如何正确理解正余弦定理解三角形
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1.1 正弦定理和余弦定理教案(共两课时)
教学目标
根据教学大纲的要求,结合学生基础和知识结构,来确定如下教学目标:
(一)知识目标
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;
(2) 会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形的两类基本问题。
(3) 掌握余弦定理的两种表示形式;
(4) 掌握证明余弦定理的向量方法;
(5) 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
(二)能力目标
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
(三)情感目标
(1) 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;
(2) 培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角形函数、正弦定理、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点
正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点
(1) 正弦定理和余弦定理的证明过程。
(1) 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
(2) 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学方法
启发示探索法,课堂讨论法。
教学用具
粉笔,直尺,三角板,半圆,计算器。
、教学步骤
第一课时正弦定理
(一) 课题引入
如图1.1-1,固定∆ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。 A
思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来? (图1.1-1) (二) 探索新知
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ∆ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角
三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c
C c
==,
A
则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c 从而在直角三角形ABC 中,
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
C a B
(图1.1-2)
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (让学生进行讨论、分析)
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图1.1-3,当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
, C
同理可得sin sin c
b
=
, b a 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A D B
(图1.1-3)
让学生思考:是否可以用其它方法证明这一等式? 证明二:(等积法)在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1== 两边同除以abc 21
即得:A a sin =B b sin =C
c
sin 证明三:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D
∴
R CD D a
A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)
同理
B b sin =2R ,C
c
sin =2R 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。
证明四:(向量法) 过A 作单位向量垂直于AC →
由 AC →
+ CB →
= AB →
两边同乘以单位向量 得 •(AC →
+CB →
)=•AB →
则j •AC →
+j •CB →
=j •AB →
∴|j |•|AC →
|cos90︒+|j |•|CB →
|cos(90︒-C)=|j |•| AB →
|cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理,若过C 作j 垂直于CB →
得: C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
类似可推出,当∆ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(让学生课后自己推导)
从上面的研究过程,可得以下定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
(三) 理解定理
(1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =;
(2)
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
,
sin sin c
b
C
B
=
,
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A
a B
=
; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如
sin sin a A B b
=。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
(四) 例题剖析
例1.在∆ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9=a cm ,解三角形。(课本p3,例1)
解:根据三角形内角和定理,
0180()=-+C A B