2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题08 正余弦定理的综合应用(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题08 正余弦定理的综合应用【副题考法】本副题考题形式为解答题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象 与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为中档题，分值为12分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：（1）角的变换：因为在ABC ∆中，()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-sin 2A B +=2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式()()()11sin 22a S ah ab C rp p p a p b pc ====--- (r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半).（3）在ABC ∆中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC ∆是 正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.2.要熟记如下知识： （1）正弦定理： 分类 内容定理 2sin sin sin a b cR A B C===(R 是ABC ∆外接圆的半径) 变形公式①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，②sin :sin :sin ::A B C a b c =， ③sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也 较大，即在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>.（3）在ABC ∆中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b > 解的个数 一解 两解 一解一解（4）余弦定理 分类 内容定理在ABC ∆中，有2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-变形公式222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2a c b B ac +-=；222cos 2a b c C ab+-=解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有 一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；1.牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、 诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理.如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式.2.注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接 用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.3.写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分， 无则不给分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程(即得分点①)，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化为得分点⑦才得分.【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形 【解决法宝】1.对已知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦 定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.注意隐含条件的挖掘；例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的面积为32，求sin sin A C +的值． 【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得sin cos C c B =，再 根据正弦定理得sin cos 3B B =，即tan 3,3B B π==（2）由ABC ∆的面积为32，得2ac =，再根据余弦定理得()()222222232cos 3b a c ac B a c ac a c ac ==+-=+-=+-，解得3a c +=，因此结合正弦定理得()sin 3sin sin 2B AC a c b +=+=考向二利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.例3 的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积．【分析】（1）由正弦定理将边化为角结合三角形内角和的性质，两角和的展开式得，进而得解；（2）由，得，由，得，进而得，由余弦定理得AC，进而求和即可.【解析】（1）略；（2）因为，故，在中，，所以，故，所以，又，，所以，又，所以四边形的面积为．考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题 【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟 通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例3如图，岛A 、C 相距107海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10 海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C 103海里的E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(]0,30V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-， 5sin 5ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((]0,30V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？【分析】（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可； （Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得， sin sin BC ACBAC B=∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求最值即可. 【解析】整理得： 2304000AE AE +-=， 解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A 所用的时间至少为21077303t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中， 4cos 5BAC ∠=-， 5sin 5ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角， 3sin 5BAC ∠=， 25cos 5ACB ∠=．所以B sin =)](180sin[ACB BAC ∠+∠-︒=)sin(ACB BAC ∠+∠=ACB BAC ACB BAC ∠∠+∠∠sin cos )sin sin 3254525555525=⨯-⨯=.由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3107515352525BC ⨯==,所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()21535115050153511653522f V V V V V V ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ((]0,30V ∈)，当且仅当1502V V=，即10V =时， ()min 16535f V =（元）.所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元． 【副题集训】1.如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()001515BAC ∠=方向上， 匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东060方向上，此时测得山顶P 的仰角060，若山高为23千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP ∆中， tan 2PCPBC BC BC∠=⇒= 在ABC ∆ 中，由正弦定理得： 002sin sin sin15sin45BC AB ABBAC BCA =⇒=∠∠， 所以()231AB =+，船的航行速度是每小时()631+千米.（2）在BCD ∆中，由余弦定理得： 6CD =， 在BCD ∆中，由正弦定理得：2sin sin sin 2CD B CDB DBC CDB =⇒∠=∠∠,所以，山顶位于D 处南偏东0135.2. 如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =， 7AB =， 3ADB π∠=， 6C π∠=.（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.【解析】（Ⅰ）如图所示， 366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠， DB DC =设DC x =，则DB x =， 3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠,即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=， 解得1x =， 1DC =.（Ⅱ）在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠=+=，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠， 即471sin 2ABC =∠，故2sin 7ABC ∠=， 由,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，得3cos 7ABC ∠=-，22tan 333ABC ∠=-=-.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()tan 3cos cos c C a B b A =+. （1）求角C ；（2）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==， ABD ∆的面积为83，求边c 的长.【解析】（1）由()tan 3cos cos c C a B b A =+及正弦定理可得()sin tan 3sin cos sin cos C C A B B A =+，故()sin tan 3sin C C A B =+， 而()sin sin 0C A B =+>，所以tan 3C =，即3C π=4. 已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=.（1）求角A 的大小； （2）若3a =， 12B π=，求ABC ∆的面积.【解析】（1）由3cos sin cos b A a A C + sin cos 0c A A +=及正弦定理得，()sin sin cos cos sin A A C A C + 3sin cos B A =-， 即()sin sin A A C + 3sin cos B A =-， 又()sin sin 0A C B +=>，所以tan 3A =-， 又()0,A π∈，所以23A π=. （2）由（1）知23A π=，又12B π=，易求得4C π=， 在ABC ∆中，由正弦定理得32sinsin 123b ππ=，所以622b -=. 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C =16223332224--=⨯⨯⨯=. 5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）1cos 2B =（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤< 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，∴sin 3cos 0B B -=．又cos 0B ≠，∴tan 3B =． 又0B π<<，∴3B π=，∴1cos 2B =（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤< 7.在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小； （2）若，求的面积．【解析】（1）由已知，得，由余弦定理，得，所以，又，故； （2）由（1）知，由正弦定理，得，所以或（舍去）从而，所以的面积为．8. 如图,在四边形ABCD 中, ,AD BD AC ⊥平分,23BAD BC ∠=,36,ΔBD BCD =+的面 积为()323,2S ABC +=∠为锐角.(1)求CD ; (2)求ABC ∠ .