高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切课件 理
高考数学一轮复习 第三单元三角函数课件 理 新人教课标A

第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式 第18讲 三角函数的图象和性质 第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用
第三单元 三角函数
3.课时安排 该部分共8节,其中第20讲设置双课时作业,一个滚动 基础训练卷和一个单元能力训练卷,建议11课时完成复习任 务.
第三单元 │ 使用建议
推导出π±α的正弦、余弦、正切,及π2±α的正弦、余弦的
诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等; (4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容,是最高 级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌 握这两个定理的证明,然后通过例题,讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型. (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化, 在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边 角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在 三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.
第三单元 │ 考纲要求
3.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角 形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题.
第三单元 │ 命题趋势
命题趋势
三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基 础知识之一,又是高中数学的工具性知识之一,在高考中占有重要位 置.
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中.解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角 度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理, 把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理 和余弦定理加以解决,教师在引导学生思路解三角形的实际 应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际 应用问题的本质所在.
2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换学案理新人

第三节 和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S (α+β):sin (α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β. (2)S (α-β):sin (α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β. (3)C (α+β):cos (α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β. (4)C (α-β):cos (α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β. (5)T (α+β):tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β.(6)T (α-β):tan (α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β.2.倍角公式(1)S 2α:sin 2α=2sin_αcos_α. (2)C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1 =1-2sin 2α.(3)T 2α:tan2α=2tan α1-tan 2α.1.和、差、倍角公式的转化2.公式的重要变形(1)降幂公式:cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1-cos2α2.(2)半角公式(不要求记忆):①sin α2=±1-cos α2. ②cos α2=±1+cos α2. ③tan α2=±1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α⎝⎛⎭⎫根号前面的正负号由角α2所在象限确定. (3)升幂公式:1+cos 2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α. (4)公式变形:tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β). (5)辅助角公式:a sinx +b cosx =a 2+b 2sin(x+φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ=b a 2+b 2,cos φ=a a 2+b 2.1.(基础知识:逆用公式)化简cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( ) A .12B .32C .-12D .-32答案:A2.(基本方法:构造和角公式)已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π3=1517,α∈⎝⎛⎭⎫π2,56π,则sin α的值为( )A .817B .153+834C .15-8334D .15+8334答案:D3.(基础知识:半角公式)已知cos θ=-15,5π2<θ<3π,那么sin θ2=( )A .105 B .-105 C .155D .-155答案:D4.(基本能力:正切倍角公式)若α是第二象限角,且sin(π-α)=35,则tan 2α=________.答案:-2475.(基本应用:辅助角公式)f (x )=sin (x +3π)-3cos x 的最小值为________. 答案:-10题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用[典例剖析]类型 1 给值(角)求值 [例1] (1)化简 2+cos 2-sin 21的结果是( )A .-cos1B .cos 1C .3cos 1D .-3cos 1 解析:原式=1+cos 2+1-sin 21=2cos 21+cos 21=3cos 21=3cos1. 答案:C(2)若0<α<π2,-π2<β<0,cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=13,sin ⎝⎛⎭⎫π4-β2=33,则cos ⎝⎛⎭⎫α+β2=( ) A .33 B .-33 C .63D .-69解析:因为0<α<π2,所以π4<α+π4<3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=13,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1-19=223.因为-π2<β<0,所以π4<π4-β2<π2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=33,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=1-sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=1-13=63, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α+β2=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-β2=13×63+223×33=63. 