河北省保定市高阳中学2017-2018学年高三上学期9月月考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年河北省保定市高阳中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．定义集合A，B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2，3}，则A*B中的所有元素数字之和为（）A． 12 B． 14 C． 18 D． 202．已知平面向量共线，则|=（）A． B． C． D． 53．“log3a＞log3b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）5．已知函数f（x）=x2﹣4x，x∈[1，5]，则函数f（x）的值域是（）A． [﹣4，+∞） B． [﹣3，5] C． [﹣4，5] D．（﹣4，5]6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A． y=cos2x B． y=2cos2x C． D． y=2sin2x7．函数的一个零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，若=λ+μ，则λ，μ的值是（）A．，1 B． 1， C．，1 D． 1，9．R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2012）=（）A．﹣2 B． 2 C． D．10．已知f（x）=，则下列四图中所作函数的图象错误的是（）A．f（x﹣1）的图象 B．f（﹣x）的图象C． f（|x|）的图象 D．f（x）|的图象11．已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A． 2m B．±2m C． D．12．当x∈（0，1）时，函数y=x k（k∈R）的图象在直线y=x的上方，则k的取值范围是（） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D． [0，1）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真，则实数a的取值范围是．14．已知a=，函数f（x）=a x，若实数m、n满足f（m）＞f（n），则m、n的大小关系为．15．曲线y=x3的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为．16．若sinx=，cosx=，则tanx= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（Ⅰ）求的值；（II）若，求f（x）的最大值及相应的x值．19．已知函数f（x）=x﹣，g（x）=a（2﹣lnx），若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一直线．20．已知=（cosθ，sinθ）和=（﹣sinθ，cosθ），θ∈（π，2π），且||=，求sinθ的值．21．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求证：f（x）是奇函数；（2）如果x为正实数，f（x）＜0，并且f（1）=，求求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值．22．已知函数f（x）=（x∈R），a为正数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河北省保定市高阳中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．定义集合A，B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2，3}，则A*B中的所有元素数字之和为（）A． 12 B． 14 C． 18 D． 20考点：集合的表示法．专题：集合．分析：先利用已知新定义求出A*B，再找A*B中的所有元素数字之和即可．解答：解：由已知定义可知，由定义可知当x1=1，x2=1，2，3，此时x=x1+x2=2，3，4．当x1=2，x2=1，2，3，此时x=x1+x2=3，4，5．当x1=3，x2=1，2，3，此时x=x1+x2=4，5，6．根据集合元素的互异性可知x=2，3，4，5，6．所以A*B中的所有元素数字之和为2+3+4+5+6=20．故选：D．点评：本题考查了在新定义下，查集合元素个数的判断，利用新定义确定集合元素，注意集合元素的互异性．找集合当中所有元素数字之和，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．2．已知平面向量共线，则|=（）A． B． C． D． 5考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的共线和向量的模的定义即可求出．解答：解：∵向量，∴1×k﹣2×（﹣2）=0，∴k=﹣4．∴=3（1，2）+（﹣2，﹣4）=（1，2）．∴==．故选A．点评：熟练掌握向量的共线和向量的模的定义是解题的关键．3．“log3a＞log3b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质，可由log3a＞log3b得到a＞b＞0，结合指数函数的单调性可得“2a＞2b”成立；反之当“2a＞2b”时，可得a＞b，此时log3a与log3b可能无意义，结合充要条件的定义，可得答案．解答：解：∵函数y=log3x在（0，+∞）上单调递增∴当“log3a＞log3b”时，a＞b＞0，此时“2a＞2b”成立；当“2a＞2b”时，a＞b，此时log3a与log3b不一定有意义故“log3a＞log3b”不一定成立，故“log3a＞log3b”是“2a＞2b”的充分而不必要条件故选A点评：本题又充要条件为载体考查了指数函数和对数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性及定义域是解答的关键4．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：利用函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间，求出导函数，解不等式解答：解：∵数f（x）=（x﹣3）e x∴f′（x）=（x﹣2）e x，根据单调性与不等式的关系可得：（x﹣2）e x＜0，即x＜2所以函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）故选：A点评：本题考查了导数在判断单调性中的应用，难度不大，属于常规题．5．已知函数f（x）=x2﹣4x，x∈[1，5]，则函数f（x）的值域是（）A． [﹣4，+∞） B． [﹣3，5] C． [﹣4，5] D．（﹣4，5]考点：函数的值域．分析：本题为二次函数在特定区间上的值域问题，结合二次函数的图象求解即可．不能直接代两端点．