有限差分基础20180801

规定： (i, j )—(xi, yj) ，n—tn Tni,j —n时刻节点（i,j）处的温度T(xi, yj, tn)。
(2) 差分格式
采用不同的差分公式，可建立不同形式的差分方程。
显示差分格式 将导热微分方程应用于时刻n的节点（i, j），可写成

2T x 2

2T y 2
显式差分格式 下一时刻节点的函数值可由当前时刻直接计算得到 隐式差分格式 差分格式在t=(j+1) △t时间层上包含多于一个节点的未知数
传热分析用到的物理参数及其单位:
T T C
温度
k W /(m C) 传导系数（导热系数）
kg / m3 密度
c c J /(kg C) 比热容
在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。
(1) 定解区域的离散化 用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程 定解问题离散化为差分方程的基础。
网格线:
x xi , i 0,1,2, t t j , j 0,1,2,
其中 xi ix t j jt
空间步长： 平行于t轴的网格线间距 时间步长： 平行于x轴的网格线间距
u(i1, j) 2u(i, j) u(i1, j) x 2
2 x 2
u(i, j) O(x 2 ) （3）
u(i, j1) u(i, j) u(i, j) O(t)
t
t
（4）
将上面两式代入式（1），并去掉O(Δx2+Δt)项，可得
u(i, j1) u(i, j) a u(i1, j) 2u(i, j) u(i1, j) 0
其中 f i f (xi )
差分格式：通常把定解问题中的微分方程的差分方程和定解 条件的离散形式统称为定解问题的一个差分格式
u (i, j1) u (i, j)

t
a u (i1, j) 2u (i, j) u (i1, j) x 2
0

x(i,0)

fi
当 T / n 0 时，即表示与外界无热交换，即绝热条件.
实际问题往往是上述三类边界条件的组合。
4 稳态传热问题的有限差分方程
对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导 数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普 通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T 对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公 式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持 y = y0。
To
TI
TE
TW
TN
TS
6TP

H

2
0
二维导热区域的公式为
To
TI
TE
TW
4TP

H

2
0
一维导热的公式为
To
TI
2TP

H

2
0
二维稳态问题
2T x 2

2T y 2

H

0
差分方程为
TI
To
TW
TE

4TP
向前差公式（导数在点xi计算，而 差商取fi及向前一点fi+1） 向后差公式（导数在点xi计算，而 差商取fi及向后一点fi-1） 中心差公式（两侧差分平均值）
函数f(x)在x=xi处的二阶导数
f "(xi )

1 (x)2
(
fi1
2
fi

f i 1 )
(xi-1,xi)和(xi,xi+1)两区间的一阶导数 差除以Δx得到
n i, j

H
n i,
j


1
T
n

t i, j
（n>0）
式(2)等号两侧的偏微分用差商来近似
（2）
T
/ t
n i, j

(Ti
n1 ,j
Ti,nj ) / t
O(t)
注意： 每一个边界节点只应属于一种边界条件。在两种边界
条件交接的节点，可人为规定属于哪一种的边界条件。
对应边界的差分方程均采用一阶向前差商代替一阶微 商得到，其截断误差为O(Δx)或O(Δy)量级，比内节点 差分方程的截断误差低一个数量级。
为了提高整个差分格式的计算精度，可对上述边界条 件作进一步处理，如用中心差商代替微商等。
1. 内节点差分方程
首先只考察内部节点。
图4所示是直角坐标系下一个三维 导热区域中的网格点P及其六个 相邻点，它们分别记为N，S，E， W，I，O。令网格间距Δx= Δy=Δz =Δ。
稳态基本方程为
2T 2T 2T H 0
x 2 y 2 z 2
图4 在均匀网格的三 维直角坐标中典型点
• 给定温度边界 • 换热边界条件
Ti,j = Ts