答案:C类型 2 给值求角[例2] (1)(2021·某某六市联考)已知cos α=17,cos (α-β)=1314.若0<β<α<π2,则β=________.解析:由cos α=17,0<α<π2,得sin α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫172=437,又0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,∴sin (α-β)=1-cos 2(α-β)=1-⎝⎛⎭⎫13142=3314.由β=α-(α-β)得cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos (α-β)+sin αsin (α-β) =17×1314+437×3314=12, ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴β=π3.答案:π3(2)已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为________.解析:∵tan α=tan [(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=12-171+12×17=13>0,∵α∈(0,π),∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-⎝⎛⎭⎫132=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=1. ∵tan β=-17<0,∴π2<β<π, ∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.答案:-3π4方法总结1.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角和、差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.(2)使用公式求值时,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)使用公式求值时,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用,用特殊角来表示非特殊角等.2.“给值求角”实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的X 围,最后确定角.遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,选正、余弦皆可;若角的X 围是(0,π),选余弦较好;若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,选正弦较好.[题组突破]1.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且tan β=1+sin αcos α,则( )A .α-3β=-π2B .α-2β=-π2C .α+3β=π2D .α+2β=π2解析:法一(化切为弦):因为tan β=sin βcos β,所以sin βcos β=1+sin αcos α,即sin βcos α=cos β+cos βsin α, 整理得sin (β-α)=cos β,即sin (β-α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-β.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以β-α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,π2-β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.因为函数y =sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上单调递增,所以β-α=π2-β,整理得α-2β=-π2.法二(化弦为切):因为1+sin αcos α=1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α2=1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α2,所以tan β=1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α2=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α2=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α2.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,π4+α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2,又函数y =tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上单调递增,所以β=π4+α2,即α-2β=-π2.答案:B2.计算sin 110°sin 20°cos 2155°-sin 2155°的值为( )A .-12B .12C .32D .-32解析:原式=sin70°sin 20°cos 225°-sin 225°=cos20°sin 20°cos 50°=12×sin 40°sin 40°=12. 答案:B3.已知sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=25,则sin 2α=________.解析:sin 2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2α=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α-1=2×⎝⎛⎭⎫252-1=-1725.答案:-1725题型二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用[典例剖析][典例](1)3tan 10°-1sin 10°=________.(用数字作答)解析:原式=3sin 10°cos 10°-1sin 10°=3sin 10°-cos 10°sin 10°cos 10°=2sin (10°-30°)12sin 20°=-2sin 20°12sin 20°=-4.答案:-4(2)计算:tan 25°+tan 35°+3tan 25°·tan 35°=________.解析:原式=tan (25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°tan 35°=3(1-tan 25°tan 35°)+3tan 25°tan 35°= 3.答案: 3(3)已知:①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1,②tan 5°tan 10°+tan 10°tan 75°+tan 75°·tan 5°=1,③tan 20°tan 30°+tan 30°·tan 40°+tan 40°·tan 20°=1成立.由此得到一个由特殊到一般的推广.此推广是什么?并证明.解析:观察到:10°+20°+60°=90°,5°+10°+75°=90°,20°+30°+40°=90°,猜想此推广为:若α+β+γ=90°,且α,β,γ都不为k·180°+90°(k∈Z),则tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1.