2017-2018学年北京市西城区高一下学期期末考试数学卷

2017-2018学年北京市西城区高一下学期期末考试数学卷试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13. 最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______；②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）ABCDPEDBCA 1B 1C 1D 1AEFB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论：①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7A卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.1-12.2-14. (1,0)-15.P是1CC中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE.因为O是正方形ABCD对角线交点，所以O为BD中点，由已知E为线段PD的中点，所以//PB OE.…………………2分又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以//PB平面ACE.…………………5分（Ⅱ）证明：因为PA AD=，E为线段PD的中点，所以AE PD⊥，…………………6分因为PA⊥平面ABCD，所以PA CD⊥，…………………7分AB CD PEO在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB M 的半径为，…………………5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M 2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=.则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+=，……10分2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11AC .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ，所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11AC C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11AC C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B AG AGB ∠+∠=，所以11190BB E AGB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1AG FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.132.1，2.53.234..②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=，DBCA 1B 1C 1D 1A EF G H0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b =4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin 4a A B b π===. …………………2分 当A为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分==…………………4分 当A为钝角时，cos A =，sin C=…………………5分（Ⅱ）△ABC的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c =，代入②得 22854a a=+-，所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M圆C的切线斜率43k=-，所以，过点M的切线方程为40[(4)]3y x-=---，即43160x y++=. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D--，所以直线DF方程为5x=-.设直线EF的斜率为k，则直线EF方程为()2y k x t=--，即20kx y kt---=.5=，所以22(25)100t k tk-+=，解得0k=（舍）或21025tkt-=-，…………………5分所以直线EF方程为210()225ty x tt-=---.当5x=-时，210810(5)2525t ty ttt-+=---=--.…………………6分所以810(5,)5tFt+--，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEFt t tS tt t∆++=⋅+⋅+=--，（5t>）.…………7分（Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A AB BA x yB x y，设直线MA的方程为：4x my=-.由224,(3)25x myx y=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y+-+=.所以2861Amym++=+，2861Amym+=+. …………8分所以2861Bmym-+=+，…………………9分所以2161A Bmy ym-=+.又直线MB的方程为4x my=--，所以4A Ax my=-，4B Bx my=--，212()1A B A B A Bmx x my my m y ym-=+=+=+.…………………11分所以直线AB的斜率22164131A BABA Bmy y mkx xm-+===-+.即直线AB的斜率为定值，其值为43. …………………12分注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AM M BM M ''∠=∠， 所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =.即直线AB 的斜率为定值，其值为43.附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯，所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。