【解析】(1)在BCD ∆中,()323122S BD BC sin CBD +==⋅⋅∠.因为23,36BC BD ==+,所以12sin CBD ∠=. 因为ABC ∠为锐角,所以30CBD ∠=︒. 在BCD ∆中,由余弦定理得2CD =222BC BD BC BD cos CBD +-⋅⋅∠=()()()22323362233692++-⋅+⋅= 所以CD 的长为3.(2)在BCD ∆中,由正弦定理得BC CDsin BDC sin CBD=∠∠, 即23330sin BDC sin =∠︒ ,解得3,3sin BDC ∠=BC BD <Q , BDC ∴∠也为锐角.63cos BDC ∴∠=. 在ACD ∆ 中,由正弦定理得AC CDsin ADC sin CAD=∠∠, 即3AC cos BDC sin CAD=∠∠,① 在ABC ∆中,由正弦定理得AC BCsin ABC sin BAC=∠∠, 即23AC sin ABC sin BAC=∠∠,②Q AC 平分BAD ∠, CAD BAC ∴∠=∠,由①②得323sin ABC cos BDC ∠=∠ ,解得22sin ABC ∠=,因为ABC ∠为锐角,所以45.ABC ∠=︒ 9. 在中,分别为角的对边，且.（1）若，求及；（2）若在线段上，且，求的长. 【解析】（Ⅰ）∵，，， 在△ABC 中，由正弦定理，∴，又，所以，则C 为锐角，所以，则，所以（Ⅰ）13AD =10. 如果，在Rt ABC ∆中， 2ACB π∠=， 3AC =， 2BC =， P 是ABC ∆内的一点.（1）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； （2）若23BPC π∠=，设PCB θ∠=，求PBC ∆的面积()S θ的解析式，并求()S θ的最大值. 【解析】(1)∵P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC ＝2，∴∠PCB ＝4π，PC ＝2，又∵∠ACB ＝2π，∴∠ACP ＝4π，在△P AC 中，由余弦定理得P A 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos 4π＝5， ∴P A ＝5.(2)在△PBC 中，∠BPC ＝23π，∠PCB ＝θ， ∴∠PBC ＝3π－θ，由正弦定理得22sin 3π＝sin PB θ＝sin 3PC πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴PB ＝433sin θ，PC ＝433 sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴△PBC 的面积S (θ)＝PB ·PC sin 23π ＝433 sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin θ＝2sin θcos θ－233sin 2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33 ＝233 sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－33，θ∈0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴当θ＝6π时，△PBC 面积的最大值为33.11.如图，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin cos a c B B =+.（1）求ACB ∠的大小；（2）若ABC ACB ∠=∠， D 为ABC V 外一点， 2DB =， 1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.【解析】(1) 在ABC ∆中，由A B C π++=， ()sin cos a c B B =+Q()()sin sin sin cos cos sin sin sin cos A B C B C B C C B B ∴=+=+=+，sin cos sin sin B C C B ∴=又sin 0B ≠Q cos sin C C ∴= 又()0,C π∈Q 4C π∴=(2)35,244ABCD D S π==+ 12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值． 【解析】（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=sin 2sin cos ,A A B = …………………………………………………4分△ABC 中，sin 0A ≠，故1cos ,.23B B π== ……………………………6分 （Ⅱ）由（I ）,3B π=因此222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- ………………………………9分 由已知()22343b a c ac ac =+-=- ……………………………………10分2434312a c +⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭……………………………………11分故b 的最小值为1. ………………………………………………………12分 13.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值． 【解析】（1）cos 2cos 3cos a b cA B C==Q， sin sin sin cos 2cos 3cos A B CA B C∴==，即tan tan tan 23B CA ==，则tan 2tan B A =，tan 3tan C A =． 又在ABC ∆中，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--．则22tan 3tan tan 16tan A A A A+=-，解得2tan 1A =， tan 1A ∴=-或tan 1A =，当tan 1A =-时，tan 2B =-，则A ，B 均为钝角，与πA B C ++= 矛盾，故舍去，故tan 1A =，则π4A =． （2）5a =14如图，一辆汽车从A 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100km 的速度向东均速行驶，汽车开动时，在A 市南偏东方向距A 市500km 且与海岸距离为300km 的海上B 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 所成的角.【解析】（1）如图，设快艇以/vkm h 的速度从B 处出发，沿BC 方向， th 后与汽车在C 处相遇，在ABC ∆中， 500,100,,B AC t BC vt BD ===为AC 边上的高， 300BD =.设BAC α∠=，则34sin ,cos 55αα==.由余弦定理，得2222cos BC AC AB AB AC α=+-⋅，所以()2222410050025001005v t t t =+-⨯⨯⋅.整理，得222500008000010000v t t=-+222181********2500001000025252514250000360025t t t ⎡⎤⨯⎛⎫=+⋅++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当1425t =，即254t =时， ()2min min 3600,60/v v km h ==， 即快艇至少以60/km h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中.（2）当60/v km h =时，在ABC ∆中， 25500,100625,4AB AC ==⨯= 25603754BC =⨯=，由余弦定理，得222cos 02AB BC AC ABC AB BC+-∠==⋅，所以90ABC ∠=o ，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶.15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值. 【解析】（1）4c = (2) 由正弦定理，得132********,sin ,sin .sin sin sin 33332a cb a Ac C A C B ====∴== ()()213213213sin sin sin sin sin sin 3333a c A C A A B A A π⎡⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 21333sin sin cos 213sin 2263A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max 213a c +=.。
2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求 : 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题12.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 Sab sin C .2 基础知识回顾 :a b c1. ＝ ＝＝2R ，其中 R 是三角形外接圆的半径．sin A sin B sin C由正弦定理可以变形： (1) a∶b ∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ；(2) a ＝ 2 Rsin A ，b ＝ 2Rsin B ，c ＝2Rsin C .2 ．余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2 bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－ b 2a 2＋b 2－c 2变形： cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝2bc 2ac 2ab4. 三角形常用的面积公式1111 abc(1)S ＝ a ·h a (h a 表示 a 边上的高 )．(2) S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ bcsinA ＝2 2 224R1（3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）.所以：中，利用正弦定理得：由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例2】已知在中，所对的边分别为，.（1 ）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1 ）或（2）12 ）∵， ∴又由余弦定理得 ，∴时，则 时，则 ，点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的 关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 .第三步：求结果 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】 在 中， ， .（1 ）求证： 是直角三角形；（2 ）若点 在 边上，且 ，求 ．答案】（1 ）见解析；（ 2 ），∴综上所述，当且仅当 ，此方程无解 .时，可得（2）设，则，，，所以在中，由正弦定理得，所以点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】在中，角所对的边分别为，已知且（1 ）判断的形状；2）若，求的面积答案】（1 ）见解析；（2 ）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破含详解
正余弦定理判定三角形形状-高考数学微专题突破一、单选题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22202c a b ab-->，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5．在ABC 中，2sin 22C a ba-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形6．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．若钝角三角形ABC 的三边长,8,()a b a b <成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是（ ） A ．(2,4)B ．(0,4)C ．(2,6)D ．(1,4)8．在ABC 中，a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若222)4ABC a b c S +-=△（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．有一个角是30的等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin 1A C +=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为120的非等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形10．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，命题:p 若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形，命题:q 若a b >，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=,cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形12．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150的等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形13．