证明如下:因为α+β+γ=90°,所以β=90°-(α+γ),故tan β=tan [90°-(α+γ)]=sin [90°-(α+γ)]cos [90°-(α+γ)]=cos (α+γ)sin (α+γ)=cos αcos γ-sinαsin γsin αcos γ+cos αsin γ=1-tan αtan γtan α+tan γ,所以tan αtan β+tan βtan γ=1-tan αtan γ,即tan αtan β+tan βtan γ+tan αtan γ=1.方法总结1.将tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α·tan β整理变形为tan α+tan β=tan (α+β)-tan α·tanβ·tan (α+β).2.(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)和差角公式变形:sin αsin β+cos (α+β)=cos αcos β, cos αsin β+sin (α-β)=sin αcos β, tan α±tan β=tan (α±β)·(1∓tan α·tan β). (3)倍角公式变形:降幂公式.[拓展] 1±sin α=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22,1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2.提醒 tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan (α+β)(或tan (α-β))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.[对点训练]1.已知m =(α+β+γ),tan (α-β+γ)),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m =( ) A.12 B .34C .32D .2解析:设A =α+β+γ,B =α-β+γ, 则2(α+γ)=A +B ,2β=A -B , 因为sin 2(α+γ)=3sin 2β, 所以sin (A +B )=3sin (A -B ),即sin A cos B +cos A sin B =3(sin A cos B -cos A sin B ), 即2cos A ·sin B =sin A cos B , 所以tan A =2tan B ,所以m =tan Atan B =2.答案:D 2.1cos 80°-3sin 80°=________.解析:1cos 80°-3sin 80°=sin 80°-3cos 80°sin 80°cos 80°=2sin (80°-60°)12sin 160°=2sin 20°12sin 20°=4.答案:4题型三 三角恒等变换的综合应用[典例剖析][典例] 已知函数f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6cos ωx (0<ω<2),且f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12,32.(1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期; (2)将y =f (x )的图象向右平移π6个单位,得到函数y =g (x )的图象,已知g ⎝⎛⎭⎫α2=536,求cos ⎝⎛⎭⎫2α-π3的值.解析:(1)函数f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π6·cos ωx =⎝⎛⎭⎫23sin ωx ·32+23cos ωx ·12·cos ωx =32sin 2ωx +3·1+cos 2ωx 2=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π6+32. ∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12,32,∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω·5π12+π6+32=,∴2ω·5π12+π6=k π,k ∈Z ,解得ω=6k -15,k ∈Z .又0<ω<2,∴ω=1,∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6+32,故它的最小正周期为2π2=π.(2)将y =f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6+32的图象向右平移π6个单位,得到函数y =g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+32的图象.已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=536=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6+32,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6=13,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6=79.方法总结三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数y =A sin(ωx +φ)+b 或余弦型函数y =A cos (ωx +φ)+b 的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤:①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y =A sin (ωx +φ)+b 或y =A cos (ωx +φ)+b 的形式;②利用公式T =2πω(ω>0)求周期;③根据自变量的X 围确定ωx +φ的X 围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin (ωx +φ)+b 或y =A cos (ωx +φ)+b 的单调区间.[对点训练]已知函数f (x )=2(sin ωx -cos ωx )cos ωx +22(ω>0)的图象的一条对称轴为x =3π8.(1)求ω的最小值; (2)当ω取最小值时,若f ⎝⎛⎭⎫α2+π4=35,-π2<α<0,求2sin ⎝⎛⎭⎫2α-π4的值.解析:(1)f (x )=2(sin ωx -cos ωx )cos ωx +22=2sin ωx cos ωx -2cos 2ωx +22=22sin2ωx -22cos 2ωx =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx -π4. 因为函数f (x )的图象的一条对称轴为x =3π8,所以3π4ω-π4=π2+k π(k ∈Z ),所以ω=1+43k (k ∈Z ).又ω>0,所以ω的最小值为1.(2)由(1)知f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π4-π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=35.因为-π2<α<0,所以-π4<α+π4<π4,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4>0,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=45.所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π4=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-3π4=-sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-2×35×45-2×⎝⎛⎭⎫452+1=-3125.