所述，当且仅当 ，此方程无解 .时，可得（2）设，则，，，所以在中，由正弦定理得，所以点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】在中，角所对的边分别为，已知且（1 ）判断的形状；2）若，求的面积答案】（1 ）见解析；（2 ）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。

类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】在中,角, , 的对边分别为.已知, .（1）求角；（2）若，求的面积．点睛】 本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．【例 6】 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， 成等差数列（1 ）求 ；（2 ）若 ， ，求 的面积 .得2 ）由（ 1）得同理得所以 的面积；(2)2.答案】又 ，∴ ，即方法、规律归纳1. 三角形中常见的结论(1) A ＋ B ＋ C ＝π. (2) 在△ABC 中，A >B ? a >b ? sinA >sinB ? cosA <cosB .(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 三角形内的诱导公式： sin (A ＋B )＝sin C ； cos (A ＋ B ) ＝－ cos C ；A ＋BC A ＋BCtan (A ＋B )＝－ tan C ；sin＝cos ；cos＝sin .22 22(6) 在△ABC 中， A ，B ，C 成等差数列的充要条件是 B ＝60 ° .(7) △ABC 为正三角形的充要条件是 A ，B ，C 成等差数列且 a ，b ，c 成等比数列． 2. 判定三角形形状的两种常用途径(1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．实战演练 :1 ．在中，角 所对的边分别为 ，且 ．(1 )求；而，，得由(2 )若，求的面积的最大值．【答案】(1) ；(2) .点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一决三角形问题时，注意角的限制范围．1 ）若 ，求 的面积；2 ）若 的面积为 ，求 ， .般采用到正弦定理， 出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用． 解2． 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，，答案】3 ．已知中，角所对的边分别为且（1 ）求角的大小；（2 ）若，求面积的最大值。

【答案】；（2）解析】分析】1)利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简即得角 的大小 .(2) 先证明再求 面积的最大值详解】1)点睛】(1) 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 .(2) 本题解题的关键是4 ．已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中 ， 1 )若 ，求 的值；2 )若 边上的中线长为 ，求 的面积 .详解】(2)答案】 Ⅱ)由 边上的中线长为 ，即可求解(1)(2)（1 ）依题意，，故，所以所以，因为，所以，故，可得2）记边上的中线为CD ，故所以结合（1）可知解得，所以的面积点睛】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题．5 ．在中，内角的对边分别为，且满足1 ）证明：成等差数列；2 ）已知的面积为，求的值.答案】（1 ）见解析；（2 ）详解】即由三角形内角和定理有 由正弦定理有成等差数列点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化是解题地基本方法． 当等式两边是关于边 或关于角 的齐次式时， 可以利用正弦定理进行边 角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．6 ．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 1 ）求角 ；2 ）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积 .【答案】 (1) ;(2) .【详解】( 1)由 ，1）由题设得 ，根据由余弦定理又由 （1） 得代入得 ，2）由得，即，所以即，因为，所以. 由正弦定理得，因为，所以，所以，得.7 ． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 1 ）求 ；2 ）若 ，求 的面积和周长 .也即得 ．得周长．详解：（1）由正弦定理以及 又因为 ，所以 ，所以可得由余弦定理得点睛：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查两角和的余弦公式和诱导公式，在解三角形中边角关 系常常用正弦定理进行相互转化，解题时可根据要求的结论确定选用什么公式，从而确定解题方法．如本 题求三角形面积，利用（ 1 ）的结论可选用公式，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积．8 ．在 中，角 的对边分别是 ，且 .（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．；（2），答案】（1 ）和 代入得 ，所以 ，且 ，得2）将解析】分析：（1）把已知等式用正弦定理转化为角的关系， 可求得 ，从而可得 ，2 ）把 及 代入已知可得 ，再由公式求得面积，由余弦定理可求得 ，从而可得 ，所以，即，所以 的周长为【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。

9 ．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若. （1 ）求角；（2 ）当的值最小时，求的面积.【答案】（1） ;（2） .2)由题意可知的内切圆半径为1 ，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是化简得，所以或又，所以，即当且仅当时，的最小值为6 ，此时三角形的面积点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.10 ．已知向量，，且函数)求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．)在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．答案】(1) 函数的最大值为，此时的取值集合为．(2)∵ 为的内角，）∵由余弦定理得即又，，故，得，∴ 的面积点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解三角形和三角形面积。

解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。

11 ．△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin(1) 求cos B ；(2) 若a＋c＝6，△ABC 的面积为2，求b.【答案】(1)cos B＝.(2) b ＝2.点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心12 ．已知中，，为内一点，且.(Ⅰ)当时，求的长；(Ⅱ)若，令，求的值.【答案】(Ⅰ ) ；(Ⅱ) .由内角和定理得.在直角中，，在中，由正弦定理得：即：，整理可得：，解得13 ．的内角的对边分别为.已知，Ⅰ)求角；Ⅱ) 的面积为，其外接圆半径为，且，求.答案】(Ⅰ ) ；(Ⅱ) .由面积公式得由余弦定理得即解得：或，又，所以.14 ．已知△ 内角，，的对边分别为，，，．(1 )求；2 )若，，求△ 的面积．（1） 若 的面积为 ，求 ；（2） 若 ，求 的面积 .平方化简求值即可；2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可答案】（1 ）2）解析：解： （1） 由得 得 ，即15 ．已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足 答案】（1 ） （2） 或解析】 分析：（ 1）由得 ，即 ，又 ，两边同时又，那么即，得到，即有.。

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