ABC 中三个角的对边分别记为a 、b 、c ，其面积记为S ，有以下命题：△21sin sin 2sin B CS a A=；△若2cos sin sin B A C =，则ABC 是等腰直角三角形；△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-；△2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则ABC 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△14．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知222(cos cos )2cos a b a B b A ab B +-+=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．在ABC ∆中，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰或直角三角形16．对于ABC ∆，有如下四个命题:△若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， △若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形△若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形△若coscoscos222ab c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为△A 、△B 、△C 的对边，下列叙述正确的是（ ）A ．若sin sin a bB A = 则△ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 C ．若ta ta a 0n n A t n B C ++>则△ABC 为锐角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则△C 4π=18．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形19．已知△ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若2cos c aB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形C ．若22tan tan a A b B=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形20．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 D ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形 21．下列说法正确的有（ ）A ．在△ABC 中，a △b △c =sin A △sinB △sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D ．在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π22．在ABC ∆中，下列命题正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆定为等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆定为直角三角形D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角 23．在ABC ∆中，以下结论正确的是____________A ．若222a b c >+，则ABC ∆为钝角三角形B ．若222a b c bc =++，则A 为120︒C ．若222a b c +>，则ABC ∆为锐角三角形D ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =三、填空题24．在ABC 中，满足cos cos a Ab B=的三角形是______________三角形. 25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________.26．若以3，4，x 为三边长组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是____________．27．对于ABC ，有如下命题：△若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； △若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形；△若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； △若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．28．已知ABC 的内角,,A B C 成等差数列，且,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则有下列四个命题： △3B π=；△若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等边三角形； △若2a c =，则ABC 为锐角三角形；△若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则3A C =.则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ). 29．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为______.30．在ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且a b c ，，成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则三角形的形状是________________．31．对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 四、解答题32．在ABC 中，已知a 2tan B =b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.33．ABC 中，sin sin sin b a Ba B A+=-，且()cos cos 1cos2A B C C -+=-，判断ABC 的形状．34．在ABC 中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC 的形状.35．在ABC 中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断ABC 的形状36．已知a b c ，，为ABC ∆的内角A B C ，，的对边，满足sin sin 2cos cos sin cos B C B C A A +--=，函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,π3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. （1）证明：2b c a +=； （2）若()cos 9f A π=，证明ABC 为等边三角形．37．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ． （1）求角A 的大小；（2）当a c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．38．在ABC 中，6BC =，点D 在BC 边上，且()2cos cos AC AB A BC C -⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若AD 为ABC 的中线，且AC =AD 的长；（3）若AD 为ABC 的高，且AD =ABC 为等边三角形.39．在△cos 220B B +=，△2cos 2b C a c =-，△b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．40．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知4c =，3C π=.（1）若ABC 的面积等于ABC 的形状，并说明理由； （2）若ABC 是锐角三角形，求ABC 周长的取值范围.参考答案1．C 【分析】由余弦定理确定C 角的范围，从而判断出三角形形状． 【详解】由22202c a b ab-->得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形. 故选：C ． 2．C 【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin A 的值，再结合A C =，以及三角形的内角和即可求出,B C ，进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << 所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120， 又因为cos cos A C =， 所以A C ∠=∠所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=， 所以ABC 为等边三角形. 故选：C. 3．B 【分析】首先利用余弦定理求出A ，再由sin 2sin cos A B C =利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得b c =，即可判断三角形的形状；解：()()3a b c b c a bc +++-=，[()][()]3b c a b c a bc ∴+++-=，22()3b c a bc ∴+-=， 22223b bc c a bc ++-=，222b bc c a -+=，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-， 222222cos b bc c a b c bc A ∴-+==+-，2cos bc bc A =，1cos 2A =， 60A ∴=︒，又由sin 2sin cos A B C =，则sin 2cos sin A C B=，即22222a a b c b ab +-=，化简可得，22b c =， 即b c =，ABC ∴是等边三角形故选：B ． 4．A 【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状． 【详解】在△ABC 中，因为2cos22A b c c +=，所以1cos 1222A b c +=+，所以cos A ＝b c. 由余弦定理，知2222b c a bbc c+-=，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形. 故选：A ． 5．D利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =， 所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 6．B 【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=， 所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理. 7．A 【分析】设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，由最大角的余弦小于0得d 的一个范围，再由三线段长能构成三角形又可得d 的范围，两者结合可得结论． 【详解】由题意8b >，设公差为d ，0d >，8,8a d b d =-=+，设边长为8d +的边所对角为θ，则222(8)8(8)cos 028(8)d d d θ-+-+=<⨯⨯-，2>d ， 又888800d d d d -+>+⎧⎪->⎨⎪>⎩，即04<<d ，△24d <<． 故选：A ． 【点睛】易错点睛：本题考查由三角形形状求参数范围．三角形为钝角三角形，只要最大角为钝角即可．如果不能判断最大角，则需要分类讨论．解题中还不要忘记三条线段能构成三角形，否则出错． 8．B 【分析】由余弦定理和三角形面积公式结合已知得3A π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，由角平分线得等腰三角形，从而得等边三角形的结论． 【详解】1sin 2ABCS ab C ==△，又2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，tan C =(0,)C π∈，所以3C π=，由0AE BC ⋅=得AE BC ⊥，又AE 是A 的平分线，所以AB AC =， 所以ABC 是等边三角形． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形形状的判断．根据已知条件选择相应的三角公式是解题的关键，题中已知条件222)4ABC a b c S +-=△中，分子易与余弦定理联系在一起，然后结合三角形面积公式求解． 9．D 【分析】利用平方关系式和正弦定理得222122a cb ac +-=-，根据余弦定理求出120B =，再根据sin sin 1A C +=求出30A C ==，从而可得解.