再研高考创新思维1.(2019·高考全国卷 Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )A .15B .55C .33D .255解析:法一:由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin α·cos α=2cos 2α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴2sin α=cos α.又∵sin 2α+cos 2α=1, ∴sin 2α=15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴sin α=55.法二:设tan α=t ,t ∈(0,+∞),由已知得4t1+t 2=1-t 21+t 2+1,解得t =12.∴t =sin αcos α=12,∴sin 2α=15,∴sin α=55.答案:B2.(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )=tan x1+tan 2x 的最小正周期为( )A .π4B .π2C .πD .2π解析:由万能公式可知f (x )=12sin2x ,故T =2π2=π.答案:C3.(2019·高考某某卷)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α+π4=-23,则sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4的值是________.解析:法一:由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan αtan α+11-tan α=tan α(1-tan α)tan α+1=-23,解得tan α=2或-13.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=22(sin 2α+cos 2α)=22(2sin αcos α+2cos 2α-1) =2(sin αcos α+cos 2α)-22=2·sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α-22=2·tan α+1tan 2α+1-22,将tan α=2和-13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4=210.法二:∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-23,∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4.①又sin π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos α-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4sin α=22,②由①②,解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-25,cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=3210.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α+⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4+cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=210.法三:令tan α=t (t ≠±1),则t =-23·t +11-t ,得t =2或t =-13,故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=22(sin 2α+cos 2α)=22⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1+t 2+1-t 21+t 2=210. 答案:210素养升华角的灵活变换已知sin (α+2β)=34,cos β=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( )A .37-2212B .3-21412C .37+2212D .3+21412解析:因为cos β=13,β为锐角,所以sin β=1-⎝⎛⎭⎫132=223,cos 2β=2cos 2β-1=-79<0, 又β为锐角,所以π2<2β<π,因为α为锐角,所以α+2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,又sin(α+2β)=34,所以cos (α+2β)=-1-sin 2(α+2β)=-74, 所以sin(α+β)=sin [(α+2β)-β] =sin (α+2β)cos β-cos (α+2β)sin β =34×13-⎝⎛⎭⎫-74×223 =3+21412.答案:D。
高考数学(文通用)一轮复习课件:第三章第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章三角函数、解三角形第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教材回顾▼夯实基础知谋梳理〉1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos acos 0土sinasin Bcos(aT B )= _________________tan a土tan B1+tan atan B(a±0, a , 0均不为佥兀+于,kE: Z 课本温故追根求源sin(a±/?)=sin acos “土cos asin p tan(m±Q=2.二倍角的正弦、余弦、• a2sin acos a sm 2 a = cos 2 a = cos%—si,疣2tan atan 2“a,正切公式2a—1 2cos1Tl\2 a均不为E兀+亍,kWZ、1—2sin2a3. 三角公式关系令0 = a 「 以-0代0C 2a ------------------- 匕十) -----------两式相除两式相除两式相除T(a + B)v 利用cos 任±0 利用cos 任土 a) 令 0二a I ^2a 3(a + 0) v 以-仔代07T 利用 cos(—±a a S(a_Q) T (—p )£要点整食71.辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.、伍(2)在(0,兀)范围内,sin(d+")=专所对应的角不是唯一的.2・有关公式的逆用及变形用(l)tan a 土 tan B = tan(a±/?)(1+tan a tan 0); (3)1+ sin 2 a = (sin a +cos a )2, 1—sin 2 a =(sin a — cosa )2, sin a 土 cos a ⑵ cos? 1 + cos 2 a 2sin 2 1 —cos 2 a3.角的变换技巧a =(a+fl)_ 卩;a =卩_ a);a =^[(«+^)+ (a—fi)];0=扌仗+沟_@_创;JI JI A JI A3★暉自测卩a 解析:因为sin —2=11.若 sin贝!)cos a=( CDi=申,所以COSa—= 1— 2■2X32. (2015•高考全国卷 I )sin 20° cos 10°解析:sin 20° cos 10° —cos 160° sin 10° =sin 20° cosc.—cos 160° sin 10°10° + cos 20° sin 10° = sin(20°+ 10° )=sin 30° =|.(a )¥卵冰"+〃)呵|M 'lhp+訂1引¥=(罟一町呵昵•£=(“+巧11引4.已知解析:因为以COS X—sinx=^, 则11_sin 2x=巧 —sin2r=五'所以 sin 2x=-.所以^COS X ——sin x= 2JI a sin —= sin3 JI----- c os asin —,所以 tan a = l5.