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣4x的对称轴的方程为x=2，∴函数f（x）=x2﹣4x，x∈[1，5]的最小值为f（2）=﹣4，最大值为f（5）=5，∴其值域为[﹣4，5]．故选C点评：本题考查二次函数在特定区间上的值域问题，属基本题．6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A． y=cos2x B． y=2cos2x C． D． y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．7．函数的一个零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．解答：解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，故选B．点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．8．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，若=λ+μ，则λ，μ的值是（）A．，1 B． 1， C．，1 D． 1，考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，可得：C．再利用共面向量基本定理即可得出．解答：解：∵点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，∴C．∵=λ+μ，∴=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ），∴．故选；A．点评：本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．9．R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2012）=（）A．﹣2 B． 2 C． D．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），知f（2012）=﹣f（1），再由0＜x ≤1时，f（x）=2x，能够求出结果．解答：解：∵R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=f（3﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．已知f（x）=，则下列四图中所作函数的图象错误的是（）A．f（x﹣1）的图象 B．f（﹣x）的图象 C．f（|x|）的图象 D．|f（x）|的图象考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由题意作出函数f（x）的图形，由图象的变换原则分别验证各个选项即可得答案．解答：解：函数f（x）=的图形如图所示，而函数f（x﹣1）的图象是把函数f（x）的图象向右平移1个单位，故选项A正确；f（﹣x）的图象是把函数f（x）的图象做关于y轴的对称得到，故选项B正确；f（|x|）的图象是把函数f（x）的图象保留y轴右边的，左边的去掉，再把右边的做关于y 轴的对称，故选项C正确；|f（x）|的图象是把函数f（x）的图象x轴下方的做关于x轴的对称，对本题来说，就是自身，故选项D错误．故选D点评：本题考查函数图象的作法，和图象的变换，属基础题．11．已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A． 2m B．±2m C． D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先利用两角和公式把cos（x﹣）展开后加上cosx整理，进而利用余弦的两角和公式化简，把cos（x﹣）的值代入即可求得答案．解答：解：cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=m故选C．点评：本题主要考查了利用两角和与差的余弦化简整理．考查了学生对三角函数基础公式的熟练应用．12．当x∈（0，1）时，函数y=x k（k∈R）的图象在直线y=x的上方，则k的取值范围是（） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D． [0，1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，0＜x＜1时，x k＞x，x k﹣x=x（x k﹣1﹣1）＞0，由此能求出k的取值范围．解答：解：由题意，0＜x＜1时，x k＞x，x k﹣x=x（x k﹣1﹣1）＞0∵x＞0，∴x k﹣1＞1∴k﹣1＜0，k＜1．∴k的取值范围是（﹣∞，1）．故选：B．点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）13．令p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真，则实数a的取值范围是a＞1 ．考点：的真假判断与应用．专题：分类讨论；转化思想．分析：首先把恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解．解答：解：对∀x∈R，p（x）是真，是对∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立，当a=0时，ax2+2x+1＞0化为2x+1＞0，解得，，不等式不是对∀x∈R恒成立；若a≠0，由题意，得解得a＞1．所以∀x∈R，ax2+2x+1＞0恒成立的a的范围是a＞1，即若对∀x∈R，p（x）是真，则实数a的取值范围是a＞1．故答案为a＞1．点评：分类讨论思想是重要的数学思想，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要．14．已知a=，函数f（x）=a x，若实数m、n满足f（m）＞f（n），则m、n的大小关系为m＜n ．考点：对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得：函数f（x）=a x在R上是单调减函数，又f（m）＞f（n），可得：m＜n．解答：解：因为a=∈（0，1），所以函数f（x）=a x在R上是单调减函数，因为f（m）＞f（n），所以根据减函数的定义可得：m＜n．故答案为：m＜n．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握指数函数的单调性与定义，以及单调函数的定义，属于基础题．15．曲线y=x3的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为y=4x±．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：根据直线垂直关系得到切线的斜率，利用导数的几何意义即可得到结论．