【详解】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以2221sin (1sin )1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+， 所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，根据正弦定理可得222a c b ac +-=-，即222122a cb ac +-=-，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以120B =，所以60A C +=， 由sin sin 1A C +=得sin sin(60)1A A +-=， 得sin sin 60cos cos60sin 1A A A +-=，得1sin sin 12A A A +-=，得1sin 12A A +=， 得sin(60)1A +=，因为A 为三角形的内角，所以30A =，30C =， 所以ABC 为顶角为120的等腰三角形. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：△利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，△利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状. 10．D 【分析】先利用余弦定理判断命题p 的真假，然后利用余弦函数的单调性判断命题q 的真假，再逐项判断含逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】因为222a b c +>，2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C >，所以C 为锐角，但角A ，B 不能确定，所以p 为假命题；若a b >，则A B >，因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B <，所以q 为真命题，所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题. 故选：D 【点睛】判断含逻辑联结词的复合命题的真假，首先可根据条件判断出原命题的真假，然后再根据逻辑联结词且、或、非判断复合命题的真假. 11．C 【分析】解法一根据直线的平行关系，结合正弦定理即可求得A 与B 的关系，根据直线平行又不重合的条件即可判断三角形形状；解法二根据直线平行关系得到cos cos 0b B a A -=，由余弦定理转化为边的表达式，进而利用因式分解可得a b 、的关系，根据平行又不重合的条件即可得三角形形状．【详解】解法一：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -= 由正弦定理可知sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B = 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈所以22A B =或22A B π=＋，即A B =或2A B π+=.若A B =，则a b =，cos cos A B =，此时两直线重合，不符合题意，舍去 故2A B π+=，则ABC 是直角三角形故选C.解法二：由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由余弦定理得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅所以()()22222222a b c a b a c b +-=+- 所以()()()2222222cab a b a b -=+-所以()()222220a bab c -+-=所以a b =或222+=a b c若a b =，则两直线重合，不符合题意，故222+=a b c 则ABC 是直角三角形 故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在判断三角形形状中的应用，注意边角转化的应用，直线平行时不重合的条件限制，属于中档题． 12．D 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A值进而得C ,则形状可求 【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D 【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 13．D 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断． 【详解】 由sin sin a b A B=得sin sin a B b A =代入in 12s S ab C =得21sin sin 2sin B CS a A =，△正确；若2cos sin sin B A C =sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+，△cos sin cos sin 0B A A B -=，in 0()s A B -=，△,A B 是三角形内角，△0A B -=，即A B =，ABC 为等腰三角形，△错；由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又sin sin sin a b cA B C==，△222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-，△正确；2222(+)sin ()()sin ()a b A B a b A B -=-+，则2222sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B ---==+++，△22sin cos cos sin a A Bb A B =，由正弦定理得22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B，三角形中sin 0,sin 0A B ≠≠，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，△22A B =或22A B π+=，△A B =或2A B π+=，△正确．故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换． 14．B 【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得2222cos a b c ab B +-=，再利用余弦定理可得cos cos B C =，可得结果.【详解】由题，已知()222+cos cos a b a B b A -+= 2cos ab B ，由正弦定理可得：()222sin sin sin cos cos sin 2sin sin cos A B A B A B A B B +-+= 即()222sin sin sin2sin sin cos A B A B A B B +-+=又因为()sin sin A B C +=所以222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B B +-= 即2222cos a b c ab B +-=由余弦定理：2222cos a b c ab C +-= 即cos cos B C = 所以B C =所以三角形一定是等腰三角形 故选B 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.【分析】由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，化为sin 2sin 2B A =， 由a b A B ≠⇒≠，进而可得结果. 【详解】()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--, ()()()()2222sin sin a b A B a b A B ∴+-=-+化为22sin cos cos sin b A B a A B =，由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，sin cos sin cos B B A A =， sin 2sin 2B A =，,a b A B ≠∴≠，22,2B A A B ππ∴=-+=，ABC ∆是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 16．B 【详解】对于△sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；△若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；△由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；△由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B. 17．ACD根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A 可得a b =，B 可得A B =或2A B π+=，C 可得tan tan tan tan tan 0tanA B C A B C ++=>，D 中cos sin C C =，即可判断各选项正误. 【详解】A ：sin sin a b B A =有a bb a =，即22a b =，故△ABC 为等腰三角形，正确. B ：cos cos a bB A=有sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，0,A B π<<，所以A B =或2A B π+=，△ABC 不一定为等腰三角形，错误.C ：sin sin 11cos cos cos tan tan sin ()sin sincos cos cos cos cos cos cos cos cos tanA C C C A BB C C C A B C A B C A B C+++=+=⋅+=⋅=，所以△ABC 为锐角三角形，正确.D ：sin cos a b C c B =+知：sin sin()sin sin sin cos A B C B C C B =+=+，所以cos sin C C =，0C π<<，有△C 4π=，正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和A B C π++=，两角和差公式等转化条件确定三角形形状. 18．D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 19．ABD 【分析】A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】A ．因为2cos c aB =，所以()sin 2sin cos sinC A B A B ==+，所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，所以()()()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ab A B B A a b A B B A +-=-+，所以()()()()22222222sin cos sin cos a bab B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2B =或3cos 2B =（舍），所以3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=，所以2sin sin 3A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以3sin cos 22A A +=1sin cos 122A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”. 20．ACD 【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】 解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ． 【点睛】本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质的应用等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力，属于中档题． 21．AC 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解. 【详解】 由正弦定理==2sin sin sin a b c R A B C= 可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C = 即::sin :sin :sin a b c A B C =成立， 故选项A 正确；由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故选项B 错误；在ABC 中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，则sin sin A B >是A B >的充要条件， 故选项C 正确； 在△ABC 中，若sin A=12，则6A π=或5=6A π， 故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题. 22．ACD 【分析】选项A ，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B ，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项C ，用正弦定理边化角，再将sin sin()C A B =+代入展开，整理可得cos 0A =，所以正确；选项D ，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确. 【详解】在ABC ∆中，若A B >，则a b >，因此sin sin A B >，A 正确； 若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，B 错误； 若cos cos a B b A c -=，则sin cos sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+， 所以sin cos 0B A =，即cos 0A =，2A π=，所以ABC ∆定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3:5:7，设最大边所对的角为θ，则2223571cos 2352θ+-==-⨯⨯，因为0θπ<<，所以23πθ=，D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于0180，属于中档题. 