已知 a +yj=sin^a,贝i tan a = ____ ]解析:因为 所以 cos a cosJI----- s in3典例剖析▼考点突破+名师导悟以例说法考点一三角函数公式的直接应用典例対(2015•高考广东卷)已知tan a =2⑴求tan@+£的值;⑵求.2亠.心―的值.sm a +sm a cos a — cos 2 a — 12+1 _1-2X1 = _Xsin 2 aa cos a —cos 2 a —12sin a cos a _ 2tan asin 2 a +sin a cos a — 2cos 2 a tan 2a +tan a —2 2X2 4+2-2兀tan a+tan — JT1—tan fftan —⑵sii? a +sin两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用«> 0的三角函数表示Q土〃的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.O'2aW (0,兀),tan 2 a =|>0, ,所以 sin 2 a =扌,cos 2 a =7JIJI=sin 2 a cos —+cos 2 a sin —_4 J 亠 3 V5_4+3 萌 一5%2十5* 2 _10 •腹歸训绣]1•已知,tan a =-,求 tan 2 Q 和sin (2 ff+yj 的值.解:tan 22tan a CL —~ 51—tan a2Xi 4 2 一亍1_©因为圧 5’所以2圧 所以考点二三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点,高考多以选择题或填空题的形式出现,在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角函数公式.高考对三角函数公式的考查主要有以下三个命题角度:(1)应用正切公式的变形;(2)降幕公式的应用;(3)二倍角公式的逆用.\/3tan 12° —3 sin12° (4COS 212° —2)(1)(2015-高考重庆卷)若tan 兀a = 2tan —,5A. 1C. 3B. 2 D. 4 (2)求值:[解]⑴选C ・因为cos ( a—脅)JI JIsin a cos —+cos a sin —JI兀sin a cos ——cos a sin —IJI JIcosl a +T~2f JI =sinl a+—tan a +ta又因为tan兀a =2tan —,兀 兀2tan ----- t an —5 5tan兀所以原式= JI JI 2tan —+tair^-厂sin 12°V3X--------- -3—cos 12。
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

【注意】 若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα, cosα,tanα的值.
.
解析:tan= 答案:
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀 地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d
=
,其中t∈[0,60].
解析:∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y= Asin(ωx +φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)
解析式的确定,以 的
及通过图象描绘, 物理意义;能画出y=
观察讨论有关性质. Asin(ωx+φ)的图象,了解
2.以三角函数为载体, 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α= ,即α=2时取等号, 此时 故当半径r=1 cm,圆心角为2弧度时,扇形面积最大, 其最大值为1 cm2.
法二:设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r,面积为S,
则扇形的弧长为rα,由题意有:2r+rα=4⇒α=
×r2=2r-r2=-(r-1)2+1,
∴当r=1(cm)时,S有最大值1(cm2),
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文

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2cos 1.
10°-sin sin 70°
20°的值是___3_____.
[解析] 原式=2cos(30°-sin207°0°)-sin 20°
=2(cos
30°·cos
20°+sin 30°·sin sin 70°
20°)-sin
20°
= c3ocsos202°0°= 3.
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三角函数的给值求值、给值求角(高频考点)
(1)已 知
0
<
β<
π 2
<
α
<
π
,
且
cos
α-β2
=
-
1 9
,
sinα2-β=23,求 cos(α+β)的值;
(2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=12,tan β=-17,求 2α
-β 的值.
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2.已知函数 f(x)=2sin13x-π6,x∈R. (1)求 f54π的值; (2)设 α,β∈0,π2,f3α+π2=1103,f(3β+2π)=65,
求 cos(α+β)的值.
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[解] (1)f54π=2sin 13×54π-π6=2sinπ4= 2. (2)由 f3α+π2=2sin α=1130,
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第二十四页,共四十五页。
=-19× 35+4 9 5×23=7275,
所以 cos(α+β)=2cos2α+2 β-1=2×497×295-1=-722399.
高三数学复习第三章 三角函数、解三角形

提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案:2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5.若点 P 在角 3 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是 ________.
2 解析:∵角3π 的终边落在第二象限, ∴可设 P(x,y),其中 x<0,y>0,
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0, π)内终边在直线 y= 3x 上的角是3,
π 上的角的集合为α|α=3+kπ,k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y= 3x
6π (2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z), θ 2π 2kπ ∴3= 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 + 3 <2π⇒-7≤k< 7 ,k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
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第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1.由 α 所在的象限,确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围,求出n所在的范围;
(2)通过分类讨论把角写成 θ+k· (k∈Z)的形式,然后判 360° α 断n所在象限.