T x
h(Ts
Ta )
内部导热； 边界换热、 对流或定 温
用T对x的向前差商代替T对x的一阶微商，则 λ(Ti+1,j－Ti,j)/Δx=h(Ti,j– Ta)
或写成 (Bi+1)Ti,j －Ti+1,j =Bi Ta
Bi= hΔx/λ —毕欧数 ； h—表面放热系数，λ—导热系 数，Ta是环境温度；Ti,j—边界节点温度。
5 非稳态的有限差分方程 非稳态或瞬变传热问题的特征是热流和温度场随时间而 变，因此离散化包含两个方面：
空间域离散 几何区域离散化，确定内节点、边界节点
时间域离散 热过程经历的时间区域离散化。
在构造非稳态传热的差分方程时，必须特别注意它的稳 定性，因为用不稳定的差分方程进行求解是没有意义的。 此外，在边界条件差分形式的处理上，也有新的特点需 要考虑。
用差商代替微商，则微分方程就变成了差分方程。
2. 差分公式
偏微分方程数值解法的基本原理是用几个相邻点的函 数值和相邻点的间距来表示某点的导数。邻点间的距 离可以相等，也可以各不相等 。
现只讨论等间距即均匀网格中函数的导数。
考虑函数f(x)，将自变量x等间 距离散化，取步长为△x，令 xi=i△x ，fi=f (xi) (i=0,1, …)
若温度场内无内热源，即H=0, 2T 2T 2T 0 x2 y 2 z 2
该式即为拉普拉斯方程(Laplace)。
2．导热问题的定解条件
初始条件 指某一时刻导热物体的温度分布。 对于稳定导热问题，温度场不随时间变化，时间条件自 然消失。 温度随时间变化时，给出某一瞬时物体内部各点温度。 t=0时物体内部的温度分布规律通常为
1 有限差分法基础 1. 差商与微商 差分法的基础是用差商代替微商。 若y=f(x)是连续函数，则它的导数为
lim lim df
f (x x) f (x)
f
dx x0
x
x0 x
△f/△ x—差商，df/dx—微商。 在△ x到达零以前， △ f/ △ x 只是df/dx的近似，两者的 差值| △ f/ △ x - df/dx |表示差商代替微商的偏差。
f (x)
f (x)
fi+1
fi
fi-1 △x △x
O xi-1 xi xi+1 x
截断误差
对差分公式按泰勒级数展开，可得各自的截断误差E。 • 向前差公式 在x=xi展开得， E=O(△x)； • 向后差公式 在x=xi展开得，E=O(△x)； • 中心差公式 在x=xi展开得， E=O(△x2)； • 二阶导数公式 在x=xi展开得， E=O(△x2)。 可见，后两个公式比前两个公式精度高一阶。 一般地说，当差分公式的截断误差E=O(△x p)时，则称 其具有p阶精度。
P及其六个相邻点
式中，H—内热源，为单位体积内热量产生的速率。
N
I
W
P
E
O
S
利用式
f "(xi )

1 (x)2
( fi1
2 fi

f i 1 )
可得近似式
To 2TP TI TE 2TP TW TN 2TP TS H 0
2
2
2

上式可简化为(三维)
1. 二维非稳态热传导方程
2T 2T H 1 T
x2 y2 t
(1) 离散化
• 几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长Δx=xi+1-xi, Δy=yj+1-yj，且Δx=Δy。显然，xi=iΔx；yj=jΔy，i,j=0,1,2,…。
• 时间域离散化。用n（n=0,1,2,…）将时间区域t≥0离散化，两 个时刻的间隔（时间步长）Δt=tn+1-tn，tn=nΔt。
有限差分方法
有限差分法：偏微分方程的一种数值解法。
有限差分法主要步骤： • 利用网格将区域离散处理； • 构造差分格式 用差分、差商来代替微分、微商，将微
分方程离散化为差分方程，并将定解条件离散化； • 解线性代数方程组 建立差分格式后，微分方程的求解
就可归结为求解一个线性代数方程组，通过解线性代数 方程组，得到的是数值解。
1

T t
稳态时，T / t 0 ，有
2T 2T 2T H 0
x2 y 2 z 2
T—t时刻点(x,y,z)处的温度； λ—为导热系数， α=λ/ρc— 导温系数或热扩散率； ρ— 密度，c—比热容，H—内 热源强度（单位体积的产热 量）。
热物性参数不随温度变化， 且各向同性。
m2 / s
导温系数（热扩散系数）