23．AB 【分析】对各个结论利用余弦定理加以验证，得到正确的命题，即可得到答案 【详解】对于A ，由222cos 02b c a A bc+-=<，可知角A 为钝角，则ABC ∆为钝角三角形，故正确对于B ，由222a b c bc =++，结合余弦定理可知1cos 2A =-，120A ∴=︒，故正确 对于C ，由222a b c +>，结合余弦定理可知222cos 02a b c C ab+-=>，只能判断角C 为锐角，不能判断角A B ，的情况，所以ABC ∆不一定为锐角三角形，故错误对于D ，由::1:2:3A B C =可得30A =︒，60B =︒，90C =︒，则1::sin 30:sin 60:sin 90:1:2:32a b c =︒︒︒=≠，故错误 故选AB 【点睛】本题主要考查的知识点是余弦定理，解斜三角形及其应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，难度一般 24．等腰 【分析】先利用正弦定理，再利用两角差的正弦公式化简整理即可得出结果. 【详解】 由cos cos a Ab B =， 得sin cos sin cos A AB B=， 即()sin cos sin cos sin 0A B B A A B -=-=， 因为0,0A B ππ<<<<， 所以0A B A B -=⇒=， 所以满足cos cos a A b B=的三角形是等腰三角形； 故答案为：等腰. 25．等边三角形 【分析】利用余弦定理求得,b c 的关系，从而得出三边关系，判断出三角形形状． 【详解】由余弦定理及cos A ＝12得2222b c a bc+-＝12，△b 2＋c 2－a 2＝bc .△b ＋c ＝2a ，△a ＝2b c +，△b 2＋c 2－22b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝bc ，即(b －c )2＝0，△b ＝c ，于是a ＝b ＝c .△△ABC 为等边三角形. 故答案为：等边三角形．26．． 【分析】先求出x 的范围，然后由最大角的余弦大于0（最大边的平方小于两较小边的平方和）可得． 【详解】易知4343x -<<+，即17x <<，若4是最大边长，则22234x +>，x >4x <≤，若x 是最大边长，则22234x +>，5x <，所以45x <<，5x <<．故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查由三角形形状确定参数范围．首先三条线段能组成三角形的条件是：任一条线段长大于另两条线段长度的差且小于另两条线段长度的和．ABC 三边长分别为,,a b c ，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，因此C 为钝角222a b c ⇔+<，C 为直角222a b c ⇔+=，C 为锐角222a b c ⇔+>．27．△△ 【分析】举出反例可判断△、△；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断△；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断△；即可得解. 【详解】 对于△，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故△错误；对于△，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故△错误；对于△，△222sin sin cos 1A B C ++<，△22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， △222sin sin sin A B C +<，△根据正弦定理得222a b c +<，△222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，△C 为钝角，△△ABC 为钝角三角形，故△正确；对于△，△,4,6C c a x π===，△根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，△8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，△1sin 12A <<，△48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故△正确．故答案为：△△． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题. 28．△△△ 【分析】△根据,,A B C 成等差数列，可得2=B A C +，再由+A B C π+=求解.△根据,,a b c 成等比数列，则2=b ac ，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2a c =，再由余弦定理结合△的结论求解.△根据2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，利用数量积的运算得到0CA CB ⋅=求解. 【详解】因为ABC 的内角,,A B C 成等差数列， 所以2=B A C +，又+A B C π+=， 所以=3B π， 故△正确.因为,,a b c 成等比数列， 所以2=b ac ，由余弦定理得：22222=2cos b ac a c ac B a c ac =+-=+-， 所以2220+-=a c ac ， 即 ()20a c -=， 所以a c =，所以ABC 为等边三角形.故△正确.因为2a c =，由余弦定理得：22222222cos 423b a c ac B c c c c =+-=+-=，所以b =，所以222222cos 02b c a A bc +-===， 所以ABC 为直角三角形.故△错误. 因为2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则()22AB AB AC BC CA CB AB CA CB =⋅-+⋅=+⋅， 所以0CA CB ⋅=， 所以,26C A ππ==，所以3A C =.故△正确. 故答案为：△△△ 【点睛】本题主要考查余弦定理，等差中项，平面向量的数量积的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.29．等腰三角形或直角三角形 【分析】由正弦定理统一为三角函数，化简即可求解. 【详解】由22cos sin sin cos a A B b A B = 及正弦定理，得sin 2sin 2A B =， 所以A B =或2A B π+=，故ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，属于中档题. 30．等边三角形 【分析】由等差中项和等比中项性质可得2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅；根据正弦定理角化边可知2b ac =，与2b a c =+构成方程组化简可得2222a c b +=，从而配凑出cos B 和()20a c -=，得到a c =且3B π=，从而得到结果.【详解】由题意得：2b a c =+，2sin sin sin B A C =⋅由正弦定理可得：2b ac = ()2222222224a c a ac c a c b b ∴+=++=++=即2222a c b += 22222221cos 222a cb b b B ac b +--∴===()0,B π∈ 3B π∴=又22222a c b ac +== ()20a c ∴-= a c ∴=ABC ∆∴为等边三角形故答案为等边三角形 【点睛】本题考查解三角形中，三角形形状的判断问题，关键是能够利用正弦定理将角化边之后，配凑出余弦定理的形式和边长之间的关系，从而得到结果. 31．()2，()3，()4 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定 【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=> ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4 【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简 32．ABC 为等腰三角形或直角三角形 【分析】设三角形外接圆半径为R ，根据a 2tan B =b 2tan A ，利用商数关系和正弦定理，变形为sin A cos A =sin B cos B ,再利用二倍角公式转化sin2A =sin2B ，得到角的关系判断. 【详解】设三角形外接圆半径为R ， 因为a 2tan B =b 2tan A ，所以22sin sin cos cos a B b AB A=， 所以22224sin sin 4sin sin cos cos R A B R B AB A =，所以sin A cos A =sin B cos B , 所以sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =π， 所以A =B 或A +B =2π. 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 33．直角三角形 【分析】先利用正弦定理化简sin sin sin b a Ba B A+=-，得到22b a ab -=；再利用诱导公式，二倍角公式化简，最后利用两角和与差的余弦公式以及正弦定理得到2ab c =，即可得出结果. 【详解】 由sin sin sin a b B a b a B A a bb a++=⇒=--， 得22b a ab -=；由()cos cos 1cos2A B C C -+=-， 得()()2cos cos 2sin A B A B C --+=，2cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin A B A B A B A B C +-+=， 22sin sin 2sin A B C ⋅=，2ab c =，又22b a ab -=，则222222b a c a c b -=⇒=+， 所以ABC 的形状为：直角三角形. 34．等腰三角形或直角三角形 【分析】解法一：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B AA B=，所以sin 2sin 2A B =，根据(0,)A B π∈、，可得22A B =或22A B π=-即可求得答案；解法二：利用正弦定理边化角，可得cos sin cos sin B A A B=，利用余弦定理，可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b ，化简计算，即可得答案.【详解】解法一：由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B AA B B=， 、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，cos sin cos sin B AA B∴=，即sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2,22A B A B ∴=∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知条件及正弦定理可得sin cos sin cos AA B B=22sin sin A B ，、(,)A B 0π∈，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，即cos sin cos sin B AA B=， 由正弦定理和余弦定理可得22222222a c b ac b c a bc+-+-=a b，整理得4222240a a c b c b -+-=，即22222()()0a b a b c -+-=，22a b ∴=或2220a b c +-=，∴a b =或222+=a b c ，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形.【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理并灵活应用，易错点为sin 2sin 2A B =，可得2A =2B 或者22A B π+=，容易丢解，属基础题. 35．等腰三角形或直角三角形 【分析】根据22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，利用正弦定理得到22sin (sin cos sin cos )(sin sin )cos A B B C C B C A -=-，然后利用二倍角公式和两角差的公式得到()()cos 2cos 2B A C A -=-求解. 【详解】。
2020届新高考数学二轮微专题突破专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)
专题02运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。
例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈， 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． AB C D在BCD △中，由余弦定理得，CD ===例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。
2020版高考数学一轮总复习课件5.3 正弦、余弦定理及解三角形
2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
A
2
B
=sin
C 2
.
