高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切课件 理
高考数学一轮复习 第三单元三角函数课件 理 新人教课标A
第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式 第18讲 三角函数的图象和性质 第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用
第三单元 三角函数
3．课时安排 该部分共8节，其中第20讲设置双课时作业，一个滚动 基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任 务．
第三单元 │ 使用建议
推导出π±α的正弦、余弦、正切，及π2±α的正弦、余弦的
诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等； (4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高 级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌 握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型． (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化， 在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边 角互化的方向．正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在 三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题．
第三单元 │ 考纲要求
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题．
第三单元 │ 命题趋势
命题趋势
三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基 础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位 置．
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角 度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理， 把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理 和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际 应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际 应用问题的本质所在．
2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换学案理新人
第三节 和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S (α＋β)：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β． (2)S (α－β)：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β． (3)C (α＋β)：cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β． (4)C (α－β)：cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β． (5)T (α＋β)：tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．(6)T (α－β)：tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α． (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α．(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α．1．和、差、倍角公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)半角公式(不要求记忆)：①sin α2＝±1－cos α2. ②cos α2＝±1＋cos α2. ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α⎝⎛⎭⎫根号前面的正负号由角α2所在象限确定. (3)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (4)公式变形：tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (5)辅助角公式：a sinx ＋b cosx ＝a 2＋b 2sin(x＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.1．(基础知识：逆用公式)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A ．12B ．32C ．－12D ．－32答案：A2．(基本方法：构造和角公式)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( )A ．817B ．153＋834C ．15－8334D ．15＋8334答案：D3．(基础知识：半角公式)已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A ．105 B ．－105 C ．155D ．－155答案：D4．(基本能力：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝________．答案：－2475．(基本应用：辅助角公式)f (x )＝sin (x ＋3π)－3cos x 的最小值为________． 答案：－10题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用[典例剖析]类型 1 给值(角)求值 [例1] (1)化简 2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos1B ．cos 1C ．3cos 1D ．－3cos 1 解析：原式＝1＋cos 2＋1－sin 21＝2cos 21＋cos 21＝3cos 21＝3cos1. 答案：C(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．33 B ．－33 C ．63D ．－69解析：因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－19＝223.因为－π2＜β＜0，所以π4＜π4－β2＜π2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－13＝63， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×63＋223×33＝63. 答案：C类型 2 给值求角[例2] (1)(2021·某某六市联考)已知cos α＝17，cos (α－β)＝1314.若0＜β＜α＜π2，则β＝________．解析：由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，∴sin (α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∵α∈(0，π)，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π， ∴－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－3π4.答案：－3π4方法总结1．应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．2．“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．[题组突破]1．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan β＝1＋sin αcos α，则( )A ．α－3β＝－π2B ．α－2β＝－π2C ．α＋3β＝π2D ．α＋2β＝π2解析：法一(化切为弦)：因为tan β＝sin βcos β，所以sin βcos β＝1＋sin αcos α，即sin βcos α＝cos β＋cos βsin α， 整理得sin (β－α)＝cos β，即sin (β－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以β－α＝π2－β，整理得α－2β＝－π2.法二(化弦为切)：因为1＋sin αcos α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2，所以tan β＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π4＋α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以β＝π4＋α2，即α－2β＝－π2.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：原式＝sin70°sin 20°cos 225°－sin 225°＝cos20°sin 20°cos 50°＝12×sin 40°sin 40°＝12. 答案：B3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝25，则sin 2α＝________．解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252－1＝－1725.答案：－1725题型二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用[典例剖析][典例](1)3tan 10°－1sin 10°＝________．(用数字作答)解析：原式＝3sin 10°cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.答案：－4(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________．解析：原式＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.答案： 3(3)已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1，②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin [90°－（α＋γ）]cos [90°－（α＋γ）]＝cos （α＋γ）sin （α＋γ）＝cos αcos γ－sinαsin γsin αcos γ＋cos αsin γ＝1－tan αtan γtan α＋tan γ，所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.方法总结1．将tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β整理变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)－tan α·tanβ·tan (α＋β).2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan α·tan β). (3)倍角公式变形：降幂公式．