正,余弦定理与解三角形

A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数
一解
两解
a≥b 一解
a>b 一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
C＝
1 2acsin
B
＝
1 2bcsin A
；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径).
√
)
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
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题组二 教材改编 2.[P10B组T2]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 等腰三角形或直角三角形 . 解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝π2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
2.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断 △ABC的形状. 解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12， 又 0<C<π，∴C＝π3， 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B， 故△ABC为等边三角形.
(2)若△ABC 的面积 S＝a42，求角 A 的大小. 解 由 S＝a42，得12absin C＝a42， 故有 sin Bsin C＝12sin A＝12sin 2B＝sin Bcos B， 由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又 B，C∈(0，π)，所以 C＝π2±B. 当 B＋C＝π2时，A＝π2；当 C－B＝π2时，A＝π4.
【概念方法微思考】 1.在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B? 提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2.如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个 式子. 提示 acos B＋bcos A＝c； acos C＋ccos A＝b.
√A.2 2
B.
3 2
C.
2 3
D.3 2
(2)在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，A＝π4，b2sin C＝4 2sin B，则△ABC 的面积为___2____. 解析 因为 b2sin C＝4 2sin B， 所以 b2c＝4 2b，所以 bc＝4 2， S△ABC＝12bcsin A＝12×4 2× 22＝2.
跟踪训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝ 5c，C＝2B，则cos C等于
√7
A.25
B.－275
7
24
C.±25
D.25
解析 ∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C.
又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B，
∴8sin B＝10sin Bcos B.
命题点2 求解几何计算问题 例 4 (2018·云南 11 校跨区调研)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝π3，AD∶AB
＝2∶3，BD＝ 7，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
解 因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.
又 BD＝ 7，∠DAB＝π3， 所以由余弦定理，得( 7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos π3，解得 k＝1，
多维探究
题型三 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C， 则此三角形一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
√C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解 在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝π3， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7.
由 bsin A＝acosB－π6，可得 sin A＝
21 7.
因为
a<c，所以
cos
A＝2
7
7 .
因此 sin 2A＝2sin Acos A＝47 3，cos 2A＝2cos2A－1＝17. 所以 sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝47 3×12－17× 23＝3143.
∴AD＝a，BD＝
2a3，BC＝
4a 3.
在△ABD 中，cos∠ADB＝a2＋2a4×3a22－a3a2＝ 33，
∴sin∠ADB＝
36，∴sin∠BDC＝
6 3.
在△BDC
中，sBinDC＝sin∠BCBDC，∴sin
C＝BD·sபைடு நூலகம்Bn∠C BDC＝
6 6.
师生共研
题型二 和三角形面积有关的问题
√A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形 解析 由已知及正弦定理得sin C<sin Bcos A， ∴sin(A＋B)<sin Bcos A， ∴sin Acos B＋cos Asin B<sin Bcos A， 又sin A>0，∴cos B<0，∴B为钝角， 故△ABC为钝角三角形.
综上，A＝π2或 A＝π4.
思维升华 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪一个角就 使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
跟踪训练 2 (1)(2018·承德质检)若 AB＝2，AC＝ 2BC，则 S△ABC 的最大值为
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5.(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解
的情况是
A.有一解
B.有两解
√C.无解
D.有解但解的个数不确定
解析 由正弦定理得sinb B＝sinc C，
∴sin
B＝bsicn
C＝40×20
3 2＝
3>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
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6.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋ 2π
c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ 3 . 解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.
又因为 b＋c＝2a，所以 a＝53b，c＝73b， 所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝53b22×＋53bb2－×b37b2＝－12. 因为 C∈(0，π)，所以 C＝23π.
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
师生共研
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (2018·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A
＝acosB－π6. (1)求角B的大小； 解 在△ABC 中，由正弦定理sina A＝sinb B，可得 bsin A＝asin B. 又由 bsin A＝acosB－π6，得 asin B＝acosB－π6， 即 sin B＝cosB－π6，所以 tan B＝ 3. 又因为 B∈(0，π)，所以 B＝π3.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( × )
(3)在△ABC
中，sina
A＝sin
a＋b－c A＋sin B－sin
.( C
2R
(5)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
b2＋c2－a2 (7)cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b____
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角
跟踪训练 3 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos2B2＝a2＋cc(a，b，c 分别
为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为
7
7 ＝4
3
3 .
2
思维升华
(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝ π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意： ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝ADsinB∠D DAB＝2×723＝
21 7.
(2)若∠BCD＝23π，求 CD 的长. 解 因为 AB⊥BC，所以 cos∠DBC＝sin∠ABD＝ 721， 所以 sin∠DBC＝27 7，所以sin∠BDBCD＝sin∠CDDBC，
所以 CD＝
7×2 3
∵sin B≠0，∴cos B＝54， ∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝275.
(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC 6
＝2BD，则 sin C 的值为 6 .
解析 设 AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，