2.三角形形状的判断方法
要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,依据已知条
件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:
(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通
过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
ABC的外接圆半径为R.
(1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
(2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2
2
2
(3)S=2R2sin Asin Bsin C;
(4)S= abc ;
4R
(5)S=
p(
p
a)(
p
b)(
p
c)
p
1 2
(a
b
c)
.
考向基础 1.距离的测量
数学（浙江专用）
5.3 正弦、余弦定理及解三角形
考向基础 1.正、余弦定理
考点清单
考点一 正弦、余弦定理
2.解斜三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A,解的情况如下:
55
∵B=2C,∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=2× 4 -1= 3 ,
55
∴sin B= 4 .
5
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 4 × 2 5 + 3× 5 =
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．（1）若C ＝60°且b ＝1，求a 边的值；（2）当时，求∠A 的大小．【解答】解：（1）由，，∴a ＝2b •sin C ，∵C ＝60°且b ＝1，∴a ；（2）当时，，∵b2+c2﹣2bc•cos A，∴，即，∴，得sin（A）＝1．∵A∈（0，π），∴A∈（），则A，得A．【再练一题】在△ABC中，AB＝6，．（1）若，求△ABC的面积；（2）若点D在BC边上且BD＝2DC，AD＝BD，求BC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：，所以sin C＝1，，所以，所以．（2）设DC＝x，则BD＝2x，由余弦定理可得解得：所以．思维升华(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，因为sin B≠0，所以，即．因为0＜A＜π，所以．……………………………………（2）因为a＝2，所以，所以，因为，所以当且仅当时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为．………………【再练一题】如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD＝2，CD＝4，△ABC为正三角形，则△BCD面积的最大值为．【解答】解：设∠ADC ＝α，∠ACD ＝β，由余弦定理得：AC 2＝42+22﹣2×4×2cos α＝20﹣16cos α，∴cos β，又由正弦定理可得，则sin β，∴S △BCD BC •CD •sin （β）＝2BC （sin βcos β）＝2BC •（••）＝4sin （α）+4，故△BCD 面积的最大值为4+4，故答案为：4+4思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a ．b ．c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若c ＜b cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵c ＜b cos A ，∴利用正弦定理化简得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．【再练一题】在△ABC中，若22，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：∵22，∴c2﹣a2＝bc cos A，∴c2﹣a2＝bc•，化简可得：c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故选：B．命题点2求解几何计算问题【典型例题】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2，B＝60°，△ABC的面积为，则a+c＝（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：△ABC中，b＝2，B＝60°，所以△ABC的面积为S ac sin B ac•，解得ac＝4；又b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣12，所以（a+c）2＝16，解得a+c＝4．故选：A．【再练一题】如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，∠BAC＝90°，．（1）设∠DAC＝30°，求角B的大小；（2）设BD＝2DC＝2x，且，求x的值．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵AC DC，∴sin∠ADC sin∠DAC．又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B，∴∠ADC，∴∠C＝π，∴∠B；（2）设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC x，∴sin B，cos B，AB x．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即：（2）2＝6x2+4x2﹣2x×2x2x2，得：x＝2．故DC＝2．思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．基础知识训练1．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ） A ．4 BCD【答案】B 【解析】 如图所示：平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=3，AC=4， 则：在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：22249161cos 22234AB BC AC ABC AB BC +−+−∠===−⋅⋅⋅，故：1cos cos 4DAB ABC ∠=−∠=， 则：2222?•DAB BD AD AB AD AB cos ∠=+−， 解得：． 故选：B ．2．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2C ．12x xD．【答案】C由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+−⋅⋅ 234150AC AC ⇒−−=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C. 3．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23πB ．3πC ．6πD ．56π 【答案】D 【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A +=−，)cos A C B b A +==−，sin cos B b A =−，sin sin cos A B B A =−， ∵sin 0B >，cos A A =−，即：tan 3A =−， ∵(0,)A π∈， ∴56A π=. 故选：D ．4．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，满足22()6,3c a b C π=−+=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．2D ．32【答案】B，∴22226c a ab b =−++，又，由余弦定理可得： 222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−∴ 222226a ab b a b ab −++=+−，解得：6ab =，由三角形面积公式可得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案选B 。
微专题09 正、余弦定理解三角形-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
专题09 正、余弦定理解三角形——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必备知识】1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C===AB(R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④R SinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>. 2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形； （3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形； （2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形； （3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形； 4、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π. 考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题【例1】已知ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且)3sin(sin π+=A b B a .（1）求A ； （2）若c a b ,23,成等差数列，ABC ∆的面积为32，求a 【解析】（1）因为)3sin(sin π+=A b B a ，所以由正弦定理可得)3sin(sin sin sin π+=A B B A ，因为0sin ≠B ，所以)3sin(sin π+=A A .因为),0(π∈A ，所以ππ=++3A A ，所以3π=A .（2）因为c a b ,23,成等差数列，所以a c b 3=+. 又因为ABC ∆的面积为32，所以32sin 21==∆A bc S ABC ，所以323sin bc 21=⨯⨯π，可得bc=8.所以由余弦定理可得bc c b bc bc c b A bc c b a 3)(3cos22)(cos 222222-+=--+=-+=π，即24)3(22-=a a ，解得32=a .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )4(cos -=，则=A 2cos （ ）A.87-B.81-C.87D.81【解析】A.因为A b c B a cos )4(cos -=， 所以A B A C B A cos sin cos sin 4cos sin -=， 即A C A B B A cos sin 4cos sin cos sin =+， 所以C A C sin cos 4sin =，又因为0sin ,0≠<<C C π，所以A cos 41=，即41cos =A ， 则871cos 22cos 2-=-=A A ，故选A.考点二 利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题 【例2】在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且tan 21+tan A cB b=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）tan 21tan A cB b +=Q sin cos 2sin 1sin cos sin A BC B A B∴+=即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， sin()2sin sin cos sin A B C B A B+∴=，整理得1cos 2A = 0,3A ππ∴=Q ＜A ＜ （2）2222cos ,a b c bc A =+-Q22222122a b c bc b c bc =∴=+-⨯=+-， 即2232,b c bc bc bc bc =+-≥-=当且仅当3==c b 时，bc 取最大值，从而433sin 21≤=∆A bc S ABC .所以ABC ∆面积的最大值为433. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足)6cos(sin π-=B a A b .（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且BD=1，求ABC S ∆的最大值． 【解析】（1）因为)6cos(sin π-=B a A b ，所以B A B A A B sin sin 21cos sin 23sin sin +=, 即B A B A cos sin 3sin sin =， 因为0sin ≠A ，所以3tan =B ， 又因为），（π0∈B ， 所以3π=B .