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质
2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形20两角和与差的正弦余弦和正切公式课时作业文75

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.sin68°sin67°-sin23°cos68°=( ) A .-22 B.22C.32D .1 解析:sin68°sin67°-sin23°cos68°=sin68°cos23°-sin23°cos68°=sin(68°-23°)=sin45°=22. 答案:B2.(2018·四川自贡一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+2π3=45,-π2<α<0,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3+sin α=( )A .-435B .-335C.335 D.435解析:∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+2π3=45,-π2<α<0,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+23π=cos αcos 23π-sin αsin 23π=-12cos α-32sin α=45,∴32sin α+12cos α=-45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3+sin α=32sin α+32cos α=3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α+12cos α=-435.故选A. 答案:A3.计算:cos350°-2sin160°sin -190°=( )A .- 3B .-32C.32D. 3 解析:原式=cos360°-10°-2sin 180°-20°-sin 180°+10°=cos10°-2sin 30°-10°--sin10°=cos10°-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°-32sin10°sin10°= 3. 答案:D4.tan(α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16解析:tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan α+β-tan β-π41+tan α+βtan β-π4=25-141+25×14=322. 答案:C5.(2018·湖北荆州一检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=13,则cos π3+2α=( )A.79B.23 C .-23 D .-79解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+2α=cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=cos2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α =-cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=-79.答案:D 二、填空题6.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=-33,则cos x +cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3=________.解析:cos x +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=cos x +12cos x +32sin x =32cos x +32sin x =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-33=-1. 答案:-17.(2018·湖南长沙一模)化简:2sin π-α+sin2αcos 2α2=________.解析:2sin π-α+sin2αcos2α2=2sin α+2sin α·cos α121+cos α=2sin α1+cos α121+cos α=4sin α.答案:4sin α8.(2018·广东湛江高三上学期期中调研,16)如图,角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点A (x 1,y 1),角β=α+2π3的终边与单位圆交于点B (x 2,y 2),记f (α)=y 1-y 2.若角α为锐角,则f (α)的取值范围是________.解析:由题意,得y 1=sin α,y 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+2π3,所以f (α)=sin α-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+α=sin α-32cos α+12sin α=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6,因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以α-π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π3,所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32,所以f (α)的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32 三、简答题9.(2018·广东六校联考)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12,x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4的值; (2)若cos θ=45,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ-π3的值.∴tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=-2×-3212=2 3.附:什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心,因此会出现很多过度焦虑。
三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文

三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种,记作sin(x),定义域为所有实数,值域为[-1,1]。
定义正弦函数的图像也称为正弦曲线,它是以原点为圆心,以1为半径的圆上的一部分。
图像正弦函数是周期函数,最小正周期为2π。
性质余弦函数是三角函数的一种,记作cos(x),定义域为所有实数,值域为[-1,1]。
余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线,它是由一系列的水平和垂直线段组成的。
图像余弦函数是周期函数,最小正周期为2π。
性质图像正切函数的图像也称为正切曲线,它是由一系列的斜线组成的。
定义正切函数是三角函数的一种,记作tan(x),定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数,值域为所有实数。
性质正切函数是奇函数,图像关于原点对称。
正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π,即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。
正切函数的周期是π,即$h(x+π)=h(x)$。
周期性1 2 3正弦函数的振幅是1,即$f(x) \in [-1,1]$。
余弦函数的振幅也是1,即$g(x) \in [-1,1]$。
正切函数的振幅需要特别注意,它的振幅不是1,而是没有限制的,即$h(x) \in \mathbf{R}$。
正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示,例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$,其中$\omega >0$。
正切函数的相位需要特别注意,它没有固定的相位,也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。
正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数,例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。
正切函数的初相需要特别注意,它没有固定的初相,也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。