解答：解：∵直线x+4y﹣8=0的斜率k=，且切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，∴切线方程的斜率k=4，即函数的导数为f′（x）=4，即f′（x）=3x2=4，解得x=±，当x=时，y=，即切点坐标为（，），此时切线方程为y﹣=4（x﹣），即y=4x﹣．当x=﹣时，y=﹣，即切点坐标为（﹣，﹣），此时切线方程为y+=4（x+），即y=4x+．故答案为：y=4x±．点评：本题主要考查曲线切线的求解，根据导数的几何意义以及直线垂直的关系是解决本题的关键．16．若sinx=，cosx=，则tanx= ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数基本关系，知tanx==×=．解答：解：tanx==×=．故答案为：．点评：本题主要考察同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．考点：复合的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：分类讨论．分析：根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．解答：解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．点评：本题考查复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．18．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（Ⅰ）求的值；（II）若，求f（x）的最大值及相应的x值．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）把x=代入函数的解析式，化简求得结果．（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由x的范围，得，故当，即时，f（x）取到最大值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin2x，∴，…（1分）=…（4分）=1．…（6分）（Ⅱ）f（x）=sinxcosx+sin2x=，…（8分）==，…（9分）由得，…（11分）所以，当，即时，f（x）取到最大值为．…（13分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．19．已知函数f（x）=x﹣，g（x）=a（2﹣lnx），若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一直线．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，根据切线斜率的关系即可得到结论．解答：解：函数的导数为f′（x）=1+，g′（x）=，∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，∴f′（1）=g′（1），即1+2=﹣a，解得a=﹣3，此时f′（1）=g′（1）=3，f（1）=1﹣2=﹣1，即切点为（1，﹣1），则对应的切线方程为y+1=3（x﹣1），即y=3x﹣4．g（x）=﹣3（2﹣lnx），g（1）=﹣6，切点为（1，﹣6），则对应的切线方程为y+6=3（x﹣1），即y=3x﹣9．则两条切线不是同一直线．点评：本题主要考查函数切线的求解，要求熟练掌握导数的几何意义．20．已知=（cosθ，sinθ）和=（﹣sinθ，cosθ），θ∈（π，2π），且||=，求sinθ的值．考点：两角和与差的正弦函数；向量的模．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：利用向量模的意义和向量的运算法则、倍角公式、平方关系、角所在象限的三角函数值的符号即可得出．解答：解：由已知得=，∴=+（sinθ+cosθ）2=+（cosθ+sinθ）2=∴=，∴cosθ﹣sinθ=．∴，化为＞0．∵π＜θ＜2π，∴．∴=．∴．点评：熟练掌握向量模的意义和向量的运算法则、倍角公式、平方关系、角所在象限的三角函数值的符号是解题的关键．21．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）（1）求证：f（x）是奇函数；（2）如果x为正实数，f（x）＜0，并且f（1）=，求求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）可令y=﹣x，得到f（x）+f（﹣x）=f（0），再令x=y=0，可求得f（0）=0，从而可证明f（x）是奇函数；（2）确定f（x）在R上单调递减，可得f（﹣2）为最大值，f（6）为最小值，即可得出结论．解答：证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=2f（0）∴f（0）=0，令y=﹣x，得：f（x）+f（﹣x）=f（0），∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）（2）解：设x1＜x2，且x1，x2∈R．则f（x2﹣x1）=f（x2+（﹣x1））=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）．∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0．∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x）在R上单调递减．∴f（﹣2）为最大值，f（6）为最小值．∵f（1）=﹣，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=﹣3．∴f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值为1，最小值为﹣3．点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查赋值法研究抽象函数的奇偶性，属于中档题．22．已知函数f（x）=（x∈R），a为正数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得f′（x）=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由（1）知，函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=∴f′（x）=，令f′（x）=0，∵a＞0，∴x1=0，x2=3，f′（x）＞0，得0＜x＜3；f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，又∵f（0）=﹣a＜0，f（4）=11ae﹣4＞0，∴f（0）＜f（4），∴f（x）在[0，4]上的最小值为﹣a，∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，∴+a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。