（2）因为D 为AC 的中点，所以由向量的中线定理得)(21BC BA BD +=,3cos 214141π⋅⋅++=， 又因为BD=1，所以ac ac c a 2422≥-=+ 故34≤ac ，当且仅当a=c 时，等号成立，此时34max =）（ac ， 所以ABC S ∆的最大值为333sin 3421=⨯⨯π.【类比训练2】已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足bcB A B A 2sin sin cos cos =+，且b=3. （1）求B.（2）求ABC ∆的周长l 的最大值. 【解析】利用正弦定理对b c B A B A 2sin sin cos cos =+化简得BCB B A B B A sin sin 2sin cos sin cos sin cos =+, 即BC B B B A sin sin 2sin cos )sin(=+. 因为0sin )sin(≠=+C B A ，所以21cos =B . 又),0(π∈B ，所以3π=B .（2）解法一：在ABC ∆中，由余弦定理得9cos 222222=-+=-+=ac c a B ac c a b ， 所以22)2(3939)(c a ac c a ++≤+=+，即6≤+c a ， 所以9≤++=c b a l ，当且仅当a=b=c=3时，ABC ∆的周长l 取得最大值，且最大值为9. 解法二：由正弦定理得32sin 2==BbR ，所以B B R b A A R a sin 32sin 2,sin 32sin 2====，所以)32sin(32sin 323sin 32sin 323A A B A c b a l -++=++=++=π=)6sin(63cos 3sin 333π++=++A A A又因为)32,0(π∈A ，所以)65,6(6πππ∈+A 所以当26ππ=+A ，即3π=A 时，1)6sin(=+πA ， 所以963max =+=l .考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD 中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,33cos =B . (1)求△ACD 的面积;(2)若32=BC ,求AB 的长. 【解析】(1)因为∠D=2∠B,33cos =B ， 所以cos D=cos 2B=2cos 2B-1=31-. 因为D ∈(0,π),所以sin D=322cos 12=-D . 因为AD=1,CD=3,所以△ACD 的面积S=21AD·CD·sin D=2322121=⨯⨯.(2)在△ACD 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=32. 因为BC=32,所以∠B=∠BAC, 由正弦定理得ACBABB AC ∠=sin sin ,所以B ABB B AB B AB B AB B sin 332cos sin 22sin )2sin(sin 32===-=π, 所以AB=4.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是：1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【解析】（1）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠ 于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角， 所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=，因此7.AB =考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). 3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度).坡度又称为坡比. 注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是[0,2π]. (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B 是海面上位于东西方向相距）（335+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB=）（335+ 海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,由正弦定理得ADBABDAB DB ∠=∠sin sin , 所以00105sin 45sin )33(5sin sin +=∠∠⋅=ADB DAB AB DB=464222)33(560sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(500000+⨯+=++=310231)31(35=++（海里），又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=320海里, 所以在△DBC 中,由余弦定理得DBC BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222 即900213203102-12003002=⨯⨯⨯+=CD ， 所以CD=30(海里), 所以需要的时间13030==t (小时),即救援船到达D 点至少需要1小时. 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)【解析】如图,作CD 垂直于AB 的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°, AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,=,所以BC =×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD ⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国卷Ⅱ高考理·T15）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC ∆的面积为 .【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得23,23c c ==-（舍去） 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 2、(2018·全国卷II 高考理科·T6)在△ABC 中,cos C2=√55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .4√2B .√30C .√29D .2√5【解析】选A .cos C =2cos2C2-1=2×(√55)2-1=-35, 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=CA 2+CB 2-2CA ·CB ·cos C , 所以AB 2=1+25-2×1×5×(-35)=32,所以AB =4√2.3、(2018·全国Ⅲ高考理科·T9)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C = ( ) A .B .C .D .【解析】选C .由题意S △ABC =12ab sin C =a 2+b 2-c 24,即sin C =a 2+b 2-c 22ab,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C ∈(0,π),所以C=.4、(2017·山东高考理科·T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【解析】A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC, 即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC 为锐角三角形, 所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b. 【非选择题组】1、(2018·浙江高考T13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a =√7,b =2,A =60°,则sin B = ,c = . 【解析】由正弦定理asinA =bsinB 得=2sinB ,得sin B =√217, 由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+c 2-74c=12,解得c =3.答案:√217 32、(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】因为△ABC 中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos ∠ABC=2222AB BC AC AB BC +-⋅=222424242+-⨯⨯=14,则sin ∠DBC=sin ∠ABC=154, 所以S △BDC =12BD·BCsin ∠15,因为BD=BC=2,所以∠BDC=12∠ABC ,则cos ∠cos 12ABC ∠+10答案:15103、（2019全国I 理·T17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sinC ．【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈Q 3A π∴=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+故sin sin()46C ππ=+=.4、（2019全国III 理·T18）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 因为0<B π<，02A Cπ+<< 故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立， 所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V .故ABC S V取值范围是(82. 5、(2018·北京高考理科·T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17. (1)求∠A.(2)求AC 边上的高.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c 2+a 2-b 22ca==-17,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc==12,又因为0<A<π,所以A=. (2)设AC 边上的高为h,则sinA=hc , 所以h=csinA=3×sin =3√32,即AC 边上的高为3√32. 方法二:(1)因为cosB=-17<0得角B 为钝角,由三角形内角和定理,角A 为锐角, 又sin 2B+cos 2B=1,所以sinB>0,sinB=4√37,由正弦定理,asinA =bsinB ,即sinA=ab sinB=78×4√37=√32, 又因为0<A<,所以A=.(2)设AC 边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√32×(-17)+12×4√37=3√314, 所以h=asinC=7×3√314=3√32,即AC 边上的高为3√32. 6、(2018·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,由正弦定理asinA =bsinB ,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos ,即sinB=cos ,所以sinB=√32cosB+12sinB ,可得tanB=√3. 又因为B ∈(0,π),可得B=.(Ⅱ)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos,可得sinA=√37. 因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314. 6、(2017·北京高考理科·T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sinC 的值.(2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)根据正弦定理sinA a=sinCc ,所以sinC=sinA c a =37×sin60°=37(2)当a=7时,c=37a=3,因为所以1314,在△ABC 中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA××1314+12,所以S △ABC =12ac×sinB =12×7×3×7=7、(2017·全国丙卷·理科·T174)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知,b=2. (1)求c.(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.【解析】(1)因为,所以,所以因为A ∈(0,π),所以A=23π.