[拓展] 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.提醒 tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．[对点训练]1．已知m ＝（α＋β＋γ）,tan （α－β＋γ）)，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m ＝( ) A.12 B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B ，2β＝A －B ， 因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β， 所以sin (A ＋B )＝3sin (A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )， 即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ， 所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B ＝2.答案：D 2.1cos 80°－3sin 80°＝________．解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin （80°－60°）12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：4题型三 三角恒等变换的综合应用[典例剖析][典例] 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，32.(1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期； (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α2＝536，求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3的值．解析：(1)函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6·cos ωx ＝⎝⎛⎭⎫23sin ωx ·32＋23cos ωx ·12·cos ωx ＝32sin 2ωx ＋3·1＋cos 2ωx 2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32. ∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，32，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω·5π12＋π6＋32＝，∴2ω·5π12＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝6k －15，k ∈Z .又0＜ω＜2，∴ω＝1，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，故它的最小正周期为2π2＝π.(2)将y ＝f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋32的图象．已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝79.方法总结三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或余弦型函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式；②利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期；③根据自变量的X 围确定ωx ＋φ的X 围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的单调区间．[对点训练]已知函数f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋22(ω＞0)的图象的一条对称轴为x ＝3π8.(1)求ω的最小值； (2)当ω取最小值时，若f ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝35，－π2＜α＜0，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解析：(1)f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋22＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋22＝22sin2ωx －22cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4. 因为函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝3π8，所以3π4ω－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝1＋43k (k ∈Z ).又ω＞0，所以ω的最小值为1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.因为－π2＜α＜0，所以－π4＜α＋π4＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45.所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3π4＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2×35×45－2×⎝⎛⎭⎫452＋1＝－3125.再研高考创新思维1．(2019·高考全国卷 Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15B ．55C ．33D ．255解析：法一：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.法二：设tan α＝t ，t ∈(0，＋∞)，由已知得4t1＋t 2＝1－t 21＋t 2＋1，解得t ＝12.∴t ＝sin αcos α＝12，∴sin 2α＝15，∴sin α＝55.答案：B2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析：由万能公式可知f (x )＝12sin2x ，故T ＝2π2＝π.答案：C3．(2019·高考某某卷)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.法三：令tan α＝t (t ≠±1)，则t ＝－23·t ＋11－t ，得t ＝2或t ＝－13，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2＋1－t 21＋t 2＝210. 答案：210素养升华角的灵活变换已知sin (α＋2β)＝34，cos β＝13，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )A ．37－2212B ．3－21412C ．37＋2212D ．3＋21412解析：因为cos β＝13，β为锐角，所以sin β＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，cos 2β＝2cos 2β－1＝－79＜0， 又β为锐角，所以π2＜2β＜π，因为α为锐角，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，又sin(α＋2β)＝34，所以cos (α＋2β)＝－1－sin 2（α＋2β）＝－74， 所以sin(α＋β)＝sin [(α＋2β)－β] ＝sin (α＋2β)cos β－cos (α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223 ＝3＋21412.答案：D。
高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章三角函数、解三角形第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教材回顾▼夯实基础知谋梳理〉1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos acos 0土sinasin Bcos(aT B )= _________________tan a土tan B1+tan atan B(a±0, a , 0均不为佥兀+于，kE： Z 课本温故追根求源sin(a±/?)=sin acos “土cos asin p tan(m±Q=2.二倍角的正弦、余弦、• a2sin acos a sm 2 a = cos 2 a = cos%—si，疣2tan atan 2“a,正切公式2a—1 2cos1Tl\2 a均不为E兀+亍,kWZ、1—2sin2a3. 三角公式关系令0 = a 「 以-0代0C 2a ------------------- 匕十） -----------两式相除两式相除两式相除T(a + B)v 利用cos 任±0 利用cos 任土 a) 令 0二a I ^2a 3(a + 0) v 以-仔代07T 利用 cos(—±a a S(a_Q) T （—p ）£要点整食71.辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.、伍(2)在(0,兀)范围内，sin(d+")=专所对应的角不是唯一的.2・有关公式的逆用及变形用(l)tan a 土 tan B = tan(a±/?)(1+tan a tan 0)； (3)1+ sin 2 a = (sin a +cos a )2, 1—sin 2 a =(sin a — cosa )2, sin a 土 cos a ⑵ cos? 1 + cos 2 a 2sin 2 1 —cos 2 a3.角的变换技巧a =(a+fl)_ 卩;a =卩_ a);a =^[(«+^)+ (a—fi)]；0=扌仗+沟_@_创；JI JI A JI A3★暉自测卩a 解析：因为sin —2=11.若 sin贝！)cos a=( CDi=申,所以COSa—= 1— 2■2X32. (2015•高考全国卷 I )sin 20° cos 10°解析：sin 20° cos 10° —cos 160° sin 10° =sin 20° cosc.—cos 160° sin 10°10° + cos 20° sin 10° = sin(20°+ 10° )=sin 30° =|.（a ）¥卵冰"+〃）呵|M 'lhp+訂1引¥=（罟一町呵昵•£=(“+巧11引4.已知解析：因为以COS X—sinx=^, 则11_sin 2x=巧 —sin2r=五'所以 sin 2x=-.所以^COS X ——sin x= 2JI a sin —= sin3 JI----- c os asin —,所以 tan a = l5.已知 a +yj=sin^a,贝i tan a = ____ ]解析：因为 所以 cos a cosJI----- s in3典例剖析▼考点突破+名师导悟以例说法考点一三角函数公式的直接应用典例対（2015•高考广东卷）已知tan a =2⑴求tan@+£的值;⑵求.2亠.