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入,b=2得c 2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4. (2)由(1)知c=4.因为c 2=a 2+b 2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC ,所以,所以sinC=7,所以在Rt △CAD 中,tanC=ADAC ,所以2=2AD ,即则S △ADC =12×由(1)知S △ABC =12·bc·sinA =12×2×4×2=所以S △ABD =S △ABC -S △ADC =.8、(2017·全国甲卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22B . (1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22B,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=1517, (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=417ac , 又S △ABC =2,则ac=172,由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117⎛⎫+ ⎪⎝⎭=4,所以b=2. 9、(2017·全国乙卷理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为23sin a A.(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)因为△ABC 面积S=23sinA a且S=12bcsinA ,所以23sinA a =12bcsinA ,所以a 2=32bcsin 2A ,由正弦定理得sin 2A=32sinBsinCsin 2A ,由sinA≠0得sinBsinC=32. (2)由(1)得sinBsinC=23,又cosBcosC=16,因为A+B+C=π,所以cosA =cos ()B C π--=-cos ()B C +=sinBsin C-cosBcosC =12,又因为A ∈()0,π,所以A=3π,sinA=2,cosA=12,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=sinA a ·sinB,c=sinAa ·sinC , 所以bc=22sin Aa ·sinBsinC=8 ②,由①②得所以即△ABC 的周长为10、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b 和sinA 的值.(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】(1)△ABC 中,a>b,sinB=35,所以cosB=45,由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2accosB=13,所以由正弦定理得,sinA=sinB a b(2)由(1)知又a<c,sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin 2A=-513,所以,sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin2Acos 4π+cos2Asin 4π=26.11、(2017·天津高考理科·T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知2-b 2-c 2). (1)求cosA 的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及sinA a =sinBb ,得a=2b. 由(a 2-b 2-c 2),及余弦定理,得cosA=2222b c abc+-=5ac-(2)由(1)可得sinA=5,代入asinA=4bsinB,得sinB=sinA4a b=5. 由(1)知,A 为钝角,所以cosB==5, 于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×⎛⎝⎭-35。
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三角形和三角形面积。解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。
11．△ABC 的内角，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2 .
(1)求 cosB； (2)若 a＋c＝6，△ABC 的面积为 2，求 b. 【答案】(1)cosB＝ .(2)b＝2.
点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考
【答案】（1） ；（2）
.
中，利用正弦定理得：
所以：
由于：
，
则：
， ，
，
由于：
， ，则：
， ，
得到：
，
所以
的周长的范围是：
.
【点睛】
本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化
为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例 2】已知在 中， 所对的边分别为 ，
10．已知向量
，
，且函数
．
（ ）求函数 的最大值以及取最大值时 的取值集合．
（ ）在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，，
，求
的面积．
【答案】(1) 函数 的最大值为
，此时 的取值集合为
．(2)
（ ）∵
，
∴ ∵为
， 的内角，
∵，
由余弦定理得
即
，
又，
，故
，
得
，
∴
的面积
．
点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解
得
，即
.
，两边同时
又
，那么
，
即
，得到
，即有
.
1
1
1
1
abc
(1)S＝2a·ha(ha 表示 a 边上的高)．(2)S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝ 4R .
1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
应用举例:
类型一、利用正（余）弦定理解三角形
【例 1】已知 中，
，点 在 边上，且
．
（1）若
，求 ；
（2）求 的周长的取值范围．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．
实战演练:
1．在 中，角 所对的边分别为 ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一 般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解 决三角形问题时，注意角的限制范围．
是解题地基本方法．当等式两边是关于边 或关于角
的齐次式时，可以利用正弦定理进行边
角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．
6．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
.
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积.
【答案】(1)
;(2) .
【详解】
，
，
由内角和定理得
.
在直角 中，
，
在 中，由正弦定理得：
即
，
即：
，整理可得：
，
解得
.
13． 的内角 的对边分别为 .已知
.
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ） 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ，求 .
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)
.
（Ⅱ）
，
由面积公式得 由余弦定理
，即
.
得
即
解得：
或
，又 ，所以
.
14．已知△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
（1）由
得
即
所以
即
由正弦定理得
因为
，所以
， ，
，
，因为
，所以
.
，
，所以
，得
.
7．
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，
.
（1）求 ；
（2）若 ，求
的面积和周长.
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】分析：（1）把已知等式 也即得 ．
用正弦定理转化为角的关系，可求得
，从而可得
，
（2）把 及 代入已知可得 ，再由公式 得周长．
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状
【例 3】在
中，
，
.
（1）求证：
是直角三角形；
（2）若点 在 边上，且
，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）
2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
（1）若
，求 的面积；
，.
（2）若 的面积为 ，求 ， .
【答案】(1) ；(2)
，.
3．已知 中，角 所对的边分别为 且
（1）求角 的大小；
（2）若
，求 面积的最大值。
【答案】 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简 再求 面积的最大值.
（1）求 ；
（2）若 ，
，求△ 的面积．
. ．
【答案】（1） （2）
15．已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足
(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
或
，.
【解析】分析：（1）由
得
，即
平方化简求值即可；
（2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可.
，又
解析：解：(1)由
题求三角形面积，利用（1）的结论可选用公式 8．在 中，角 的对边分别是 ，且 （Ⅰ）求角 的大小；
，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积． .
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
.
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。
9．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若
2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破
考纲要求:
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 S 1 absin C . 2
基础知识回顾:
a
b
c
1. sin
A＝sin
B＝sin
C＝2R，其中
R
是三角形外接圆的半径．
A＋B
C
A＋B C
tan(A＋B)＝－tan C；sin 2 ＝cos2；cos 2 ＝sin2.
(6)在△ABC 中，A，B，C 成等差数列的充要条件是 B＝60° .
(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列．
2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
变形：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 解三角形时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
bsinA＜a＜
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
a≥b
a＞b
a≤b
b
解的 个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用的面积公式
由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
【详解】 （1）
即得角 的大小.(2)先证明
（
2
）
【点睛】
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是
.
4．已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中
，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
.
（1）求 的大小；
（2）若
，求 的值.
【答案】（1） 或
（2）1
（2）∵
，∴
又由余弦定理得
，∴
当 时，则
，∴ ，∴ ，
当
时，则
，
∴
，
，此方程无解.
综上所述，当且仅当 时，可得 . 【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的
关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦
公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
12．已知 中，
， 为 内一点，且
.
（Ⅰ）当
时，求 的长；
（Ⅱ）若
，令
，求 的值.