心―的值.sm a +sm a cos a — cos 2 a — 12+1 _1-2X1 = _Xsin 2 aa cos a —cos 2 a —12sin a cos a _ 2tan asin 2 a +sin a cos a — 2cos 2 a tan 2a +tan a —2 2X2 4+2-2兀tan a+tan — JT1—tan fftan —⑵sii? a +sin两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用«> 0的三角函数表示Q土〃的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.O'2aW （0,兀），tan 2 a =|>0, ,所以 sin 2 a =扌，cos 2 a =7JIJI=sin 2 a cos —+cos 2 a sin —_4 J 亠 3 V5_4+3 萌 一5%2十5* 2 _10 •腹歸训绣］1•已知,tan a =-,求 tan 2 Q 和sin （2 ff+yj 的值.解：tan 22tan a CL —~ 51—tan a2Xi 4 2 一亍1_©因为圧 5’所以2圧 所以考点二三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角函数公式.高考对三角函数公式的考查主要有以下三个命题角度:(1)应用正切公式的变形;(2)降幕公式的应用;(3)二倍角公式的逆用.\/3tan 12° —3 sin12° (4COS 212° —2)(1)(2015-高考重庆卷)若tan 兀a = 2tan —,5A. 1C. 3B. 2 D. 4 (2)求值:［解］⑴选C ・因为cos （ a—脅）JI JIsin a cos —+cos a sin —JI兀sin a cos ——cos a sin —IJI JIcosl a +T~2f JI =sinl a+—tan a +ta又因为tan兀a =2tan —,兀 兀2tan ----- t an —5 5tan兀所以原式= JI JI 2tan —+tair^-厂sin 12°V3X--------- -3—cos 12。
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文
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第十八页，共四十五页。
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
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三角函数的给值求值、给值求角(高频考点)
(1)已 知
0
＜
β＜
π 2
＜
α
＜
π
，
且
cos
α－β2
＝
－
1 9
，
sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值；
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求 2α
－β 的值．
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2．已知函数 f(x)＝2sin13x－π6，x∈R. (1)求 f54π的值； (2)设 α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1103，f(3β＋2π)＝65，
求 cos(α＋β)的值．
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[解] (1)f54π＝2sin 13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2. (2)由 f3α＋π2＝2sin α＝1130，
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第二十四页，共四十五页。
＝－19× 35＋4 9 5×23＝7275，
所以 cos(α＋β)＝2cos2α＋2 β－1＝2×497×295－1＝－722399.
高三数学复习第三章 三角函数、解三角形
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案：2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5．若点 P 在角 3 的终边上，且|OP|＝2，则点 P 的坐标是 ________．
2 解析：∵角3π 的终边落在第二象限， ∴可设 P(x，y)，其中 x＜0，y＞0，
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0， π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3，
π 上的角的集合为α|α＝3＋kπ，k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y＝ 3x
6π (2)∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)， θ 2π 2kπ ∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)． 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 ， 21 ， 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1．由 α 所在的象限，确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围，求出n所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成 θ＋k· (k∈Z)的形式，然后判 360° α 断n所在象限．
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质
2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形20两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业文75
课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．sin68°sin67°－sin23°cos68°＝( ) A ．－22 B.22C.32D ．1 解析：sin68°sin67°－sin23°cos68°＝sin68°cos23°－sin23°cos68°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22. 答案：B2．(2018·四川自贡一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335 D.435解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋23π＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－435.故选A. 答案：A3．计算：cos350°－2sin160°sin －190°＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3 解析：原式＝cos360°－10°－2sin 180°－20°－sin 180°＋10°＝cos10°－2sin 30°－10°－－sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin10°＝ 3. 答案：D4．tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan α＋β－tan β－π41＋tan α＋βtan β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案：C5．(2018·湖北荆州一检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos π3＋2α＝( )A.79B.23 C ．－23 D ．－79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－79.答案：D 二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝________.解析：cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1. 答案：－17．(2018·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·广东湛江高三上学期期中调研，16)如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1，y 1)，角β＝α＋2π3的终边与单位圆交于点B (x 2，y 2)，记f (α)＝y 1－y 2.若角α为锐角，则f (α)的取值范围是________．解析：由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3，所以f (α)＝sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝sin α－32cos α＋12sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，所以f (α)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 三、简答题9．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
定义正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分。
图像正弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。
余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是由一系列的水平和垂直线段组成的。
图像余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。
性质图像正切函数的图像也称为正切曲线，它是由一系列的斜线组成的。
定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数，值域为所有实数。
性质正切函数是奇函数，图像关于原点对称。
正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。
正切函数的周期是π，即$h(x+π)=h(x)$。
周期性1 2 3正弦函数的振幅是1，即$f(x) \in [-1,1]$。
余弦函数的振幅也是1，即$g(x) \in [-1,1]$。
正切函数的振幅需要特别注意，它的振幅不是1，而是没有限制的，即$h(x) \in \mathbf{R}$。
正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示，例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$，其中$\omega >0$。
正切函数的相位需要特别注意，它没有固定的相位，也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。
正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数，例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。
正切函数的初相需要特别注意，它没有固定的初相，也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。